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Na sequência do levantamento das simetrias das calçadas das 9 ilhas dos Açores, efetuado em 2013 (http://sites.uac.pt/rteixeira/simetrias/), foi desenvolvido um baralho de cartas que contempla exemplos em calçada de todas as ilhas. Este é um trabalho conjunto com Jorge Nuno Silva, Carlos Pereira dos Santos e Alda Carvalho, da Associação Ludus. Os exemplos escolhidos para o baralho servem para ilustrar diferentes tipos de rosáceas, frisos e padrões bidimensionais em Calçada Portuguesa (...) Vamos explorar em pormenor alguns exemplos de calçadas da cidade da Horta contemplados no baralho de cartas. (...)

(...) Neste breve artigo, analisamos as simetrias de alguns tapetes decorativos construídos nos últimos anos. Ao olhar com atenção para os tapetes, encontramos com frequência rosáceas – figuras em geral circulares, tipo a rosa dos ventos, que apresentam simetrias de rotação e, em alguns casos, simetrias de reflexão (simetrias de espelho). (...) Se pensarmos na repetição dos motivos ao longo dos tapetes, do ponto de vista matemático, passamos a ter frisos. Existem 7 tipos de frisos, ou seja, 7 maneiras diferentes de repetir um determinado motivo ao longo de uma faixa recorrendo aos diferentes tipos de simetria. Em seguida, caracterizamos as simetrias do tipo de friso mais comum nos tapetes da Procissão do Senhor Santo Cristo (...)

Entre 30 de março e 3 de abril, decorreu em Atlanta (Geórgia, Estados Unidos da América) o décimo segundo Gathering for Gardner (G4G12). Estes encontros são dedicados ao grande divulgador de Matemática Recreativa, Martin Gardner (21 de outubro de 1914 - 22 de maio de 2010), conhecido pelo seu esforço de décadas em popularizar a Matemática e o jornalismo científico. (...) Com clareza e entusiasmo, Gardner divulgou teoremas e construções matemáticas de alguma complexidade, tornando estes temas apelativos a uma vasta audiência. (...)

A freguesia da Matriz, da cidade da Horta, assinalou no passado dia 8 de março de 2016 mais um Dia da Freguesia, data que marca também o nascimento de António José de Ávila, mais tarde conhecido por Duque D’Ávila e Bolama. A sessão solene desta celebração decorreu pelas 20h30 na Sociedade Amor da Pátria. Foi proferida a comunicação "Arte com Matemática: Uma análise dos padrões do artesanato faialense", que dediquei à arte de recortar papel da Dona Maria de Lourdes Pereira, às rendas tradicionais da Dona Ana Baptista, aos bordados de palha de trigo sobre tule da Dona Isaura Rodrigues e aos bordados de crivo da Dona Salomé Vieira. (...) Neste artigo, selecionou-se uma peça de cada artesã para estudar as suas simetrias. Os exemplos escolhidos mostram como pode ser rica a análise matemática das diferentes formas de artesanato. Para além de se poderem analisar as peças como um todo, muitas vezes tem interesse explorar diferentes zonas de uma mesma peça. (...)

(...). Os bordados sobre tecidos desfiados são conhecidos desde longa data em quase todos os países da Europa. O trabalho em crivo tem alguma tradição nos Açores. (...). Foi nossa intenção explorar as simetrias de alguns destes trabalhos. Neste contexto, estivemos à conversa com a Dona Salomé Vieira, artesã açoriana e formadora dos bordados de crivo. (...) O que distingue os quatro exemplos analisados até ao momento? No primeiro exemplo (Fig. 4), a configuração da peça é sempre a mesma independentemente do lado da mesa em que nos encontramos. Já em relação aos três últimos exemplos (Fig. 5, Fig. 6 e Fig. 7), isto só acontece para um lado da mesa e o seu oposto. Isto significa que se duas pessoas se posicionarem em lados consecutivos da mesa, de frente para o naperon, vão observar configurações diferentes da peça. Todas as quatro peças apresentadas são exemplos de rosáceas. Mas se analisarmos apenas a uma das quatro faixas laterais do naperon da Fig. 7, passamos a observar um friso, que se caracteriza pela presença de simetrias de translação numa única direção: conseguimos observar um motivo que se repete sucessivamente ao longo de cada faixa, sempre com o mesmo espaçamento entre cópias consecutivas desse motivo. Este friso apresenta também simetrias de reflexão ou de espelho com eixo com direção perpendicular ao friso. Este tipo de simetria é comum em bordados de crivo. (...)

Este ano a Universidade dos Açores celebra os seus 40 anos de existência. Entre muitos dos aspetos a destacar, foram 40 anos ao serviço da formação de educadores e professores, nas vertentes da formação inicial e da formação contínua. Passados 40 anos, a Universidade dos Açores continua a assumir-se como principal promotora da formação de educadores e professores na Região Autónoma dos Açores. (...) Decorrem desde o início do presente ano letivo duas oficinas de formação, “Matemática Passo a Passo: Estratégias de Superação de Dificuldades para o 1.º Ciclo do Ensino Básico” e “Estratégias de Abordagem a Conteúdos Matemáticos no 2.º Ciclo do Ensino Básico”, numa parceria com a Secretaria Regional da Educação e Cultura do Governo dos Açores, no âmbito do Plano Integrado de Promoção do Sucesso Escolar, ProSucesso – Açores pela Educação. Nestas oficinas participam professores de todas as unidades orgânicas (agrupamentos escolares) da Região que ministram o respetivo nível de ensino. (...) Entre os dias 23 e 26 do corrente mês de fevereiro, decorreu o evento "Novas Estratégias para a Aprendizagem da Matemática". Estiveram reunidos no Campus de Ponta Delgada da Universidade dos Açores os cerca de 90 formandos inscritos nas duas oficinas. (...) Abrilhantaram a sessão de abertura e os restantes dias de formação os professores convidados Doutor Richard Bisk (Worcester State University, EUA) e Doutor Carlos Pereira dos Santos (Centro de Análise Funcional, Estruturas Lineares e Aplicações da Universidade de Lisboa). O agradecimento devido a ambos os convidados pela partilha da sua experiência e do trabalho de elevada qualidade e pertinência que têm desenvolvido no âmbito da formação de professores e da aprendizagem da Matemática. (...) Os casos de sucesso do ensino da Matemática no Mundo apresentam uma série de aspetos em comum. Um deles é a estreita ligação entre as escolas e as universidades e centros de investigação, num claro estímulo à investigação da prática do educador e do professor. Por um lado, é fundamental ter sempre presente a realidade diária da sala de aula. Por outro, é indispensável ter uma noção coerente de todo o edifício matemático e das implicações didáticas no contexto da aprendizagem da Matemática. Estamos convictos que esta colaboração entre a Universidade dos Açores e a Secretaria Regional da Educação e Cultura será profícua e promotora do sucesso escolar, permitindo estabelecer um marco definitivo entre o passado e o futuro na forma como se encara a aprendizagem da Matemática nos primeiros anos de escolaridade na Região Autónoma dos Açores. E que os Açores sejam modelo para o resto do País.

(...) A ideia original das circunferências mágicas remonta pelo menos à segunda edição do livro “Magic Squares and Cubes”, de W. S. Andrews. A publicação data de 1917, há quase um século, e conta com contributos de diferentes autores. A secção dedicada às circunferências mágicas é da autoria de Harry A. Sayles. (...) O leitor provavelmente já encontrou um padrão: quando usamos números de 1 a n, a soma dos números dos pontos de intersecção de duas quaisquer circunferências deve ser n+1. No desafio apresentado na Fig. A usamos os números de 1 a 40, logo a soma dos números dos pontos de intersecção de duas quaisquer circunferências deve ser igual a 41! Além disso, 205=5x41 (cada circunferência tem dez números e 5 é metade de 10). A descoberta da solução do desafio da Fig. A é, agora, imediata. Esta é a grande vantagem da Matemática. Depois de descoberto um padrão, tudo se torna mais claro. O sentimento é o mesmo de um míope quando coloca os óculos na cara: passa a ver a realidade com outra nitidez. (...)

