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In this work, the phenomenon of chemotaxis is modeled, mainly by focusing on the Keller-Segel model, as well as other variants of it. Furthermore, we carry out approximations of finite differences in time and different schemes in space, such as: finite differences (FD), finite elements (FE) and finite volumes (FV). Subsequently, the schemes are particularized to a one-dimensional spatial domain and numerical simulations are performed. Analyzing the results, spurious oscillations are observed in the centered approximations and upwind schemes are proposed in each of the approximations in space: FD, FE and FV. It is proved that the three upwind schemes are equivalent in 1D and they correct the numerical oscillations of the centered schemes. In addition, the upwind scheme is proven to be solvable, and preserves the properties of conservation of total cell number, and non-negativity of cells and chemical substance, these properties are corroborated with numerical simulations. Finally, the discretization techniques developed in this work are applied to other models with chemotaxis. En este Trabajo de Fin de Grado se modeliza el fenómeno de la quimiotaxis principalmente centrándonos en el modelo de Keller-Segel, además de otras variantes del mismo. A su vez, realizamos aproximaciones numéricas del tipo diferencias finitas en tiempo y distintos esquemas en espacio, tales como: diferencias finitas (DF), elementos finitos (EF) y volúmenes finitos (VF). Posteriormente, se particularizan los esquemas a un dominio espacial unidimensional y se realizan simulaciones numéricas. Analizando los resultados, se observan oscilaciones espúreas en las aproximaciones centradas, y se proponen esquemas descentrados en cada una de las aproximaciones en espacio: DF, EF y VF. Se prueba que los tres esquemas descentrados son equivalentes en 1D y corrigen las oscilaciones numéricas de los esquemas centrados. Además, se prueba que el esquema descentrado tiene solución, y preserva las propiedades de conservación de la cantidad total de células y de no negatividad de células y química, estas propiedades se corroboran con las simulaciones numéricas. Finalmente se aplican las técnicas de discretización desarrolladas en este trabajo a otros modelos con quimiotaxis. Universidad de Sevilla. Doble Grado en Física y Matemáticas

The main aim of this project is to study the so-called soliton ratchet phenomena in a FrenkelKontorova model, by making use of the collective coordinate approximation. From a mathematical point of view, the discrete double sine-Gordon equation will be considered. This system, which consists of N coupled second-order ordinary differential equations (ODEs), will be reduced to a system of just two coupled second-order ODEs, in terms of the collective coordinates, that is, the center of mass X(t) and the width l(t) of the topological soliton, or kink, solution. Once these equations are obtained, the aim is to look at whether the different motion regimes that this reduced system show adequately approximate the full system. El objetivo principal de este proyecto es estudiar el llamado fen´omeno ratchet de solitones en un modelo de Frenkel-Kontorova, haciendo uso de la aproximaci´on de coordenadas colectivas. Se estudiar´a la ecuaci´on discreta de doble sine-Gordon desde un punto de vista matem´atico. Este sistema, que est´a formado por N ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) acopladas de segundo orden, se reducir´a a un sistema de solo dos EDOs acopladas de segundo orden en t´erminos de las coordenadas colectivas, es decir, el centro de masa X(t) y la anchura l(t) de la soluci´on de solit´on topol´ogico, tambi´en llamada kink. Una vez obtenidas estas ecuaciones, el objetivo es ver si los diferentes reg´ımenes de movimiento que muestra este sistema reducido se aproximan adecuadamente al sistema completo. Universidad de Sevilla. Máster Universitario en Matemáticas

