Search

Es ist eine weit verbreitete Wahrnehmung, dass der Übergang zwischen der Mathematik der gymnasialen Oberstufe und der Mathematik an der Universität für Studierende problematisch sein kann. Besondere Verständnisschwierigkeiten in Bereich der lineare Algebra (lA) bereiten den Studierenden die verschiedenen Herangehensweisen auf diesen beiden Ebenen. Dies lässt sich auf die strukturell-axiomatischer Herangehensweisen an die lA an der Universität, im Gegensatz zu ihrer arithmetisch-geometrischen Darstellung in der Schule, zurückführen. Dies bedingt ebenfalls Unterschiede im prozeduralen und konzeptuellen Verständnis. Ziel dieser Arbeit ist es, zu untersuchen, wie Schüler konzeptuelles Verständnis, Bezug nehmend auf die Theorien von concept definition/image in Verbindung mit multiplen Modi der Beschreibung und des Denkens von Konzepten wie Bilinearität z.B. Skalarprodukt und Multilinearität z.B. Determinanten gewinnen können. Um dies zu erreichen wurde eine substanzielle Lehr-Lernumgebung unter Verwendung einer dynamischen Geometriesoftware (DGS) entwickelt. Die Lerneinheit wurde an einem Berliner Gymnasium eingesetzt und dabei ein vollständiger design-based research Zyklus durchlaufen und eine multiple-level Datenanalyse durchgeführt. Die Ergebnisse der Untersuchung zeigen nicht nur, dass eine Erweiterung der Vorstellungen der Schüler, eine Entwicklung multipler Denkmodi und ein Gewinn tieferen konzeptuellen Verständnisses in der lA erfolgreich vermittelt werden können, sondern geben auch Einblicke in ein mögliches theoretisches Modell, mit dessen Hilfe sich diese Prozesse weiter untersuchen lassen. Weiterhin werden die interaktiven Lehr-Lernmaterialien für die weitere Verwendung im Rahmen von Lehre und Forschung zur Verfügung gestellt. Es öffnen sich neue Forschungsfragen hinsichtlich lokalen Axiomatisierens in der lA der gymnasialen Oberstufe, welches auf einer Integration geometrischer, algebraischer und axiomatischer Denkmodi, unterstützt durch DGS, basieren könnte., A common perception among researchers in mathematics education is that the transition between secondary- and tertiary level of mathematics may be problematic for the students. In particular, the exact and abstract nature of the theory of Linear algebra versus its arithmetic-geometric presentation in school appears to be difficult for the novice students. The application of properties for defining concepts at university in contrast to their usage for describing concepts in school points out a possible occurrence of obstacles for learning and discrepancies in procedural and conceptual understanding. The aim of this study is to examine how could upper-high school students develop a conceptual understanding based on concept definition and concept image in connection to multiple modes of description and thinking about concepts such as bi-linearity exemplified by the dot product of vectors and multi-linearity exemplified by determinants. In order to achieve this, I have created a specific teaching/ learning sequence in a dynamic geometry environment (DGE), then implemented it and evaluated it in a high school in Berlin, following a complete cycle of design-based research and conducting a multiple-level data analysis. The findings of the study show not only that widening students' concept images, developing multiple modes of thinking and gaining deeper conceptual understanding can successfully be mediated by dynamic geometries, but also give insights into an eventual theoretical model of how can they be further examined. Moreover, the study promotes authorized open-source interactive teaching/ learning materials for further sustainable practice and research. It opens new research questions about revisiting axiomatic approaches on local levels in upper high-school Linear algebra which may base on the integration of all three modes of description and thinking geometric, algebraic and abstract possibly facilitated by DGE.