Recreational Mathematics Colloquium IV. Lisboa, Pavilhão do Conhecimento, 24-27 de janeiro de 2015. This paper focuses on activities and games for Kindergarten that follows the Singapore approach. The major themes of pre-school mathematics are explored. info:eu-repo/semantics/publishedVersion

Retomo a conversa com o autor da exposição "Ladrilhos de areia e vento", Hélio Silveira, de nome artístico Helius Horta. A exposição, patente na Biblioteca Pública e Arquivo Regional João José da Graça, foi inaugurada no passado dia 11 de dezembro e encerra no próximo dia 29 de fevereiro. (...) Questionado sobre a importância que atribui à análise das simetrias, que se traduzem na repetição de um motivo em torno de um ponto ou ao longo de uma faixa, Hélio salienta que os padrões são a fonte de inspiração que pretende aprofundar em futuros trabalhos: “já nas últimas obras realizadas trabalhei com padrões geométricos, conjugando simetrias cromaticamente. É precisamente este o enfoque que quero dar a partir de agora aos meus trabalhos. Explorar melhor e em vários materiais os desenhos geométricos em basalto e as suas simetrias, como já fiz com o ‘hexágono vazado e alongado’ que está patente em duas das obras” (...)

Nesta edição do Tribuna das Ilhas, regresso ao tema da Calçada Portuguesa por um bom motivo. A Direção Regional da Cultura, através da Biblioteca Pública e Arquivo Regional João José da Graça, inaugurou no passado dia 11 de dezembro uma exposição de pintura e fotografia intitulada "Ladrilhos de areia e vento", da autoria de Helius Horta. (...) Hélio Silveira, natural da freguesia da Matriz, é a pessoa por detrás do nome artístico Helius Horta. (...) Sobre a articulação entre os vários suportes usados, como a pintura e a fotografia, Hélio refere que “considerei importante mostrar a perspetiva fotográfica e a pintura, utilizando os mesmos desenhos dos ladrilhos da cidade da Horta, como foi o caso da Esfera Armilar, do Moinho e da Cruz de Cristo, por exemplo”. A este propósito, refira-se que os exemplos apresentados pelo Hélio são rosáceas: figuras do plano que apresentam simetrias de rotação e, em alguns casos, simetrias de reflexão ou de espelho. Analisemos algumas rosáceas. (...)

JEL Classification: D03, D12, D63, Q25. Water is a natural resource whose scarcity is very likely to rise in the future (Griffin, 2006), in spite of recent breakthroughs regarding the promotion of economic instruments (European Commission, 2007) and governance principles (OECD, 2015), as well as the declaration of water and sanitation as human rights since 2010 (Albuquerque and Roaf, 2012). Behavioural economics has been on the agenda of European Union policies (Van Bavel et al., 2013), however there is no bridge linking these two fields. This thesis focuses on this unexplored relationship, suggesting behavioural water resource economics. Firstly, after the general introduction on chapter 1, a literature review is conducted on chapter 2 where four seminal ideas of behavioural economic applications to water management are identified: reference block pricing, asymmetric elasticities, reference transaction, and social comparison using reference consumption. Chapter 3 contributes to a profile of Portuguese residential water consumers, especially focused on consumer perceptions. Consumers appear to exhibit some misperceptions and low awareness of average price and monthly water consumption, although they exhibit high awareness of their bill. Chapter 4 continues to explore the effects of consumer perceptions, in this case, on the decision to adopt outdoor and indoor water-saving behaviours, as well as new extensions to modern billing standards, such as direct debit payment and electronic billing. The findings of chapter 3 lead to the study of factors influencing the consumer’s probability to have reference points (for the average water price, monthly water consumption and bill). Overall, the behavioural findings suggest that price (un)fairness plays a role on water choices. Moreover, results show a perceived price fairness (PPF) effect that affects the reference point about water price, a novelty in the literature. Additionally, the factors driving the decision to prefer to drink tap water are analysed. Consumer perception about price fairness seem to influence this choice. These last evidences lead to the development of a conceptual framework to systematically measure PPF, as a global index, on chapter 5. This study proposes a conceptual model and variables to measure the determinants of PPF: price clarity, distributive fairness, consistent behaviour, price reliability, price honesty, respect and regard for the partner and fair dealing. Chapter 6 presents a new discrete/continuous model for consumer choice with reference-dependent preferences. The main theoretical results are based on three scenarios of reference points. In the case where the first block is a reference point,consumers in the second block will suffer a loss effect which will decrease their consumption. When the second block is the reference, the first-block consumers will increase their consumptions influenced by a gain effect. In the last case, when the reference is the average price, "bunching" will occur around the point where block shifts happen. Finally, chapter 7 discusses the main contributions. Overall, these contributions may be helpful to reshape water management and consequently water policies, through the use of behavioural findings. This work advocates a holistic approach of neoclassical and behavioural theories and further avenues to promote sustainable water consumption are proposed. A água é um recurso natural que se encontra sobre risco de escassez no futuro (Griffin, 2006), apesar dos avanços recentes quer na promoção do uso de instrumentos económicos (European Commission, 2007) e de princípios de governance (OECD, 2015), bem como na declaração da água e do saneamento como direitos humanos desde 2010 (Albuquerque and Roaf, 2012). A economia comportamental tem sido tema central na agenda política da União Europeia (Van Bavel et al., 2013), contudo não existe nenhuma ponte que unifique estas áreas. Esta tese centra-se nesta relação inexplorada sugerindo a economia comportamental aplicada aos recursos hídricos. Em primeiro lugar, após a introdução geral do capítulo 1, é realizada uma revisão da literatura no capítulo 2 e são identificadas quatro ideias seminais de aplicações económicas comportamentais na gestão dos recursos hídricos: bloco tarifário de referência, elasticidades assimétricas, transação de referência, e comparação social usando um consumo de referência. O capítulo 3 contribui para definir um perfil dos consumidores domésticos portugueses de água, especialmente sobre as suas perceções. No geral, conclui-se que os consumidores apresentam algumas perceções que divergem da realidade, tendo reduzido nível de conhecimento sobre o preço médio e o consumo mensal de água percebidos. No entanto, apresentam um elevado nível de conhecimento da sua conta de água mensal (CAM). O capítulo 4 continua a explorar os efeitos da perceção do consumidor, neste caso, na adoção de comportamentos de poupança de água em usos exteriores e interiores, bem como novas extensões aos hábitos modernos de pagamento, tais como a utilização de débito direto e de fatura eletrónica. Adicionalmente, os fatores que determinam a decisão de beber preferencialmente água da torneira são analisados, sendo que a perceção sobre o preço ser justo parece influenciar moderadamente a escolha de beber água da torneira. As evidências do capítulo 3 fomentaram a análise dos fatores que influenciam a probabilidade do consumidor ter ou não pontos de referência (i.e., preço médio de água, consumo de água mensal e CAM percebidos). As evidências comportamentais sugerem que a (in)justiça de preço percebida afeta os comportamentos analisados, bem como a existência de um efeito de justiça de preço percecionada (JPP) que afeta o ponto de referência relativo ao preço da água e constitui uma novidade na literatura. Estas últimas evidências incentivaram o desenvolvimento de um quadro conceptual para medir sistematicamente a JPP, sob a forma de um índice global, de acordo com o capítulo 5. Este estudo propõe um modelo conceptual de JPP e variáveis para medir os seus determinantes, nomeadamente: clareza do preço, justiça distributiva, comportamento consistente, credibilidade do preço, honestidade do preço, respeito e consideração pela contraparte e tratamento justo. O capítulo 6 apresenta um novo modelo de escolha discreta/contínua com preferências baseadas em referências. Os principais resultados teóricos são baseados em três cenários de pontos de referência. No caso do primeiro bloco como ponto de referência, os consumidores no segundo bloco sofrem um efeito de perda que os fará diminuir os seus consumos. Quando o segundo bloco é a referência, os consumidores do primeiro bloco irão aumentar o seu consumo devido a um efeito de ganho. No último caso, quando a referência é o preço médio baseada nos dois blocos anteriores irá ocorrer uma situação de "concentração" em torno do ponto onde as mudanças de bloco ocorrem. Finalmente, o capítulo 7 resume as principais contribuições. Esta tese constitui um contributo que poderá ser útil para reformular a gestão dos recursos hídricos, e consequentemente, as políticas públicas de água, através da utilização de evidências comportamentais. Este trabalho advoga uma abordagem holística das teorias neoclássica e comportamental e propõe novas direções de investigação para promover o consumo sustentável da água. The author acknowledges financial support from FCT Fundação para a Ciência e a Tecnologia (Science and Technology Foundation), projects PTDC/EGEECO/114477/2009 and PEst-OE/EGE/UI0315/2011. He also acknowledges the individual scholarship, SFRH/BD/77809/2011 scholarship from FCT.

