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Submitted by Samuel Paulino dos Santos (samuel.paulino@unesp.br) on 2022-09-27T23:36:56Z No. of bitstreams: 1 TeseSamuelRepositorio.pdf: 3244821 bytes, checksum: ea48149fd77a79707f7f89046d220d32 (MD5) Rejected by LUCIANE ANTONIA PASSONI null (luciane@ibilce.unesp.br), reason: Prezado, Solicitamos que realize correções na submissão seguindo as orientações abaixo: Veja o template em: https://www.ibilce.unesp.br/#!/biblioteca/servicos-oferecidos/consulte-a-estrutura-do-trabalho-academico/ 1 – Nas folhas pré-textuais, na “natureza da pesquisa”, use o mesmo tamanho de fonte. Há algo diferente entre as folhas. O trabalho todo deverá ser escrito no mesmo tipo de fonte, variando o seu tamanho conforme a regra. 2 – Nos agradecimentos, segundo a Portaria nº 206, de 4 de setembro de 2018, todos os trabalhos que tiveram financiamento/BOLSA CAPES deve constar a expressão exata: O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001. [é necessário inserir este código]. Porque não cita a bolsa BEPE na folha de rosto e de aprovação? Ela não financiou essa pesquisa diretamente? Se não financiou, mantenha como está. 3 - Epígrafe é uma citação, sugiro adequar à norma ABNT NBR 10520 e listar como referência. Observe a regra de citação (p. 16) e referência (p. 45), do “Manual de Normalização de Trabalhos Acadêmicos: citação e referência: ABNT”, em https://drive.google.com/file/d/1auB4wt9daF8l25Q5A57rkVQG_3o94VBi/view. 4 - Palavras-chave e Keywords: separar as palavras por ponto. 5 – Lista de figuras: A lista deve transcrever os títulos das figuras conforme aparecem no texto. Ex.: Figura 2.1: Da esquerda pra direita: cuspidal edge, rabo de andorinha e cuspidal cross cap, dadas na Definição 2.2.12....................................................19 Figuras devem ter seu título acima delas e a sua fonte bibliográfica descrita abaixo. A fonte deve ser descrita na lista de referências, salvo se for “Elaborado pelo autor”. 6 – A numeração das páginas, segundo a norma, deverá estar no canto superior direito. 7 – Seções: A palavra “capítulo” não é necessária antes de cada título de seção primária, no corpo do texto. Note que ela não consta no sumário. Esse é constituído pela transcrição das seções, inclusive em destaques gráficos, como letras maiúsculas para as seções primárias. Agradecemos a compreensão. on 2022-10-05T18:48:24Z (GMT) Submitted by Samuel Paulino dos Santos (samuel.paulino@unesp.br) on 2022-10-07T18:37:39Z No. of bitstreams: 1 TeseSamuelRepositorio.pdf: 3197510 bytes, checksum: 608f6516b89401481ad286cddf37edce (MD5) Rejected by LUCIANE ANTONIA PASSONI null (luciane@ibilce.unesp.br), reason: Prezado, Solicitamos que realize correções na submissão seguindo as orientações abaixo: 1 - O trabalho todo deverá ser escrito no mesmo tipo de fonte. 2 - Reorganizar as seções, que perderam a sequência correta. Agradecemos a compreensão. on 2022-10-07T20:42:32Z (GMT) Submitted by Samuel Paulino dos Santos (samuel.paulino@unesp.br) on 2022-10-10T13:01:53Z No. of bitstreams: 1 Tese Samuel Repositorio.pdf: 2628054 bytes, checksum: 2cf4ef79393d70ec13b3ae9e84fd0c3c (MD5) Rejected by Vivian Letícia Duarte Parisi (vivian.parisi@unesp.br), reason: Sua submissão será devolvida para que você possa fazer as correções. 1. Falta a FICHA CATALOGRÁFICA (Obrigatório pela ABNT NBR14724), informamos que é imprescindível que coloque a ficha gerada pelo sistema: Você poderá elaborar a sua ficha, acessando o Sistema Gerador de Fichas Catalográficas online. Na página da Biblioteca encontrará as informações necessárias: https://www.ibilce.unesp.br/#!/biblioteca/servicos-oferecidos/crie-sua-ficha-catalografica/ https://www.biblioteca.unesp.br/ficha/ 2. Notei várias marcações no texto, em vermelho e verde, não sei se era intencional, ou se foi esquecido. Lembramos que o arquivo depositado no repositório deve ser igual ao impresso, o rigor com o padrão da Universidade se deve ao fato de que o seu trabalho passará a ser visível mundialmente. Agradecemos a compreensão. Estamos à disposição caso necessite esclarecer alguma dúvida ou necessite algum auxílio para efetuar as correções. Atenciosamente, Repositório Institucional UNESP UNESP - Câmpus de São José do Rio Preto Rua Cristóvão Colombo, 2265 - Jd. Nazareth São José do Rio Preto – SP. on 2022-10-10T19:03:38Z (GMT) Submitted by Samuel Paulino dos Santos (samuel.paulino@unesp.br) on 2022-10-10T21:25:37Z No. of bitstreams: 1 Samuel Repositorio Tese.pdf: 2700102 bytes, checksum: d837f0d260baadfad84a6b657a4ff1aa (MD5) Rejected by LUCIANE ANTONIA PASSONI null (luciane@ibilce.unesp.br), reason: Prezado Samuel, A ficha catalográfica deve ser inserida após a folha de rosto, aquela que tem a "natureza da pesquisa". Favor efetuar a correção e trocar o arquivo. Atenciosamente, on 2022-10-11T15:14:56Z (GMT) Submitted by Samuel Paulino dos Santos (samuel.paulino@unesp.br) on 2022-10-11T18:58:11Z No. of bitstreams: 1 Samuel Repositorio Tese.pdf: 2673646 bytes, checksum: 018f3d35cb965a602c9712d3fcd96261 (MD5) Approved for entry into archive by LUCIANE ANTONIA PASSONI null (luciane@ibilce.unesp.br) on 2022-10-11T22:47:36Z (GMT) No. of bitstreams: 1 santos_sp_dr_sjrp.pdf: 2525151 bytes, checksum: d3e5b14a86d56c002115840fcf71ff74 (MD5) Made available in DSpace on 2022-10-11T22:47:36Z (GMT). No. of bitstreams: 1 santos_sp_dr_sjrp.pdf: 2525151 bytes, checksum: d3e5b14a86d56c002115840fcf71ff74 (MD5) Previous issue date: 2022-08-31 Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) Este trabalho busca estudar a geometria diferencial de algumas classes de superfícies com singularidades que não são necessariamente não degeneradas ou frentes. Dentre elas, estudamos a superfície singular D4, que é uma frente com singularidade degenerada, determinada por um conjunto bifurcação de uma certa deformação. Estudamos também uma classe de frontais chamadas de σ-edges, que podem ser não frentes ou apresentar singularidades não degeneradas apenas em casos específicos. Por fim, estudamos a geometria do conjunto focal de frontais puras, que são superfícies singulares que não são frentes em todos os seus pontos singulares. This work seeks to study the geometry of some especific classes of singular surfaces which are not necessarily fronts or non-degenerated singularities. We study the singular surfaces D4 , when it is given as a bifurcation set of a deformation; this surface is a front which has a degenerated singular point. We also study a class of singular surfaces called σ-edges, which are frontals, but are fronts or non-degenerated singular points in very specific cases. At last, we study the geometry of the focal set of singular surface which are frontal but not front in every singular point; such surfaces are called pure frontals. FAPESP: 2018/17712-7 FAPESP: 2019/10156-4

