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Ce mémoire étudie deux familles de fonctions orthogonales, soit les fonctions d'orbite de Weyl et les fonctions d'orbite de Hartley. Chacune de ces familles est associée à une algèbre de Lie simple et cette recherche se limite aux algèbres A₂, C₂ et G₂ de rang 2. Les fonctions d'orbite de Weyl ont été largement étudiées depuis des années en raison de leurs propriétés exceptionnelles. Nouvellement, elles ont été utilisées pour générer des polynômes de Chebyshev généralisés et calculer les fonctions génératrices de ces polynômes pour les algèbres de Lie simples de rang 2. Les fonctions d'orbite de Hartley, quant à elles, ont été récemment introduites par Hrivnák et Juránek et l'étude de ces dernières ne fait que débuter. L'objectif de ce mémoire est de définir des polynômes de Chebyshev généralisés associés aux fonctions de Hartley et de calculer les fonctions génératrices de ceux-ci pour les algèbres A₂, C₂ et G₂. Le premier chapitre introduit les systèmes de racines et le groupe de Weyl, original et affine, ainsi que leurs domaines fondamentaux, afin que le lecteur ait les notations et définitions pour comprendre les chapitres suivants. Le deuxième chapitre présente et étudie les fonctions de Weyl. Il définit également leurs polynômes de Chebyshev généralisés et se termine en présentant les différentes fonctions génératrices de ces polynômes pour les algèbres de Lie simples de rang 2. Finalement, le troisième chapitre contient les résultats originaux; il expose les fonctions de Hartley et certaines de leurs propriétés. Il définit les polynômes de Chebyshev généralisés de celles-ci et énonce également leurs relations d'orthogonalité discrète. Il conclut en calculant les fonctions génératrices de ces polynômes pour les algèbres A₂, C₂ et G₂., This master's thesis studies two families of orthogonal functions, the Weyl orbit functions and the Hartley orbit functions. Each of these families is associated to a simple Lie algebra and the present work is limited to the algebras A₂, C₂ and G₂ of rank 2. Weyl orbit functions have been widely studied for years because of their exceptional properties. Recently, these properties have been used to generate generalized Chebyshev polynomials and to compute the generating functions of these polynomials for the simple Lie algebras of rank 2. Hartley orbit functions, on the other hand, were recently introduced by Hrivnák and Juránek and the study of the latter has only begun. The objective of this thesis is to define the generalized Chebyshev polynomials of Hartley orbit functions and to compute their generating functions for the algebras A₂, C₂ and G₂. The first chapter introduces root systems and the Weyl group, original and affine, and their fundamental domains, so that the reader has the notations and definitions at hand to read the following chapters. The second chapter introduces and studies Weyl orbit functions. It also defines their generalized Chebyshev polynomials and ends by presenting the different generating functions of these polynomials for simple Lie algebras of rank 2. Finally, the third chapter contains the original contribution; it presents the Hartley functions and some of their properties. It defines the generalized Chebyshev polynomials of these and also states their discrete orthogonality relations. It concludes by computing the generating functions of these polynomials for the algebras A₂, C₂ and G₂.

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2022, Director: Ignasi Mundet i Riera, [en] The main goal of this work is to introduce the notion of Lie groups and their representations. We start with a reminder of the basic concepts of differential geometry. Immediately after we introduce the concept of a Lie group and some of its most important related notions, namely its Lie algebra, the adjoint representation and the exponential map. Then the main results of representation theory are introduced, with a focus on the representations of compact Lie groups. Torus representations receive special consideration due to their later importance. We also present the notion of a representation of a Lie algebra, along with the weights and infinitesimal weights of a Lie group. Finally, we introduce maximal tori of compact connected Lie groups, together with the corresponding Weyl group. We show without proof that the weights of the adjoint representation of a compact connected Lie group form a root system. These concepts are exemplified for the Lie group SU (3) due to its importance in particle physics. This is the topic of the last section.

