Search

We study the problem of finding a destination node $t$ by a mobile agent in an unreliable network having the structure of an unweighted graph, in a model first proposed by Hanusse {\it et al.}~\cite{HKK00,HKKK08}. Each node of the network is able to give advice concerning the next node to visit so as to go closer to the target $t$. Unfortunately, exactly $k$ of the nodes, called \emph{liars}, give advice which is incorrect. It is known that for an $n$-node graph $G$ of maximum degree $\Delta \geq 3$, reaching a target at a distance of $d$ from the initial location may require an expected time of $2^{\Omega(\min\{d,k\})}$, for any $d,k=O(\log n)$, even when $G$ is a tree. This paper focuses on strategies which efficiently solve the search problem in scenarios in which, at each node, the agent may only choose between following the local advice, or randomly selecting an incident edge. The strategy which we put forward, called \algo{R/A}, makes use of a timer (step counter) to alternate between phases of ignoring advice (\algo{R}) and following advice (\algo{A}) for a certain number of steps. No knowledge of parameters $n$, $d$, or $k$ is required, and the agent need not know by which edge it entered the node of its current location. The performance of this strategy is studied for two classes of regular graphs with extremal values of expansion, namely, for rings and for random $\maxdeg$-regular graphs (an important class of expanders). For the ring, \algo{R/A} is shown to achieve an expected searching time of $2d+k^{\Theta(1)}$ for a worst-case distribution of liars, which is polynomial in both $d$ and $k$. For random $\maxdeg$-regular graphs, the expected searching time of the \algo{R/A} strategy is $O(k^3 \log^3 n)$ a.a.s. The polylogarithmic factor with respect to $n$ cannot be dropped from this bound; in fact, we show that a lower time bound of $\Omega (\log n)$ steps holds for all $d,k=\Omega(\log\log n)$ in random $\maxdeg$-regular graphs a.a.s.\ and applies even to strategies which make use of some knowledge of the environment. Finally, we study oblivious strategies which do not use any memory (in particular, with no timer). Such strategies are essentially a form of a random walk, possibly biased by local advice. We show that such biased random walks sometimes achieve drastically worse performance than the \algo{R/A} strategy. In particular, on the ring, no biased random walk can have a searching time which is polynomial in $d$ and $k$

International audience; Cet article concerne les graphes de recouvrement d'un ensemble fini de points du plan Euclidien. Un graphe de recouvrement $H$ est de facteur d'étirement $t$ pour un ensemble de points $S$ si, entre deux points quelconques de $S$, le coût d'un plus court chemin dans $H$ est au plus $t$ fois leur distance Euclidenne. Les graphes de recouvrement d'étirement $t$ (ci-après nommés \emph{$t$-spanneurs}) sont à la base de nombreux algorithmes de routage et de navigation dans le plan. Le graphe (ou triangulation) de Delaunay, le graphe de Gabriel, le graphe de Yao ou le Theta-graphe sont des exemples bien connus de $t$-spanneurs. L'étirement $t$ et le degré maximum des spanneurs sont des paramètres important à minimiser pour l'optimisation des ressources. En même temps le caractère planaire des constructions se révèle essentiel dans les algorithmes de navigation. Nous présentons une série de résultats dans ce domaine, en particulier: \begin{itemize} \item Nous montrons que le graphe $\Theta_6$ (le Theta-graphe où $k=6$ cônes d'angle $\Theta_k = 2\pi/k$ par sommet sont utilisées) est l'union de deux spanneurs planaires d'étirement deux. En particulier, nous établissons que l'étirement maximum du graphe $\Theta_6$ est deux, ce qui est optimal. Des bornes supérieures sur l'étirement du graphe $\Theta_k$ n'étaient connues que lorsque $k > 6$. Pour $k=7$, la meilleure borne connue est d'environ $7.56$ et pour $k=6$ il était ouvert de savoir si le graphe était un $t$-spanneur pour une valeur constante de $t$. \item Nous montrons que le graphe $\Theta_6$ contient comme sous-graphe couvrant un $3$-spanneur planaire de degré maximum au plus~$9$. \item Finalement, en utilisant une variante du résultat précédant, nous montrons que le plan Euclidien possède un $6$-spanneur planaire de degré maximum au plus~$6$. \end{itemize} La dernière construction, non décrite ici par manque de place, améliore une longue série de résultats sur le problème largement ouvert de déterminer la plus petite valeur $\delta$ telle que tout ensemble du plan possède un spanneur planaire d'étirement constant et de degré maximum $\delta$. Le meilleur résultat en date montrait que $3 \le \delta\le 14$.

