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International audience; The abc conjecture is one of the main open problems in number theory. This poster is a summary of the article "The abc conjecture and some of its consequences" by Michel Waldschmidt.

Let $F$ be an irreducible binary form attached to a number field $K$ of degree $\geq 3$. Let $\epsilon\not\in \{-1, 1\}$ be a totally real unit of $K$. By twisting $F$ with the powers $\epsilon^a$ of $\epsilon$, ($a\in{\mathbf Z}$), we obtain an infinite family $F_a$ of binary forms. Let $m\in{\mathbf Z}$. We give an effective bound for $\max\{|a|, \log|x|, \log|y|\}$ when $a,x,y$ are rational integers satisfying $F_a(x,y)=m$ with $xy\not=0$., Comment: in French, CRM collection "Contemporary Mathematics", AMS, to appear

Let $F$ be an irreducible binary form attached to a number field $K$ of degree $\geq 3$. Let $��\not\in \{-1, 1\}$ be a totally real unit of $K$. By twisting $F$ with the powers $��^a$ of $��$, ($a\in{\mathbf Z}$), we obtain an infinite family $F_a$ of binary forms. Let $m\in{\mathbf Z}$. We give an effective bound for $\max\{|a|, \log|x|, \log|y|\}$ when $a,x,y$ are rational integers satisfying $F_a(x,y)=m$ with $xy\not=0$., in French, CRM collection "Contemporary Mathematics", AMS, to appear

International audience; In his two well known 1968 papers \og Contributions to the theory of transcendental numbers\fg, K. Ramachandra proved several results showing that, in certain explicit sets $\{x_1,\ldots,x_n\}$ of complex numbers, one element at least is transcendental. In specific cases the number $n$ of elements in the set was $2$ and the two numbers $x_1$, $x_2$ were both real. He then noticed that the conclusion is equivalent to saying that the complex number $x_1+ix_2$ is transcendental. In his 2004 paper published in the Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, G.~Diaz investigates how complex conjugation can be used for the transcendence study of the values of the exponential function. For instance, if $\log \alpha_1$ and $\log \alpha_2$ are two nonzero logarithms of algebraic numbers, one of them being either real of purely imaginary, and not the other, then the product $(\log \alpha_1)(\log \alpha_2)$ is transcendental. We will survey Diaz's results and produce further similar ones.

International audience; Les algèbres de Hopf ont été introduites en topologie algébrique, puis dans la théorie des représentations des groupes de Lie et des groupes algébriques. Elles jouent maintenant un rôle important dans l'étude des groupes quantiques. Nous présentons deux questions diophantiennes dans lesquelles elles interviennent. Dans la première, ce sont des algèbres de Hopf bicommutatives (commutatives et cocommutatives): Stéphane Fischler les a utilisées pour obtenir des lemmes d'interpolation sur des groupes algébriques linéaires à partir de lemmes de zéros, fournissant par la même occasion une interprétation algébrique de la dualité de Fourier-Borel. Dans la deuxième, certaines algèbres de Hopf sont commutatives, d'autres sont cocommutatives, mais elles ne sont pas bicommutatives. Il s'agit de l'étude des nombres multizêta encore appelés polyzêta ou valeurs zêta multiples (MZV ou Multiple Zeta Values en anglais).

Un rapide survol des progrès de la théorie des nombres transcendants de 1950 à 2000

International audience; We state two conjectures, which together would yield strong results of algebraic independence related to Schanuel's Conjecture. Partial results on these conjectures are also discussed.

Numerous well-presented and important papers from the conference are gathered in the proceedings for the purpose of pointing directions for useful future research in diverse areas of mathematics including algebraic geometry, analysis, commutative algebra, complex analysis, discrete mathematics, dynamical systems, number theory and topology. Several papers on computational and applied mathematics such as wavelet analysis, quantum mechanics, piecewise linear modeling, cosmological models of super symmetry, fluid dynamics, interpolation theory, optimization, ergodic theory and games theory are also presented.

Les méthodes de transcendance ont toutes leur fondement dans ces travaux de Charles Hermite en 1873. On connaissait alors depuis une trentaine d’années des exemples de nombres transcendants, grâce aux travaux de Joseph Liouville (1844), mais ceux qu’il avait exhibés étaient artificiels, construits ad’hoc. La démonstration par Georg Cantor de l’existence de beaucoup de nombres transcendants était nettement moins explicite. Hermite est le premier à démontrer la transcendance d’une constante fondamentale de l’analyse. Sa démonstration allait être exploitée en 1881 par Ferdinand Lindemann, qui donnait ainsi la réponse définitive au problème de la quadrature du cercle. Parmi les mathématiciens de tous les temps, il en est peu qui aient ainsi exercé une influence directe comparable à celle d’Hermite.

Les nombres r��els ou complexes forment un ensemble ayant la puissance du continu. Parmi eux, ceux qui sont int��ressants, qui apparaissent naturellement, qui m��ritent notre attention, forment un ensemble d��nombrable. Dans cet ��tat d'esprit nous nous int��ressons aux p��riodes au sens de Kontsevich et Zagier. Nous faisons le point sur l'��tat de nos connaissances concernant la nature arithm��tique de ces nombres: d��cider si une p��riode est un nombre rationnel, alg��brique irrationnel ou au contraire transcendant est l'objet de quelques th��or��mes et de beaucoup de conjectures. Nous pr��cisons aussi ce qui est connu sur l'approximation diophantienne de tels nombres, par des nombres rationnels ou alg��briques., Proceedings of the 11th symposium of the Tunisian Mathematical Society held in Tunis, Tunisia -- March 15-18, 2004. http://www.african-j-math.org/ http://www.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/MahdiaPeriodes.pdf