This thesis focuses on the study of noncubic Dirac operators within the framework of representation theory of Lie groups. After recalling basic notions of Lie theory and Clifford algebras, we present the main properties of cubic Dirac operators D introduced by Kostant in 1999. These results quickly aroused great interest. In particular, in the late 1990’s, Vogan introduced a cohomology defined by Kostant operator D and suggested a cohomological classification of representations. Dirac cohomology was computed for various families of representations, such as the discrete series, Aq(>) modules or finite dimensional representations. It turns out that for finite dimensional modules, Dirac cohomology coincides with the kernel of D. It appears that Kostant’s Dirac operator is an algebraic version of a specific member of a continuous family of geometric Dirac operators introduced by Slebarski in the mid 1980’s in the context of bundles over homogeneous spaces G/H of compact groups. What distinguishes the cubic Dirac operator is that it is the only member of this family whose square, generalizing Parthasarathy’s formula, differs from the Casimir operator up to a scalar. This property has important applications in representation theory of Lie groups. The square of the noncubic Dirac operators, i.e. of the other members of Slebarski’s family, was calculated by Agricola who also established precise links between these noncubic operators and string theory in physics. Actually, noncubic Dirac operators are invariant differential operators, and therefore their kernels define (finite-dimensional) representations of compact groups. In this thesis we study the kernel of noncubic Dirac operators, and we show that, under certain conditions on the homogeneous spaces G/H, the kernel contains the kernel of the cubic Dirac operator. We obtain an explicit formula for the kernel which we apply to the case of classical Lie algebras and of exceptional Lie algebras. We remark that some properties of noncubic operators are analogous to those of Kostant cubic Dirac operator, such as the index. We also deduce some observations on noncubic geometric Dirac operators., Cette thèse porte sur l’étude des opérateurs de Dirac non-cubiques dans le cadre de la théorie des représentations des groupes de Lie. Après avoir présenté des notions de la théorie de Lie et des algèbres de Clifford, nous rappelons les propriétés principales des opérateurs de Dirac cubiques D introduits par Kostant en 1999. Ces résultats ont rapidement suscité un vif intérêt. En particulier, à la fin des années 2000, Vogan introduit une cohomologie définie par l’opérateur de Kostant et suggère une classification cohomologique des représentations. La cohomologie de Dirac a été calculée pour diverses familles de représentations, telles que les séries discrètes, les modules Aq(>) ou les modules de dimension finie. Pour les modules de dimension finie, la cohomologie de Dirac coïncide avec le noyau de D. Il apparait que l’opérateur de Dirac de Kostant est une version algébrique d’un opérateur différentiel issu d’une famille continue d’opérateurs de Dirac géométriques introduits par Slebarski dans les années 1980 dans le cadre de fibrés au- dessus d’espaces homogènes G/H de groupes compacts. Ce qui distingue l’opérateur de Dirac de Kostant est qu’il est le seul membre de cette famille dont le carré, généralisant une formule de Parthasarathy, diffère de l’opérateur de Casimir à un scalaire près. Cette propriété a des applications importantes en théorie des représentations des groupes de Lie. Le carré des opérateurs de Dirac non-cubiques, i.e des autres membres de la famille d’opérateurs de Slebarski, a été calculé par Agricola qui a également établit des liens précis entre ces opérateurs non-cubiques et la théorie des cordes en physique. Par ailleurs, les opérateurs de Dirac non-cubiques sont des opérateurs différentiels invariants, et donc leur noyau est le siège de représentations (de dimension finie) de groupes compacts. Dans cette thèse nous étudions le noyau des opérateurs de Dirac non-cubiques, et nous montrons, sous certaines conditions sur les espaces homogènes G/H, que ce noyau contient le noyau de l’opérateur de Dirac cubique. Nous obtenons en fait une formule explicite pour le noyau que nous appliquons aux cas des algèbres de Lie classiques et des algèbres de Lie exceptionnelles. Nous constatons que certaines propriétés des opérateurs non-cubiques sont analogues à celles de l’opérateur de Dirac de Kostant, tel que l’indice. Nous déduisons également quelques observations sur les opérateurs de Dirac géométrique non-cubiques.