Orientador: Sueli Irene Rodrigues Costa Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho estudamos uma das curvas descritas por processos mecânicos: A Conchóide. Apresentamos breve relato sobre o surgimento da Conchóide de Nicomedes como uma forma de se "solucionar" um dos três clássicos problemas da geometria grega - o da trissecção do ângulo e abordamos o uso desta nos primórdios da Geometria analítica e do Cálculo no século XVII. Introduzimos a conchóide geral e analisamos com detalhes propriedades geométricas das conchóides de uma parábola. Discutimos a existência de singularidades - cúspides e pontos múltiplos, relacionando-os à evoluta e às curvas paralelas a uma parábola. Utilizamos o computador e programas livres de geometria dinâmica e cálculo simbólico para visualizar, experimentar e conjecturar os resultados a serem provados. Abstract: We approach here one of the mechanical curves: The Conchoid. A brief description of the historical background of the Nicomedes'Conchoid, introduced to "solve" the angle trisection, one of the three classical problems of Greek geometry is presented and its use in the early times of the Calculus and Analytic Geometry in the XVII century is also described. We introduce the general conchoid and analyse the conchoids of a parabola. The existence of singularities such as cusps and multiple points is discussed and related to the evolute and parallel curves of a parabola. We have used the computer and free symbolic calculus and geometry software in visualising, experiencing and conjecturing results to be proved. Mestrado Geometria Mestre em Matemática