International audience; Nous étudions le problème consistant à trouver une destination t dans un réseau, non fiable, grâce à un agent mobile. Chaque noeud du réseau peut donner un conseil quant au prochain sommet à visiter pour se rapprocher de t. Malheureusement, k noeuds, appelés menteurs, donnent de mauvais conseils. Il est connu que pour un graphe G de n sommets et de degré maximum Delta >= 3, atteindre une cible à distance d de la position initiale peut demander un temps moyen de 2^{Omega(min{d,k})}, pour tout d,k=O(log n), même lorsque G est un arbre. Ce papier étudie une stratégie, appelée R/A, utilisant un compteur (d'étapes) pour alterner entre les phases aléatoires (R) où l'agent choisit aléatoirement une arête incidente, et celles (A) où l'agent suit le conseil local. Aucune connaissance des paramètres n, d, ou k n'est requise, et l'agent n'a pas besoin de se rappeler par quel lien il est entré dans le sommet qu'il occupe. Nous étudions les performances de cette stratégie pour deux classes de graphes, extrêmes pour ce qui est de l'expansion: les anneaux et les graphes réguliers aléatoires (une importante classe d' expanders). Pour l'anneau, l'algorithme R/A requiert un temps moyen de 2d+k^{Theta(1)} (polynomial en d et k) pour une distribution des menteurs la plus défavorable. A l'opposé, nous montrons que dans un anneau, une marche aléatoire biaisée requiert un temps moyen exponentiel en d et k. Pour les graphes aléatoires réguliers, le temps de recherche moyen de l'algorithme R/A est O(k^3 log^3 n) a.a.s.\ Le terme polylogarithmique de cette borne ne peut pas être amélioré, puisque nous montrons une borne inférieure de Omega(log n) pour d,k=Omega(log log n) dans les graphes aléatoires réguliers a.a.s. qui s'applique même lorsque l'agent a le sens de l'orientation.

National audience; Un trou noir est un noeud d'un réseau qui détruit tout agent (ou robot) y entrant sans laisser de trace détectable. L'emplacement du trou noir doit être déterminé par une une équipe d'agents mobiles identiques déployée à partir d'un emplacement sain. Pratiquement tous les résultats existants pour des agents asynchrones supposent la présence à chaque noeud d'une mémoire partagée (tableau blanc), de taille logarithmique, sur laquelle les agents peuvent lire et écrire. Un méchanisme moins puissant et moins exigeant consiste en l'utilisation de cailloux identiques (qui peuvent être déposés sur les noeuds, repris, et transportés par les agents), traditionnellement employés pour l'exploration de graphes sains (i.e. sans trou noir). Deux résultats récents montrent qu'il est possible d'utiliser des cailloux comme moyen de communication pour la recherche de trou noir. Ces résultats autorisent cependant les cailloux à être placés non seulement sur les noeuds mais aussi sur les liens. Ils supposent également que les liens sont FIFO. Dans ce papier, nous considérons le modèle des cailloux idéaux, c'est-à-dire le modèle où un caillou ne peut être placé que sur les noeuds, et pas plus d'un caillou ne peut être placé sur un noeud donné. Nous prouvons que pour les réseaux de topologie connue il est possible d'obtenir exactement les mêmes bornes optimales en utilisant des cailloux idéaux qu'en utilisant des tableaux blancs, et ce même si les liens ne sont pas FIFO. Plus précisément, nous prouvons qu'une équipe de deux agents asynchrones, chacun équipé d'un seul caillou indistinguable (qui ne peut être placé que sur les noeuds, avec au plus un caillou par noeud), peut localiser le trou noir. Ce résultat est obtenu en utilisant le nombre optimal de mouvements $\Theta(n\log{n})$, où n est le nombre de noeuds. Pour résumer, nous fournissons la première preuve que, pour la recherche de trou noir, le modèle des cailloux idéaux est aussi puissant que le modèle des tableaux blancs.

