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Teaching abstract algebra, seen as the study of structures and properties of structures, at a university level appears to be a challenge for both students and faculty. The professors in our study describe this passage through abstraction for the student body as a "killing game", an "impassable wall" or a "leap through abstraction". In this paper, based on a case study (Candy, 2020) we will investigate the choices of professors teaching abstract algebra at university. These professors were chosen because they teach abstract algebra at university in France, and they gave us access to their course corpus and agreed to be interviewed. In this article, we will choose to study in particular the teaching of the concept of ideal. An epistemological analysis will allow us to highlight its central role in the construction of abstract algebra. Then, using the anthropological theory of didactics (Chevallard, 1998), we will try to specify the place of examples and exercises in the praxis of the student body., Enseigner l'algèbre abstraite, vue comme l'étude des structures et des propriétés des structures, à un niveau universitaire apparaît être un challenge pour les corps étudiant et professoral. Les professeurs de notre étude décrivent ce passage à travers l'abstraction pour le corps étudiant comme un « jeu de massacre », un « mur infranchissable » ou encore « un saut à travers l'abstraction ». Dans cet article, en appui sur une étude de cas (Candy, 2020) nous allons étudier les choix de professeurs enseignant l'algèbre abstraite à l'université. Ces professeurs ont été choisis car ils enseignent l'algèbre abstraite à l'université en France, de plus ils nous ont donné accès à leur corpus de cours et ont accepté d'être interviewés. Dans cet article, nous choisirons d'étudier en particulier l'enseignement du concept d'idéal. Une analyse épistémologique nous permettra de mettre en évidence son rôle central dans la construction de l'algèbre abstraite. Puis, en utilisant la théorie anthropologique du didactique (Chevallard, 1998), nous chercherons à préciser la place des exemples et exercices dans la praxis du corps étudiant.

Due to the COVID-19 pandemic in Shanghai, China, all school classes were delivered through an online environment from February 24 to May 22, 2020. To support this transition, the Shanghai Education Commission led expert teachers and specialists to develop a series of online video lessons based on the Shanghai unified curriculum, and suggested students watch the online video lessons individually from home, followed by an online synchronous lesson supported by class teachers. This study investigated what primary mathematics teachers learned from addressing these challenges through a case study. By following two purposefully selected teachers over 2 weeks during the transition, multiple data sets including online video lessons, online synchronous lessons, daily reflections, and post-online teacher interviews were collected. A fine-grained analysis of the data from the lens of the documentational approach to didactics found that teachers adaptively used online video lessons as important resources for their online synchronous lessons and virtual Teaching Research Groups as a teachers' collaboration mechanism supported them to develop online video lessons and address various technological constraints. Finally, implications of this case study for mathematics education globally are discussed.The online version contains supplementary material available at 10.1007/s10649-022-10172-2.

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Les apports du genre en histoire des sciences et des savoirs sont au cœur de ce dossier thématique. Il est composé de quatre contributions qui explorent par une approche genrée, voire intersectionnelle, l’usage de l’espace et les relations de pouvoir en jeu dans la production et la circulation des savoirs de l’époque moderne au début du xxe siècle. Vient s’y adjoindre un entretien croisé avec cinq historiennes des sciences et des savoirs. This special issue aims to promote the contributions of gender in the history of science and knowledge. It is composed of four contributions that explore, through a gendered and even intersectional approach, the use of space and the power relations at stake in the production and circulation of knowledge from the modern era to the beginning of the 20th century. The contributions are accompanied by an interview with five historians of science and knowledge.

International audience; Nous nous intéressons dans cet article aux difficultés rencontrées par les élèves allophones durant le cours de mathématiques et aux pratiques enseignantes qui peuvent faciliter leurs apprentissages dans cette discipline. Pour cela, nous nous focalisons sur trois dimensions particulières : la dimension plurilingue et pluriculturelle ; l'accompagnement de l'acquisition du français en tant que langue seconde ; les pratiques favorisant l'oral. Nous terminons par une étude de cas où une enseignante parvient, grâce à des gestes simples à faciliter les apprentissages mathématiques de Matilde, une élève allophone présente dans sa classe.

Au travers de ce dossier d’habilitation à diriger des recherches en didactique des mathématiques, je m’attache à expliquer les enjeux et problématiques que recouvre l’axe principal de ma recherche qui donne aussi le titre à ma note de synthèse, à savoir les Études Didactiques de l’Utilisation de l’Histoire des Mathématiques en classe et en formation (EDUHM). Cette synthèse scientifique se compose de deux grandes parties.La première partie porte sur l’articulation entre l’épistémologie, en particulier l’épistémologie historique, et la didactique. Dans un premier chapitre, je reviens tout d’abord sur l’expression « histoire des mathématiques » en cherchant à qualifier épistémologiquement chacun de ces deux termes. Ensuite, dans un deuxième chapitre, je développe la place de l’histoire des mathématiques dans un contexte d’enseignement (surtout scolaire) et comment j’ai pu chercher un questionnement didactique adapté.La deuxième partie de la synthèse scientifique est consacrée à des questions de méthode et plus particulièrement à l’usage des analyses statistiques dans le questionnement didactique. Dans cette partie, en lien avec mes expérimentations les plus récentes, le troisième chapitre présente une étude mettant en œuvre une analyse factorielle et le quatrième chapitre s’appuie, entre autres, sur une modélisation de type Rasch. Dans les deux cas, les analyses viennent nourrir un questionnement plus général sur la taille des échantillons en didactique.À la fin de chaque chapitre, j’expose les perspectives de recherches dans lesquelles j’inscris mes travaux à venir, éléments qui sont aussi synthétisés en conclusion.

