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The aim of this thesis is to model the linear vibrations of liquids (sloshing) in low gravity or microgravity environments. The dynamic study of spacecrafts containing liquids is one of the possible applications of this work. Due to the low gravity level, surface tension phenomena (capillarity) at the liquid free surface are preponderant. Their effects introduce, on the one hand, additional forces proportional to the curvature of the free surface, and on the other hand, a contact angle condition to be satisfied between the free surface of the liquid and the tank internal wall. The first part of this document addresses the problem of finding the equilibrium position of the liquid inside the tank, i.e. to determine the shape of the meniscus formed by the free surface of the liquid at equilibrium. The second part is dedicated to the study of liquid sloshing near this equilibrium position. The originality of this work is to treat these two problems (static and dynamic) in a tree dimensional point on view, using variational formulations that avoid the explicit computation of the free surface curvatures. In both parts, the discretization was then performed using the Finite Elements method with standard linear elements. Furthermore, the spectral problem established in the dynamic part is symmetric. The results obtained in the static and dynamic cases have been validated on simple cases where analytical or semi-analytical solutions are available., Le but de cette thèse est de modéliser les vibrations linéaires des liquides (ballottement) dans des environnements de faible gravité ou de microgravité. L'étude de la dynamique des engins spatiaux contenant des liquides, fait partie des applications possibles. Du fait du faible niveau de gravité, les phénomènes de tension superficielle (capillarité) à la surface libre du liquide sont prépondérants. Leur prise en compte introduit, d'une part, des forces supplémentaires proportionnelles à la courbure de la surface libre, et d'autre part une condition sur l'angle de contact entre la surface libre du liquide et la paroi interne du réservoir. La première partie de ce document traite le problème de recherche de la position d'équilibre du liquide au sein du réservoir, c'est-à-dire vise à déterminer la géométrie du ménisque formé par la surface libre du liquide à l'équilibre. La deuxième partie est consacrée à l'étude du ballottement du liquide autour de cette position d'équilibre. L'originalité de ce travail est de traiter ces deux problèmes (statique et dynamique) d'un point de vu tridimensionnel, en utilisant des formulations variationnelles évitant le calcul explicite des courbures de la surface libre. Dans les deux parties, la discrétisation a pu ainsi être faite en utilisant des Eléments Finis linéaires, et on a pu, dans la partie dynamique, aboutir à un problème spectral symétrique. Les résultats obtenus, en statique et en dynamique, ont été validés sur des cas simples où des solutions analytiques ou semi-analytiques sont disponibles.

L'étude a porté sur une analyse bibliographique des phénomènes dynamiques rencontrés dans les systèmes de forage, un examen des outils et des approches proposés actuellement sur le marché, et finalement l'évaluation des potentialités du code VBIS. Ce code de calcul, développé par le Centre de Géosciences, détermine les modes propres de vibration d'un train de tiges de forage.

