Search

Математические модели некоторых динамических процессов можно существенно уточнить, используя в них производные и интегралы нецелого порядка, учитывая эффекты, которые не описать с помощью обыкновенных производных. Так, например, с помощью дробных производных Герасимова-Капуто постоянного и переменного порядка можно учитывать эффект памяти в модели процесса, а порядок производной будет связан с интенсивностью процесса. В частности, авторами ранее разработана эредитарная α-модель объемной активности радона, где параметр α связан с проницаемостью среды. Однако возникает вопрос об определении оптимальных значений как α, так и других параметров модели. Для решения проблемы можно решать обратную задачу — распространенный тип задач во многих научных областях, где необходимо определить значения параметров модели на основе наблюдаемых данных, но невозможно провести прямые измерения этих параметров. Необходимость такого подхода часто возникает при работе с геологическими данными. В статье описывается программная реализация программного комплекса PRPHMM 1.0, способного восстанавливать оптимальные значения эредитарных математических моделей на основе производной Герасимова-Капуто. Адаптирован и реализован на языке MATLAB алгоритм безусловной оптимизации ньютоновского типа Левенберга-Марквардта. Реализованы подпрограммы для чтения, обработки и визуализации экспериментальных и модельных данных. Приводится тестовый пример, решающий на основе экспериментальных данных радонового мониторинга обратную задачу для эредитарной α-модели на параметры α и λ0-коэффициент воздухообмена. Показано, что PRPHMM 1.0 позволяет для эредитарных математических моделей на восстанавливать значения параметров, близкие к оптимальным.

Радон — инертный радиоактивный газ, исследования вариаций которого в сопоставлении с сейсмичностью считаются перспективными для целей разработки методик прогноза землетрясений. На полуострове Камчатка развернута сеть пунктов наблюдения, в которых с помощью накопительных камер с газоразрядными счетчиками ведется мониторинг объемной активности радона (RVA). Анализ данных RVA в рамках радонового мониторинга является одним из методов поиска предвестников сейсмических событий. Это связано с тем, что изменения напряженно-деформированного состояния геосреды, через которую протекает газ, влияют на RVA. Изменение интенсивности переноса радона вследствие изменения напряженно-деформированного состояния геосреды описывается с помощью оператора дробного дифференцирования постоянного вещественного порядка α, который связан с проницаемостью геосреды. Известно, что на RVA в накопительной емкости с датчиками влияет также кратность воздухообмена λ0, эффект которого необходимо учитывать в изучение процесса переноса радона. Целью исследования является изучение накопления радона в камере, которое заключается в идентификации значений параметров λ0 и α с помощью решения соответствующей обратной задачи. В результате исследований было показано, что для эредитарной α-модели переноса радона методом Левенберга-Маквардта с привлечением экспериментальных данных RVA можно определить оптимальные значения ее параметров λ0 и α. Полученные модельные кривые хорошо согласуются с данными RVA, полученными в рамках хорошо известной классической модели переноса радона в накопительной камере.

При решении задач математического моделирования часто приходится обращаться к теории интегрально-дифференциального исчисления. С ее помощью можно описывать динамические процессы самой разной природы. Использование аппарата дробных производных позволяет уточнить некоторые из этих моделей за счет учета в уравнениях эффекта памяти. Данный эффект выражается в зависимости текущего состояния динамической системы от предыдущих состояний, то есть нелокальности. Интенсивность этого эффекта будет определяться значением показателя степени дробной производной. Классически это некое значение αα является нецелым и постоянным. Однако существуют обобщения дробных производных на случай переменной во времени нелокальности α(t) и других функциональных зависимостей. Подобные дробно-дифференциальные модели все чаще находят свое применение в теории и практике физико-математических, а также технических наук. Однако, учитывая понимание природы моделируемого процесса, подбор различных параметров таких моделей приходится осуществлять эмпирически. Например, модельные параметры уточняются путем перебора значений и сопоставления временных рядов: результатов моделирования и экспериментальных данных, представляющих процесс. Это продолжается до тех пор, пока результаты моделирования не начнут качественно аппроксимировать данные. Такой подход трудоемок, что неизбежно приводит нас к идеям о решении обратных задач. Цель данной работы – показать, что с помощью методов безусловной оптимизации возможно решение обратных задач для определения вида функциональной зависимости α(t). Прямая задача определяется как задача Коши для дробного уравнения, где производная понимается в смысле Герасимова-Капуто с переменным показателем степени дробной производной α(t). Прямая задача решается численно с помощью нелокальной неявной конечно-разностной схемы. Обратная задача определяется как задача дискретной минимизации функции α(t) на основе экспериментальных данных. В качестве метода для решения был выбран итерационный метод Левенберга-Марквардта. На тестовых примерах было показано, что метод Левенберга-Марквардта действительно может быть использован для безусловной оптимизации с целью определения вида функции α(t) и её оптимальных значений в конкретных моделях.