Let k be a Lie algebra, and Y(k)=S(k)^k the algebra of invariants of S(k) for the adjoint representation of k. In invariant theory, one of long-standing questions is to know whether Y(k) is polynomial or not. Some positive results exist (if k is reductive, thanks to Chevalley). Negative results also exist (counterexamples if k is the centraliser of a nilpotent element in a reductive Lie algebra, by Yakimova in type E_8 and by Charbonnel and Moreau in type D_7).Define then the algebra of semi-invariants Sy(k) as the algebra generated by the elements of S(k) for which the adjoint representation acts homothetically. In the same way as before, the question of the polynomiality of Sy(k) arises. For the moment, this question has few answers (Fauquant-Millet and Joseph proved Sy(k) is polynomial if k is a biparabolic Lie subalgebra in type A or C).Another case is when k=q is a parabolic contraction, that is a contraction of a reductive Lie subalgebra g by a parabolic Lie subalgebra p. If g is simple of type A or C, or if p is a Borel subalgebra, or in certain cases of parabolic contractions with g of type B, Panyushev and Yakimova have shown that Y(k) is polynomial. Yakimova has also shown that Sy(q) is polynomial when p is a Borel subalgebra.In my thesis, I study the polynomiality of Sy(q) when q is a parabolic contraction in type A or C. Using Panyushev and Yakimova's results, I prove the polynomiality of Sy(q) in type A in some cases in type C, but I prove that Sy(q) is not polynomial in type C in general., Soit k une algèbre de Lie, et Y(k)=S(k)^k l'algèbre des invariants de S(k) pour la représentation adjointe de k. En théorie des invariants, une des interrogations de longue date est de savoir si Y(k) est polynomiale ou non. Des résultats positifs existent (si k est réductif, grâce à Chevalley). Des résultats négatifs existent aussi (des contre-exemples si k est le centralisateur d'un élément nilpotent dans une algèbre de Lie réductive, par Yakimova en type E_8 et par Charbonnel et Moreau en type D_7).On définit alors l'algèbre des semi-invariants Sy(k) comme l'algèbre engendrée par les éléments de S(k) pour lesquels la représentation adjointe agit de manière homothétique. De la même manière se pose la question de la polynomialité de Sy(k). Cette question a pour l'instant peu de réponses (Fauquant-Millet et Joseph ont obtenu la polynomialité si k est une sous-algèbre biparabolique en type A ou C).Un autre cas est celui où k=q est une contraction parabolique, c'est-à-dire une contraction d'une sous-algèbre de Lie réductive g par une sous-algèbre de Lie parabolique p. Dans les cas où g est simple de type A ou C, ou bien si p est une sous-algèbre de Borel, ainsi que dans certains cas de contractions paraboliques avec g de type B, Panyushev et Yakimova ont montré que Y(k) est polynomiale. Yakimova a également montré la polynomialité de Sy(q) lorsque p est une sous-algèbre de Borel.Dans ma thèse, j'étudie la polynomialité de Sy(q) lorsque q est une contraction parabolique en type A ou C. En utilisant les résultats de Panyushev et Yakimova, j'obtiens la polynomialité de Sy(q) en type A et dans certains cas en type C, mais conclus à la non-polynomialité en type C en général.