Mathematical modelling and numerical optimization are applications of Mathematics with a huge potencial, being able to help a lot of disciplines appart from Mathematics. In this work, the model of Chemotaxis will be studied, which is related with the movement and pattern formation of cells and bacterias. In particular, our base will be the Keller-Segel model. After a breaf theorical study of this model, the fundamental purpose of this work will be making numerical simulations using Matlab software and studying the possibility of controlate this system. For getting numerical simulations, numerical schemes used will be based on the discretization of one of the independependent variables of our problem (space and time), and the other one will be solved by previously defined Matlab functions. To make the different controls showed in this work (space, time, and space-time controls) two different techniques will be proposed: the first one is calculating the minimum of the functional directly by a numerical optimization algorithm, and the second one is solving an optimality system. Finally, the results obtained will be analyzed and compared. La modelización matemática y la optimización numérica son aplicaciones de las Matemáticas con un gran potencial, siendo capaces de ayudar e impulsar muchas disciplinas aparte de las mismas Matemáticas. En este trabajo se estudiará el modelo de la Quimiotaxis, que está relacionado con el movimiento y la formación de patrones de células y bacterias. En particular, nuestra base será el modelo de Keller-Segel. Después de un breve estudio teórico de dicho modelo, el propósito de este trabajo será hacer simulaciones numéricas usando el software Matlab y estudiar la posibilidad de controlar este sistema. Para realizar las simulaciones numéricas, se usarán esquemas numéricos que se basarán en la discretización en una de las dos variables independientes de nuestro problema (espacio y tiempo), y en la otra se utilizarán funciones que están previamente definidas con Matlab. Para realizar los distintos tipos de controles que se mostrarán en este trabajo (control en tiempo, control en espacio, y control en espacio y en tiempo) se propondrán dos técnicas diferentes: la primera será calcular directamente el mínimo del funcional con el que se esté trabajando a través de un algoritmo de optimización numérica, y la segunda será resolviendo un sistema de optimalidad. Finalmente, los resultados obtenidos serán analizados y comparados entre sí. Universidad de Sevilla. Doble Grado en Física y Matemáticas

Orientador: Professor Pedro Danizete Damázio Coorientador: Professor Francisco Manuel Guillén-González Tese (doutorado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Matemática. Defesa : Curitiba, 21/01/2022 Inclui referências: p. 151-154 Resumo: Neste trabalho, investigamos um modelo de quimioatração com consumo, que chamamos de modelo original, em domínios não-suaves e limitados de Rd (d = 1, 2, 3). Os termos não-lineares relacionados aos fenômenos de quimiotaxia e consumo introduzem muitas dificuldades na análise do modelo original, principalmente para sua simulação numérica. A fim de superar estas dificuldades, propomos e analisamos um modelo regularizado, estabelecendo resultados sobre a existência, unicidade, propriedades de regularidade e convergência para o modelo original. Após estabelecer a convergência do modelo regularizado para o modelo original, procedemos à aproximação numérica do modelo regularizado. Introduzimos três esquemas numéricos totalmente discretos baseados em Elementos Finitos. Para cada esquema, estudamos a existência de solução, a convergência para o modelo regularizado, as condições para a unicidade de solução e as taxas de erro em termos dos parâmetros de discretização. Abstract: In this work we investigate a chemo-attraction with consumption model, which we call the original model, in non-smooth bounded domains of Rd (d = 1, 2, 3). The non-linear terms related to the chemotaxis and consumption phenomena introduce many difficulties to the analysis of the original model, mainly for its numerical simulation. In order to overcome these difficulties, we propose and analyze a regularized model, establishing results on existence, uniqueness, regularity’s properties and convergence towards the original model. After establishing convergence of the regularized model towards the original model, we proceed to the numerical approximation of the regularized model. We introduce three fully discrete numerical schemes based on Finite Elements. For each scheme, we study the existence of solution, the convergence towards the regularized model, the conditions for uniqueness of solution and the accurate rates for the error in terms of the discretization parameters.