We reconsider the classical equality 0.999. .. = 1 with the tool of circular words, that is: finite words whose last letter is assumed to be followed by the first one. Such circular words are naturally embedded with algebraic structures that enlight this problematic equality, allowing it to be considered in Q rather than in R. We comment early history of such structures, that involves English teachers and accountants of the first part of the xviii th century, who appear to be the firsts to assert the equality 0.999. .. = 1. Their level of understanding show links with Dubinsky et al.'s apos theory in mathematics education. Eventually, we rebuilt the field Q from circular words, and provide an original proof of the fact that an algebraic integer is either an integer or an irrational number.

International audience; Bernhard Riemann's collected works were published for the first time in 1876 by Richard Dedekind and Heinrich Weber. The editors' correspondence and the available archive tell us that the process of editing Riemann's collected works was a hands-on process, which is itself of historical and mathematical significance. In this paper, we show how the editors shaped the published texts, and how this can influence our reading of them. A complex history and a wealth of archive In 1876 were published Bernhard Riemann's (1826-1866) Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass (Collected mathematical works and scientific archive). These collected works were edited by Heinrich Weber (1842-1913) and Richard Dedekind (1831-1916) and published by B. G. Teubner. 1 Riemann and Dedekind met while they were Gauss' students in Göttingen. They defended their doctoral dissertation within a year of each other (Riemann in 1851 and Dedekind in 1852), and their respective Habilitation with only a few days difference in 1854. Following this, they both worked as Privatdozenten in Göttingen, during which time Dedekind followed Riemann's classes. In 1858 Dedekind was offered a position in Zürich and Riemann a post in Göttingen, and they remained friends until Riemann's untimely death in 1866.

Il est connu que le séjour à Paris a joué un rôle déterminant dans l’élaboration des pensées leibniziennes. Pendant cette période, Leibniz rencontre de nombreux savants, s’initie aux mathématiques et s’avère être particulièrement prolifique. Il semblerait que ce soit à cette période également que commencent à se développer les concepts centraux de sa philosophie. Les textes De la méthode de l’universalité I et II en sont un formidable exemple. Ils nous offrent un jeune projet leibnizien, surprenant, ingénieux et très ambitieux. On y voit Leibniz proposer un nouveau système de notation, permettant de traiter la généralité, qu’il fait dialoguer avec des concepts comme l’harmonie ou la caractéristique qui le suivront toute sa vie. Le texte (II) est une introduction à cette nouvelle méthode, ses concepts et sa philosophie. Dans le texte (I), Leibniz détaille son système ambigu et pousse les considérations mathématiques assez loin pour être en mesure d’exhiber une équation générale capable d’engendrer toutes les sections coniques. Cet article propose une présentation des concepts, qu’ils soient mathématiques ou philosophiques, utilisés par Leibniz pour parvenir à ses fins. Living in Paris is known to have a significant influence on the development of Leibnizian thought. During this period, Leibniz met many scientists, discovered mathematics and became a prolific writer. This is also the time when he began to develop the central concepts of his philosophy and the texts De la méthode de l’universalité I and II provide excellent examples of this. They provide the reader with vivid insight into a project which at the time was surprising, ingenious and very ambitious. The texts show Leibniz proposing a new system of mathematical notation of sufficient generality to handle concepts such as Harmony or Characteristic that were constantly present throughout his life. Text (II) is an introduction to this new method, his concepts and his philosophy. In text (I), Leibniz details his ambiguous system and extends the mathematical considerations far enough to be able to exhibit a general equation capable of generating all possible conical sections. The aim of this article is to present a review of both mathematical and philosophical concepts used by Leibniz to achieve these goals.

International audience; There is little qualitative research on mathematics education focused on the experiences of young students when choosing a mathematics degree and how these experiences are assimilated into their mathematics life stories. The objective of this narrative inquiry is to identify the experiences of Mexican students who choose a mathematics degree through their mathematics life story. The conceptualization of a mathematical narrative identity divided into motivations, sources of motivation, and expectations allowed the identification of the following: (1) motivation of Mexican students for choosing a math degree, (2) sources of this motivation, and (3) future expectations related to this choice. This qualitative study was conducted based on a case study to prepare an in-depth analysis of multiple cases and frame them into a general description. Data was gathered from 47 interviews to collect students’ mathematics life stories. The four thematic analyses gave the following results: (1) the three main motivations were “liking mathematics”, self-efficacy belief, and the desire to become a “good teacher”, (2) the two main expectations were “being a good teacher” and “learning more mathematics”, and (3) the four main sources of motivations were self-efficacy belief, having “good teachers”, indirect experiences, and mastering knowledge. Results have similarities with the importance of self-efficacy beliefs and differences between “liking mathematics” and the desire to become a “good teacher” regarding the psychological explanations about the motivational forces to choose a math degree.; La educación matemática tiene poca investigación cualitativa centrada en las experiencias de los jóvenes estudiantes en la elección de una carrera matemática y cómo estas experiencias se asimilan en sus vidas matemáticas. El objetivo de esta investigación narrativa es identificar las experiencias de los alumnos mexicanos que eligen una carrera matemática a través de su historia de vida matemática. La conceptualización de una identidad narrativa matemática dividida en motivaciones, fuentes de motivaciones y expectativas permitió la identificación de: (1) motivaciones de los estudiantes mexicanos para elegir una carrera matemática, (2) fuentes de estas motivaciones y (3) expectativas futuras asociadas con esta elección. Desarrollamos un estudio cualitativo guiado por un caso de estudio, con el fin de realizar un análisis de múltiples casos y enmarcarlo en una descripción general. Los datos se obtuvieron de 47 entrevistas con la población descrita y recopilan sus historias de vida matemática. Cuatro análisis temáticos arrojaron los siguientes resultados: (1) tres motivaciones principales: “gusto por las matemáticas”, creencias de autoeficacia y el deseo de convertirse en un “buen maestro”, (2) dos expectativas principales: “ser un buen maestro” y “aprender más matemáticas” y (3) cuatro fuentes principales de motivaciones: creencias de autoeficacia, tener “buenos maestros”, experiencias indirectas y dominio del conocimiento. Nuestros resultados tienen similitudes con (la importancia de las creencias de autoeficacia) y diferencias entre (“gusto por las matemáticas” y el deseo de convertirse en un “buen maestro”) en las explicaciones psicológicas sobre las fuerzas motivadoras en la elección de una carrera matemática.; A educação matemática possui pouca pesquisa qualitativa centrada nas experiências dos jovens estudantes na eleição de um curso de matemática e como tais experiências são assimiladas em suas vidas matemáticas. Esta pesquisa narrativa tem como objetivo identificar as experiências dos alunos mexicanos que escolhem um curso de matemática por meio de sua história de vida matemática. A conceitualização de uma identidade narrativa no ensino da matemática dividida em motivações, fontes de motivações e expectativas, permitiu a identificação de: (1) motivações dos estudantes mexicanos para escolher um curso de matemática, (2) fontes destas motivações e (3) expectativas futuras associadas com tal eleição. Desenvolvemos um estudo qualitativo guiado por um caso de estudo, com a finalidade de realizar uma análise de múltiplos casos e enquadrá-lo em uma descrição geral. Os dados foram obtidos de 47 entrevistas com o público descrito e reúnem suas histórias de vida matemática. Quatro análises temáticas revelaram os seguintes resultados: (1) três principais motivações: “gosto pela matemática”, crença de autoeficácia e desejo de tornar-se um “bom professor”, (2) duas principais expectativas: “ser um bom professor” e “aprender mais matemática” e (3) quatro principais fontes de motivações: crenças de autoeficácia, ter “bons professores”, experiências indiretas e domínio do conhecimento. Nossos resultados têm semelhanças com (a importância das crenças de autoeficácia) e diferenças entre (“gosto pela matemática” e o desejo de tornar-se um “bom professor”) nas explicações psicológicas sobre as forças motivadoras na eleição de um curso de matemática.