Moduli spaces are mathematical objects that often appear as solutions of classification problems. They permit to parametrise various entities, in general of geometric nature (such as curves or vector bundles), by means of an equivalence relation provided by considering the action of an algebraic group. This is the point of geometric invariant theory, first introduced by D. Mumford. In this setting, constructing quotients for a group scheme action on an algebraic scheme X is a recurring and natural question in algebraic geometry, as it allows to obtain moduli spaces of a certain type. Unfortunately, even when X is defined over a field (i.e. when X is an algebraic k-variety) a quotient of X for the group G need not exist in the category of algebraic varieties. Geometric invariant theory provides a Zariski open subset, the so-called semi-stable locus, such that a good quotient of the latter always exists for the G-action on it.This work study reductive group schemes in positive characteristic. When G is a reductive group scheme defined over a k-curve X, for k a field, several generalisation of the notion of (semi-)stability (whuch has been first established in the geometric invariant theory setting) naturally appear, depending on the context. They all require to associate a parabolic subgroup to G. If k is a field of characteristic 0, when these subgroups coexist (which depends on hypotheses on G), they are the same. In positive characteristic the situation is more complicated. This memoire provides a bound on the characteristic for which all these theory lead to the same parabolic object, and shows that this unique object is the parabolic subgroup provided by the Hilbert_Mumford-Kempf-Rousseau theory. This result requires to adapt some analogues, in characteristic p>0 of theorem of Morozov, stated in the characteristic zero framework, and which allows to characterise parabolic Lie subalgebras of a reductive group scheme in terms of their p-radical.A recent article of V. Balaji, P. Deligne and A.J Parameswaran established a first analogue of this result in characteristic p>0 under quite strong hypotheses on p and on the reductive k-group G. The proof of this results is based on the existence of an exponential map compatible with the adjoint representation between p-nil subalgebras of Lie(G) and unipotent subgroups og G. A. Premt and D. I. Stewart also recently obtained an analogue of Morozov theorem under weaker hypotheses. Their proof is based on a case-by-case analysis. In this manuscript I adapt tachniques developped by V. Balaji, P. Deligne and A.J Parameswaran to a more general framework, in order to obtain an anologue under slightly stronger hypotheses than A. Premet and D. I. Stewart. The proof I propose is uniform and allows an aditionnal characterisation of the object involved in terms of geometric invariant theory. The proof developped here required to generalise a result of P. Deligne, that allows to measure the lack of smoothness of infinitesimally saturated k-groups. This required to adapt the notion of infinitesimal saturation to a more general context, by means of Springer isomorphisms, Les espaces de modules sont des objets mathématiques qui apparaissent souvent comme solutions de problèmes de classification. Ils permettent de paramétrer différentes entités, généralement géométriques (par exemple des courbes ou des fibrés vectoriels), à l'aide d'une relation d'équivalence donnée par l'action d'un groupe algébrique. C'est l'objet de la théorie géométrique des invariants, introduite par D. Mumford. La construction de quotients pour l'action d'un groupe G sur un schéma algébrique X permet l’obtention de tels espaces et se révèle donc être une question récurrente et naturelle en géométrie algébrique. Toutefois, même lorsque X est défini au-dessus d'un corps k (i.e. lorsque X est une k-variété algébrique), un quotient de X par G n'existe pas toujours dans la catégorie des variétés algébriques. La théorie géométrique des invariants fournit un ouvert de Zariski appelé ensemble des points semi-stables, tel qu'un bon quotient de cet ensemble pour l’action de G existe toujours. Cette thèse étudie les schémas en groupes réductifs en caractéristique positive. Lorsque G est un schéma en groupes réductif au-dessus d'une courbe X définie sur un corps k, différentes généralisations de la notion de (semi-)stabilité introduite dans le cadre de la théorie géométrique des invariants apparaissent naturellement, en fonction du contexte. Toutes impliquent d'associer à G un sous-groupe parabolique dit canonique. Si k est de caractéristique nulle, lorsque ces sous-groupes paraboliques coexistent (ce qui dépend d’hypothèses sur G), ils coïncident. En caractéristique positive la situation est plus complexe. Ma thèse fournit une borne sur la caractéristique pour laquelle les différentes théories définissent le même sous-groupe parabolique. Elle propose pour ce faire une caractérisation de cet objet grâce à la théorie de Hilbert-Mumford-Kempf-Rousseau. L’obtention