Orientador: Marco Antonio Teixeira Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Recentemente, a Teoria de campos descontínuos (Non-Smooth Dynamic Systems) tem-se desenvolvido rapidamente, motivado principalmente pelas aplicações na física e nas engenharias, e também pela atraente beleza matemática. Neste trabalho, consideraremos campos de vetores suaves por partes, denominados campos de Filippov, e usamos o método convexo de Filippov para definir órbita solução deste tipo de campo. Assim, órbitas soluções passando por um ponto qualquer sempre existem. Há duas principais diferenças com o clássico caso diferenciável: a primeira é que as órbitas neste caso são curvas suaves por partes, enquanto que no caso diferenciável são curvas suaves. A segunda é que as órbitas soluções não tem a propriedade da unicidade, ou seja, podem existir duas ou mais órbitas passando pelo mesmo ponto. São esses fatos que fazem essa teoria um pouco diferente da teoria clássica de campos diferenciáveis. Estamos interessados em estudar qualitativamente os campos de Filippov, especialmente os que são genéricos e estruturalmente estáveis. Assim, nesta tese descrevemos propriedades genéricas necessárias para um campo de Filippov ser estruturalmente estável. Particularmente analisamos estabilidade estrutural local de singularidades tangenciais tais como o rabo de andorinha, a dobradobra,e dobra-cúspide, e adicionalmente pseudoequilíbrios e órbitas fechadas Abstract: Recently, the Theory of Non-smooth Dynamic Systems has been developed, motivated mostly by their applications in physics and engineering, and also by its attractive mathematical beauty. In this work, we consider piecewise-smooth vector fields, called Filippov's vector fields, and we use the Filippov's convex method to define orbits solutions of this type of vector fields. Thus, orbit solution through any point always exists. But, there are two main differences with the classic differentiable case: the first is that orbits in this case are piecewise smooth curves while that in the differentiable case they are smooth curves. The second is that there is not uniqueness of solutions, this is, it may exist two or more than two orbits passing through a point. We are interested in to study qualitatively the Filippov's vector fields, especially those thatare generic and structurally stable. Thus, in this text we describe generic properties necessaryfor a vector field to be structurally stable. In particular, we analyze local structural stability attangential singularities, such as swallowtail-regular, fold-fold, fold-cusp, and additionally pseudoequilibriumsand closed orbits Doutorado Matemática Doutor em Matemática

Orientador: Marco Antonio Teixeira Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho consideramos alguns aspectos da teoria qualitativa de sistemas dinâmicos suaves por partes. Nosso principal objetivo é estudar uma classe de tais sistemas, onde o conjunto de descontinuidade é dado por uma hipersuperfície ? e além disso, assumimos que em cada região determinada por ? o campo de vetores definido é um sistema Hamiltoniano. Apresentamos estudos relacionados à regularização de campos de vetores suaves por partes em Rn que preservam volume nas componentes suaves. Abordamos também singularidades de funções suaves por partes, onde formas normais e seus desdobramentos são apresentados. Por fim estudamos bifurcações de campos de vetores Hamiltonianos refrativos Abstract: In this work, we consider some aspects of the qualitative theory of non smooth dynamical systems in Rn. Our main goal is to study a class of such systems where the discontinuity set is concentrated in a hypersurface ? and moreover, we assume that in each region determined by ? the vector field is a Hamiltonian system. We present studies related to the regularization of piecewise vector fields in Rn that are volume preserving on each smooth components. We also analyze singularities of piecewise smooth functions where normal forms and their unfolding are presented. Finally, we study bifurcations of refractive Hamiltonian vector fields Doutorado Matemática Doutor em Matemática

Orientador: Marcos Benevenuto Jardim Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Nesta tese estudamos o conjunto singular de feixes instanton sobre o espaco projetivo P^3. Um dos resultados principais mostra que o conjunto singular de um feixe instanton não localmente livre de posto 2 tem dimensão pura 1, e que o duplo dual E** e um feixe instanton localmente livre (Teorema 3.1.5). Ambos enunciados são falsos quando o posto de E e maior que 2. Também consideramos os feixes S_E = Ext^1(E;O_P^3) e Q_E = E**/E. Se E e feixe instanton não localmente livre de posto 2 em P3, mostramos que S_E e Q_E sâo feixes instanton de posto 0, conforme de nicão introduzida por Hauzer e Langer em [10]. Alem disso, mostramos que S_E e Q_E são suportados no conjunto singular Sing(E) e possuem o mesmo polinômio de Hilbert (Seções 3.1.2 e 3.1.3). Finalmente, apresentamos algumas propriedades do conjunto singular. Garantimos que o conjunto singular esta contido em uma curva de interseção completa de grau c^2, onde c = c_2(E) e chamada a carga de E (Proposição 3.2.1). Por outro lado, baseado na noção de transformações elementares para instantons dada por Jardim, Markushevich e Tikhomirov em [16], constuímos um exemplo de feixe instanton de posto 2 cujo conjunto conjunto singular não e conexo (Seção 3.2.3). Fornecemos tambem exemplos de feixes instantons de posto 3 cujo conjunto singular consiste de um ponto, e um ponto e uma reta Abstract: In this thesis we study the singular locus of instanton sheaves on the projective space P^3. We prove that the singular locus Sing(E) of a non-locally free instanton sheaf E of rank 2 has pure dimension 1, and that the double dual E** is a locally free instanton sheaf (Theorem 3.1.5). Both statements are false if the rank of E is larger than 2. We also consider the sheaves S_E = Ext^1(E;OP3) and Q_E = E**/E. When E is a non-locally free instanton sheaf of rank 2, we show that S_E and Q_E are rank 0 instantons, according to a de nition of Hauzer and Langer in [10]. In addition, we show that both are supported the singular locus Sing(E) and have the same Hilbert polynomial (Sections 3.1.2 and 3.1.3). Finally, we present some properties of the singular locus. We guarantee that the singular locus is contained in a complete intersection curve of degree c_2, where c=c_2(E) is called the charge of E (Proposition 3.2.1). Moreover, based on the notion of elementary transformations for instantons given by Jardim, Markushevich and Tikhomirov in [16], we construct an example of a rank 2 instanton sheaf whose singular locus is not connected (Section 3.2.3). We also provide examples of rank 3 instanton sheaves whose singular loci are a single point, and a straight line plus a point Doutorado Matemática Doutor em Matemática