Si Paul Mansion est célèbre pour ses activités éditoriales en mathématiques, ayant fondé et dirigé deux revues dédiées aux mathématiques, peut-être l’est-il un peu moins à ce jour pour ses propres travaux mathématiques et notamment pour ceux qui touchent la recherche en mathématiques. C’est une impression à corriger. Tout d’abord, Mansion est l’auteur de travaux importants en probabilités. Ses contributions aux domaines des probabilités et de la statistique ont déjà été analysées et font encore l’objet d’étude en histoire des mathématiques. Dans le présent numéro spécial de la Revue des questions scientifiques, mais dans un autre article, il sera question des réflexions de Mansion sur la géométrie non-euclidienne. Ayant écarté ces deux champs mathématiques, nous allons montrer que Mansion a été à la pointe de la recherche dans trois domaines, deux se situant en analyse, le troisième en algèbre linéaire avec des applications en théorie des nombres. Mansion a occupé une place importante dans la communauté mathématique de son époque en tant qu’universitaire, éditeur, membre de l’Académie royale de Belgique, administrateur. Nous voulons, par notre étude, ajouter qu’il a eu une contribution significative en recherche mathématique. * * * Although Paul Mansion is famous for his editorial activities in mathematics, having founded and run two journals dedicated to mathematics, he is perhaps presently a little less known for his own mathematical work, especially that dealing with mathematical research. This impression of him needs rectifying. First of all, Mansion is the author of many important publications on probabilities. His contribution to the fields of probabilities and statistics has already been analysed and is still being studied in the history of mathematics. In this special issue of the Revue des questions scientifiques, albeit in another article, Mansion’s thoughts on non-Euclidean geometry will be discussed. Having dealt with these two mathematical fields, we will show that Mansion was at the forefront of research in three fields: two in analysis, and the third in linear algebra with number theory applications. Mansion held an important place in the mathematical community of his time as an academic, editor, administrator and member of the Royal Academy of Belgium. Through the present study, we wish to add his significant contribution to mathematical research to this list.

We look at educational institutions as dynamic systems where praxeologies exist only as a result of a praxeological dynamic. In this article, we study some aspects of praxeological dynamics using, in particular, the notion of technique reach (theoretical, pragmatic and institutional) and competition between techniques. Two case studies illustrate praxeological dynamics concerning the study of the resolution of second-degree equations in the French educational system. One of the contributions of this article is to provide tools for curriculum analysis and textbooks. Nous regardons les institutions d’enseignement comme des systèmes dynamiques où les praxéologies n’existent que comme résultantes d’une dynamique praxéologique. Dans cet article, nous étudions quelques aspects de la dynamique praxéologique en utilisant en particulier les notions de portée des techniques (théorique, pragmatique et institutionnelle) et de concurrence entre techniques. Deux études de cas illustrent différentes dynamiques praxéologiques concernant l’étude de la résolution des équations du second degré dans le système d’enseignement français. Une des contributions de cet article est de fournir des outils d’analyse du curriculum et des manuels.

International audience; We continue our analysis of Brahmagupta’s Brāhmasphuṭasiddhānta (India, 628), that had shown that each of his sequences of propositions should be read as an apodictic discourse: a connected discourse that develops the natural consequences of explicitly stated assumptions, within a particular conceptual framework. As a consequence, we established that Brahmagupta did provide a derivation of his results on the cyclic quadrilateral. We analyze here, on the basis of the same principles, further problematic passages in Brahmagupta’s magnum opus, regarding number theory and algebra. They make no sense as sets of rules. They become clear as soon as one reads them as an apodictic discourse, so carefully composed that they leave little room for interpretation. In particular, we show that (i) Brahmagupta indicated the principle of the derivation of the solution of linear congruences (the kuṭṭaka) at the end of chapter 12 and (ii) his algebra in several variables is the result of the extension of operations on numbers to new types of quantities – negative numbers, surds and “non-manifest” variables.