Dissertação de mestrado em Engenharia Informática, A monitorização de redes é uma tarefa essencial na gestão e engenharia das redes de comunicações atuais. A configuração de um sistema de monitorização de rede deve considerar as exigências da tarefa de rede a medir e os parâmetros de medição correspondentes, compartilhando algumas necessidades comuns na medição de infraestruturas, mas com especificidades de acordo com o tipo de serviço prestado e recursos envolvidos. Por exemplo, medir o volume de tráfego da rede tem requisitos de medição distintos da deteção de ataques Distributed Denial-of-Service. Da mesma forma, os parâmetros e as exigências temporais para medir serviços de dados e vídeo são diferentes. Assim, é essencial ter uma visão global dos distintos aspetos relacionados com a monitorização de serviços para uma melhor compreensão dos pontos-chave e promover a qualidade dos serviços prestados. A consciência do contexto é, portanto, um aspeto importante nos sistemas de monitorização de serviços auto-configuráveis. O tema desta dissertação enquadra-se no contexto anteriormente descrito na medida em que vai ser estudado e definido um modelo de monitorização de serviços baseados em contexto. O objetivo principal prende-se com a identificação dos requisitos e arquitetura necessários num sistema de monitorização baseado em contexto. Por conseguinte, pretende- se identificar e avaliar tecnologias apropriadas para lidar com o desenvolvimento de uma ontologia que visa apoiar um sistema de monitorização baseado em amostragem. Por fim, após o estudo dos métodos e tecnologias existentes, um sistema ontológico é desenvolvido utilizando a tecnologia selecionada que forma a base de um sistema de monitorização baseado em amostragem e contexto., Network monitoring is an essential task in the management and engineering of current communications networks. The configuration of a network monitoring system should consider the measurement requirements of a network task and the corresponding measurement parameters. This may share common needs of the infrastructure measurement, but with specific characteristics according to the type of service provided and resources involved. For example, measuring the volume of network traffic has different measurement requirements from Distributed Denial-of-Service attacks detection. Similarly, the parameters and temporal requirements for measuring data and video services are different. Thus, it is essential to have a global view of the distinct aspects related to service monitoring for a better understanding of its key points, and promote the quality of services provided. Contextawareness is therefore an important aspect in the monitoring of self-configurable network services. The theme of this work falls within the context described above as it will be studied and defined a monitoring model of services based on context. The main objective is related to the identification of the requirements and architecture for a context-aware monitoring system. Therefore, it is intended to identify and evaluate appropriate technologies to deal with the development of an ontology which aims at assisting a sampling-based monitoring system. Finally, after studying existing technologies and methods, an ontological system is developed using the selected technology that forms the basis of a monitoring system based on sampling and context.

(...) O vídeo foi desenvolvido no contexto da oficina "Matemática Passo a Passo: Estratégias de Superação de Dificuldades para o 1.º Ciclo do Ensino Básico", da Universidade dos Açores, e procura explorar de uma forma lúdica algumas decomposições da primeira dezena. O conhecimento destas decomposições é de extrema importância para as futuras aprendizagens no decorrer do 1.º ano de escolaridade, nomeadamente em processos operatórios com maior grau de complexidade. (...)

A temática das frações é provavelmente o assunto mais delicado no que diz respeito ao ensino da matemática inicial. Por terem múltiplas aplicações, contextos e sentidos, as frações pedem um ensino altamente especializado e esmerado. Há que modelar de forma cuidadosa o conceito de fração, fasear e ordenar os nós conceptuais ao longo dos anos e dosear o caráter abstrato/concreto dos exemplos e atividades. Muito se testou, teorizou e escreveu sobre esta temática. Este trabalho consiste num resumo alargado sobre o ensino das frações, documentado em literatura especializada e ilustrado através de exemplos concretos retirados de manuais do Singapore Math, um dos mais cotados métodos de ensino do mundo.

O nosso sistema numérico é um sistema posicional e de base dez. É posicional porque o valor dos símbolos depende da posição que ocupam. É de base dez por serem necessárias dez unidades de ordem inferior para compor uma de ordem imediatamente superior. Embora consideremos este sistema simples e natural quando o utilizamos no dia a dia, não nos devemos esquecer de como é sofisticado e engenhoso. A humanidade demorou muito a ter um sistema numérico como o que utilizamos presentemente. Houve mesmo épocas em que civilizações avançadas utilizavam diferentes sistemas em simultâneo. Alguns consideravelmente piores do que o atual. Por isso, não podemos almejar que uma criança em idade pré-escolar possa compreender totalmente o sistema decimal. De facto, a temática das ordens numéricas e, em particular, a da ordem das dezenas, é consideravelmente delicada. Neste artigo, exploraremos algumas formas de abordar o conceito de ordem das dezenas junto de crianças a partir dos cinco anos de idade. As ideias apresentadas são inspiradas no Singapore Math, método utilizado para o ensino da matemática inicial em Singapura, um exemplo bem-sucedido da abordagem "concreto-pictórico-abstrato".

By fostering a direct engagement of those involved in solving problems or needs in a context of real situations, participatory action research (PAR) offers great potentialities for the academic training of future and even current professionals. However, there is a weak implementation of PAR as a pedagogical training strategy in higher education. Hence, this paper seeks to be a contribution to answering the following question: What potentialities and challenges can arise from the implementation of PAR in higher education? To this end, the following elements are addressed: what PAR consists of, and the contributions it can offer for higher education training, concluding with the presentation of some challenges and difficulties that seem to emerge from the use of PAR at the institutional, students and teachers’ levels, and which may help understanding its little use.

O nosso sistema de numeração decimal é um sistema de natureza posicional: os números são representados por sequências de símbolos, sendo que o valor de cada símbolo depende da posição que ocupa nessa sequência. Por exemplo, quando escrevemos o numeral relativo ao número treze, “13”, estamos na realidade a utilizar uma numeração mista: “1” vale uma dezena e “3” vale três unidades. Treze, na sua escrita matemática atual, traduz a organização uma dezena mais três unidades; dez unidades de uma ordem numérica são alvo de uma composição para uma unidade da ordem numérica seguinte, o que traduz a essência de um sistema posicional de base 10. Por isso, o “10” desempenha um papel de extrema importância e a forma como as crianças desenvolvem as primeiras explorações do nosso sistema de numeração é determinante para as suas aprendizagens futuras. (...) Para estimular uma verdadeira compreensão da ordem das dezenas, as atividades típicas são: (a) Separa 10 e diz o número; (b) Pinta 10 e diz o número; (c) Utilização de dispositivos com algarismos móveis (presentes em todos os manuais do bem sucedido método de Singapura). Vejamos como podemos promover a compreensão da ordem das dezenas e ultrapassar com eficácia a “barreira” do 10. (...)