Orientadores: Marco Antonio Teixeira, Alain Guy Jacquemard Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: De acordo com a classificação feita por Anosov em 1959, obtemos diferentes tipos topológicos de sistemas "semi-lineares" descontínuos em JR4. Esta pré-classificação é feita através da apresentação das respectivas formas normais. Neste trabalho, consideramos perturbações não lineares de tais formas normais. As singularidades típicas são genericamente classificadas e o comportamento dos sistemas em torno destes pontos é analisado. Nosso foco é encontrar condições para a existência de uma família a l-parâmetro de órbitas periódicas terminando em singularidades no sentido do Teorema Centro de Lyapounov. As técnicas principais usadas são elementos do cálculo simbólico e da Teorida das Singularidades de Aplicações Abstract: According to the classification made by Anosov in 1959, we derive several different topological types of semi-linear"discontinuous systems in R4. This pre-classification is done via pre-sentation of the respective normal forms. In this work, we consider non-linear perturbations of such normal forms. The typical singularities are generically classified and the behavior of the systems around these points is analyzed. Our focus is find conditions for the existence of 1-parameter family of periodic orbit terminating at the singularities in the sense of Lya- pounov Center Theorem. The main techniques used are elements of Symbolic Computation and Theory of Singularities of Mappings Doutorado Doutor em Matemática

Orientador: Douglas Duarte Novaes Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: O problema do centro-foco é um problema clássico da teoria qualitativa de sistemas dinâmicos e consiste em distinguir se uma singularidade de um sistema planar é um centro ou um foco. Este problema vem sendo estudado por mais de cem anos e ainda se encontra em aberto mesmo para o caso de campos suaves polinomiais. Um entendimento completo está longe de ser alcançado. O desenvolvimento de ferramentas computacionais algébricas tem contribuído imensamente para uma melhor compreensão do problema. Nesta dissertação estudamos o problema para o caso de campos suaves onde a origem é uma singularidade monodrômica. Além disso, exploramos o problema para o caso descontínuo. Para o caso contínuo o método introduzido por Poincaré e Lyapunov reduz o problema em encontrar uma integral primeira para o sistema, o qual, por sua vez, é equivalente ao problema de encontrar uma variedade algébrica de um ideal gerado por uma família de polinômios. Para sistemas descontínuos (suaves por partes) Gassul-Torregrossa introduziram uma abordagem alternativa a fim de facilitar o cálculo dos coeficientes de Lyapunov assumindo que origem é uma singularidade monodrômica. Finalmente, exploramos o problema do centro-foco assumindo que a origem é uma singularidade do tipo dobra-dobra. Em particular, introduzimos um método para calcular os coeficientes de Lyapunov para este caso Abstract: The center-focus problem is a classical problem in the qualitative theory of dynamic systems and it consists in characterizing whether a singularity of a planar system is a center or a focus. This problem have been studied for more than hundred years and still is open even for polynomial systems. A whole understanding of the problem is far to be reached. The development of algebric softwares have been helping for a wider understanding of the problem. In this dissertation we have studied the problem in the continuous case assuming that the origin is a monodromic singularity. In addition we explored the problem for the discontinuous case. For the continuous case an aproach introduced by Poincaré and Lyapunov reduces the centerfocus problem in finding a first integral for the system, which is equivalent to find an algebric variety for the ideal generated by a family of polynomials. For the discontinuous systems, Gassul-Torregrossa introduced an alternative aproach to simplify the computation of the Lyapunov constants assuming that the origin is a monodromic singularity. Finally, we also explore center-focus problem assuming that the origin is a fold-fold singularity. In particular, we introduce a method for computing the Lyapunov constants for this case Mestrado Matemática Mestre em Matemática CAPES

