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In this paper, we consider an optimal control problem for the two-dimensional stationary Navier--Stokes system. Looking for sparsity, we take Borel measures as controls. We prove the well-posedness of the control problem and derive necessary and sufficient conditions for local optimality of the controls. Finally, under a second order condition, we prove rates of the optimal states with respect to small perturbations in the data of the control problem., European Research Council 668998, Accepted version

We develop an efficient sampling-free approximation scheme for moment-based distributionally robust nonlinear optimization problems. Our approach utilizes a smoothing method that allows the use of gradient-based optimization methods. We apply our scheme to finite-dimensional optimization problems and to optimal control problems with nonlinear partial differential equations. Furthermore, we apply the sample average approximation method to convex risk-neutral optimal control problems posed in Hilbert spaces and derive non-asymptotic error bounds, including exponential tail bounds, for their optimal controls and optimal values. Finally, we establish large deviations for the multilevel Monte Carlo mean estimator., Der Großteil der Arbeit befasst sich mit der Analyse und numerischen Umsetzung eines effizienten Ansatzes zur Approximation von momentenbasierten verteilungsrobusten nichtlinearen Optimierungsproblemen. Wir behandeln sowohl endlich-dimensionale Probleme als auch Steuerungsprobleme, die sich durch nichtlineare partiellen Differentialgleichungen ergeben. Desweiteren approximieren wir konvexe risikoneutrale Optimalsteuerungsprobleme, die in Hilberträumen gestellt sind, mittels empirischer Mittelwerte und leiten nicht-asymptotische Fehlerabschätzungen für optimale Steuerungen und Optimalwerte her. Im letzten Kapitel leiten wir große Abweichungen für Multilevel-Monte-Carlo-Schätzer her.

We derive pointwise best-approximation results for the stationary Stokes problem. For the instationary problem, we show approximation error estimates pointwise in time and in L² in space. To that end, we employ weighted norm and discrete resolvent estimates. We discuss discrete maximal regularity results for the instationary Stokes problem. Furthermore, we present applications of the stationary best-approximation results to optimal control problems with pointwise tracking or sparse control., Wir zeigen punktweise Bestapproximationsraten für das stationäre Stokes Problem. Für das instationäre Problem zeigen wir Approximationsraten punktweise in der Zeit und in L² im Ort. Dabei setzen wir gewichtete Norm- und diskrete Resolventenabschätzungen ein. Wir diskutieren diskrete maximale Regularität für das instationäre Stokes Problem. Des Weiteren präsentieren wir Anwendungen dieser Ergebnisse im stationären Fall für punktuelle Minimierungs- oder sparse Kontrollprobleme.

We develop an efficient sampling-free approximation scheme for moment-based distributionally robust nonlinear optimization problems. Our approach utilizes a smoothing method that allows the use of gradient-based optimization methods. We apply our scheme to finite-dimensional optimization problems and to optimal control problems with nonlinear partial differential equations. Furthermore, we apply the sample average approximation method to convex risk-neutral optimal control problems posed in Hilbert spaces and derive non-asymptotic error bounds, including exponential tail bounds, for their optimal controls and optimal values. Finally, we establish large deviations for the multilevel Monte Carlo mean estimator., Der Großteil der Arbeit befasst sich mit der Analyse und numerischen Umsetzung eines effizienten Ansatzes zur Approximation von momentenbasierten verteilungsrobusten nichtlinearen Optimierungsproblemen. Wir behandeln sowohl endlich-dimensionale Probleme als auch Steuerungsprobleme, die sich durch nichtlineare partiellen Differentialgleichungen ergeben. Desweiteren approximieren wir konvexe risikoneutrale Optimalsteuerungsprobleme, die in Hilberträumen gestellt sind, mittels empirischer Mittelwerte und leiten nicht-asymptotische Fehlerabschätzungen für optimale Steuerungen und Optimalwerte her. Im letzten Kapitel leiten wir große Abweichungen für Multilevel-Monte-Carlo-Schätzer her.