Entre os dias 28 e 31 do passado mês de outubro, decorreu na Universidade de Coimbra a primeira Conferência Internacional do Espaço Matemático em Língua Portuguesa (CiEMeLP 2015), que reuniu matemáticos de praticamente todos os países de língua oficial portuguesa (...) Foi muito gratificante participar neste encontro e partilhar muitas das problemáticas ligadas ao ensino e à divulgação da matemática com colegas de países como Brasil, Cabo Verde, Moçambique e Timor Leste. Foi interessante constatar que aquilo que nos une é muito superior ao que nos separa. De facto, destaca-se um grande consenso em torno de alguns aspetos essenciais ligados ao ensino da matemática. Participei neste encontro com duas comunicações. A primeira, intitulada “Pisando arte e matemática em Lisboa”, resultou de um trabalho conjunto com Jorge Nuno Silva, Carlos Pereira dos Santos e Alda Carvalho e teve como objetivo apresentar o baralho de cartas da Associação Ludus dedicado às simetrias das calçadas da cidade de Lisboa. (...) A segunda comunicação, “Cruzar fronteiras entre a matemática e a cultura: à descoberta de simetrias na calçada e no artesanato”, resultou de uma parceria com Andreia Hall, da Universidade de Aveiro. Os autores cruzam o trabalho que têm vindo a desenvolver nos últimos anos, nomeadamente o levantamento dos padrões em Calçada Portuguesa, no Arquipélago dos Açores (sites.uac.pt/rteixeira/simetrias/), com a exploração de simetrias em Patchwork e Cerâmica, no âmbito de um leque de cursos de formação para professores realizados em Aveiro. (...)

(...) Os number bonds (esquemas todo-partes) constituem um dos procedimentos didáticos mais famosos do Método de Singapura. Estas representações auxiliam a compreensão numérica basilar, nomeadamente a capacidade de decompor quantidades e a álgebra fundamental (adições e subtrações). Neste artigo, analisaremos o que são, quais as vantagens e a forma de utilização destes esquemas no 1.º ano de escolaridade. (...)

(...) Se analisarmos os principais estudos internacionais que avaliam o desempenho dos alunos a Matemática, Singapura é claramente um caso de sucesso. (...) Em Singapura, há um investimento claro na formação inicial e contínua dos professores, na disponibilização de bons materiais didáticos e nas medidas de acompanhamento individualizado dos alunos durante o ensino obrigatório. (...) Destacam-se três teorias edificadoras do currículo de Singapura: 1) A abordagem Concreto>Pictórico>Abstrato (CPA), que remonta aos trabalhos do psicólogo americano Jerome Bruner (Bruner fez 100 anos no passado dia 1 de outubro); 2) Os princípios de variabilidade matemática e percetiva, do educador matemático húngaro Zoltán Dienes (o criador dos blocos lógicos), que apontam para a necessidade de se usar diversos exemplos e contextos na aprendizagem de um conceito, assim como múltiplas representações; 3) O trabalho do psicólogo inglês Richard Skemp sobre a importância de se estabelecer conexões e de se compreender as relações matemáticas e a sua estrutura, de forma a alcançar um conhecimento profundo e duradouro das matérias (tudo deve estar relacionado). (...) Terminamos com mais alguns aspetos relevantes. Singapura adota uma abordagem em espiral de conceitos, competências e processos. Ao longo do seu percurso escolar, o aluno tem a oportunidade de trabalhar um mesmo tema mais do que uma vez, explorando múltiplas representações com diferentes níveis de profundidade. O Método de Singapura apresenta também uma forte componente visual. Um exemplo paradigmático é o modelo das barras, amplamente usado pelos alunos do Ensino Primário de Singapura (1.º e 2.º Ciclos em Portugal). (...)

A investigação em Neurociências Cognitivas tem sofrido um grande desenvolvimento nas últimas décadas, o que impulsionou algumas descobertas sobre a forma como funciona o nosso cérebro e como se desencadeia o processo de aprendizagem. Estas descobertas oferecem aos educadores, professores e encarregados de educação uma visão aprofundada sobre as experiências de aprendizagem que podem potenciar o desenvolvimento intelectual das crianças e adolescentes. Para além de abrir caminho a algumas ideias inovadoras, a investigação proveniente das Neurociências Cognitivas tem validado várias práticas do passado e questionado outras. Neste artigo, apresentamos alguns resultados dessa investigação sobre a forma como o nosso cérebro aprende Matemática. (...)

(...) Tal como os babilónios, os maias do México e da América Central criaram um sistema de numeração posicional. A diferença é que o sistema era vigesimal, de base 20. Os maias também recorriam ao zero para a escrita dos números e utilizavam dois tipos de dígitos (...) O sistema de numeração indiano acabou por evoluir de um sistema do tipo grego para um sistema do tipo babilónico (...) Os indianos encararam com naturalidade a existência de números negativos, bem como da reta numérica em que o zero assumia finalmente o estatuto de número com a posição estratégica de separar os números positivos dos negativos. (...) A própria palavra “zero” tem raízes hindu-árabes. O nome indiano para zero era sunya, que significava “vazio”. Os árabes transformaram-no em sifr. Por sua vez, os ocidentais adotaram uma designação que soasse a latim – zephirus, que é a raiz da nossa palavra “zero”. (...) No Ocidente, o medo do infinito e o horror ao vazio perpetuaram-se durante séculos. Partindo do universo pitagórico, Aristóteles e Ptolemeu defendiam um cosmos finito em extensão, mas cheio de matéria. O universo estava contido numa “casca de noz” revestida pela esfera das estrelas fixas. (...) A falta do zero não só impediu o desenvolvimento da Matemática no Ocidente como, indiretamente, introduziu alguma confusão no nosso calendário. Todos nos lembramos das dúvidas que surgiram com a viragem recente de século e milénio: deveríamos festejar a mudança de século e milénio na passagem de ano de 1999 para 2000 ou de 2000 para 2001? A resposta correta é a segunda opção e a justificação é simples: o nosso calendário não contempla o zero. (...) Com o Renascimento, o universo de casca de noz partiu-se, o vazio e o infinito ultrapassaram por completo os preconceitos da fundação aristotélica da Igreja e abriram caminho para um desenvolvimento notável da ciência e, em particular, da Matemática. O zero assumiu um papel chave no desenvolvimento de várias áreas da Matemática, entre elas destaca-se o cálculo diferencial e integral. O edifício matemático, que outrora tinha sido alicerçado partindo da necessidade de contar ovelhas e demarcar propriedades, erguia-se agora bem alto: as regras da Natureza podiam ser descritas por equações e a Matemática era a chave para desvendar os segredos do Universo. (...) O zero não pode ser ignorado. De facto, o zero está na base de muitos dos segredos do Universo, a desvendar neste novo milénio.

Neste artigo, vamos viajar no tempo e assistir ao nascimento do zero. (...) As origens da Matemática remontam a alguns milhares de anos antes das primeiras civilizações e derivaram da necessidade de contar objetos. Em primeiro lugar, foi necessário distinguir um objeto de muitos objetos (caçar um pássaro ou muitos pássaros). Com o passar do tempo, a linguagem desenvolveu-se para distinguir entre um, dois e muitos. Em seguida, um, dois, três e muitos. (...) O passo seguinte consistiu em agrupar objetos de forma a facilitar a contagem. (...) A verdade é que os antigos gostavam de contar com as partes do seu corpo. Os favoritos eram o 5 (uma mão), o 10 (as duas mãos) e o 20 (ambas as mãos e os pés). O sistema numérico de base 10 acabou por vingar em muitas culturas e isso refletiu-se no vocabulário que ainda hoje utilizamos. Em português, as palavras “onze”, “doze” e “treze” derivam do latim (undecim, duodecim e tredecim), significando “dez e um”, “dez e dois” e “dez e três”. (...) Os sistemas antigos de numeração não contemplaram o zero. A verdade é que ninguém precisava de registar “zero ovelhas” nem contar “zero aves”. Em vez de dizer “tenho zero lanças”, bastava afirmar “não tenho lanças”. Como não era preciso um número para expressar a falta de alguma coisa, não ocorreu a necessidade de atribuir um símbolo à ausência de objetos. (...) O sistema de numeração grego, tal como o egípcio, ignorou por completo o zero. O zero nasceu noutra zona do globo: no Oriente, concretamente, no Crescente Fértil do atual Iraque. O sistema de numeração babilónico era, de certa forma, invulgar. Os babilónios tinham um sistema sexagesimal, de base 60, e usavam apenas duas marcas para representar os seus números: uma cunha simples para representar o 1 e uma cunha dupla para representar o 10. (...) os babilónios tiveram uma excelente ideia: inventaram um sistema de numeração posicional, em que os números são representados por sequências de símbolos, sendo que o valor de cada símbolo depende da posição que ocupa nessa sequência. (...) Para os babilónios, o zero era um simples marca-lugar; um símbolo para uma casa em branco no ábaco. O zero não ocupava um lugar na hierarquia dos números; não tinha ainda assumido a sua posição estratégica na reta numérica como o número que separa os números positivos dos negativos. (...)