de cette dernière a nécessité de développer des analogues, en caractéristique p>0, d’un théorème initialement dû à V. Morozov dans le cadre de la caractéristique nulle, et qui permet la caractérisation des sous-algèbres de Lie paraboliques de l’algèbre de Lie d’un k-groupe réductif à l’aide de l’ensemble des éléments (p)-nilpotents de leur radical. Des travaux de P. Deligne, puis V. Balaji, P. Deligne et A. J. Parameswaran ont récemment permis à ces derniers d’obtenir un premier analogue du théorème en caractéristique positive sous des hypothèses relativement fortes sur la caractéristique du corps et sur le k-groupe réductif G. Leur preuve repose sur l’existence d’une application exponentielle compatible à la représentation adjointe entre les sous-algèbres p-nil de Lie(G) et les sous-groupes unipotents de G. A. Premet et D. I. Stewart ont dernièrement également obtenu un analogue du théorème de Morozov sous des hypothèses bien plus faibles sur la caractéristique et le k-groupe G. Leur preuve est basée sur une étude de cas. Ma thèse propose d’adapter les techniques développées par V. Balaji, P. Deligne et A. J. Parameswaran à un contexte plus large, pour obtenir un analogue qui approche le niveau de généralité de A. Premet et D. I. Stewart. La démonstration des énoncés obtenus est uniforme et permet une caractérisation supplémentaire des objets considérés en termes de théorie géométrique des invariants. L’obtention de ces résultats a nécessité un travail préalable à plusieurs niveaux : une partie substantielle à la généralisation d'un résultat de P. Deligne qui permet de mesurer le défaut de lissité des k-groupes infinitésimalement saturés, et qui a nécessité d’adapter cette notion à un cadre plus large, en recourant aux isomorphismes de Springer. Un certain nombre de lemmes techniques sur les p-algèbres de Lie restreintes sont également démontrés dans les annexes de ce mémoire, afin d’obtenir les bons analogues des objets classiques de la caractéristique nulle au cadre de la caractéristique positive pour le plus grand éventail de caractéristiques possible

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2018, Director: Toni Gascó, [en] Over the 1850-60’s, twenty years before Sophus Lie and Friedrich Engel started their research on Lie group theory, mathematicians such as A. Cayley, W. R. Hamilton and J. J. Sylvester introduced matrices and matrix groups thinking they had invented something of no possible use for natural scientists. On the contrary, Lie groups have taken an essential role in the theories of modern physics, and many questions have arisen. For example, why do Lie groups have such a fundamental role in physics? Why do they show up so often? How can they be used? The main objective of this research is to study of Lie groups and Lie algebras, based on the works of mathematicians such as Lie, Cartan, Killing and Weyl, in order to identify those features that make them essentially different and that will help us classify them. The second objective is to observe how the systems studied by physics are related to Lie group theory and to see that we can obtain new results thanks to the mathematical approach. This work is based on a bibliographic research to present a description of Lie group theory, with the posterior practical analysis of some specific cases. The first chapter is a historical retrospective to introduce the reader to the issue. We start looking at what the Standard Model of Particle Physics is and how it arose, then we follow with the history of the birth and consolidation of group theory as a mathematical theory, and we finish looking at how it was introduced, during the 20th century, the formulation of group theory in different aspects of science. In the second chapter we introduce the definition of Lie groups and Lie algebras and how they relate through the exponential function. Moreover, we study its basic concepts, such as the reducibility, and others which will be of great use afterwards. In the third chapter we apply these concepts and properties to classify of Lie groups using a simplification of the structure constants, which will allow us to see the underlying structure of the group. This structure will be represented with Root diagrams and Dynkin diagrams, which will reveal some constraints on the configuration of the possible diagrams, limiting the existence of Lie groups essentially different to a reduced number. In the fourth chapter we define the representation of a group as a map from an abstract group to a matrix group. We specifically introduce the adjoint representation of a group as the one that carries the structure constants in its form. In the fifth chapter we apply the concepts studied in Chapter 3 in order to analyze some particular Lie groups. Finally, the sixth chapter shows some examples of the form in which representations of different Lie groups appear in particle physics, evidencing some kind of symmetry that manifests the existence of conserved quantities.