This thesis is dedicated to modeling and analyzing mathematically the development of Glioblastoma. Thanks to considering the vasculature as an additional variable, it is possible to obtain more realistic mathematical models from the biological point of view and, in addition, to introduce the possibility of different types of tumor cell movement such as non-linear diffusion or chemotaxis related to the vasculature. In the Introduction (Chapter 1), we present the problem that we will studied in this thesis. We begin explaining the biological characteristics of Glioblastoma and we mention some studies made with real data and using mathematical models. Later, we design a general PDE-ODE model with nonlinear diffusion and chemotaxis detailing the modeling of the Glioblastoma effects. In addition, we present three models obtained from the general model, which we study in the different Chapters, with their main results. Finally, we will discuss the differences between the nonlinear diffusion and chemotaxis models and show some open problems. In Chapter 2, we study the PDE-ODE system with linear diffusion (and without chemotaxis) obtained as a simplification of the general Glioblastoma model introduced in Chapter 1. Mainly, we prove the existence and uniqueness of the global classical solution in time using a fixed point argument. Furthermore, we show some long-term behaviour results of the solution depending on some conditions in the parameters which appear in the model. In Chapter 3, we analyse a PDE-ODE model derived form the general one, which includes a nonlinear anisotropic diffusion term with a diffusion rate that increases relative to the vasculature and without chemotaxis. First, we prove the existence of global strong-weak solutions in time using a regularization technique through artificial diffusion in the ODE system and a fixed point argument. Furthermore, the long-term behaviour results of the critical points are given under some constraints on the parameters. Finally, we design a completely discrete finite element numerical scheme for the model that preserves the point and energy estimates of the continuous problem. In Chapter 4, we prove through numerical simulations that the model considered in Chapter 3 captures different types of tumor growth by suitably changing the parameters of the model. First, we make a dimensionless study in order to reduce the number of parameters. Later, we detect the main parameters that determine the different widths of the ring formed by proliferative and necrotic cells and the different regular/irregular behaviour of the tumor surface; aspects that define in many cases the aggressiveness of tumor. In Chapter 5, we consider the third PDE-ODE model obtained from the general one presented Chapter 1, including a chemotaxis term directed to vasculature and linear diffusion. First, we obtain some a priori estimates for the (possible) solutions of the model. In particular, under some constraints on the parameters, we obtain that the system can not produce blow-up in finite time. Next, we design a totally discrete finite element scheme for the model that preserves some point estimates of the continuous problem. Finally, in Chapter 6, we make a similar study to the Chapter 4, although now the model used is the one that includes the chemotaxis term. Esta tesis está dedicada a modelar y analizar matemáticamente el desarrollo del Glioblastoma. Gracias a considerar la vasculatura como una variable adicional, es posible obtener modelos matemáticos más realistas desde el punto de vista biológico y, además, introducir la posibilidad de diferentes tipos de movimiento de las células tumorales como la difusión no lineal o la quimiotaxis relacionadas con la vasculatura. En la Introducci´on (Capítulo 1), presentamos el problema que se estudiará a lo largo de la tesis. Comenzaremos explicando las características biológicas del Glioblastoma y mencionaremos algunos estudios realizados a trav´es de datos reales y usando modelos matemáticos. Posteriormente, diseñaremos un modelo general PDE-ODE con difusión no lineal y quimiotaxis detallando en la modelización, los efectos del Glioblastoma. Además, presentaremos tres modelos obtenidos a partir del modelo general, que estudiaremos en los diferentes Capítulos, con sus principales resultados. Por último, comentaremos las diferencias entre los modelos con difusiión no lineal y con quimiotaxis y mostraremos algunos problemas abiertos. En el Capítulo 2, estudiamos el sistema PDE-ODE con difusión lineal (y sin quimiotaxis) obtenido como una simplificación del modelo general de Glioblastoma introducido en el Capítulo 1. Principalmente, probamos la existencia y unicidad de la solución clásica global en el tiempo utilizando un argumento de punto fijo. Además, mostramos algunos resultados de comportamiento a largo plazo de la solución dependiendo de algunas condiciones sobre los par´ametros que aparecen en el modelo. En el Cap´ıtulo 3, analizamos un modelo PDE-ODE obtenido del general, que incluye un término de difusi´on anisotr´opica no lineal con una velocidad de difusión que aumenta con respecto a la vasculatura y no presenta quimiotaxis. Primero, probamos la existencia de soluciones débiles-fuertes globales en el tiempo utilizando una técnica de regularización a través de una difusión artificial en el sistema ODE y un argumento de punto fijo. Además, los resultados de comportamiento a largo plazo de los puntos críticos se dan bajo algunas restricciones en los parámetros. Finalmente, diseñamos un esquema numérico completamente discreto de elementos finitos para el modelo que conserva las estimaciones puntuales y de energía del problema continuo. En el Capítulo 4, probamos mediante simulaciones num´ericas, que el modelo considerado en el Capítulo 3 captura diferentes tipos de crecimiento del tumor cambiando adecuadamente los par´ametros del modelo. En primer lugar, realizamos un estudio adimensional para reducir el n´umero de par´ametros. Posteriormente, detectamos los principales par´ametros que determinan los diferentes anchos del anillo formado por c´elulas proliferativas y necróticas y los diferentes comportamientos regular/irregular de la superficie tumoral; aspectos que determinan en muchos casos la agresividad del tumor. En el Capítulo 5, consideramos el tecer modelo PDE-ODE obtenido del general presentado en el Capítulo 1, que incluye un término de quimiotaxis dirigido a la vasculatura y difusión lineal. Primero, obtenemos algunas estimaciones a priori para las (posibles) soluciones del modelo. En particular, bajo algunas condiciones sobre los par´ametros, obtenemos que el sistema no puede producir explosion en tiempo finito. A continuaci´on, dise˜namos un esquema de elementos finitos totalmente discreto para el modelo que conserva algunas estimaciones puntuales del problema continuo. Finalmente, en el Capítulo 6 realizamos un estudio similar al realizado en el Capítulo 4, si bien ahora el modelo utilizado es el que incluye el término de quimiotaxis.