Mathematical literacy in Portugal is very unsatisfactory in what concerns international standards. Even more disturbingly, the Azores archipelago ranks as one of the worst regions of Portugal in this respect. We reason that the popularisation of Mathematics through interactive exhibitions and activities can contribute actively to disseminate mathematical knowledge, increase awareness of the importance of Mathematics in today’s world and change its negative perception by the majority of the citizens. Although a significant investment has been undertaken by the local regional government in creating several science centres for the popularisation of Science, there is no centre for the popularisation of Mathematics. We present our first steps towards bringing Mathematics to unconventional settings by means of hands-on activities. We describe in some detail three activities. One activity has to do with applying trigonometry to measure distances in Astronomy, which can also be applied to Earth objects. Another activity concerns the presence of numerical patterns in the Azorean flora. The third activity explores geometrical patterns in the Azorean cultural heritage. It is our understanding that the implementation of these and other easy-to-follow and challenging activities will contribute to the awareness of the importance and beauty of Mathematics.

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Um dos aspetos mais apelativos da Matemática reside nas múltiplas formas que temos de apreciar esta ciência. A procura incessante por padrões, sejam eles numéricos, geométricos ou de outra natureza qualquer, pode constituir uma atividade altamente motivadora. Nas últimas décadas, a Matemática Recreativa tem vindo a assumir um papel de maior destaque na sensibilização da opinião pública para a importância da Matemática através da exploração da sua vertente prática por intermédio, por exemplo, de quebra-cabeças e de jogos matemáticos. (...) Neste texto, apresentamos um intrigante puzzle geométrico. Chama-se Missing Square e foi desenvolvido em 1953 pelo mágico nova-iorquino Paul Curry. (...) Recentemente, tem circulado na Web um truque com uma tablete de chocolate, que se baseia no mesmo tipo de ilusão de ótica do Missing Square. (...)

No passado dia 16 de junho pelas 18 horas, no Centro Municipal de Cultura de Ponta Delgada, decorreu a sessão de lançamento do livro Grupos de Simetria: Identificação de Padrões no Património Cultural dos Açores, uma publicação conjunta da Associação Ludus e da Editora Apenas Livros, da autoria de Ricardo Cunha Teixeira, Susana Goulart Costa e Vera Raposo Moniz. [...] No mesmo dia do lançamento do livro, foi apresentado o Roteiro de Varandas da Cidade de Ponta Delgada, dos mesmos autores, que conta com o apoio da Câmara Municipal de Ponta Delgada. Este roteiro pode ser adquirido de forma gratuita no hall da Câmara Municipal de Ponta Delgada ou no Centro Municipal de Cultura desse concelho. [...] De seguida, apresenta-se em traços gerais um exemplo de cada um dos 6 tipos de frisos detetados nas varandas de Ponta Delgada e que estão contemplados no roteiro. [...] Nas varandas de Ponta Delgada, apenas está em falta um tipo de friso, que se caracteriza pela existência de um eixo de simetria horizontal, sem simetrias de meia-volta (algo do género: ... >>>>>>>...). No dia do lançamento do Roteiro de Varandas em Ponta Delgada, os autores convidaram, em tom de brincadeira, algum morador desse concelho a alterar uma das suas varandas de forma a que Ponta Delgada possa alcançar o estatuto de "Cidade dos 7 frisos nas suas varandas". Certo é que, desde então, já surgiram moradores interessados!

Submitted by Ricardo Teixeira (rteixeira@uac.pt) on 2015-05-31T11:37:09Z No. of bitstreams: 1 Ricardo C Teixeira A66.pdf: 200632 bytes, checksum: 178313a37bc851ee056a5f3f0d52ec1c (MD5) Made available in DSpace on 2015-06-01T15:30:19Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Ricardo C Teixeira A66.pdf: 200632 bytes, checksum: 178313a37bc851ee056a5f3f0d52ec1c (MD5) Previous issue date: 2015-05-29

Martin Gardner (1914-2010) foi um excelente divulgador de Matemática Recreativa. Durante mais de 25 anos escreveu uma coluna intitulada "Jogos Matemáticos" para a Scientific American, revista americana de divulgação científica. Escreveu também com regularidade para a revista Skeptical Inquirer e foi autor de mais de 70 obras. O seu trabalho inspirou centenas de leitores a apreciar e a querer saber mais sobre o vasto mundo da Matemática. Gardner é conhecido por apresentar interessantes enigmas e desafios matemáticos. Neste texto, analisamos três problemas da sua autoria. (...) O segredo para uma rápida resposta a estes problemas reside no conhecimento dos critérios de divisibilidade do 3 e do 9. Aproveitamos, por isso, a oportunidade para rever alguns dos principais critérios de divisibilidade. Como forma de testar a informação que apresentaremos de seguida, o leitor pode socorrer-se de um número com vários algarismos que tenha à mão. Nos exemplos abaixo, utilizaremos o ISBN-13 do livro Grupos de Simetria: Identificação de Padrões no Património Cultural dos Açores, publicado recentemente pela Associação Ludus e pela Apenas Livros, da autoria conjunta de Ricardo Teixeira, Susana Costa e Vera Moniz. O número é o seguinte: 9 789 896 185 039. (...) O leitor pode mesmo aproveitar para aplicar estes critérios de divisibilidade e fazer um brilharete junto de familiares e amigos. Por exemplo, pode virar-se de costas e pedir a um amigo que construa uma sequência de 5 cartas, utilizando cartas numeradas do Ás ao 5, pela ordem que bem entender; sem ver a sequência formada, a sua "intuição de mágico" dar-lhe-à a certeza de que o número é divisível por 3!

Clifford Alan Pickover nasceu a 15 de agosto de 1957. Este americano é um reconhecido divulgador da Ciência e da Matemática, tendo publicado até ao momento mais de quarenta livros em mais de uma dúzia de línguas. (...) O principal interesse de Pickover está em encontrar novas maneiras de expandir a criatividade, estabelecendo conexões entre áreas aparentemente díspares do esforço humano, como a Arte, a Ciência e a Matemática. (...) Em 1994, Pickover introduziu uma nova classe de números, de certa forma peculiar: os números vampiros. (...) Um número vampiro é um número natural, v, com um número par de algarismos (n), que pode ser escrito como um produto de dois números naturais, x e y, cada um com metade do número de algarismos (n/2) e de forma a que os algarismos utilizados sejam os mesmos (eventualmente escritos por ordem diferente). (...) Na fatorização de um número vampiro, apenas um dos fatores pode ser múltiplo de 10 (ou seja, apenas um dos fatores pode ter o 0 como algarismo das unidades). Assim, 1260 é um número vampiro uma vez que 1260 = 21x60, mas 126 000 já não é um número vampiro apesar de 126 000 = 210x600. Isto porque, no segundo caso, ambos os fatores são múltiplos de 10. (...) Pickover também é adepto de quadrados mágicos. (...)