Fachdidaktisches Wissenvon Lehrkräften gilt als ein entscheidendes Mo-ment für die Qualität von Unterricht. In den letzten Jahren werden daher ver-mehrt Möglichkeiten der erfolgreichen Unterstützung von Lehrkräften bei der Entwicklung fachdidaktischen Wissensdurch Fortbildungsangebotedis-kutiert und aufgezeigt. Elementar ist hier jedoch: Damit Fortbildungsange-bote überhaupt die Chance haben können, dieEntwicklung fachdidaktischen Wissens erfolgreich bedingen zu können, müssen Lehrkräfte an diesen Fort-bildungsangeboten teilnehmen. Empirisch abgesichertes Wissen über diffe-rentielles Verhalten von Lehrkräften bezüglich der (Nicht-) Teilnahme an Fortbildungsangeboten ist jedoch rar. Im Rahmen des DFG-Projekts Co2CA wurde daher am Beispiel zweier sich inhaltliche unterscheidenderFortbil-dungsangebote mittels hierarchischerClusteranalysen untersucht, welche Mathematiklehrkraft an welcherder beiden Fortbildungsangeboten teil-nimmt. Identifizierte Cluster wurden dann im Anschluss an die Clusterana-lysen durch das fachdidaktische Wissen der Mathematiklehrkräfte inhaltlich beschrieben

A deficit of traditional teacher education, is the fragmentation of teachers’ professional knowledge in single disciplines. While general measures from questionnaires are available, there is only little knowledge about student tea-chers’ perception of the complex interplay of their study areas, i.e. their per-ception of coherence. The present interview study investigates student tea-chers’ perception of coherence in mathematics teacher education. While re-cent studies report findings about coherence between theory and practice, we focus on coherence between mathematical content knowledge and pedago-gical content knowledge. We firstly identify inductively fields of knowledge that student teachers consider as relevant for their future profession as ma-thematic teachers. By means of qualitative content analysis we confirmed this category system deductively. Secondly,we investigate existing or requi-red coherence relations of these categories in teacher education. On the basis of these studies and further theoretical knowledge known from literature, we intend to develop a quantitative instrument to survey studentteachers’ per-ception of coherence in teaching

Räumliche Anforderungen begegnen Grundschulkindern sowohl in Form von schriftlichem und handlichem Aufgabenmaterial innerhalb der Schule als auch in Form von konkreten Orientierungsanforderungen im Realraum. Verschiedene Perspektiven mathematikdidaktischer Studien (vgl. Büchter, 2010) zu räumlichen Fähigkeiten beziehen sich vor allem auf ersteres Aufgabenmaterial, welches vom Betrachter von einem Blickpunkt aus visuellkognitiv erfasst werden kann. Sie beziehen demnach auf so genannte Small-Scale Fähigkeiten (vgl. Montello, 1993). Räumliches Denken im Realraum, welcher nur von mehreren Blickpunkten aus visuell-kognitiv erfasst werden kann und somit der Bewegung des Beobachters bedarf, wurde bisher nicht berücksichtigt. Eine Ausweitung des Konstruktes Raumvorstellung um so genannte Large-Scale Fähigkeiten zur Bewältigung räumlicher Anforderungen in realen Settings erscheint sinnvoll. Im Rahmen des eigenen Forschungsprojektes soll zunächst die Frage geklärt werden, wie und in welchem Maße räumliche Fähigkeiten in schriftlichen und realen Settings zusammenhängen.