International audience; In this paper we aim to contribute to a better understanding of the impact of digital resources on mathematics teachers' work and professional development. For this purpose we focus on the emblematic case of an experienced mathematics teacher at secondary level, Anna, who has also worked as a teacher educator in a university department. Using the lens of the Documentational Approach to Didactics (DAD), we investigate her case, with a particular interest in digital resources, including both digital curriculum resources (e.g., e-textbooks, online resources) and digital technologies (e.g., for communicating, sharing). Two notions appear essential for supporting this investigation: the notion of resource system for studying the teacher's activity as a whole, and the notion of documentational trajectory for studying the teacher's activity over the time. Methodologically, specific tools were developed for gaining deeper insights into the teacher's resource system, or her documentational trajectory. This study provides a window into mathematics teacher use and design of digital/non-digital resources in/for their teaching. Moreover, it helps us to develop better understandings of teacher professional learning over time, and of the ways the context of collaboration shapes their professional work and learning. More and also contrasting cases (e.g., of newly qualified teachers) would need to be studied to fully understand this field.

International audience; This chapter contains an overview of the main points of the theory of MWS in relation to frequently asked questions. The aim is to form the basis of an online glossary of the theory, to be completed according to the contributions of researchers.

Claude Chevalley a été l'un des plus éminents mathématiciens du XXe siècle, connu et admiré dans le monde entier. Près de quarante ans après sa mort, on pourrait donc s'attendre à trouver facilement son œuvre complète, comme c'est le cas pour de nombreux mathématiciens. Nous nous proposons de partir à la recherche d'une telle publication et de la postérité de son œuvre, suivant la piste tracée par les grands mathématiciens qui ont souhaité faire vivre les écrits de Claude Chevalley après sa disparition en 1984.

International audience; Le calcul graphique est fondé sur la correspondance entre les deux grands types d’objets mathématiques que sont les nombres et les figures, autrement dit l’algèbre et la géométrie. Les données numériques d’un problème étant représentées sur la feuille de dessin par des segments, on réalise ensuite des constructions géométriques qui aboutissent à de nouveaux segments dont les longueurs représentent les résultats cherchés. Plus rapide que le calcul numérique utilisant les tables de logarithmes, le calcul graphique a longtemps convenu aux besoins courants des ingénieurs et d'autres professions ne recherchant pas une très grande précision. Si l’on rencontre dans l’Antiquité et au Moyen Âge des pratiques qui s’apparentent au calcul graphique moderne, c’est surtout pendant le XIXe siècle que ce dernier s’est constitué en tant que corps de doctrine. Il a lors confirmé sa pertinence et son efficacité au service, entre autres, du rôle croissant de l'artillerie dans les opérations militaires, du développement rapide des réseaux de routes et de voies ferrées, et de la conception de grandes structures métalliques comme la tour Eiffel. Après avoir connu son apogée entre les deux guerres mondiales, il est entré en déclin face à la concurrence des calculatrices électroniques et des ordinateurs. En dépit de son importance, le calcul graphique n’a pas encore fait l’objet d’une contribution d’envergure de la part des historiens des sciences. Le présent ouvrage se propose donc d’étudier l’histoire de cette discipline dans son ensemble, de rechercher des traces de ses origines et de se pencher de manière approfondie sur ses diverses composantes.

International audience; This contribution addresses the issue of understanding teachers' difficulties in integrating computer science and programming software into their practices. To do so, we previously used the theoretical concepts of distance/landmarks to analyze the development of such practices and show the importance of the teacher's personal component. We use this lens here to analyze some interviews of teachers' views on this integration. The results show that the barriers of ICT integration situate mostly on the changes that ICT introduce at cognitive and mediative levels. Conversely, institutional, and social components rather seem to play in favor of integration.

We propose to follow the itinerary of Claude Chevalley during the last twenty years of his life, through the words of Jacques Roubaud, Denis Guedj and Alexander Grothendieck. Our perspective is that of their testimonies filled with friendship. This point of view flow us away from the well-known picture of Claude Chevalley within the Bourbaki group during the previous period. We will conclude this journey by following the becoming of his numerous writings that great mathematicians and friends have striven to keep alive after his passing., in French

Fresh university students face from the very beginning the need to study and develop by themselves more and more complex reasoning and proofs, which they had little opportunity to make in their secondary studies, including in the scientific tracks. In this article, we focus on the notion of implication. We first come back to the main known difficulties; then we present theoretical tools allowing to foresee and analyze these difficulties. Based on our practice as teachers in undergraduate mathematics and by research in didactics of mathematics, we consider that for the teaching of notions of logic it is necessary to find a balance between a formal approach, which is known to be not effective, and an approach that would eliminate the formal aspects which is also known to be not effective. Then, we will propose activities aiming explicitly to work on aspects related to the notion of implication, while mentioning opportunities for reinvest the knowledge developed during these activities in the teaching and learning of other concepts.

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International audience; In this article, we focus on how spatial knowledge can be articulated with the integration of programmable floor robots in the mathematics classroom. We describe the observation grid we conceived to take into account three distinct dimensions: spatial knowledge, robotics and computer programming. Then, we implement this tool to analyse mathematics lessons using BeeBot® robots. Finally, we compare the evolution of each dimension throughout the lessons in order to understand how Programmable Floor Robots can allow students to develop spatial knowledge. This experiment is part of a research on spatial knowledge that involved 121 Year 2 (6-7-year-old) students and 6 teachers over a period of 6 weeks.