В статье представлено исследование вычислительной эффективности параллельной версии численного алгоритма для решения уравнения Риккати с производной дробного перменного порядка типа Герасимова-Капуто. Численный алгоритм представляет собой нелокальную неявную конечно-разностную схему, которая сводится к системе нелинейных алгебраических уравнений и решается с помощью модифицированного метода Ньютона. Нелокальность численной схемы создает высокую вычислительную нагрузку на вычислительные ресурсы, из-за чего возникает необходимость в реализации эффективных параллельных алгоритмов их решения. Исследуемый на эффективность численный алгоритм реализован на языке C из-за его универсальности при работе с памятью. Распаралеливание проводилось с помощью технологии OpenMP. Проводится серия вычислительных экспериментов на вычислительном сервере NVIDIA DGX STATION (Институт математики имени В.И. Романовского, г. Ташкент, Узбекистан) и ноутбуке HP Pavilion Gaming Laptop Z270X, где решалась задача Коши для дробного уравнения Риккати с непостоянными коэффициентами. На основе среднего времени вычисления вычисляются: ускорение, эффективность и стоимость алгоритма. Из анализа данных видно, что OpenMP параллельная программная реализация нелокальной неявной конечно-разностной схемы показывает ускорение работы от 9-12 раз в зависимости от количества задействованных ядер CPU.

В статье проводится уточнение математической модели динамики солнечной активности методом решения обратной задачи. В качестве дополнительной информации используются экспериментальные данные по наблюдению за значениями числа Вольфа. Этот параметр солнечной активности отражает число пятен на поверхности солнца, и считается индикатором его активности. Данный процесс характеризуется наблюдаемой цикличностью, периодами роста и спада. Проводится анализ и обработка исходных данных, с целью выделения из временных рядов участков соответствующих росту солнечной активности. Для описания данного динамического процесса используется ранее предложенная математическая модель описания 23 и 24 циклов. Модель представляет собой задачу Коши для дробного аналога нелинейного уравнения Риккати, где производная первого порядка замещается оператором дробного дифференцирования Герасимова-Капуто с порядком от 0 до 1. Порядок дробной производной связывается с интенсивностью течения процесса. Данное модельное уравнение решается численно с помощью нелокальной неявной конечно-разностной схемы. Для уточнения значений порядка дробной производной была решена задача одномерной оптимизации с помощью итерационного метода Левенберга-Марквардта второго порядка, на основе обработанный экспериментальных данных. Показано, что можно уточнить порядок дробной производной в модели солнечной активности за счет решения соответствующей обратной задачи, а полученные результаты лучше согласуются с данными.

Непрерывный мониторинг вариаций объемной активности радона с целью поиска ее аномальных значений, предшествующих сейсмическим событиям, является одной из эффективных методик исследования напряженно-деформированного состояния геосреды. Предлагается задача Коши, описывающая перенос радона с учетом его накопления в камере и наличия эффекта памяти геосреды. Модельное уравнение представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение с непостоянными коэффициентами с производной в смысле Герасимова-Капуто дробного переменного порядка. В ходе математического моделирования, в среде MATLAB, переноса радона эредитарной α(t)-моделью получено хорошее соответствие с экспериментальными данными. Это указывает на то, что эредитарная α(t)-модель переноса радона является более гибкой, что позволяет с помощью нее описывать различные аномальные вариаций в значениях объемной активности радона в следствии напряженно-деформированного состояния геосреды. Показано, что порядок дробной производной может отвечать за интенсивность процесса переноса радона связанную с характеристиками геосреды. Показано, что за счет порядка дробной производной, а также квадратичной нелинейности в модельном уравнении результаты численного моделирования дают лучшую аппроксимацию экспериментальных данных радонового мониторинга, чем по классическим моделям.