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2018, Director: Ricardo García López, [en] There has been an increment on the use of mathematics, beyond practical apliactions, in order to understand physical theories that, originally, were described by a set of equations modeling physical phenomena and nowadays are encompassed in more complex and complete mathematical theories. It is the case, for example, of Maxwell’s electrodinamics, that nowadays is part of the gauge theories that Yang-Mills generalized in 1954 and allowed to create the Standard Model theory, a $U (1) × SU (2) × SU (3)$ gauge theory. Mainly, these theories are based on three mathematical concepts, Lie groups, bundle theory and connections. The objective of this work is to define the necessary mathematical concepts in order to, firstly understand the mathematical theories themselves and then understand the results obtained when applied in a physical context. The idea behind these gauge theories is to study, in first place, the simetries of physical phenomena and relate them to elements of Lie groups. After fixing a diferential manifold where the theory will be build on, we define a principal bundle with the simetry group acting on it. That way we can understand connections over this principal bundle as gauge fields of the model. Matter fileds are then related to the associated vector bundles of the principal bundle. The interaction of all these fields is described by the covariant derivative that we will also define in the following sections. We divide this work in three main chapters. In the first one we will define Lie groups and its representations as well as Lie algebras. In the second one we will focus on bundle theory and on the principal bundle case and its connections. Finally we will study Maxwell’s electrodinamics (a $U (1)$-prinicpal bundle) and classic Yang-Mills theory (a $SU (n)$-principal bundle) and we will obtain their corresponding equations.

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2017, Director: Laura Costa Farràs, [en] The present document is a first introduction to the Theory of Lie Groups and Lie Algebras and their representations. Lie Groups verify the characteristics of both a group and a smooth manifold structure. They arise from the need to study continuous symmetries, which is exactly what is needed for some branches of modern Theoretical Physics and in particular for quantum mechanics. The main objectives of this work are the following. First of all, to introduce the notion of a matrix Lie Group and see some examples, which will lead us to the general notion of Lie Group. From there, we will define the exponential map, which is the link to the notion of Lie Algebras. Every matrix Lie Group comes attached somehow to its Lie Algebra. Next we will introduce some notions of Representation Theory. Using the detailed examples of SU(2) and SU(3), we will study how the irreducible representations of certain types of Lie Groups are constructed through their Lie Algebras. Finally, we will state a general classification for the irreducible representations of the complex semisimple Lie Algebras.

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2017, Director: Teresa Crespo Vicente, [en] The goal of this project is to classify the real forms of a closed subgroup of the special linear complex group of degree two. Previously we have to study several concepts of algebraic group theory such as galois cohomology. We expose many properties of forms of an algebraic group over a field $k$. We present the Kovacic algorithm for solving second order linear homogeneous differential equation over $\mathbb{C}(x)$.

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2016, Director: Ricardo García López, Lie groups and Lie algebras are the basic objects of study of this work. Lie studied them as continuous transformations of partial differential equations, emulating Galois work with polynomial equations. The theory went much further thanks to Killing, Cartan and Weyl and now the wealth of properties of Lie groups makes them a central topic in modern mathematics. This richness comes from the merging of two initially unrelated mathematical structures such as the group structure and the smooth structure of a manifold, which turns out to impose many restrictions. For instance, a closed subgroup of a Lie group is automatically an embedded submanifold of the Lie group. Symmetries are related to groups, in particular continuous symmetries are related to Lie groups and whence, by Noether’s theorem, its importance in modern physics. In this work, we focus on the Lie group - Lie algebra relationship and on the representation theory of Lie groups through the representations of Lie algebras. Especially, we analyze the complex representations of Lie algebras related to compact simply connected Lie groups. With this purpose, we first study the theory of covering spaces and differential forms on Lie groups. Finally, an application to particle physics is presented which shows the role played by the representation theory of SU(3) on flavour symmetry and the theory of quarks.