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International audience; This paper introduces the model of instrumental meta-orchestration (IMO), as an extension of the model of instrumental orchestration. This IMO model is defined as a systematic and intentional monitoring, by a teacher educator, of artefacts and teachers (or pre-service teachers) for facing a Metasituation, defined as a composition of situations of different natures and difficulty levels. An IMO, in itself, is a composition of instrumental orchestrations (sequenced or interwoven). This paper presents and discusses an instrumental meta-orchestration experienced in a class of undergraduate mathematics teachers. The development of the initial model results in: new concepts, such as ad hoc reaction, didactic meta-configuration, exploitation modes and didactic meta-performance; new features, such as flexibility and interactivity; and new phenomena, such as cascade effects. It also reveals the importance of unexpected events that occur between orchestrations. Moreover, it expanded the forms of destination for evaluating specific online documents, which are named webdocs. Finally, the paper discusses the contribution to mathematics teacher education of such an extended model.

International audience; Croisement de deux point de vue : les langages pour dire-penser- faire les mathématiques d'une part, et les mathématiques qui se font, existent et se transmettent par les langages d'autre part. Pour donner à voir, à lire, à faire, à penser, à imaginer, trente chercheurs, formateurs, praticiens ont accordé leur savoir et savoir-faire pour composer cet opus de treize chapitres.Auteurs : Myriam ABOU-SAMRA, Nathalie AUGER, Céline BEAUGRAND, Michel CANDELIER, Julie CANDY , Alexandre CA V ALCANTE, Aurélie CHESNAIS, Isabelle CROS, Jim CUMMINS, Delphine D'HONDT, Fanny DUREYSSEIX, Pierre ESCUDÉ, Laurent GAJO, Christophe HACHE, Martine JAUBERT, Emile JENNY, Emilie KASAZIAN, Emmanuelle LE PICHON-VORSTMAN, Jérémie MAUGEZ, Catherine MENDONÇA DIAS, Ismaïl MILI, Karine MILLON FAURÉ, Marianne MOULIN, Estelle MOUMIN, Florence PETEERS, Caroline POISARD, Maryse REBIÈRE, Avenilde ROMO VÁZQUEZ, Jean-Jacques SALONE, Élodie SURGET.

Drawing on the didactic and ergonomic double approach and on the anthropological theory of didactics, the authors analyze the institutional, cognitive, and mediative components of Lebanese teachers’ practices when teaching algebraic expressions. The first two components are studied by comparison with a regional reference praxeology. The analysis of the mediative component is based on the « didactic regulations » extracted from the interactions between the teacher and his students. As students’ algebraic skills have been assessed using questionnaires, the scores give rise to statistical comparisons, which reflect the achieved learning. The study thus leads to results that document the link between teaching and learning, taking into account both the cognitive and mediative aspects of the teaching., Basándose en el doble enfoque didáctico y ergonómico y en la teoría antropológico de lo didáctico, los autores analizan las prácticas de enseñanza del álgebra elemental -y más concretamente de las expresiones algebraicas- de los profesores libaneses según sus componentes institucionales, cognitivos y de mediación. Los dos primeros componentes se estudian en comparación con una praxeología regional de referencia. El análisis del componente de mediación se basa en las « regulaciones didácticas » extraídas de las interacciones entre el profesor y sus alumnos. Las competencias algebraicas de estos últimos han sido evaluadas con la ayuda de cuestionarios, cuyas puntuaciones dan lugar a comparaciones estadísticas que dan cuenta del aprendizaje alcanzado. Así, la investigación conduce a resultados que documentan el vínculo entre la enseñanza y el aprendizaje, teniendo en cuenta tanto los aspectos cognitivos como los de mediación de la enseñanza, Avec un appui sur la double approche didactique et ergonomique et sur la théorie anthropologique du didactique, les auteurs analysent les pratiques d’enseignement de l’algèbre élémentaire – et plus précisément des expressions algébriques – de professeurs libanais selon leurs composantes institutionnelle, cognitive et médiative. Les deux premières composantes sont étudiées par comparaison à une praxéologie régionale de référence. L’analyse de la composante médiative repose sur les « régulations didactiques » extraites des interactions entre le professeur et ses élèves. Les compétences algébriques de ces derniers ayant été évaluées à l’aide de questionnaires, les scores donnent lieu à des comparaisons statistiques qui rendent compte des apprentissages réalisés. La recherche conduit ainsi à des résultats qui documentent le lien entre enseignement et apprentissage, en tenant compte à la fois des aspects cognitifs et médiatifs de l’enseignement.

International audience; The crucial role which Bachelard attributed to mathematics within his his- torical epistemology to understand the “new scientific spirit” at work at the beginning of the 20th century is well known. Nonetheless, the application to mathematics of the classical Bachelardian epistemological categories (obstacle, rupture, sanctioned history and lapsed history), which were first conceived for physics or chemistry, raises several issues. In this article, we aim to study Bachelard’s mathematical epistemology for itself. We will first point out the natural connection between the issue of a Bachelardian mathematical episte- mology and two classical topics, namely the relationship with Brunschvicg’s epistemology and the claim for discontinuity. In a second step, starting from the evolution of Bachelard’s thought towards a more committed rationalism, we will question what this evolution implies for mathematics by insisting on the notion of epistemological act sketched out by Bachelard. We will finally compare Bachelard’s and Cavaillès’ mathematical epistemology.