Tanto la mejora de las propiedades resistentes de los materiales constructivos como los mayores requerimientos estéticos de las sociedades modernas han originado un claro incremento de la esbeltez de las estructuras de ingeniería civil. Dicha elevada esbeltez es la principal causa tanto de la tendencia que presentan dichas estructuras a sufrir problemas vibratorios inducidos por las acciones exteriores como de que su repuesta sea cada vez más sensible a la variabilidad de los condicionantes operacionales y ambientales. Tal es la influencia de estos factores sobre el comportamiento de dichas estructuras, que sus efectos deben ser considerados como aspecto clave durante el diseño conceptual de las mismas. Una forma habitual de controlar las vibraciones en estructuras de ingeniería civil es instalar en las mismas algún tipo de sistema de disipación de energía (sistemas de control). Dichos sistemas se clasifican en uno de estos tres grupos en función de la fuente de energía exterior que necesiten para garantizar su adecuado funcionamiento: (i) sistemas de control pasivo; (ii) sistemas de control semi-activo; y (iii) sistemas de control activo. De entre los sistemas de control, los denominados sistemas de masa inercial han sido ampliamente utilizados en estructuras de ingeniería civil. Dichos sistemas de masa inercial pueden presentar un comportamiento activo, semi-activo o pasivo mediante una leve modificación de sus parámetros constituyentes. Los algoritmos de diseño existentes para caracterizar los parámetros constituyentes de dichos sistemas inerciales presentan tres grandes problemas: (i) su formulación difiere en función del comportamiento requerido; (ii) su implementación en proyectos reales es difícil debido a su complejidad; y (iii) no se ha analizado en detalle su rendimiento bajo condiciones de incertidumbre asociadas a la variabilidad ambiental y operacional. Al objeto de dar solución a dichas limitaciones se presenta, formula e implementa en este trabajo un algoritmo de diseño basado en el movimiento de la estructura. Según dicho algoritmo, el problema de diseño es transformado en un problema de optimización. Dicho problema de optimización queda definido a partir de: (i) una función multi-objetivo (doble objetivo) cuyo primer término se define en función del coste del sistema de control y cuyo segundo término refleja los requisitos que debe cumplir la estructura; (ii) unas variables de diseño, que son los parámetros constituyentes del sistema de control que debemos definir; y (iii) un dominio de búsqueda, que establece el rango de variación de los parámetros de diseño para garantizar el sentido físico de la solución obtenida. Dicho método de diseño es formulado tanto bajo condiciones deterministas como estocásticas mediante el cambio en la definición de las restricciones del problema. De esta forma, el segundo término de la función objetivo será definido de diferente manera en función de las condiciones consideras: (i) como una ratio que caracteriza el estado límite de servicio de vibraciones bajo condiciones deterministas; y (ii) un análisis de la fiabilidad de dicho estado límite de servicio bajo condiciones estocásticas. Finalmente, el método ha sido implementado para el diseño de un sistema de control de masa inercial instalado sobre una pasarela peatonal; considerando sus tres posibles comportamientos (pasivo, semi-activo y activo) y las dos condiciones consideradas (deterministas y estocásticos). The improvements of the strength properties of the construction material together with the higher aesthetic requirements of the modern societies have caused a clear increase of the slenderness of the civil engineering structures. This high slenderness is the main cause of both the tendency of these structures to suffer from vibratory problems induced by external actions and that their response is more sensitive to the variability of the operational and environmental conditions. Such is the influence of these factors in the behaviour of these structures that their effects must be considered as key aspect during their conceptual design phase. A usual way to control the vibrations in civil engineering structures is to install on them some type of energy dissipation system (control system). These systems can be classified in one of these groups in terms of the external power source needed to guarantee an adequate performance: (i) passive control systems; (ii) semi-active control systems; and (iii) active control systems. Among these control systems, the so-called inertial mass dampers have been widely used in civil engineering structures. These inertial mass dampers can show an active, semi-active or passive behaviour via a slight variation of their constituent parameters. The existing design algorithms, to characterize the constituent parameters of these inertial