Membres du jury : Eric Akkermans, Peter Buser, Yves Couder, Patrick Oswald, Pawel Pieranski et Bernard Sapoval; Due to some specific properties (uniformity of thickness, bidimensional density and tension), liquid crystal films in smectic phase constitute ideal membranes which obey the Helmholtz wave equation, with Dirichlet boundary condition. In this PhD thesis, a new experiment has been developed which allows, for a film spanned on a given shape, to measure, not only its spectrum of eigenfrequencies, but also the geometrical shape of the eigenmodes. It has indeed been possible to analyse the role of the membrane shape. First, a "prefractal" shape has been studied. This shape is made of a quadratic Koch curve, which building has been stopped at a finite iteration order. The agreement between the experimental results and some numerical ones (obtained by other authors) is excellent. Two physically different mechanisms of localization for the wavefunctions have been pointed out. A mathematical problem has also been studied, which can be expressed by "Can one hear the shape of a drum?". The mathematically predicted answer is "no", which means that there exist geometrically different shapes, which lead to the same spectrum of eigenfrequencies : these shapes are named "isospectral". The isospectrality of two such shapes has been checked experimentally with a good precision. It has also been shown in a detailed manner that only the symmetry rules for building the shapes, based on the group theory, matter.; Grâce à leurs propriétés spécifiques (homogénéité de l'épaisseur, de la densité bidimensionnelle et de la tension), les films de cristaux liquides smectiques forment des membranes bidimensionnelles idéales obéissant à l'équation d'onde de Helmholtz, avec les conditions de Dirichlet au bord. Dans cette thèse, une nouvelle expérience a été mise au point, qui permet, pour un film tendu sur un contour donné, de mesurer non seulement son spectre de fréquences propres, mais aussi la forme géométrique des modes. Le rôle de la forme de la membrane a ainsi pu être analysé. On a commencé par étudier une forme "préfractale", constituée par une courbe de Koch quadratique, dont la construction a été arrêtée à un ordre d'itération fini. L'accord entre les résultats expérimentaux et des résultats numériques obtenus par d'autres auteurs, tant sur le spectre que sur l'allure des modes propres, est excellent. Deux mécanismes de localisation des fonctions d'onde, d'origines physiques différentes, ont été mis en évidence. L'autre question étudiée est un problème mathématique que l'on peut résumer par : "Peut-on entendre la forme d'un tambour?" La réponse prévue par les mathématiciens est "non", c'est-à-dire qu'il existe des formes géométriques différentes, conduisant à des spectres de fréquences propres identiques ; ces formes sont appelées "isospectrales". On a ainsi vérifié expérimentalement l'isospectralité de deux contours avec une bonne précision. On a également montré en détail que seules les symétries de construction de ces deux contours, basées sur la théorie des groupes, importaient.

Membres du jury : Eric Akkermans, Peter Buser, Yves Couder, Patrick Oswald, Pawel Pieranski et Bernard Sapoval; Due to some specific properties (uniformity of thickness, bidimensional density and tension), liquid crystal films in smectic phase constitute ideal membranes which obey the Helmholtz wave equation, with Dirichlet boundary condition. In this PhD thesis, a new experiment has been developed which allows, for a film spanned on a given shape, to measure, not only its spectrum of eigenfrequencies, but also the geometrical shape of the eigenmodes. It has indeed been possible to analyse the role of the membrane shape. First, a "prefractal" shape has been studied. This shape is made of a quadratic Koch curve, which building has been stopped at a finite iteration order. The agreement between the experimental results and some numerical ones (obtained by other authors) is excellent. Two physically different mechanisms of localization for the wavefunctions have been pointed out. A mathematical problem has also been studied, which can be expressed by "Can one hear the shape of a drum?". The mathematically predicted answer is "no", which means that there exist geometrically different shapes, which lead to the same spectrum of eigenfrequencies : these shapes are named "isospectral". The isospectrality of two such shapes has been checked experimentally with a good precision. It has also been shown in a detailed manner that only the symmetry rules for building the shapes, based on the group theory, matter.; Grâce à leurs propriétés spécifiques (homogénéité de l'épaisseur, de la densité bidimensionnelle et de la tension), les films de cristaux liquides smectiques forment des membranes bidimensionnelles idéales obéissant à l'équation d'onde de Helmholtz, avec les conditions de Dirichlet au bord. Dans cette thèse, une nouvelle expérience a été mise au point, qui permet, pour un film tendu sur un contour donné, de mesurer non seulement son spectre de fréquences propres, mais aussi la forme géométrique des modes. Le rôle de la forme de la membrane a ainsi pu être analysé. On a commencé par étudier une forme "préfractale", constituée par une courbe de Koch quadratique, dont la construction a été arrêtée à un ordre d'itération fini. L'accord entre les résultats expérimentaux et des résultats numériques obtenus par d'autres auteurs, tant sur le spectre que sur l'allure des modes propres, est excellent. Deux mécanismes de localisation des fonctions d'onde, d'origines physiques différentes, ont été mis en évidence. L'autre question étudiée est un problème mathématique que l'on peut résumer par : "Peut-on entendre la forme d'un tambour?" La réponse prévue par les mathématiciens est "non", c'est-à-dire qu'il existe des formes géométriques différentes, conduisant à des spectres de fréquences propres identiques ; ces formes sont appelées "isospectrales". On a ainsi vérifié expérimentalement l'isospectralité de deux contours avec une bonne précision. On a également montré en détail que seules les symétries de construction de ces deux contours, basées sur la théorie des groupes, importaient.