Benjamin Franklin (1706-1790) foi jornalista, cientista, inventor, homem de estado e diplomata. (...) Benjamin Franklin era um entusiasta de quadrados mágicos. Chegou mesmo a criar os seus próprios quadrados. O mais conhecido é o quadrado 8 por 8 apresentado na imagem. Numa carta publicada em 1769, Franklin refere: "Na minha juventude, divertia-me a construir quadrados mágicos, de modo a que a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada uma das duas diagonais principais fosse sempre a mesma; com o passar do tempo, conseguia criar quadrados mágicos, de tamanho razoável, tão depressa quanto conseguia escrever os números nas suas linhas e colunas; mas, por não estar totalmente satisfeito com estes quadrados, que eram demasiado fáceis, impus a mim mesmo o desafio de construir outro tipo de quadrados mágicos, que apresentassem propriedades mais ricas e que constituíssem, assim, um maior estímulo à curiosidade." Em relação ao quadrado mágico da imagem, são utilizados todos os números naturais, do 1 ao 8x8=64, uma e uma só vez. Além disso, a soma dos números de cada linha e de cada coluna é sempre igual a 260, a constante mágica. Existem muitas outras formas de obter o valor 260 (...)

(...) Existem diferentes tipos de sistemas de identificação com check digit. A escolha do algoritmo a implementar deve satisfazer dois princípios: por um lado, é importante escolher um sistema eficaz que detete o maior número possível de erros; por outro lado, a sua utilização no terreno deve ser de alguma forma acessível, particularmente para quem tem de lidar diariamente com os números produzidos por esse algoritmo. Hoje em dia a utilização de meios eletrónicos revela-se muito eficaz, quer para gerar o algarismo de controlo de novos números, como para validar números que já se encontrem em circulação. Mesmo assim, há uma série de requisitos importantes a ter em conta quando se pretende implementar um novo sistema de identificação. Desde logo, a escolha do alfabeto, ou seja, dos símbolos a utilizar. Normalmente, opta-se por recorrer apenas aos dez algarismos vulgarmente utilizados, do 0 ao 9. É o caso do exemplo que se segue. O método desenvolvido pela IBM, também conhecido por algoritmo de Luhn, aplica-se à generalidade dos cartões de crédito: VISA e VISA Electron (em que o primeiro algarismo da esquerda é um 4), MarterCard (5), American Express (3) e Discover (6), entre outros. Considere-se o número de um cartão VISA: 4188 3600 4538 6426. Como é habitual, o algarismo de controlo é o primeiro algarismo da direita, ou seja, o algarismo das unidades (6). Para verificar se este número é válido, procede-se da seguinte forma (...). Há um algoritmo mais eficaz, desenvolvido por Verhoeff em 1969, que utiliza os mesmos símbolos (os algarismos do 0 a 9). Este sistema deteta 100% dos erros singulares, 100% das transposições de algarismos adjacentes e algumas das transposições intercaladas. Paradoxalmente, é um método pouco utilizado, talvez por necessitar de uma maior bagagem matemática.(...) Na imagem, ilustra-se um exemplo de aplicação deste algoritmo para determinar o algarismo de controlo do número 201034571? (o ponto de interrogação representa o algarismo de controlo, por enquanto, desconhecido). (...) Se nos predispusermos a alargar o alfabeto de símbolos ou a considerar mais de um algarismo de controlo, podemos obter algoritmos ainda mais eficazes na deteção de erros. É o caso dos algoritmos estabelecidos pela norma ISO/IEC 7064. Por exemplo, o algoritmo MOD 11-2 é utilizado para identificar as receitas médicas em Portugal e utiliza um símbolo adicional (o X, que representa o número 10). Já o algoritmo MOD 97-10 requer a utilização de dois algarismos de controlo e é empregue na emissão do Número de Identificação Bancária (NIB). (...)

Continuamos à conversa com a Dona Isaura Rodrigues. (...) Analisamos, de seguida, as simetrias de alguns bordados de palha de trigo sobre tule desenvolvidos pela Dona Isaura Rodrigues, que agradecemos pela disponibilidade e simpatia. Começamos pela echarpe das imagens 1 e 2. Identificamos uma simetria de rotação de 180 graus, também conhecida por meia-volta. Isto significa que, se virarmos a echarpe “de pernas ao ar”, a sua configuração não se altera. Este tipo de simetria é muito comum, não só em peças de artesanato, como também nas calçadas e varandas. (...) Por não apresentar simetrias de reflexão, a echarpe das imagens 1 e 2 tem grupo de simetria C2. (...) O espaçamento entre cópias consecutivas dos motivos é sempre o mesmo. Este tipo de propriedade é comum aos frisos que encontramos nas varandas e nos passeios em calçada, que se caracterizam pela presença de simetrias de translação numa única direção. E esta é uma das ferramentas matemáticas mais importantes, constituindo, muitas vezes, um verdadeiro desafio: a capacidade de encontrar propriedades comuns em coisas que, à primeira vista, não têm qualquer ligação. Não fosse a Matemática a Ciência dos Padrões!

(...) O leitor que já possua Cartão de Cidadão poderá constatar que o algarismo suplementar do BI continua a marcar presença no novo documento: surge à frente do antigo número do BI, que se passou a designar por Número de Identificação Civil (NIC), imediatamente antes de duas letras. Mas qual é o papel deste algarismo? Na verdade, o algarismo suplementar não é assim tão misterioso. É simplesmente um algarismo de controlo ou dígito de verificação (check digit), que tem como objetivo detetar erros que possam ocorrer na escrita ou leitura do número do BI. Apresente-se como exemplo o número 6235008 0, em que 0 é o algarismo suplementar. (...) Ficam assim desvendados alguns dos mistérios do Cartão de Cidadão. Mas podemos não ficar por aqui: isto porque o Número de Identificação da Segurança Social (NISS), disponível no verso do Cartão de Cidadão, também é um número de identificação com algarismo de controlo! E o curioso é que se utilizam números primos para o cálculo da soma de teste (chama-se primo a todo o número natural superior a um que tenha apenas dois divisores naturais distintos, o número um e ele próprio). Concretamente, utilizam-se os primeiros dez números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. (...)

Os códigos de barras são exemplos de sistemas de identificação com algarismo de controlo, que tem como objetivo verificar se foi cometido pelo menos um erro de escrita, leitura ou transmissão da informação. Nos códigos de barras, o algarismo de controlo é o algarismo das unidades (primeiro algarismo da direita). Os restantes algarismos de um código de barras contêm informação específica. Por exemplo, os três primeiros algarismos da esquerda identificam sempre o país de origem (com a exceção dos códigos de barras dos livros, que apresentam o prefixo 978 ou 979, e dos códigos de uso interno das superfícies comerciais como, por exemplo, para os artigos embalados na padaria ou na peixaria de um supermercado, que começam por 2). Seguem-se alguns exemplos: 300-379 (França e Mónaco); 400-440 (Alemanha); 500-509 (Reino Unido); 520 (Grécia); 539 (Irlanda); 540-549 (Bélgica e Luxemburgo); 560 (Portugal); 690-695 (China); 760-769 (Suíça); 789-790 (Brasil); 840-849 (Espanha e Andorra); 888 (Singapura); 958 (Macau). Observe-se que os países com uma maior produção têm à sua disposição mais de um prefixo de três algarismos. (...) Para se verificar se o número do código de barras está correto, procede-se da seguinte forma (...) obtêm-se, respetivamente, as somas I e P; por fim, calcula-se o valor de S=I+3xP que deverá ser um múltiplo de 10 (ou seja, o seu algarismo das unidades deverá ser 0). (...) E que relação existe entre as barras e os algarismos? Ao olhar com atenção para um código de barras EAN-13, reparamos que os 13 algarismos são distribuídos da seguinte forma: o primeiro algarismo surge isolado à esquerda das barras, enquanto que os restantes surgem por baixo destas, divididos em dois grupos de seis algarismos separados por barras geralmente mais compridas do que as restantes: três barras nas laterais (preto-branco-preto) e cinco barras ao centro (branco-preto-branco-preto-branco). As restantes barras são mais curtas e codificam os 12 algarismos (indiretamente, também codificam o algarismo da esquerda). (...) A representação dos algarismos por barras brancas e pretas respeita alguns princípios como os de paridade e simetria, pelo que um algarismo não é sempre representado da mesma forma. Este aspeto permite que um código de barras possa ser lido por um leitor ótico sem qualquer ambiguidade, quer esteja na posição normal ou "de pernas para o ar". (...) Recentemente surgiu uma nova geração de códigos de barras designados por códigos de resposta rápida ou códigos QR (do inglês Quick Response). Certamente o leitor já os viu em cartazes publicitários ou em revistas. (...)