Die Differential- und Integralrechung wurde im Zuge der Meraner Reform (1905) in die Lehrpläne der’höheren Lehranstalten‘ aufgenommen. In dieser Reform wurde die ”Erziehung zum funktionalen Denken“ als Sonderaufgabe gefordert. Funktionales Denken war dabei als gebietsübergreifendes Denken in Variationen und funktionalen Zusammenhängen mit Blick auf Bewegung und Veränderlichkeit gemeint. Der Analysisunterricht sollte Höhepunkt in einem organisch aufgebauten Mathematikunterricht sein, und die ”Erziehung zum funktionalen Denken“ wurde als Propädeutik zur Differential- und Integralrechnung gesehen. Ein oft beschriebenes Problem der derzeitigen Schulanalysis ist deren Kalkülorientierung, die oft losgelöst ist von inhaltlichen Vorstellungen. Die Dissertation ist als Beitrag zu einem qualitativ-inhaltlichen Zugang zur Analysis zu verstehen. In diesem Kontext wurden drei interaktive Lernumgebungen entwickelt, die auf Java Applikationen, welche mit der Dynamischen Geometrie Software "Cinderella" entworfen wurden, basieren. Die Applikationen akzentuieren die dynamische Komponente des funktionalen Denkens durch eine zweistufige dynamische Visualisierung und machen den Objektaspekt funktionaler Abhängigkeiten in besonderer Weise nutzbar. Dabei stehen qualitative Betrachtungen funktionaler Abhängigkeiten und deren Beschreibung im Vordergrund. Die Lernumgebungen wurden im propädeutischen Analysisunterricht im Rahmen einer qualitativen Studie in Klasse 10 an Berliner Gymnasien eingesetzt. Die Ergebnisse zeigen, inwiefern die Schülerinnen und Schüler inhaltliche Vorstellungen zu Konzepten der Analysis unter Ausnutzung der Lernumgebungen entwickelten und welche epistemologischen Hürden dabei sichtbar wurden. Die Ergebnisse werden im Hinblick auf eine Weiterführung des Unterrichts gedeutet und es werden insbesondere Ideen zu einer Fortführung, die sich aus der Arbeit ergaben, entwickelt. Die Arbeit besteht dementsprechend aus zwei großen Teilen: Der erste Teil dient der Entwicklung und Darstellung der begrifflichen und (lern-)theoretischen Grundlagen. Dabei wird der begriffliche Rahmen abgesteckt und begründet. Darauf basierend werden die Designprinzipien der interaktiven Lernumgebungen vorgestellt und analysiert. Diese werden schließlich lerntheoretisch verortet, um dann im zweiten Teil der Arbeit einer empirischen Studie unterzogen zu werden. Calculus was introduced to the German curricula as a result of the so-called 'Meraner Reform' of 1905. The 'education to functional thinking' was formulated as a specific task within this reform. Functional thinking was meant in a broader sense: as thinking in variations and functional dependencies spanning the whole mathematics education in terms of a fundamental idea, and especially the dynamic aspect of functional thinking was pointed out. Calculus was seen as culmination point reached by an organic structured mathematics education, and functional thinking can be seen as propaedeutics to calculus. A problem which is often described is that calculus at school is mainly procedure-oriented, and structural understanding is lacking. This dissertation is meant as a contribution to a qualitative structural-oriented approach to school calculus. In this context three interactive learning activities basing on Java applications created with the Dynamic Geometry Software ‘Cinderella’ were developed. The activities emphasize both the dynamic aspect as well as the object view of a functional dependency by using a double-stage visualization. By interactively visualizing functional dependencies simultanously in different representations the students are enabled to explore various aspects of functional dependencies in a qualitative way. The activities were used within a propaedeutic analysis course in a qualitative study with 10th grade students in different secondary school classes in Berlin, Germany. The results show how the students developed qualitative mental concepts in calculus using the interactive activities and which epistemological obstacles appeared. The results are interpreted with regard to the continuation of this approach in an analysis course and some ideas resulting from the study are developed. The dissertation consists of two parts: Within the first part the underlying notions and the basic principles concerning learning theoretical aspects are developed and presented. Basing on this theoretical background the design principles of the learning activites are introduced and analysed. After refering the design principles to the underlying learning theoretical background, the activites are used in a qualitative study which is described in the second part of this work.

Mathematische Vorkurse sehen sich als Brücke zwischen Schule und Universität mit einer Reihe von Problemen konfrontiert, denen in Kassel durch ein neu entwickeltes eVorkurskonzept seit Jahren erfolgreich begegnet wird. Im Vortrag werden die zentralen Bestandteile des Kurskonzeptes, das Präsenz- und Selbstlernphasen durch den Einsatz einer Lernplattform innovativ kombiniert, vorgestellt. An Beispielen aus der Analysis werden Elemente der Vorkursmaterialien illustriert. Basierend auf Ergebnissen einer angelagerten Studie zur Evaluation der Kurse sowie zur Analyse der Teilnehmer und ihrer Leistungen wird diskutiert, unter welchen Bedingungen und in welchen Kontexten das Kurskonzept sinnvoll in der Hochschule eingesetzt werden kann.