International audience; We are interested in understanding how university students learn to use programming as a tool for “authentic” mathematical investigations (i.e., similar to how some mathematicians use programming in their research work). The theoretical perspective of the instrumental approach offers a way of interpreting this learning in terms of development of schemes by students; these development processes are called instrumental geneses. Nevertheless, how these schemes evolve has not been fully explained. In this paper, we propose to enrich the theoretical frame of the instrumental approach by a model of scheme evolution and to use this new approach to investigate learning to use programming for pure and applied mathematics investigation projects at the university level. We examine the case of one student completing four investigation projects as part of a course workload. We analyze the productive and constructive aspects of the student’s activity and the dynamic aspect of the instrumental geneses by identifying the mobilization and evolution of schemes. We arguethat our approach constitutes a new theoretical and methodological contribution deepening the understanding of students’ instrumented learning processes. Identifying instrumented schemes illuminates in particular how mathematical knowledge and programming knowledge are combined. The analysis in terms of scheme evolutions reveals which characteristics of the situations lead to such evolutions and can thus inform the design of teaching.

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International audience; This study is based on a set of six tablets dated to the Old-Babylonian period in Mesopotamia, written in cuneiform script, and relating to problems on the areas of squares. Their content is very similar, except for the length measurement of the side of the square. The issue of hypothetical pedagogical issues involved in the choice of numerical values in the statements is addressed by detailing the tasks they imply in the process of problem solving.

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International audience; Paul Lorenzen, mathematician and philosopher of the 20th century, mentions October 1947 as the date of a crisis in his mathematical and philosophical investigations. An autograph dated 15 October 1947 documents this crisis. This article proposes a translation and a commentary of it and sketches the circumstances of its writing on the base of his correspondence with Paul Bernays. A letter from Lorenzen to Carl Friedrich Gethmann dated 14 January 1988 carves out the story of this crisis by showing how he soaks up the indications of his correspondents and transmutes them into an absolutely original research. [Paul Lorenzen, mathématicien et philosophe du 20e siècle, évoque le mois d'octobre 1947 comme la date d'une césure dans ses investigations tant mathématiques que philosophiques. Un écrit autographe daté du 15 octobre 1947 marque cette césure. Cet article en propose une traduction et un commentaire ligne à ligne, puis esquisse les circonstances de son écriture sur la base de la correspondance avec Paul Bernays, figure tutélaire de la logique mathématique et l'un de ses principaux interlocuteurs à cette époque, à l'instar de Heinrich Scholz et Oskar Becker. Une lettre de Lorenzen à Carl Friedrich Gethmann datée du 14 janvier 1988 étoffe le récit de cette césure en montrant comment il s'imprègne des indications que lui fournissent ses correspondants pour les transmuter en une recherche absolument originale.]; Paul Lorenzen, mathématicien et philosophe du 20e siècle, évoque le mois d'octobre 1947 comme la date d'une césure dans ses investigations tant mathématiques que philosophiques. Un écrit autographe daté du 15 octobre 1947 marque cette césure. Cet article en propose une traduction et un commentaire ligne à ligne, puis esquisse les circonstances de son écriture sur la base de la correspondance avec Paul Bernays, figure tutélaire de la logique mathématique et l'un de ses principaux interlocuteurs à cette époque, à l'instar de Heinrich Scholz et Oskar Becker. Une lettre de Lorenzen à Carl Friedrich Gethmann datée du 14 janvier 1988 étoffe le récit de cette césure en montrant comment il s'imprègne des indications que lui fournissent ses correspondants pour les transmuter en une recherche absolument originale.

National audience; L’enquête nationale sur les pratiques d’enseignement des mathématiques en classe de CM2 fait partie des enquêtes « PRAtiques d’Enseignement Spécifiques aux Contenus » (PRAESCO) que conduit la Direction de l’évaluation, de la prospective et de la performance (DEPP) en partenariat avec des équipes de recherche. L’enquête PRAESCO Mathématiques CM2 a été conduite en 2019, elle vise à documenter les pratiques d’enseignement des professeurs de ce niveau en mathématiques d’un point de vue général quant à cette discipline et de façon plus approfondie sur certains thèmes du programme scolaire. Cette enquête apporte également un certain nombre d’informations sur leur formation, leur ancienneté ou leur contexte de travail. Les données d’enquête ont été analysées, croisées et soumises à des traitements statistiques afin d’apporter, dans leurs convergences et leurs différences, une description précise et complète des pratiques d’enseignement des mathématiques à ce niveau scolaire.

International audience

International audience; Cet article propose un éclairage sur l’importance de l’analyse a priori pour l’enseignant. Prenant appui sur des travaux en didactique des mathématiques, nous précisons d’abord ce qu’est l’analyse a priori et cela à partir d’un élément indispensable, les variables didactiques. Ensuite à partir de la résolution de problèmes de partage à l’école élémentaire, nous illustrons comment les valeurs qui sont attribuées aux variables didactiques permettent d’anticiper les stratégies possibles de résolution, d’une part, et déterminent, d’autre part, les stratégies effectives des élèves. Puis nous confrontons ces prévisions aux stratégies effectivement mobilisées par les élèves. Pour finir, les analyses menées permettent d’introduire la nécessité de faire connaître aux enseignants la portée de l’analyse a priori et son utilité pour l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques.