Orientadores: Marco Antonio Teixeira, Maria Teresa Martinez-Seara Alonso e Marcel Guardia Munarriz Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho, abordamos aspectos qualitativos de vários fenômenos em sistemas de Filippov e em sistemas Hamiltonianos. No contexto de sistemas dinâmicos suaves por partes, concentramos nossa atenção em problemas em dimensões 2 e 3. No caso planar, desenvolvemos um mecanismo para analisar o desdobramento de policiclos que passam por certas singularidades de sistemas de Filippov (conhecidas como ?-singularidades) em uma configuração típica, e o utilizamos para descrever completamente o diagrama de bifurcação de sistemas de Filippov em torno de alguns policiclos elementares. No caso tridimensional, obtivemos uma caracterização completa dos sistemas que são localmente estruturalmente estáveis em um ponto ???? da variedade de descontinuidade. Mais ainda, caracterizamos completamente os sistemas de Filippov robustos em uma vizinhança da variedade de descontinuidade, os quais são chamados de sistemas semi-localmente estruturalmente estáveis. Além disso, estudamos alguns fenômenos globais em sistemas de Filippov 3????. Primeiramente, descrevemos o diagrama de bifurcação de um sistema em torno de um laço ("loop") do tipo homoclínico de codimensão um em uma singularidade genérica denominada dobra-regular, o qual não possui contrapartida no contexto suave. Em seguida, analisamos uma classe de sistemas que apresenta conexões robustas entre certas singularidades típicas, conhecidas como ????-singularidades, as quais garantiram a existência de um comportamento caótico nas folheações associadas a tais sistemas de Filippov. Em relação aos sistemas Hamiltonianos, estudamos alguns problemas que apresentam fenômenos exponencialmente pequenos. Mais especificamente, consideramos um modelo de interação kink-defect dado por um Hamiltoniano singularmente perturbado ???????? (???? ? 0 representa o parâmetro perturbativo) com dois graus de liberdade, e determinamos condições sobre a energia do sistema para a existência de certas conexões heteroclínicas que surgem da quebra (???? > 0) de uma órbita heteroclínica contida no nível de energia zero do sistema limite ????0. Finalmente, investigamos a existência de soluções breather de equações diferenciais parciais reversíveis do tipo Klein-Gordon, as quais podem ser vistas como órbitas homoclínicas de um sistema Hamiltoniano de dimensão infinita Abstract: In this work, we discussed qualitative aspects of several phenomena in Filippov and Hamiltonian systems. In the context of piecewise smooth dynamical systems, we have focused on problems in dimensions 2 and 3. In the planar case, we have provided a mechanism to analyze the unfolding of polycycles passing through certain singularities of Filippov systems (known as ?-singularities) in a typical scenario and we have used it to completely describe the bifurcation diagram of Filippov systems around some elementary polycycles. In the three-dimensional case, we have obtained a complete characterization of the systems which are locally structurally stable at a point ???? in the switching manifold ?. Moreover, we have completely characterized the Filippov systems which are robust in a neighborhood of the whole switching manifold, named semi-local structurally stable systems. In addition, we have studied some global phenomena in 3???? Filippov systems. First we described the bifurcation diagram of a system around a codimension one homoclinic-like loop at a generic singularity named fold-regular singularity, which has no counterpart in the smooth context. Second, we analyzed a class of systems presenting robust connections between certain typical singularities, known as ????-singularities, which have lead us to the existence of a chaotic behavior in the foliations associated to such Filippov systems. Concerning to Hamiltonian Systems, we have studied some problems exhibiting exponentially small phenomena. More specifically, we considered a model of kink-defect interaction given by a singularly perturbed 2-dof Hamiltonian ???????? (???? ? 0 stands for the perturbation parameter) and we have provided conditions on the energy of the system for the existence of certain heteroclinic connections arising from the breakdown (???? > 0) of a heteroclinic orbit lying in the zero energy level of the limit system ????0. Finally, we have investigated the existence of breathers of reversible Klein-Gordon partial differential equations, which can be seen as homoclinic orbits of an infinite-dimensional Hamiltonian system Doutorado Matemática Doutor em Matemática CAPES FAPESP 2015/22762-5

Orientador: Ricardo Miranda Martins Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho estudamos sistemas dinâmicos suaves por partes, dando ênfase a uma classe de sistemas que são lineares em infinitas zonas do plano, com o objetivo de analisar a estabilidade assintótica de um ponto singular e a estabilidade estrutural de campos vetoriais dentro dessa classe. No primeiro caso, consideramos as zonas como sendo quadrados abertos de área unitária e definimos em cada quadrado um campo linear homogêneo, definindo no plano um campo vetorial descontínuo. Para este campo, estabelecemos condições suficientes para que a origem seja globalmente assintoticamente estável. No segundo caso, consideramos a divisão do plano em uma malha retangular não uniforme e definimos um campo vetorial polinomial que, quando restrito ao interior de cada zona, é linear e não-homogêneo. Para esta classe de campos descontínuos, estabelecemos condições suficientes para que o campo seja estruturalmente estável Abstract: In this work we study piecewise smooth dynamical systems, in particular a class of planar systems with infinitely many zones, to obtain some results on the asymptotic stability of a singular point and the structural stability of vector fields in this class of dynamical systems. In the first case, we consider the zones as open unitary squares and we define in each square a linear homogeneous vector field, giving rise to a discontinuous vector field. We establish sufficient conditions such that the origin is globally asymptotic stable, for this class of dynamical systems. In the second case, we consider the plane divided into a non-uniform rectangular mesh and we define a polynomial vector field that is linear and non-homogeneous in each retangle. We study the structural stability for this class of vector fields Mestrado Matemática Mestra em Matemática FAPESP 2016/21975-8