National audience; L'encerclement dans les réseaux vise à réaliser le nettoyage, par une équipe d'agents mobiles, d'un réseau contaminé. La stratégie d'encerclement est calculée en temps réel, par les agents eux mêmes, et doit vérifier les trois propriétés suivantes : (1) connexité : la zone nettoyée doit toujours être connexe de façon à assurer des communications sécurisées entre les agents, (2) monotonie : la zone nettoyée ne doit jamais être recontaminée, ce qui permet un temps de nettoyage polynomial en la taille du réseau, et (3) optimalité : le nombre d'agents utilisés doit être le plus petit possible afin de minimiser la taille des ressources utilisées. Etant donné un graphe G, le plus petit nombre d'agents nécessaire pour nettoyer G de façon monotone connexe dans un contexte centralisé est noté mcs(G). Plusieurs protocoles répartis ont été proposés pour résoudre le problème de l'encerclement dans les réseaux. Blin et al. ont proposé un algorithme distribué permettant à mcs(G) agents de déterminer et de réaliser une stratégie d'encerclement dans tout graphe inconnu G (inconnu signifie que les agents n'ont aucune connaissance a priori concernant le graphe) [AlgoTel'06]. Cependant, la stratégie réalisée n'est pas monotone et peut prendre un temps exponentiel. Nisse et Soguet ont prouvé que, pour résoudre le problème de l'encerclement dans les réseaux, il est nécessaire et suffisant de fournir $\Theta(n\log{n})$ bits d'information aux agents par le biais d'un étiquetage des sommets du graphe [AlgoTel'07]. Ainsi, pour nettoyer un graphe inconnu de façon monotone et connexe, il est nécessaire d'utiliser plus d'agents que l'optimal. Dans cet article, nous étudions la proportion d'agents supplémentaires qui sont nécessaires et suffisants pour nettoyer de façon monotone connexe répartie tout graphe inconnu. Nous montrons que la contrainte de monotonie implique une augmentation drastique de ce nombre d'agents. Nous prouvons que tout protocole distribué ayant pour but de nettoyer tout graphe inconnu de n sommets de façon monotone connexe répartie a un ratio compétitif de $\Theta(n/\log{ n})$. Plus précisément, nous prouvons que pour tout protocole distribué P, il existe une constante c tel que pour tout n suffisamment grand, il existe un graphe G de n sommets tel que P requiert au moins $c.n/\log{ n}$ mcs(G) agents pour nettoyer G. De plus, nous proposons un protocole distribué qui permet à $O(n/\log{ n})$ mcs(G) agents de nettoyer tout graphe inconnu G de n sommets, de façon monotone connexe répartie.

National audience; Une équipe d'entités mobiles (robots), identiques et sans mémoire, doit explorer un arbre anonyme en visitant tous ses noeuds. Les robots démarrent depuis des noeuds différents et arbitraires de l'arbre et opèrent suivant des cycles Regarder-Calculer-Aller (Look-Compute-Move). A la fin, chaque noeud doit avoir été visité par au moins un robot, et tous les robots doivent s'arrêter. Dans un cycle, un robot prend une photographie de la configuration courante (Regarder), prend la décision de rester immobile ou de se déplacer vers un des noeuds adjacents (Calculer), et dans ce dernier cas se déplace instantanément vers ce voisin (Aller). Les cycles sont exécutés de façon asynchrone par chaque robot. Nous présentons un algorithme d'exploration pour tous les arbres à n noeuds de degré maximum 3 utilisant O(log n/loglog n) robots, et nous prouvons que pour de tels arbres Omega(log n/loglog n) robots sont nécessaires pour les explorer. Nous montrons par ailleurs que l'exploration de certains arbres à n noeuds de degré maximum 4 nécessite Omega(n) robots.