В статье приводятся результаты компьютерного моделирования распространения плоской электромагнитной волны. Грозовые разряды являются естественными источниками импульсного электромагнитного излучения (атмосферика). Атмосферик распространяется в волноводе Земля-Ионосфера как плоская электромагнитная волна с широким спектром частот с максимумом интенсивности в диапазоне 4-10 кГц. После землетрясений с магнитудами порядка 7 и более, увеличивается насыщенность подземных вод вторичными минералами, что приводит к локальному увеличению проводимости земли в данных областях. Что определяет электрофизические свойства земли, как параметры нижней границы волновода Земля-Ионосфера. Которые влияют на характеристики распространяющихся в волноводе электромагнитных волн. Предполагается, что, изучая параметры атмосферика можно установить наличие неоднородности проводимости стенки волновода. На основе системы уравнений Максвелла с краевыми условиями в виде Perfectly matched layer, задаётся математическая модель процесса. Краевые условия модели определяют область распространения электромагнитного широкополосного сигнала, как волновод с неоднородной проводимостью границ. Система модельных уравнений решается численным методом Finite-Difference Time-domain. Для решения поставленной задачи и проведения компьютерного моделирования разработан программный комплекс в среде MATLAB. С целью проверки предположения, был проведён ряд компьютерных симуляций. В результате показано, что имеет место обратное рассеяние электромагнитной волны на трассе волновода, возникающее в следствии отражения волны при её взаимодействии с неоднородностью проводимости нижней границы волновода. Показано, что с помощью математического моделирования процесса распространения атмосферика и его взаимодействий с неоднородностью в волноводе можно установить наличие неоднородности и её связь с характеристиками излучения.

В этой статье была использована дробно-дифференциальная модель физических процессов с насыщением для описания динамики летальных исходов инфекции COVID-19. Математическое описание модели дается интегро-дифференциальным уравнением Риккати с производной дробного переменного порядка типа Герасимова-Капуто. Такое описание позволяет учитывать эффекты насыщения и памяти в динамике распространения COVID-19 среди населения. Здесь эффект насыщения заключается в выходе на плато числа заболевших и умерших, что указывает на стабилизацию динамики распространения COVID-19. Эффект памяти заключается в том, что симптомы инфекции у зараженных проявляются не сразу, а с некоторой задержкой. В статье исследуются данные наблюдений по новым случаям заражения и общему числу смертей в период за 2.5 года (с марта по сентябрь 2022 г) в Российской Федерации и Республике Узбекистан. Далее в работе уточняются параметры модели на основе исследуемых данных по динамике COVID-19. С помощью уточнённой модели делается предварительный прогноз на следующие полгода с последующей проверкой. Показано хорошее согласие между модельными кривыми и кривыми данных по общему числу смертей от COVID-19.

В этой статье проводится математическое моделирование динамики солнечной активности. Исследуются данные наблюдений по средне-ежемесячному числу солнечных пятен, называемых числом Вольфа, в период за 24.5 года с мая 1996 года по октябрь 2022 года. Исходя из результатов подобного исследования данных по этому процессу, с применением уравнения Риккати дробного постоянного порядка, о том, что подъем и падение числа Вольфа со временем происходит по кривой, очень близкой к обобщенной логистической кривой, в данной статье также предлагается математическая модель, основанная на уравнении Риккати. Так как уравнение Риккати хорошо описывает процессы, которые подчиняются логистическому закону. Однако уравнение обобщается до интегро-дифференциального уравнения Риккати, введением дробной производной типа Герасимова-Капуто переменного порядка, а дробная производная с переменным порядком, позволяет получить более уточную математическую модель циклов числа Вольфа с насыщением, и позволяет учесть эффект переменной памяти. Все расчёты моделей, обработка данных и визуализации проводятся в программе FDRE 3.0 разработанной в пакете MATLAB. Параметры моделирования уточняются аппроксимацией известных исследуемых данных, при помощи регрессионного анализа. В результате модельные кривые и графики известных за 24.5 года наблюдаемых данных, показывают между собой хорошее соответствие. С помощью уточнённой математической модели делается прогноз на следующие 9 лет, который визуально хорошо согласуется с известными модельными результатами солнечной активности.

В статье проводится математическое моделирование электромагнитной динамики атмосферика. Атмосферик – широкополосный сигнал с максимумом интенсивности в диапазоне частот 8-10 кГц, который распространяется в виде плоской электромагнитной волны в сложной структуре проводящего пространства волновода, образованного поверхностью Земли и ионосферой. Математическая модель процесса описывается краевой задачей для системы уравнений Максвелла. Краевые условия задачи определяют структуру волновода (Perfectly matched layer), параметры проводящего объёма, взаимодействие с неоднородностями в волноводе, временно возникающими (локальное изменение проводимости) или существующими постоянно (прибрежная линия океанов). Математическая модель решается численным методом Finite-Difference Time-domain. Для решения поставленной задачи разработан программный комплекс в среде MATLAB. В результате компьютерных симуляций показано что, наличие искажений основной электромагнитной волны вызвано взаимной интерференцией основной волны и отражённой волны от неоднородности. В результате, наблюдая за параметрами атмосферика возможно установить наличие неоднородности на трассе его распространения. Моделирование процесса взаимодействие электромагнитного излучения с неоднородностью в волноводе может установить связь между параметрами излучения и его неоднородностями.