Search

We study several kinds of statistical convergence of sequences of functions with values in semi-uniform spaces. Particularly, we generalize to statistical convergence the classical results of C. Arzela, Dini and P.S. Alexandroff, as well as their statistical versions studied in [Caserta A., Di Maio G., Kocinac L.D.R., {Statistical convergence in function spaces},. Abstr. Appl. Anal. 2011, Art. ID 420419, 11 pp.] and [Caserta A., Kocinac L.D.R., {On statistical exhaustiveness}, Appl. Math. Lett. 25 (2012), no. 10, 1447--1451].

The authors propose a theory of convergence for regular difilters on aditopological texture space and go on to discuss completeness and totalboundedness of di-uniformities.

DUZGUN DOKU UZAYLAR S elma Öz çağ ÖZ Bu tezin amacı di-topolojik doku uzaylarda düzgünlük kavramını araştırmaktır. Tez dokuz bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde giriş yapıldı, ikinci bölümde sonraki bölümlerde kullanılmak üzere temel bilgiler ver ildi. Üçüncü bölümde di- bağıntı ve di-örtü tanımlanarak aralarındaki ilişkiler incelenmiştir. Dördüncü bölümde di-bağıntısal ve di-örtüsel düzgünlük tanımlanmış ve bu iki kavramın denk olduğu kanıtlanmıştır. Beşinci bölümde di-bağıntısal ve di-örtüsel düzgünlükler için düzgün di-topoloji tanımlanmış di-düzgünleştirilebilir di-topolojinin tamamen bi-regüler olduğu gös terilmiştir. Altıncı bölümde düzgün bi-süreklilik ve başlangıç di-düzgünlük kavramları di- bağıntısal ve di-örtüsel düzgünlükler için tanımlandı. Yedinci bölümde doku uzaylarda di-metrik tanımı verildi. Bir pseudo-di-metriğin bir di-topoloji ve bir di-düzgünlük tanımladığı ayrıca ilgili di-düzgünlüğün düzgün di-topoloj isinin pseudo di-metriğin di-topolojisi ile çakıştığı gösterildi ve di- düzgünlük tanımı pseudo di-metrikler cinsinden ifade edildi. Sekizinci bölümde tümleyenli doku uzaylarda öncelikle bir di-bağıntının tümle- yeni tanımlanarak di-bağıntısal düzgünlüğün tümleyeni ve daha sonra di-örtüsel düzgünlüğün tümleyeni tanımları verildi. Düzgünlük ve quasi düzgünlük arasındaki fark tümleyensel doku uzaylarda karakterize edildi. Dokuzuncu bölümde doku uzaylarda di-tıkızlık di-süzgeç yakınsaklıkları ile karakterize edildi. Cauchy di-süzgeç tanımı verilerek di-örtüsel düzgünlüğün di-tamlık ve tamamen sınırlılığı incelenerek di-bağıntısal düzgünlüklükdeki karşılıkları araştırıldı. Anahtar Kelimeler: Doku Uzaylar, di-düzgünlük, di-bağıntı, di-örtü, di-süzgeç, di-metrik, düzgünlük, di-tamlık, quasi-düzgünlük Danışman: Prof. Dr. Lawrence M. Brown, Hacettepe Üniversitesi Matematik Bölümü 11 UNIFORM TEXTURE SPACES Selma Ozçağ ABSTRACT The aim of this thesis is to investigate the concept of uniformity in the framework of ditopological texture spaces. This work consists of nine chapters. The first chapter is a short introduction. In the second chapter preparatory information is given that will be used latter. In the third chapter di-relations and di-covers are defined and the relations between them are investigated. In chapter four a diagonal uniformity is defined in a textural setting. Likewise the definition of dicovering uniformity is given and the equivalence of these two concepts is established. In chapter five a definition of uniform ditopology is given for both di- uniformities. It is shown that a diuniformizable ditopology is completely bi-regular. In chapter six uniform bicontmuity and initial di-uniformity are defined for the both type of di-uniformities. In the seventh chapter at first the definition of dimetric is given and a textural analogue of the classical interplay between uniformities and families of pseudo metrics is presented. In chapter eight the complement of a direlational uniformity is defined. It is also shown that the distinction between uniformity and quasi uniformity in the direlational setting is not symmetrie but a form of complementational invariance. In chap.ter nine a theory of convergence for regular difilters on a di-topolojical texture space is investigated. In particular completeness and total boundness of di-uniformities. Keywords: Texture. Space, di-uniformity,di-relation, di-cover, di-filter, di-metric, uniformity, di-completeness, quasi-uniformity Advisor: Prof. Dr. Lawrence M. Brown, Hacettepe Universitiy Mathematics Department 133

IV ÖZET Üç bölümden oluşan bu çalışmada sezgisel topolojik uzaylarda bağlantılılık çeşitleri araştırıldı. 1. bölümde sezgisel kümeler, sezgisel noktalar, sezgisel topoloji ve sezgisel süreklilik tanımlan yapıldı ve bunlarla ilgili örnekler verildi. 2.bölümde sezgisel topolojik uzaylarda Cs-bağlantılılık, bağlantılılık, kuvvetli ve süper bağlantılılık, Cs ve CM-bağlantılılık tanımlan yapılıp, aralarındaki ilişkiler incelendi. Daha sonra Q -(i = 1,2,3,4) bağlantılı kümeler tanımlanıp kendi aralarındaki ve diğer bağlantılılık türleriyle olan ilişkileri araştırıldı. 3.bölümde Q -(i =1,2,3,4) bağlantılı kümelerin kapanışlarının Q -bağlantılı olup olmadığı, sezgisel Q -bağlantılı iki kümenin birleşiminin hangi koşullarda Q - bağlantılı olduğu araştırıldı. Ayrıca bu bölümün sonunda denklik bağıntıları ve bileşen tanımlan yapıldı. ABSTRACT This work consist of three chapters and comprises a collection of studies made on connectedness in intuitionistic topological spaces. The first chapter is devoted to the introduction of the fundamental concepts related to the study ; the concepts of intuitionistic sets, intuitionistic points and intuitionistic topological spaces are introduced. Some examples are given. In the second chapter we introduce the concepts of Cs-connectedness, connectedness Cs and Cm connectedness, Q (i = 1,2,3,4) connectedness and obtain several preservation properties and some characterizations concerning connectedness in this topological spaces. In the last chapter we investigate the connectedness of the closure of Q (i = 1,2,3,4) connected intuitionistic sets. At the end of this chapter, we give the definition of equivalence relations and the components. 51