National audience; Nous étudions la quantité de connaissance nécessaire sur le réseau pour résoudre efficacement une tâche sur celui-ci. L'impact de l'information disponible sur l'efficacité de la résolution des problèmes, comme la communication ou l'exploration, a déjà été étudié auparavant mais les hypothèses concernaient la disponibilité d'informations {\em particulières} sur le réseau, comme sa taille, son diamètre ou une carte de celui-ci. Au contraire, notre approche est {\em quantitative} : nous étudions le nombre minimum de bits d'information (taille d'oracle minimum) qui doivent être fournis à l'algorithme pour effectuer une tâche avec une certaine efficacité. Nous illustrons cette approche quantitative de l'information disponible par le problème de l'exploration d'arbres. Une entité mobile (robot) doit traverser toutes les arêtes d'un arbre inconnu, en utilisant aussi peu de traversées d'arêtes que possible. La qualité d'un algorithme d'exploration $\cA$ est mesuré par son {\em rapport compétitif}, i.e., par comparaison de son coût (nombre de traversées d'arêtes) à la longueur du plus court chemin contenant toutes les arêtes de l'arbre. Le parcours en profondeur d'abord a un rapport compétitif de 2 et en l'absence d'information sur l'arbre aucun algorithme ne peut faire mieux. Nous déterminons le nombre minimal de bits d'information qui doit être donné à un algorithme d'exploration afin d'obtenir un rapport compétitif strictement plus petit que 2. Notre résultat principal établit un seuil exact sur la taille de l'oracle, qui est approximativement $\log \log D$ bits, où $D$ est le diamètre de l'arbre. Plus précisément, pour toute constante $c$, nous construisons un algorithme d'exploration de rapport compétitif plus petit que 2, utilisant un oracle de taille au plus $\log \log D -c$, et nous montrons que tout algorithme utilisant un oracle de taille $\log \log D -g(D)$, pour toute fonction $g$ non bornée supérieurement, a un rapport compétitif au moins égal à 2.

National audience; Cet article traite de l'exploration d'un réseau par un agent mobile, ou {\em robot}, modélisé par un automate fini. Le robot ne dispose pas de connaissances préalables sur la topologie du réseau, ni même sur sa taille. Sa tâche consiste à explorer chacun des n{\oe}uds du réseau. Il a été montré que, pour tout robot $\cR$ à $K$ états, et pour tout $d\geq 3$, il existe un réseau de degré maximum $d$ et d'au plus $K+1$ n{\oe}uds que $\cR$ ne réussit pas à explorer. Ce papier s'intéresse à la possibilité d'aider le robot en ajoutant des étiquettes de petite taille aux n{\oe}uds grâce à un calcul préalable. Nous décrivons un algorithme d'exploration qui, étant donné des étiquettes appropriées sur 2~bits (en fait des étiquettes de trois valeurs différentes), permet à un robot d'explorer tous les réseaux. De plus, nous décrivons un algorithme linéaire calculant un tel étiquetage. Nous montrons également comment modifier notre méthode d'étiquetage afin qu'un robot puisse explorer tous les réseaux de degré constant, avec des étiquettes de seulement 1~bit (donc des étiquettes de deux valeurs différentes seulement). Autrement dit, alors qu'il n'existe pas de robot capable d'explorer tous les réseaux (non étiquetés) de degré maximum~3, il existe un robot $\cR^*$ et un moyen de colorier les n{\oe}uds en noir et blanc tel que $\cR^*$ réussit à explorer tous les réseaux coloriés de degré maximum~3.