International audience; For years, we have been studying the effects of a “preventive” support system, set up in France and Quebec to help challenged students solve mathematical problems. As a continuation of this work, we are currently interested in the question of whether this support system is also a teaching aid and not only a learning aid. The aim of this article is to show how this preventive support system and the associated collaborative device are teaching aids. Our case study on volume allows us to see the potential of this type of device, its functions, and some of the difficulties associated with it.; Desde hace años, hemos estudiado los efectos de un dispositivo de ayuda «preventivo» dirigido a los alumnos con dificultades en la resolución de problemas matemáticos en clases en Francia y Quebec. Como continuación de esta labor, actualmente estamos estudiando si este dispositivo es también un dispositivo de ayuda a la enseñanza y no sólo al aprendizaje. El objetivo de este artículo es mostrar cómo este dispositivo de ayuda preventiva y el dispositivo de acompañamiento colaborativo asociado son ayudas a la enseñanza. Nuestro estudio de caso sobre el volumen nos permite ver el potencial de este tipo de dispositivo, las funciones de ayuda a la enseñanza, así como algunas de las dificultades asociadas.; Depuis des années, nous avons étudié les effets d’un dispositif d’aide « préventif » adressé aux élèves en difficulté dans la résolution de problèmes mathématiques dans des classes en France et au Québec. Dans la continuité de ces travaux, nous nous intéressons actuellement à la question de savoir si ce dispositif est aussi un dispositif d’aide à l’enseignement et pas seulement à l’apprentissage. Le but de cet article est de montrer en quoi et comment ce dispositif d’aide préventif et le système d’accompagnement collaboratif associé sont des aides à l’enseignement. Notre étude de cas à propos du volume nous permet de voir le potentiel de ce type de dispositif, les fonctions d’aide à l’enseignement ainsi que certaines des difficultés associées.

During the querelle des infiniment petits at the Académie royale des sciences, Leibniz publicly stepped in to defend the soundness of his differential calculus by articulating aspects of his philosophy of mathematics. These interventions have often been presented as being mainly addressed to opponents of the calculus, without insisting on the actual disagreements between Leibniz and his own supporters. A Few months before his death, in a letter to Pierre Dangicourt, Leibniz recalls these misunderstandings and reveals that his supporters had in a way silenced him.This article reviews the misunderstandings generated by Leibniz's public interventions and analyzes some of the epistemological and philosophical difficulties at stake in the context of the querelle.; Pendant la querelle des infiniment petits à l'Académie royale des sciences, Leibniz est intervenu publiquement pour défendre le bien-fondé de son calcul différentiel en formulant des aspects de sa philosophie des mathématiques. Ces interventions ont souvent été étudiées comme s'adressant surtout aux opposants du calcul, sans insister sur les désaccords, pourtant réels, entre Leibniz et ses propres partisans. Quelques mois avant sa mort, dans une lettre à Pierre Dangicourt, Leibniz remémore ces discrépances et révèle que ses partisans l'avaient en quelque sorte passé sous silence. Cet article revient sur les malentendus générés par les interventions publiques de Leibniz et analyse certaines des difficultés épistémologiques et philosophiques à l'oeuvre dans ce contexte de querelle.

Objecting that Sommerfeld's quantum conditions refer to particular coordinates, Einstein proposes a more invariant rule. Even if the invariance is in fact canonical, as Graffi (2005) has pointed out, Einstein may have in mind a double configuration space invariance: with respect to loop deformations, and to point transformations-all on a torus where features of the Liouville-Arnol'd theorem already appear.

This thesis contains analyzes of interactions between personal and collective projects, around the Bourbaki group, between the 1930s and the 1950s. The defined period includes the arrival on the academic job market of people who will be close to the Bourbaki group, until the explosion of the publications and of the project participants after the war. Two lines of study are presented. The first, on the scientific environment and the living environment of Henri Cartan and André Weil, aims to show interactions between the careers of Bourbaki members and their collective activities within the framework of this project. The second is a study centered on the teaching of Calculus by Henri Cartan between 1931 and 1940, from his draft notebooks. These two lines reveal the interdependence of personal and collective projects around Bourbaki, as well as the beginning of the evolution of this project in the mathematical and academic scene.; Cette thèse contient des analyses d’interactions entre des projets personnels et collectifs, autour du groupe Bourbaki, entre les années 1930 et 1950. La période délimitée comprend l’arrivée sur le marché de l’emploi universitaire de personnes qui vont être proches du groupe Bourbaki, jusqu’à l’explosion des publications et des participants au projet, après la guerre. Deux axes d’étude sont présentés. Le premier, sur l’environnement scientifique et le cadre de vie d’Henri Cartan et d’André Weil, a pour objet de montrer des interactions entre les carrières des membres de Bourbaki et leurs activités collectives dans le cadre de ce projet. Le second est une étude centrée sur l’enseignement du calcul différentiel et intégral par Henri Cartan entre 1931 et 1940, à partir de ses cahiers de brouillon. Ces deux axes révèlent l’interdépendance de projets personnels et collectifs autour de Bourbaki, ainsi que le début de l’évolution de ce projet dans la scène mathématique et académique.

National audience; Depuis que les mathématiques sont enseignées, une tension oppose une visée utilitaire à une visée intellectuelle de la discipline. Cette tension peut être illustrée de nos jours par le rôle attribué à la résolution de problèmes et se traduit notamment par les mauvais résultats de la France aux évaluations internationales.

This article presents a synthesis of international research in mathematics education about the secondarytertiary transition, with a specific interest in the most recent works. These studies may concern students' difficulties, and investigate different factors causing these difficulties: notions become more abstract, expected practices refer to those of mathematicians, the institutional culture changes. Some studies analyze more broadly the practices of teachers and students at the end of high school or at the beginning of post-secondary level. Research in mathematics education provides keys to understanding current practices and their consequences, whether in ordinary courses or in teaching device specially designed to improve the transition from secondary to tertiary education. In some cases, it also proposes innovative courses fostering active student involvement, and highlights the benefits of these courses. The development of initial and in-service training for university teachers could help extend such teaching beyond experimental contexts., Cet article présente une synthèse de travaux de recherche internationaux en didactique des mathématiques à propos de la transition secondaire-supérieur, avec un intérêt spécifique porté aux travaux les plus récents. Ces travaux peuvent concerner les difficultés des étudiants, et en donner diverses interprétations : les notions deviennent plus abstraites, les pratiques attendues se réfèrent à celles des mathématiciens, la culture institutionnelle change. Certaines études analysent plus largement les pratiques des enseignants et des élèves en fin de lycée ou étudiants au début du supérieur. La recherche en didactique des mathématiques donne des clefs pour comprendre l’existant, qu’il s’agisse de cours ordinaires ou de dispositifs spécialement conçus pour accompagner la transition secondaire-supérieur. Elle propose aussi dans certains cas des enseignements innovants qui permettent une implication active des étudiants, et met en évidence les apports de ces dispositifs. Le développement de la formation initiale et continue des enseignants de l’université pourrait contribuer à étendre de tels enseignements au-delà de contextes expérimentaux.