The aim of this thesis is to introduce the weak forms of some classical selection properties in bitopological spaces, investigate the relationships between them and characterize these properties with topological games. This thesis consists of five chapters. In the first chapter, information about the topic of the thesis is given. In the second chapter, basic information about classical selection principles, topological games and bitopological spaces to be used in the thesis is given. In the third chapter, weak Menger properties are defined in the bitopological spaces, the relationships of these properties with one another and the classical selection principles are studied, and also some topological properties of them are discussed. Finally, in this chapter, Hurewicz property, which is a classical selection principle, is defined. The fourth chapter is devoted to the weak forms of Alster property in bitopological spaces. In this context, almost Alster and weakly Alster properties are introduced and these properties are characterized with selection principles. In addition, it is shown that the almost Alster bitopological spaces are productively Lindelöf. The final chapter is about the applications of the weak selection principles to the game theory. In this chapter, the games parallel to the almost Menger and almost Alster properties in bitopological spaces are defined and relationships between games and these properties are examined. Bu tezin amacı, bazı klasik seçme özelliklerinin zayıf formlarını ikili topolojik uzaylarda tanıtmak, aralarındaki ilişkileri incelemek ve bu özellikleri topolojik oyunlarla karakterize etmektir. Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde tezin konusu hakkında bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde klasik seçme prensipleri, ikili topolojik uzaylar ve topolojik oyunlarla ilgili tezde kullanılacak temel bilgiler verilmiştir. Üçüncü bölümde, ikili topolojik uzaylarda Menger özelliğinin zayıf formları tanımlanmış bu özelliklerin birbirleriyle ve klasik seçme prensipleriyle olan ilişkileri incelenmiş ayrıca bazı topolojik özellikleri ele alınmıştır. Bu bölümde son olarak, bir klasik seçme prensibi olan Hurewicz özelliği ikili topolojik uzaylarda tanımlanmıştır. Dördüncü bölüm, ikili topolojik uzaylarda Alster özelliğinin zayıf formlarına ayrılmıştır. Bu bağlamda ikili topolojik uzaylarda hemen hemen Alster ve zayıf Alster özellikleri tanıtılmış ve bu özellikler seçme prensipleriyle karakterize edilmiştir. Ayrıca hemen hemen Alster ikili topolojik uzayların çarpımsal hemen hemen Lindelöf olduğu gösterilmiştir. Son bölüm ise zayıf seçme prensiplerinin oyun teorisine olan uygulamalarını konu alır. Bu bölümde ikili topolojik uzaylarda hemen hemen Menger ve hemen hemen Alster özelliklerine paralel olan topolojik oyunlar tanımlanmış ve oyunlarla bu özellikler arasındaki ilişkiler incelenmiştir.

Bu tezin amacı köşegenleştirme yöntemi olarak da bilinen seçme prensipleri teorisi üzerine bir derleme yapmak ve topolojik oyunlarla olan ilişkilerini incelemektir.Tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm olan giriş bölümünde seçme prensipleri teorisinin tarihi hakkında kısa bilgiler verilmiş ve S_1, S_{fin} ve U_{fin} klasik seçme yöntemlerinin uyarlanmasından bahsedilmiştir. İkinci bölümde; tez içerisinde kullanılacak olan genel tanımlara yer verilmiştir. Üçüncü bölümde; Gamma, Omega, Lambda, O açık örtü sınıfları ve S_1, S_{fin},U_{fin} klasik seçme yöntemleriyle elde edilen sınıflar arasındaki kapsamalar incelenmiş ve bu kapsamalar şemalarla verilmiştir. Dördüncü bölümde; bir önceki bölümde şemalarda verilen sınıflar arasındaki eşitlikler gösterilmiş, Cantor kümesinin bu sınıflardan hangilerinde olup, olmadığı incelenmiş ve son olarak özelliklerin korunmasına değinilmiştir. Beşinci bölümde; Menger, Rothberger ve Hurewicz özelliklerinden uyarlanan topolojik oyunlar tanıtılmış ve bu oyunlarla sınıflara ait olma koşulları karakterize edilmiştir. The aim of this thesis is to make a compilation on the theory of selection principles which is also known as the diagonalization processes, and to examine its relations with topological games.The thesis consists of five sections. In the introductory part, short information about the history of the theory of selection principles were given and the motivation of S_1, S_{fin} and sU_{fin} classic selection methods were discussed. In the second part, the general definitions used in the thesis were given. In the third part; the inclusions between Gamma, Omega, Lambda, O cover classes, and classes obtained by S_1, S_{fin} and sU_{fin} classic selection methods were examined and given in diagrams. In the fourth part, equivalences between classes given in the diagrams in the previous part were shown, in which of the classes there exists or there doesn't exist the Cantor set were examined and finally the preservation of the properties were mentioned. In the fifth part, topological games adapted from Menger, Rothberger and Hurewicz properties were introduced and belonging conditions to classes were characterized with these games. 60