Search

Bu tez çalışmasında q-fark operatörü içeren sınır değer problemlerinin pozitif çözümlerinin varlığı üzerine koşulların incelenmesi amaçlanmıştır. Bu amaç doğrultusunda öncelikle konunun tarihsel gelişimi anlatılmış, q-fark türev ve integral kavramlarının daha iyi anlaşılması için gerekli tanım ve teoremler verilmiştir. Giriş bölümü dışında üç ana bölümden oluşan tezin bu bölümlerinde farklı yapıda sınır değer problemleri ele alınmıştır. Üçüncü bölümde, Riemann-Liouville tipindeki kesirli q-türeve sahip integral sınır koşullu bir kesirli q-fark sınır değer problemi ele alınarak bu problemin çözümlerinin varlığı sabit nokta teoremleri ve alt-üst çözüm tekliği kullanılarak incelenmiştir. Dördüncü bölümde, yarı açık aralıkta tanımlı bir kesirli q-fark sınır değer problemi ele alınarak, öncelikle problemin Green fonksiyonu bulunarak bu fonksiyonun özellikleri incelenmiş ve ardından en az bir pozitif çözümün varlığı Schauder sabit nokta teoreminin bir sonucu olarak sunulmuştur. Beşinci ve son bölümde, önce integral sınır koşullu bir problem incelenmiş ve bu problemin sonuçları ışığında p-laplasyen operatörlü farklı bir problem daha ele alınarak çözümlerinin varlığı üzerine sonuçlar elde edilmiştir., In this thesis, it is aimed to examine the conditions on the existence of positive solutions of boundary value problems involving the q-difference operator. For this purpose, first of all, the historical development of the subject is explained, and the necessary definitions and theorems are given for a better understanding of the concepts of q-difference derivative and integral. In these parts of the thesis, which consists of three main parts, apart from the introduction part, boundary value problems with different structures are discussed. In the third chapter, a fractional q-difference boundary value problem with integral boundary condition with fractional q-derivative of Riemann-Liouville type is handled and the existence of solutions of this problem is investigated using fixed point theorems and lower-upper solution uniqueness. In the fourth chapter, a fractional q-difference boundary value problem defined in a semi-open interval is handled, first the Green's function of the problem is found, the properties of this function are examined, and then the existence of at least one positive solution is presented as a result of the Schauder fixed point theorem. In the fifth and at the same time in the last chapter, firstly, a problem with integral boundary condition is examined and in the light of the results of this problem, another problem with p-laplacian operator is handled and results on the existence of its solutions are obtained.

ÖZET Bu tezde bağlantılı uzay çeşitleri ve aralarındaki ilişkiler araştırılmış, bu konuda yapılan çalışmalar dört ana bölüm altında toplanmıştır. Bağlantılı uzaylar karakterize edildikten sonra yol bağlantılı uzaylar ile yerel bağlantılı uzaylar ve aralarındaki ilişkiler ortaya konmuştur. Ayrıca kalıtsal bağlantısız uzaylar ve tamamen bağlantısız uzaylar arasındaki fark belirtilmiştir. Kısmı 3.1 'de yan-düzenlenmiş topolojilerin bağlantılılık özellikleri irdelenmiştir. Yan-genelleştirilmiş bağlantılı uzaylara ait tanım verildikten sonra, bağlantılı uzaylarla arasındaki ilişki incelenmiştir. Aşırı bağlantısız uzaylar, yay bağlantılı uzaylar ve hiper bağlantılı uzayların tanımlarının yam sıra bu konularla ilgili teoremler tartışılmıştır. İrdelenen uzaylar arasındaki ilişkiler bağlantılı uzaylar için `Diyagram 3.1`, bağlantısız uzaylar için ise `Diyagram 3.2` de gösterilmiştir. Son olarak kalıtsal yerel bağlantılı uzaylara ait bazı metrik özelikler ve önemli bazı teoremler incelenmiştir. ABSTRACT In this thesis varieties of connected space and relations between them are studied, the researches which are held out about this subject are compiled under four main chapters. After characterization of connected spaces, pathwise connected space and locally connected spaces and the relations between them are presented. In addition, the difference between hereditarily disconnected spaces and totally disconnected spaces is pointed out. In section 3.1, connectedness properties of semi-regularization topologies are examined. After giving a definition which belongs to semi-generalized connected spaces, its relations with connected spaces are investigated. Beside definitions of extremally disconnected spaces, arcwise and hyper connected spaces, theorems which are related to them are discussed. The relations between spaces that are examined are shown for connected spaces in `Diagram 3.1`, for disconnected spaces in `Diagram 3.2`. Finally, some metric properties belonging to hereditarily locally connected spaces and some important theorems are studied on. 65