Existem muitos exemplos interessantes de quadrados mágicos com histórias curiosas. Desde logo, se recuarmos no tempo e viajarmos até à antiga China. Segundo reza a lenda, por volta de 2200 a.C., o imperador Yu terá avistado uma tartaruga a sair do Rio Amarelo. Essa tartaruga apresentava um intrigante padrão formado por pontos pretos e brancos, que se assemelhava a uma grelha 3x3, preenchida com os primeiros 9 números naturais (1-9), dispostos de uma forma curiosa. (...) Outro aspeto curioso prende-se com o facto de os astrólogos da Renascença usarem quadrados mágicos associados aos diferentes planetas do Sistema Solar. (...) Outro aspeto que pode ser considerado nestes quadrados mágicos planetários é a soma de todos os números que compõem o quadrado, que se designa por soma mística (esta soma obtém-se multiplicando a constante mágica pelo número total de linhas do quadrado, isto porque ao adicionar os números de qualquer linha, obtém-se sempre a constante mágica). Por exemplo, o quadrado de Saturno tem soma mística igual a 15x3=45; o de Júpiter, 34x4=136; o de Marte, 65x5=325; e o do Sol, 111x6=666. Num quadrado planetário de ordem N, utilizam-se todos os números naturais, do 1 ao NxN, uma e uma só vez. Por este motivo, e tendo em conta as propriedades das progressões aritméticas, a soma mística de um quadrado planetário de ordem N pode ser obtida da fórmula NxN(NxN+1)/2, sendo a constante mágica igual a N(NxN+1)/2. (...)

Voltamos ao tema dos quadrados mágicos. (...) Vejamos alguns exemplos curiosos. Começamos pelo Quadrado Mágico do Aniversariante (figura A). Se o leitor fizer as contas, verificará que a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada uma das duas diagonais do quadrado é sempre 22 (figura B). Este é, portanto, um quadrado mágico ideal para quem tem 22 anos. Contudo, a sua utilização é muito mais flexível do que à primeira vista se possa pensar. Isto porque também é possível utilizar este quadrado mágico para felicitar qualquer amigo com mais de 22 anos. Se quisermos que o quadrado da figura A tenha constante mágica igual a x, com x>22, basta adicionar a cada um dos números das quatro casas brancas o valor x-22. (...) Na figura D, apresenta-se um Quadrado Mágico Reversível. Este quadrado aparece no livro "Self-working Number Magic", de Karl Fulves, publicado em 1983. Para começar, uma observação atenta a cada linha, coluna ou diagonal do quadrado permite concluir que, em cada uma dessas filas, são utilizados os mesmos algarismos: 1, 6, 8 e 9. Um olhar ainda mais atento permite detetar duas ocorrências de cada um desses algarismos por fila. (...)

(...) Um exemplo curioso prende-se com a forma como são partidas as fatias de um bolo e como são distribuídas pelos convidados numa festa. (...) Desde logo, para evitar que alguém se possa queixar do resultado da partilha, o melhor método designa-se por "um parte, outro escolhe" (...) Mas, se o problema se colocar a mais de dois convidados? A solução já não é assim tão simples. O desenvolvimento deste tipo de algoritmos acaba por ter aplicações em muitas outras áreas, desde a simples partilha de uma herança às negociações de desarmamento ou ao estabelecimento de fronteiras entre países. (...) Vejamos, agora, um método muito interessante para manter um bolo sempre fresco. Note-se que a forma tradicional de cortar um bolo é propícia a que, com o passar do tempo, este fique seco junto da zona de corte. O método inovador foi inventado por Francis Galton (1822-1911), matemático e estatístico inglês, primo de Charles Darwin. O seu texto "Cutting a Round Cake on Scientific Principles", publicado na edição de 20 de dezembro de 1906 da conceituada revista Nature, foi divulgado recentemente por Alex Bellos (...) As fatias devem ser cortadas de um lado ao outro do bolo (...) Se olharmos de cima, o bolo utilizado tem o formato de um círculo. Cada fatia cortada é limitada por duas retas paralelas e deve conter o centro do círculo. A ideia é cortar uma fatia e, de seguida, juntar as duas partes que sobraram, unindo-as, se necessário, com um elástico, de modo a sobrepor as zonas do corte (...) Da próxima vez que nos queiramos deliciar novamente com o bolo, devemos fazer novo corte com as mesmas características do anterior, mas agora com direção perpendicular (...)

A classificação e a caracterização do tráfego de rede são tarefas essenciais para o correto planeamento e gestão das actuais redes de comunicações. No entanto, face ao elevado volume de tráfego envolvido, essas tarefas podem beneficiar largamente do recurso a tráfego amostrado, desde que este permita obter uma visão da rede realista através de pequenas porções de tráfego. Neste contexto, este artigo tem como principal objetivo a exploração e comparação da acurácia de diferentes estratégias de classificação de tráfego de rede quando conjugadas com diferentes técnicas de amostragem. Recorrendo à ferramenta TIE - Traffic Identification Engine [1], que disponibiliza estratégias de classificação de tráfego operando em distintos níveis da pilha protocolar, e a uma framework de amostragem que implementa técnicas clássicas e emergentes de amostragem de tráfego [2], é analisado o impacto da estratégia de classificação e amostragem na correta identificação dos fluxos de rede. A base dos testes realizados recorre a tráfego de rede real coletado no Instituto Nacional de Estatística, posteriormente submetido a diferentes estratégias de classificação e amostragem. Desta forma, pretende- se contribuir com diretivas para a obtenção de uma classificação realista do tráfego de rede com o menor overhead em termos de tráfego coletado e analisado., Este trabalho é suportado pela FCT - Fundação para a Ciência e Tecnologia no âmbito do projeto UID/CEC/00319/2013., info:eu-repo/semantics/publishedVersion

A resolução de problemas é um processo fundamental na aprendizagem da matemática. Neste artigo, apresenta-se uma reflexão sobre a importância deste processo matemático e de como ele pode ser conduzido de forma a estimular o raciocínio matemático através da promoção da comunicação, em contexto de sala de aula. O trabalho foi realizado na etapa final de formação de educadores e professores no contexto do pré-escolar e do primeiro ciclo do ensino básico. Em resultado das atividades realizadas, discute-se o papel da utilização de uma heurística ao longo da resolução de problemas, a importância na escolha de estratégia para a interação com os alunos, bem como o desenho intencional de materiais didáticos. A experiência enquadra-se numa abordagem qualitativa de design de experiência de ensino. ABSTRACT: Problem solving is a pivotal process to mathematical learning at school. In this paper, it is discussed the importance of this process and how to apply it in a classroom to promote mathematical reasoning. In a preservice teaching training context, two experiences were implemented in two different classes, one in preschool and other in a first grade class, in the Archipelago of the Azores (Portugal). It was studied the role of apllying a step-by-step heuristic to help students to solve problems and the importance of using strategies which promote interaction and communication within students and students/professor to enhance the learning of the students. Finally, it is suggested how the selection of materials explicitly produced to a set predefined targets can contribute to a successful learning strategy. This is a qualitative research and it encompasses an experimental design.