systems, present three main limitations: (i) their formulation differ in terms of considered behaviour: (ii) its implementation in real project is difficult due to their complexity; and (iii) their performance have not been analysed in detail under stochastic conditions associated with the operational and environmental variability. In order to shed light to these limitations, a motion-based design algorithm has been presented, formulated and implemented herein. According to this algorithm the design problem is transformed into an optimization problem. This optimization problem may be defined as: (i) a multi-objective function (two objectives) whose first term is expressed in terms of the cost of the control system and whose second terms reflects the requirements that the structure must meet; (ii) design variables, which are the constituent parameters of the control system that we must design; (and iii) a search domain, which establishes the variation range of the design variables to guarantee the physical meaning of the solution obtained. This method has been formulated either under deterministic conditions or under stochastic conditions via the modification of the requirements of the problem. In this manner, the compliance of the vibration serviceability limit state will be used to define the second terms of the objective function under deterministic conditions and a reliability analysis of this serviceability limit state will be considered to define this second term under the stochastic conditions. Finally, the method has been implemented to design an inertial mass damper which has been installed on a footbridge considering the three possible behaviours (passive, semi-active and active) and the two conditioning factors (deterministic and stochastic). Universidad de Sevilla. Máster Universitario en Matemáticas

Texto completo descargado desde Teseo Los modelos matemáticos de circulación global de la atmósfera y el océano terrestre han alcanzado una gran importancia en las últimas décadas, debido a que constituyen piezas básicas para modelos climáticos globales que, aun a pesar de su enorme complejidad, han empezado a ser abordables a medida que la potencia de cálculo de los ordenadores aumenta. En la tesis se desarrollan esquemas numéricos para la aproximación tanto de las Ecuaciones Primitivas del Océano (fluido hidrostático) como, de una forma más general, del problema más realista de las ecuaciones de Navier-Stokes Anisótropas (fluido ``casi-hidrostático''), evitando las inestabilidades numéricas que aparecen en la aproximación mixta con Elementos Finitos estándar. La práctica totalidad de los modelos numéricos que se emplean en la actualidad para el análisis y la resolución numérica de estos problemas se centran en fluidos hidrostáticos, que son integrados verticalmente y transformados así en esquemas integro-diferenciales. Éstos presentan numerosas ventajas pero también algunos inconvenientes, en particular son difícilmente implementables si el dominio es mallado de forma no estructurada en vertical. Este trabajo se centra en esquemas basados en triangulaciones generales del dominio, en general con mallas no estructuradas, lo que permite usar códigos de Elementos Finitos standard y técnicas asociadas como la adaptación de malla, así como sacar el máximo partido posible a las herramientas de software disponibles. Se proponen en la tesis dos métodos diferentes para la aproximación en espacio: 1) La introducción de nuevas combinaciones estables de Elementos Finitos en la formulación mixta de tipo Galerkin, aproximando de diferente forma las componentes horizontales de la velocidad respecto a la componente vertical (de hecho, la idea es aproximar con más grados de libertad la velocidad horizontal que la vertical). Esto conforma el Capítulo 2, donde se analiza desde distintos puntos de vista este hecho, incidiendo en que, además de una restricción similar a la bien conocida condición inf-sup (ó LBB) para el problema de Stokes (no hidrostático), es necesaria una segunda restricción sobre la velocidad vertical. En particular, en el Capítulo 2 se establecen condiciones necesarias para esta segunda restricción y se comprueba que no son verificadas por las combinaciones de Elementos Finitos más habituales para el problema de Stokes. Aparece, así, la necesidad de utilizar nuevas combinaciones estables de elementos finitos que sí verifiquen dicha restricción. Por este motivo, el Capítulo 1 realiza estudio previo sobre aproximaciones estables del problema de Stokes (no hidrostático) con distintos Elementos Finitos distintos para las distintas componentes de la velocidad. En concreto, se demuestra (para polinomios de grado 1, grado 2 y ``burbujas'') que, en mallas que no sean estructuradas verticalmente, para obtener una combinación de Elementos Finitos que sea estable (en