This thesis concerns problems arising in dynamic geometry and numerical integration, where complex detours play an important role. In the first part, fundamental questions in continuous dynamic geometry are studied. We develop a formal model and investigate, among others, problems of existence. In the second part, complexity theoretic issues from continuous dynamic geometry are addressed. By doing so, new bounds for the so-called Reachability Problem are proved. In the third part, we apply complex detours in the context of numerical integration. It is studied, how this increases the order of convergence of a method. Die Dissertation beschäftigt sich mit Problemstellungen dynamischer Geometrie und numerischer Integration, bei denen komplexe Umwege von Bedeutung sind. Im ersten Teil werden grundlegende Fragen stetiger dynamischer Geometrie behandelt. Es werden ein formales Modell entwickelt und u.a. Existenzfragen studiert. Im zweiten Teil werden komplexitätstheoretische Probleme stetiger dynamischer Geometrie untersucht. In diesem Zuge werden neue Komplexitätsschranken für das so genannte Erreichbarkeitsproblem gezeigt. Im dritten Teil werden komplexe Umwege im Rahmen numerischer Integration angewendet. Es wird untersucht, wie diese einen zusätzlichen Konvergenzgewinn erzielen.

This thesis concerns real plane algebraic curves and their attributes. It can be ascertained that real curves are best represented by complex numbers. In this case, normal forms and the behavior of curves under transformations of the plane can be described quite intuitively. Rotations of the plane effectuate rotations of the curve-coefficients. Even more: A translatorial normal form is accessible just by greedily making coefficients vanish. The presented form also permits an easy symmetry-detection. Potential rotational and reflectional symmetries can be uncovered by finding additional coefficient patterns and by analyzing angle diagrams. Invariant attributes of curves are visualized by closed tensor-diagrams with the desired tensors as nodes. Diagrammatical calculation rules cut complicated situations down and geometric properties of the curve have a simplified representation. Diese Arbeit beschäftigt mit reellen ebenen algebraischen Kurven und ihren Eigenschaften. Dabei stellt sich heraus, dass reelle Kurven am besten durch komplexe Zahlen repräsentiert werden. Das Transformationsverhalten und Normalformen lassen sich in ihnen wesentlich einfacher beschreiben. So bewirken Rotationen der Ebene entsprechende Rotationen der Kurvenkoeffizienten. Eine translatorische Normalform kann darüber hinaus durch Auslöschung von Kurvenkoeffizienten erreicht werden. Eine derartige Form vereinfacht die Erkennung etwaiger Rotations- und Spiegelsymmetrien: Es sind nur Koeffizientenmuster aufzudecken und Winkeldiagramme zu analysieren. Für die Darstellung invarianter Eigenschaften werden Tensordiagramme herangezogen. Dabei genügt es geschlossene Diagramme aus den gewünschten Tensonsorknoten zu erstellen. Diagramm-Rechenregeln schaffen zusätzliche Vereinfachungen, um geometrische Eigenschaften der Kurven ansprechend darzustellen.

The paper focuses on two research questions:(1) How can a math picturebook contribute to acquiring math concepts? and (2) Which connections among the vertices of the SDT (socio-didactical tetrahedron)become most prominent and most empowered during the process of using a picturebook in class? The study was conducted as part of an interdisciplinary project, Math Picturebooks, funded by the University of Zagreb. The results show that the use of picturebooks contributed to new mathematical knowledge as well as to pupils’ motivation. The process of teaching and learning mathematical concepts through art is complex and multi-layered, and it is beneficial for the development of various aspects of a child's personality.