Agradecimentos: We are grateful to G. Satishchandran, R. A. Mosna, and A. Saa for enlightening discussions and also thank the Enrico Fermi Institute for the kind hospitality. J. P. M. Pitelli thanks Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) (Grant No. 2018/01558-9). V. S. Barroso thanks FAPESP (Grant Nos. 2018/09575-0 and 2016/25963-4). Finally, we all thank FAPESP (Grant No. 2013/09357-9) Abstract: In a recent paper [J. P. M. Pitelli, Phys. Rev. D 99, 108701 (2019)], one of us showed that the vacuum state associated with conformal fields on a Poincare patch of anti-de Sitter spacetime is not AdS invariant for fields satisfying nontrivial boundary conditions (by nontrivial, we mean neither Dirichlet nor Neumann) at the conformal boundary. In this way, two isometrically related observers in anti-de Sitter space have different notions of no particle content. Therefore, an observer who is suddenly transported to a different (but isometrically related) frame will feel a bath of particles. This process contradicts our intuitive notion based on our experience in Minkowski spacetime, where the vacuum is Lorentz invariant, and no particle is produced between boosted frames. We show that the total number of produced particles is finite but grows without limit when we approach (via isometric transformation) Dirichlet or Neumann boundary conditions since in these cases the vacuum is invariant FUNDAÇÃO DE AMPARO À PESQUISA DO ESTADO DE SÃO PAULO - FAPESP Fechado

Agradecimentos: It is a pleasure to acknowledge discussions with R. A. Mosna and A. Saa. The authors acknowledge support from FAPESP Grant No. 2013/09357-9. V. S. B. acknowledges financial support from FAPESP Grant No. 2016/25963-4. J. P. M. P. acknowledges support from FAPESP Grant No. 2016/07057-6 Abstract: We study the vacuum fluctuations of a massless scalar field (psi) over cap on the background of a global monopole. Due to the nontrivial topology of the global monopole spacetime characterized by a solid deficit angle, parametrized by eta(2), we expect that

Orientador: Ketty Abaroa de Rezende Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Nesta tese, trabalhamos com campos vetoriais Gutierrez-Sotomoyor em superfícies singulares e desenvolvemos uma teoria de cancelamentos de pontos singulares. Faremos uso de uma sequência espectral associadas a um complexo de cadeia filtrado para entender os cancelamentos algébricos dos módulos dessa sequência. Este complexo é obtido via uma Morsificação do campo Gutierrez-Sotomayor e uma suavização da respectiva superfície singular. Estabelecemos resultados que identificam cancelamentos dinâmicos associados aos cancelamentos algébricos. Além disso, construimos uma família de fluxos Gutierrez-Sotomayor determinada pela sequência espectral e que também define uma continuação do fluxo GS inicial dado a um fluxo GS minimal Abstract: In this thesis, we work with Gutierrez-Sotomayor vector fields on singular surfaces and a cancellation theory of singular points is established. We make use of a spectral sequence associated to a filtered chain complex in order to understand the algebraic cancellations of the modules within the sequence. This chain complex is obtained via a Morsification of a Gutierrez-Sotomayor vector field and the smoothing of the respective singular surface. We establish results that identify dynamical cancellations associated to the algebraic cancellations within the spectral sequence. Moreover, we construct a family of Gutierrez-Sotomayor flows determined by the spectral sequence which also defines a continuation of the initial GS flow to a minimal GS flow Doutorado Matemática Doutora em Matemática CAPES 0 CNPQ 140712/2016-0

Orientador: Ketty Abaroa de Rezende Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Apresentamos as variedades GS (variedades 2-dimensionais localmente difeomorfas a uma ou mais das seguintes vizinhanças: regular, cone, guarda-chuva de Whitney, ponto duplo e ponto triplo), introduzidas por Gutierrez e Sotomayor. Em seguida, consideramos campos de vetores contínuos no espaço Euclidiano tridimensional, que restritos às vizinhanças das singularidades GS são tangentes. E com o auxílio das cartas locais, obtemos uma representação matricial destes campos para cada um dos tipos de singularidade GS, chamadas de formas algébricas locais. Exploramos a transição entre essas formas algébricas, variando os parâmetros de suas entradas através de famílias de campos a 1-parâmetro tendo uma das vizinhanças das singularidades GS como subvariedade invariante, processo que denominamos de continuação algébrica. Posteriormente, analisamos os efeitos das continuações no aspecto dinâmico-topológico dos campos numa vizinhança de cada singularidade GS, descrevendo as mudanças observadas na natureza das singularidades, bem como a relação entre sua hiperbolicidade e a escolha das famílias de campos a 1-parâmetro. Por fim, introduzimos os blocos GS para definir o seu Índice de Conley, explicitando-o de acordo com os parâmetros. E finalmente, apresentamos uma aplicação nos espaços de configuração de braços de robô Abstract: In this dissertation, GS manifolds (2-dimensional manifolds locally diffeomorphic to one or more of the following neighbourhoods: regular, cone, Whitney's umbrella, double crossing and triple crossing) introduced by Gutierrez and Sotomayor are presented. We consider vector fields in the tridimensional Euclidian space that are tangent vector fields when restricted to the neighbourhoods of GS singularities. Using local charts we obtain a matrix representation of these vector fields for each GS singularity type, which we refer to as the local algebraic form. We explore the transition between algebraic forms that maintain the neighbourhood of a GS singularity invariant. We refer to this process as algebraic continuation. Subsequently, we analyze the dynamical topological effect on the vector fields in a neighbourhood of each GS singularity type, describing the changes in the nature of the singularity in a 1-parameter family of vector fields as it goes through parameter values. We also study the relation between algebraic continuations of a family of vector fields and the hiperbolicity of the singularity. The GS basic blocks are introduced in order to define the Conley Index with respect to the parameters. Lastly, we present an application in the configuration space of a robot arm Mestrado Matemática Mestre em Matemática CAPES