International audience; This article focuses on twentieth- and twenty-first-century children’s books published in France that involve numbers with the implicit or explicit intention of introducing their readers to a few insights, practices, or mysteries in the universe of natural numbers. The present study aims at problematizing the role of aesthetic experience in the development of knowledge and the role of imagination in children’s introduction to numbers. As developed by mathematics education specialist François Conne, the framework of knowledge transposition complemented by the tools of Peircian semiotics makes it possible to apprehend numbers as relations, connected by their semiotic chains, and not as objects in an ontological approach or as concepts in a mathematical one. This positioning allows me to highlight the requirements related to the description of the articulations between numbers and children’s literature, requirements that are delineated in this essay, based on research carried out for the most part in the archives of the Bermond-Boquié Children’s Literature Fund. In the first part, I describe the properties relative to the books under study, by examining the French corpora and existing research and by explaining how I have been led to widen or narrow the scope of my investigation. The second part is devoted to scrutinizing the descriptor “forms of narration,” and distinguishes between the forms récit (narrative), exposition (exposition) and a mixed form that I call recimagier (expository narrative), which encompasses an important and specific set of literary productions that deal with numbers. Building upon semiotic games deployed by authors and illustrators, the third part focuses on the descriptor “uses of numbers” and details five uses: Quantifications, Measurements, Numberings, Designs, and Languages. The article concludes with the perspectives that such a categorization offers to research and the existence of a related database.; L’article s’intéresse aux livres de littérature jeunesse, parus en France au XXe et XXIe siècles, se liant aux nombres avec l’intention implicite ou explicite d’initier leurs lecteurs à quelques savoirs, pratiques ou mystères jalonnant l’univers des entiers naturels. L’étude vise à problématiser l’expérience esthétique dans le développement des connaissances et le rôle de l’imagination dans l’initiation aux nombres. Le cadre de la transposition de savoirs outillée par la sémiotique peircienne, développé par le didacticien des mathématiques François Conne, permet d’appréhender les nombres comme relations, liés par leurs chaines sémiotiques, et non comme objets dans une approche ontologique ou comme concepts dans une approche mathématique. Ce positionnement permet d’expliciter les nécessités relatives aux descriptions des articulations entre nombres et littérature jeunesse, nécessités restituées dans ce texte, à partir des consultations effectuées pour la plupart dans les archives du Fonds Bermond-Boquié de littérature jeunesse. Dans la première partie j’explicite les frontières relatives à l’ensemble les livres concernés par mon étude, en examinant les corpus et recherches francophones et en montrant en quoi j’ai été amenée à élargir ou à restreindre le champ d’investigation. La seconde partie est consacrée à l’explicitation du descripteur formes de narration, en distinguant les formes récit, exposition et une forme mixte appelée récimagier recouvrant un ensemble important et spécifique de productions littéraires autour des nombres. La troisième partie focalise l’attention sur le descripteur usages des nombres à partir des jeux sémiotiques déployés par les auteurs et illustrateurs, j’y précise les usages Quantifications, Mesurages, Numérotations, Graphismes et Langages. L’article se conclut sur les perspectives offertes à la recherche par une telle catégorisation et l’existence d’une base de données afférente.

International audience

International audience; The measurement of magnitudes was at the foundation of numbers and calculation in academic mathematics until the 19th century. It provided units and the concrete and abstract numbers that formed the basis of school arithmetic up to the mid-20th century in France. Our analysis of changes in teaching resources for proportionality (late 19th to the early 21st century) documents how the disappearance of magnitudes in academic knowledge was followed by the loss of the differentiation of the conceptual complexity of mathematical ideas related to proportionality. These changes made teaching and learning about proportionality considerably more difficult, and we later witness their gradual, but not yet systematic, reversal.; La mesure des grandeurs a été aux fondements des nombres et du calcul dans les mathématiques académiques jusqu’au XIXe siècle. Elle a fourni les unités et les nombres concrets et abstraits qui ont constitué la base de l’arithmétique scolaire jusqu’au milieu du XXe siècle en France. Notre analyse de l’évolution des ressources pour l’enseignement de la proportionnalité (de la fin du XIXe siècle au début du XXIe siècle) documente la façon dont la disparition des grandeurs dans les mathématiques académiques a été suivie par une perte de différenciation de la complexité conceptuelle des notions mathématiques liées à la proportionnalité dans les ressources pour l’enseignement. Ces évolutions ont rendu l’enseignement de la proportionnalité considérablement plus difficile, nous assistons par la suite à un retour progressif mais non systématique.

International audience

International audience; Many early-modern mathematical books incorporated at least a part of Diophantus' Arithmetica, from Jacques de Billy's Diophanti Redivi Pars prior et posterior to John Kersey's Third and Fourth Books of the Elements of algebra or Jacques Ozanam's Recréations mathématiques. Diophantine questions regularly circulated among mathematicians of the time in the context of exchanges of problems or challenges. It is thus tempting to consider Diophantus's opus magnum as a classic. However, I argued in my talk that, while Diophantus was indeed a classical author for early-modern mathematicians, his main work did not become a classical book.