el sentido LBB) es suficiente que el espacio donde se aproxima la velocidad horizontal sea más rico que el espacio de presiones, mientras que el espacio para la velocidad vertical puede aproximarse por los mismos Elementos Finitos que la presión. Numerosos experimentos numéricos corroboran resultados obtenidos en los Capítulos 1 y 2, además de sugerir respuestas sobre problemas abiertos, órdenes de error, etc. 2) En el Capítulo 3, la introducción de un término de tipo residual (proveniente de la ecuación de incompresibilidad) en la ecuación del momento lineal vertical permite estabilizar la consiguiente reformulación variacional, eliminando las restricciones sobre la velocidad vertical y permitiendo usar las aproximaciones por Elementos Finitos que son habituales en el problema de Stokes. Se demuestra que se puede garantizar la coercividad de la forma bilineal asociada a esta reformulación y así obtener tanto estimaciones de energía como estimaciones de error. Más aún, demostramos que se trata de estimaciones de error óptimas, lo cual es corroborado por simulaciones numéricas. Una segunda reformulación es introducida en el Capítulo 3, con la intención de controlar la derivada vertical de la presión. Para ello se añade un segundo término consistente, gracias al cual se demuestra que el esquema numérico está bien planteado y se obtienen nuevas estimaciones de error (que en este caso solamente son óptimas para elementos de tipo ``burbuja''). Aproximación en tiempo: En el capítulo 4 se estudia la aproximación en tiempo de modelos no lineales hydrostático y ``casi-hidrostático'' acoplados con densidad variable mediante la hipótesis de Boussinesq, donde la densidad depende de la salinidad y temperatura mediante una ecuación de estado (lineal), mientras que la salinidad y temperatura verifican sendas ecuaciones de convención-difusión (donde la convención acopla con el sistema de momentos). Se estudia un esquema en tiempo de primer orden lineal, que desacopla la parte fluido de la salinidad y temperatura, que es incondicionalmente estable en el sentido que hereda las estimaciones a priori del problema continuo. A continuación, se aborda un primer intento para crear un esquema completamente desacoplado. Para ello, se utiliza la técnica de proyección, que funciona satisfactoriamente en el caso del problema de Stokes (no hidrostático). El problema es que esta técnica no se extiende directamente para un problema hidrostático y, de hecho, se comprueba numéricamente que los esquemas ``casi-hidrostáticos'' son inestables cuando el cociente de aspecto (la razón entre profundidad y medidas horizontales) tiende a cero. Por último, se diseña un esquema completamente desacoplado que resulta estable numéricamente, tanto en esquemas hidrostáticos como ``casi-hidrostáticos'', cuando el cociente de aspecto tiende a cero. Además, se obtienen estimaciones a priori de este esquema, de manera formal. Respecto a la aproximación en espacio, se usa la formulación estable del Capítulo 3. En resumen, en la tesis se estudian, tanto desde el punto de vista analítico como numérico, nuevos esquemas numéricos en espacio y tiempo que son eficientes para fluidos hidrostáticos y casi-hidrostáticos.

Applied Mathematics research is expanding to encompass quantitative physical phenomena of growing importance. These quantitative phenomena include many interesting applica- tions, such as, biomathematics and industrial applications. The study of the mathe

En esta Tesis nos centramos en el análisis numérico del método de descomposición de la viscosidad y del método de proyección incremental, aplicados a NS y EP posteriormente. Por otro lado, en cuanto al método de proyección no incremental (sin corrección de presión), ya ha sido profundamente estudiado para el caso de Navier Stokes por otros autores, en [7], [29] y [30], de dos maneras distintas: la primera usando una formulación mixta velocidad presión y haciendo uso de la condición inf-sup para los espacios discretos aproximantes y la segunda, utilizando la formulación de la presión segregada sin imponer la condición inf-sup, si bien, en ambos casos no se consiguen estimaciones Žoptimas para el error de la presión, debido a que aunque el método no necesite una presión inicial para conseguir estabilidad y orden óptimo en velocidad, las condiciones de contorno artificiales para la presión generan una capa límite, que justifica la pérdida de aproximación para la presión del método. La extensión del estudio realizado en la memoria para NS al caso de EP no es en absoluto directa, debido a las dificultades añadidas que nos encontramos en las EP, principalmente la pérdida de regularidad de la velocidad vertical y la integración global en vertical. De hecho, los resultados obtenidos para NS con el método de descomposición de la viscosidad no se pueden obtener para EP.