Orientador: Luiz Eduardo Moreira Carvalho de Oliveira Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física Gleb Wataghin Resumo: Singularidades de fase simulam um "esqueleto" do campo eletromagnético de tal forma que várias informações sobre a distribuição do campo e o comportamento físico podem ser obtidas. As singularidades permeiam todos os sistemas ópticos genéricos e são imunes à perturbação do sistema. Nesta tese estudamos suas propriedades em várias situações de interesse físico, distribuídas da seguinte forma: No Capítulo 1 introduzimos o conceito de singularidade de fase bem como sua definição formal e sua relação com o momento angular de um feixe de luz. No Capítulo 2 entraremos no regime nanométrico da luz com o objetivo de criar um campo evanescente caracterizado por uma dinâmica rica de singularidades de fase com possiveis aplicações na manipulação de objetos em nanoescala. No Capítulo 3 continuaremos no regime nanométrico da luz com o objetivo de criar e compreender a física de um plasmon de superfície possuindo uma singularidade de fase. Mostramos que é possível criar um campo plasmônico, acoplado à superfície de um metal, possuindo vórtices ópticos. No Capítulo 4 tratamos de luz parcialmente coerente, onde estudamos singularidades de fase em campos cuja natureza é estatística. Nosso trabalho conclui que é possível utilizar difração para medir a carga topológica de feixes parcialmente coerentes. Por fim, no Capítulo 5, as conclusões serão estabelecidas bem como as perspectivas futuras Abstract: Phase singularities form a "skeleton" of the electromagnetic field such that various information about the field distribution and its physical behavior can be obtained. The singularities permeate all generic optical systems and are immune to perturbations. In this thesis we study their properties in various situations of physical interest distributed as follows: In Chapter 1 we introduce the concept of phase singularity and its formal definition together with its relationship with the angular momentum of a beam of light. In Chapter 2 we proceed to the nanometer domain of light to create an evanescent field with a rich phase singularitiy dynamics aiming at possible applications in the manipulation of objects on a nanoscale. In Chapter 3 we will continue in the nanometer domain and our goal will be to create and understand the physics of a surface plasmon having a phase singularity. We show that it is possible to create a plasmonic field, coupled to the metal surface, possessing optical vortices. In Chapter 4 we will enter into the optical statistical domain, where the study of phase singularities in partially coherent fields will take place. Our results indicate that it is possible to use diffraction to measure the topological charge associated with partially coherent light beams. Finally, in Chapter 5, conclusions are discussed as well as future prospects Doutorado Física Doutor em Ciências CNPQ 151206/2012-0

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior In the 1990s, mathematicians Peter Giblin and Guillermo Sapiro have introduced the theory of affine invariant symmetry sets of plane curves. This dissertation is devoted to the study of some of these symmetry sets centre symmetry sets (CSS), affine distance symmetry set (ADSS) and affine envelope symmetry set (A6'SS) of a a simple closed convex smooth curve. We study these symmetry sets of through the locus of centers of conics and as an envelope of curves. We analyze the conditions of singularities, studying some in particular. We also study conditions of contact of the curve and of the conics that defined this symmetry sets. No final dos anos 1990, os matemáticos Peter Giblin e Guillermo Sapiro introduziram a teoria sobre conjuntos de simetria de curvas planas invariantes por transformações afins. Esta dissertação é dedicada ao estudo de alguns destes conjuntosz 0 conjunto de simetria centml (CSS), 0 conjunto de simetria da distância afim(ADSS) e 0 conjunto de simetria da envolvente afim (A6'SS) de uma curva plana diferenciável fechada e convexa. Estudamos os conjuntos de simetria através do local geométrico dos centros de cônicas e como envolvente de curvas. Analisamos as condições de singularidades de cada um, estudando algumas em particular. Também estudamos condições de contato da curva e das cônicas que definem conjuntos de simetria. O estudo está baseado principalmente nos artigos [16] e [14].

