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We introduce a time discretization for Wasserstein gradient flows based on the classical Backward Differentiation Formula of order two. The main building block of the scheme is the notion of geodesic extrapolation in the Wasserstein space, which in general is not uniquely defined. We propose several possible definitions for such an operation, and we prove convergence of the resulting scheme to the limit PDE, in the case of the Fokker-Planck equation. For a specific choice of extrapolation we also prove a more general result, that is convergence towards EVI flows. Finally, we propose a variational finite volume discretization of the scheme which numerically achieves second order accuracy in both space and time.

International audience; The group of diffeomorphisms of a compact manifold endowed with the L^2 metric acting on the space of probability densities gives a unifying framework for the incompressible Euler equation and the theory of optimal mass transport. Recently, several authors have extended optimal transport to the space of positive Radon measures where the Wasserstein-Fisher-Rao distance is a natural extension of the classical L^2-Wasserstein distance. In this paper, we show a similar relation between this unbalanced optimal transport problem and the Hdiv right-invariant metric on the group of diffeomorphisms, which corresponds to the Camassa-Holm (CH) equation in one dimension. On the optimal transport side, we prove a polar factorization theorem on the automorphism group of half-densities.Geometrically, our point of view provides an isometric embedding of the group of diffeomorphisms endowed with this right-invariant metric in the automorphisms group of the fiber bundle of half densities endowed with an L^2 type of cone metric. This leads to a new formulation of the (generalized) CH equation as a geodesic equation on an isotropy subgroup of this automorphisms group; On S1, solutions to the standard CH thus give particular solutions of the incompressible Euler equation on a group of homeomorphisms of R^2 which preserve a radial density that has a singularity at 0. An other application consists in proving that smooth solutions of the Euler-Arnold equation for the Hdiv right-invariant metric are length minimizing geodesics for sufficiently short times.

This thesis consists in two distinct parts both related to the optimal transport theory.The first part deals with the regularity of the optimal transport map. The key tool is the Ma-Trundinger-Wang tensor and especially its positivity. We first give a review of the known results about the MTW tensor. We then explore the geometrical consequences of the MTW tensor on the injectivity domain. We prove that in many cases the positivity of MTW implies the convexity of the injectivity domain. The second part is devoted to the behaviour of a Keller-Segel solution in the super critical case. In particular we are interested in the mass quantization problem: we wish to quantify the mass aggregated when the blow-up occurs. In order to study the behaviour of the solution we consider a particle approximation of a Keller-Segel type equation in dimension 1. We define this approximation using the gradient flow interpretation of the Keller-Segel equation and the particular structure of the Wasserstein space in dimension 1. We show two kinds of results; we first prove a stability theorem for the blow-up mechanism: we exhibit basins of attraction in which the solution blows up with only the critical number of particles. We then prove a rigidity theorem for the blow-up mechanism: thanks to a parabolic rescaling we prove that the structure of the blow-up is given by the critical points of a certain functional., Cette thèse comporte deux parties distinctes, toutes les deux liées à la théorie du transport optimal. Dans la première partie, nous considérons une variété riemannienne, deux mesures à densité régulière et un coût de transport, typiquement la distance géodésique quadratique et nous nous intéressons à la régularité de l’application de transport optimal. Le critère décisif à cette régularité s’avère être le signe du tenseur de Ma-Trudinger-Wang (MTW). Nous présentons tout d’abord une synthèse des travaux réalisés sur ce tenseur. Nous nous intéressons ensuite au lien entre la géométrie des lieux d’injectivité et le tenseur MTW. Nous montrons que dans de nombreux cas, la positivité du tenseur MTW implique la convexité des lieux d’injectivité. La deuxième partie de cette thèse est liée aux équations aux dérivées partielles. Certaines peuvent être considérées comme des flots gradients dans l’espace de Wasserstein W2. C’est le cas de l’équation de Keller-Segel en dimension 2. Pour cette équation nous nous intéressons au problème de quantification de la masse lors de l’explosion des solutions ; cette explosion apparaît lorsque la masse initiale est supérieure à un seuil critique Mc. Nous cherchons alors à montrer qu’elle consiste en la formation d’un Dirac de masse Mc. Nous considérons ici un modèle particulaire en dimension 1 ayant le même comportement que l’équation de Keller-Segel. Pour ce modèle nous exhibons des bassins d’attractions à l’intérieur desquels l’explosion se produit avec seulement le nombre critique de particules. Finalement nous nous intéressons au profil d’explosion : à l’aide d’un changement d’échelle parabolique nous montrons que la structure de l’explosion correspond aux points critiques d’une certaine fonctionnelle.