Este trabalho constitui um resumo documentado de algumas ideias-chave sobre os números, normalmente tratadas no pré-escolar. O texto, além de poder ser lido por investigadores ligados a esta área, foi escrito de forma a constituir um documento de apoio com interesse para os profissionais que estão "no terreno" (educadores, auxiliares, entre outros) e uma fonte de consulta para pais, encarregados de educação e todos aqueles que se interessam por crianças (no fundo, quase todos nós). Os assuntos tratados, basicamente relativos à primeira dezena e subdivididos nas temáticas "Cardinalidade", "Numerais" e "Ordinalidade", são fundamentados com estudos e opiniões de matemáticos, psicólogos e neurocientistas. Além disso, teve-se em conta o contributo, igualmente importante, de inúmeros educadores que partilharam o seu olhar e a sua experiência. Sendo assim, além da abordagem teórica, são apresentados bastantes exemplos práticos e alguma multimédia.

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Retomamos a nossa viagem à descoberta de padrões pelas calçadas da Ilha de S. Miguel. A próxima paragem é no Miradouro da Ponta do Escalvado, localizado no lugar da Várzea, freguesia dos Ginetes, concelho de Ponta Delgada. [...] Mas qual o particular interesse da calçada do Miradouro da Ponta do Escalvado? Mostramos, em seguida, que este é um exemplo de um passeio onde podemos encontrar, em simultâneo, os quatro tipos possíveis de simetria... o que nem sempre acontece. [...] Existem também outros tipos de simetria, aparentemente menos percetíveis. Na imagem 3, ilustra-se o conceito de simetria de rotação. Para tal, temos que fixar um ponto: o centro de rotação. Basicamente, a ideia é a de rodar a figura em torno do ponto fixo segundo um ângulo com uma determinada amplitude. Respeita-se, em geral, o sentido contrário aos ponteiros do relógio, designado por sentido anti-horário ou sentido positivo. Se, ao rodarmos a figura segundo uma amplitude inferior a 360º, ela coincidir com a sua posição inicial, dizemos que tem uma simetria de rotação: a figura inicial e a que resultou desse movimento ficam completamente sobrepostas, não se conseguem distinguir. Dizemos que o movimento em causa fixou globalmente a figura ou que a deixou invariante. [...].

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Dissertação de Mestrado Integrado em Medicina Veterinária Otitis media is commonly reported in rabbits. Proposed predisposing factors include upper respiratory infection and otitis externa/ear position. Otitis media can be difficult to diagnose, as affected rabbits are often asymptomatic unless it is associated with otitis externa or interna. Computed tomography (CT) is considered the “gold standard” for evaluation of the middle ear in dogs and cats. Medical records were searched for rabbits that had a head CT scan performed. Eighty eight cases met the inclusion criteria and were assigned to 2 groups based on reason for head CT (group 1: ear related clinical signs; group 2: non-ear related clinical signs). The prevalence of clinical and subclinical middle ear disease was 57% and 27% respectively as defined by increased attenuation within the tympanic cavity. Lysis of the tympanic bulla was associated with clinical disease and weakly associated with clinical progression of subclinical middle ear disease to clinical disease. Upon follow up of rabbits with subclinical middle ear disease, most cases remained subclinical after CT exam. A strong correlation was found between otitis media and lop-ear position and otitis externa. No correlation was found between middle ear disease and upper respiratory disease. RESUMO - A otite média ocorre frequentemente em coelhos domésticos. Os factores de risco para a ocorrência da doença em coelhos inclui doença do trato respiratório superior e otite externa/posição da orelha. A otite média nos coelhos é normalmente assintomática e difícil de diagnosticar, excepto quando associada com otite externa ou interna. A tomografia computorizada (TC) é considerada a modalidade de imagiologia de referência para o diagnóstico de otite média em animais domésticos. Para o estudo retrospectivo, foram utilizados registos clínicos de coelhos com história clínica compatível com otite média ou outros problemas na cabeça mas não relacionados com o ouvido e que incluíam TC da cabeça. Os animais foram distribuídos em dois grupos consoante a indicação clínica para realização de TC da cabeça (grupo 1: problemas que sugerem presença de otite; grupo 2: problemas na região da cabeça mas não relacionados com o ouvido). A prevalência de otite média clínica no grupo 1 foi de 57% e de otite média sub-clínica no grupo 2 foi de 27%. O sinal mais comum na TC do ouvido médio foi aumento da densidade na cavidade tímpânica . Nos casos de otite média clínica ocorreu com mais frequência o sinal de lesão lítica da bolha timpânica comparativamente com os casos de otite média sub-clínica. Nos animais do grupo 2 com alterações do ouvido médio na TC, foi realizado acompanhamento clínico para determinar a progressão da otite média sub-clínica. Na maioria dos casos, o animal não desenvolveu sinais clínicos sugestivos de otite média. Os resultados do estudo confirmaram que existe uma relação significativa entre otite média e otite externa e posição da orelha para baixo, mas não entre otite média e doença do trato respiratório superior.

Na sociedade atual, completamente dominada pela constante procura de informação, faz todo o sentido recorrer a formas organizadas de apresentar os dados recolhidos que permitam uma leitura rápida e acessível. As matrizes, pela sua estrutura, possibilitam este tipo de abordagem com vista ao tratamento de uma grande quantidade de informação. (...) Poucas áreas da Matemática sofreram nos últimos 30 anos uma evolução tão significativa como a Teoria de Matrizes. Isto deve-se ao desenvolvimento de computadores cada vez mais potentes do ponto de vista da capacidade computacional, bem como à introdução de métodos matriciais em diferentes áreas de aplicação. Atualmente, a Teoria de Matrizes é utilizada com frequência para modelar muitos fenómenos do mundo real. Mas quando é que surgiu este ramo da Matemática? (...) Embora este ramo da Matemática tenha sido desenvolvido a partir de meados do século XIX, conceitos elementares de matrizes remontam ao período anterior ao nascimento de Cristo, uma vez que os chineses aplicavam métodos matriciais para resolver certos sistemas de equações. Os quadrados mágicos constituem outro exemplo de aplicação rudimentar do conceito de matriz. As lendas sugerem que os quadrados mágicos são originários da China, tendo sido referidos pela primeira vez num manuscrito do tempo do imperador Yu, cerca de 2200 a. C. (...) Em 1514, Albrecht Dürer, conhecido artista da Renascença, pintou um quadro intitulado "Melancolia", onde figura um quadrado mágico, precisamente de ordem 4 (figura 2). De notar que os dois números centrais da última linha do quadrado permitem ler "1514", o ano em que o quadro foi pintado. O leitor pode comprovar que a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada uma das duas diagonais desse quadrado é sempre igual a 34, a constante mágica. Além disso, 34 é a soma dos números dos cantos (16+13+4+1=34) e do quadrado central 2x2 (10+11+6+7=34). (...)

No artigo "The bad and the beautiful", publicado no Finantial Times em janeiro de 2013, Edwin Heathcote realça alguns aspetos que tornam as cidades mais sedutoras e elege as oito mais belas atrações citadinas a nível mundial. O autor coloca o impacto causado pelos padrões ondulantes da calçada do Rossio (calçada do "Mar Largo"), em Lisboa, a par com outros "momentos belos" desencadeados, por exemplo, ao olhar para o grande canal de Veneza, para os apartamentos vitorianos de Nova Iorque ou para a iluminação noturna produzida pelos mercados de rua de Mongkok, em Hong Kong. Sem dúvida que vale a pena dedicar um pouco do nosso tempo a apreciar a bonita calçada portuguesa, uma verdadeira atração mundial. [...] Mas como podemos identificar simetrias no dia a dia? Neste artigo, abordaremos dois dos tipos mais comuns de simetria: a simetria de rotação e a simetria de espelho ou de reflexão. Com o intuito de exemplificar estes tipos de simetria, analisam-se duas rosáceas em calçada, localizadas no Campo de S. Francisco em Ponta Delgada [...].