Orientador: Elizabeth Terezinha Gasparim Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: O propósito desta tese é estudar fibrações de Lefschetz simpléticas, nas quais os ciclos evanescentes são subvariedades Lagrangianas das fibras. Para a descrição da teoria de interseção dos ciclos evanescentes utilizamos cohomologia de Floer Lagrangiana, cujo conceito revemos nesta tese. Apresentamos três exemplos principais e de caráteres distintos: (1) twists de Dehn generalizados, (2) o "espelho" da reta projetiva, e (3) uma fibração numa órbita adjunta de sl(3,C). O terceiro destes exemplos é original e utiliza um teorema recente de Gasparim- Grama-San Martin Abstract: The objective of this thesis is to study symplectic Lefschetz fibrations, in which the vanishing cycles are Lagrangian submanifolds of the fibres. In order to describe the intersection theory of vanishing cycles we use Lagrangian intersection Floer cohomology, which we review. We present three main examples of distinct characters: (1) generalized Dehn twists, (2) the "mirror" of the projective line, and (3) a fibration on an adjoint orbit of sl(3,C). The third of these examples is original and uses a recent theorem of Gasparim- Grama-San Martin Mestrado Matemática Mestre em Matemática

Orientador: Marco Antonio Teixeira Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho, abordamos aspectos geométricos e qualitativos da teoria de Sistemas Dinâmicos Suaves por Partes, mais especificamente a classe dos Sistemas Planares de Filippov. é feito um estudo sistemático das singularidades genéricas de um Sistema Planar de Filippov, bem como a noção de estabilidade estrutural local e uma classificação através de equivalências topológicas dos sistemas localmente estruturalmente estáveis. Estudamos ainda bifurcações genéricas locais e globais de codimensão um, apresentando seus desdobramentos genéricos. Além disso, damos uma classificação preliminar de todas as singularidades genéricas de codimensão dois e analisamos detalhadamente seus desdobramentos genéricos e a presença de curvas no espaço dos parâmetros onde ocorrem bifurcações globais de codimensão um Abstract: In this work some qualitative and geometric aspects of piecewise dynamical systems are discussed, specifically the class of Filippov Planar Systems. It is presented a systematic study of generic singularities of this class, as well as the notion of local structural stability and a classification by topological equivalences of the locally structurally stable systems. We also study the codimension-1 generic local and global bifurcations, showing their generic unfolding. Moreover, we give a preliminary classification of all codimension-2 generic singularities and analyze their generic unfolding and the appearance of curves on the parameter space where codimension-1 global bifurcations occurs Mestrado Matemática Mestre em Matemática

Orientador: Marco Antonio Teixeira Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Um campo vetorial descontínuo 3D sobre uma superfície suave de codimensão um, pode ser genericamente tangente a ambos os lados da superfície em um ponto p. Os pontos onde esse fenômeno ocorre são chamados de singularidade dobra-dobra. Nesse trabalho, estudamos a dinâmica local de um sistema dinâmico suave por partes tri-dimensional em uma dobra-dobra. Vimos que a dinâmica local depende principalmente de um único parâmetro que controla uma bifurcação. Especificamente no caso onde as dobras são ambas invisíveis, a chamada singularidade Teixeira, encontramos que o sistema pode admitir um fluxo exibindo dinâmica caótica, mas não determinística Abstract: A 3D discontinuous vector field on a smooth surface of codimension one, can be generically tangent to both sides of the surface at a point p. The points where this phenomenon occurs are called two-fold singularities. In this project, we study the local dynamics of a three-dimensional piecewise smooth dynamical systems at a two-fold. We have seen that the local dynamics depends mainly on a single parameter that controls a bifurcation. Specifically in the case where the folds are both invisibles, the so-called singularity Teixeira, we find that the system can admit a flow exhibiting chaotic but non-deterministic dynamics Mestrado Matemática Mestre em Matemática

[eng] The aim of this work is to study the ring-theoretic properties of the diagonals of a Rees algebra, w that we shall review the known results about these problems, and finally we will give a summary of the contents and results obtained in this work.hich from a geometric point of view are the homogenous coordinate rings of embeddings of blow-ups of projective varieties along a subvariety. First we are going to introduce the subject and the main problems. After that we shall review the known results about these problems, and finally we will give a summary of the contents and results obtained in this work., [cat] L’objectiu d’aquesta memòria és l’estudi de les propietats aritmètiques de les diagonals d’una àlgebra de Rees o, des d’un punt de vista geomètric, dels anells de coordenades homogenis d’immersions d’explosions de varietats projectives al llarg d’una subvarietat. En primer lloc, anem a introduir el tema i els principals problemes que tractarem. A continuació, exposarem els resultats coneguts sobre aquests problemes i finalment farem un resum dels resultats obtinguts en aquesta memòria.