El objetivo básico de esta Memoria es aportar nuevos resultados teóricos de existencia, unicidad y dependencia continua de soluciones para algunos sistemas de ecuaciones en derivadas parciales que describen el comportamiento de ciertas clases de fluidos no Newtonianos. En concreto ... , consideramos fluidos de Bingham, pseudoplásticos y dilatantes con densidad variable y fluidos viscoelásticos de tipo Oldroyd.En el Capítulo 1, introducimos, en la Sección 1.1, el problema (FVPD). En la Sección 1.2, enunciamos y demostramos un resultado de existencia de solución muy débil global en tiempo para (FVPD). También presentamos un resultado que, además de justificar la introducción del concepto de solución muy débil, da condiciones suficientes para que éstas sean de hecho soluciones débiles. En la Sección 1.3, damos la definición de solución medida-valuada para (FVPD) y probamos existencia de tal solución (global en tiempo) para todo r>1. En la sección 1.4, probamos existencia de solución débil global en tiempo para (FVPD) cuando r≥12/5 ( y para todos los fluidos dilatantes cuando ΩR2).En el Capítulo 2, en la Sección 2.1, estudiamos la cuestión de la unicidad de solución para (FVPD). Aunque éste sea un problema abierto, logramos obtener resultados parciales, a costa de imponer a la solución determinadas propiedades de regularidad. En la sección 2.2, consideramos el caso en el que los coeficientes v y ∞ son variables (más precisamente, dependen continuamente de p). Tras introducir las nuevas ecuaciones a resolver, puesto que la ecuación de movimiento ha de ser modificada, presentamos resultados de existencia de solución muy débil y medida-valuada, además de comentar la cuestión de la unicidad en este caso.En el Capítulo 3, Introducimos en la Sección 3.1 el problema (FVE)ev. En la Sección 3.2, enunciamos y probamos dos resultados para (FVE)ev: existencia de solución fuerte local en tiempo para datos arbitrarios y existencia de solución fuerte global en tiempo para datos pequeños. Estos resultados son establecidos fuera del marco Hilbertiano. En la Sección 3.3, presentamos un resultado de unicidad de solución (FVE)ev (que es análogo al resultados de unicidad de solución regular del problema de Navier-Stokes) y un resultado de dependencia continua para las soluciones locales (FVE)ev. En la Sección 3.4, hacemos referencia a posibles extensiones de nuestros resultados a otros modelos de fluidos no Newtonianos. En la Sección 3.5, discutimos sobre una importantes cuestión abierta para (FVE)ev: la Existencia de solución débil global en tiempo para datos arbitrarios.En el Capítulo 4, en primer lugar, en la Sección 4.1, presentamos el problema (FVE)est. A continuación en la Sección 4.2, enunciamos y probamos los siguientes resultados: existencia, unicidad y dependencia continua de solución fuerte "pequeña" para (FVE)est cuando el dato f es suficientemente pequeño. Como en el caso evolutivo, este resultado también es establecido fuera del marco Hilbertiano.En el Capítulo 5, en la Sección 5.1, presentamos las ecuacions (0.13)-(0.14) en coordenadas cilíndricas y el razonamiento que nos conduce al problema (FVE)fP. En la sección 5.2, enunciamos y demostramos los siguientes resultados: existencia, unicidad y dependencia continua de solución semi-fuerte (y fuerte) global en tiempo (FVE)fP. En la sección 5.3 comentamos sobre otras cuestiones relacionadas con este problema.Por último, mencionemos que versiones abreviadas de los principales resultados de los Capítulos 1, 2 y 3 han sido publicados en [21] y [22]. Posteriormente, los resultados obtenidos en la Parte I por un lado y en la Parte II por otro, constituyeron los objetivos de estos trabajos de próxima aparición, [23] y [24], respectivamente.