If M is a symplectic manifold then the space of smooth loops C(S^1,M) inherits of a quasi-symplectic form. We will focus in this thesis on an algebraic analogue of that result.In their article, Kapranov and Vasserot introduced and studied the formal loop space of a scheme X. It is an algebraic version of the space of smooth loops in a differentiable manifold.We generalize their construction to higher dimensional loops. To any scheme X -- not necessarily smooth -- we associate L^d(X), the space of loops of dimension d. We prove it has a structure of (derived) Tate scheme -- ie its tangent is a Tate module: it is infinite dimensional but behaves nicely enough regarding duality.We also define the bubble space B^d(X), a variation of the loop space.We prove that B^d(X) is endowed with a natural symplectic form as soon as X has one.To prove our results, we develop a theory of Tate objects in a stable infinity category C. We also prove that the non-connective K-theory of Tate(C) is the suspension of that of C, giving an infinity categorical version of a result of Saito.The last chapter is aimed at a different problem: we prove there the existence of a Lie structure on the tangent of a derived Artin stack X. Moreover, any quasi-coherent module E on X is endowed with an action of this tangent Lie algebra through the Atiyah class of E. This in particular applies to not necessarily smooth schemes X.; L'espace des lacets lisses C(S^1,M) associé à une variété symplectique M se voit doté d'une structure (quasi-)symplectique induite par celle de M.Nous traiterons dans cette thèse d'un analogue algébrique de cet énoncé.Dans leur article, Kapranov et Vasserot ont introduit l'espace des lacets formels associé à un schéma. Il s'agit d'un analogue algébrique à l'espace des lacets lisses.Nous generalisons ici leur construction à des lacets de dimension supérieure. Nous associons à tout schéma X -- pas forcément lisse -- l'espace L^d(X) de ses lacets formels de dimension d.Nous démontrerons que ce dernier admet une structure de schéma (dérivé) de Tate : son espace tangent est de Tate, c'est-à-dire de dimension infinie mais suffisamment structuré pour se soumettre à la dualité.Nous définirons également l'espace B^d(X) des bulles de X, une variante de l'espace des lacets, et nous montrerons que le cas échéant, il hérite de la structure symplectique de X. Notons que ces résultats sont toujours valides dans des cas plus généraux : X peut être un champs d'Artin dérivé.Pour démontrer nos résultats, nous définirons ce que sont les objets de Tate dans une infinie-catégorie C stable et complète par idempotence.Nous prouverons au passage que le spectre de K-théorie non-connective de Tate(C) est équivalent à la suspension de celui de C, donnant une version infini-catégorique d'un résultat de Saito.Dans le dernier chapitre, nous traiterons d'un problème différent. Nous démontrerons l'existence d'une structure d'algèbre de Lie sur le tangent décalé de n'importe quel champ d'Artin dérivé X. Qui plus est, ce tangent agit sur tout quasi-cohérent E, l'action étant donnée par la classe d'Atiyah de E.Ces résultats sont par exemple valides dans le cas d'un schéma X sans hypothèse de lissité.

In this paper we prove the existence of a formal dynamical twist quantization for any triangular and non-modified formal classical dynamical $r$-matrix in the reductive case. The dynamical twist is constructed as the image of the dynamical $r$-matrix by a $L_\infty$-quasi-isomorphism. This quasi-isomorphism also allows us to classify formal dynamical twist quantizations up to gauge equivalence., Comment: 13 pages, 1 section added (classification of dynamical twists), LaTeX, final version, to appear in Adv. Math

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2015, Director: Pilar Bayer Isant, La teoría de representaciones y la teoría de Lie son dos ramas relativamente modernas de las matemáticas. A pesar de ello, han evolucionado rápidamente, y no hubo de transcurrir mucho tiempo desde los inicios de su desarrollo hasta que se empezaron a encontrar aplicaciones en física teórica. Nosotros presentaremos los conceptos básicos tanto de la teoría de representaciones, desarrollada principalmente por Ferdinand Gerog Frobenius e Issai Schur entre finales del siglo XIX y principios del XX, como de la teoría de Lie, ideada por Sophus Lie a finales del siglo XIX y extendida durante los años posteriores por diversos matemáticos como Wilhelm Killing y Elie Cartan. Una vez provistos con las herramientas necesarias, nos centraremos en el estudio de diversos grupos de Lie específicos, como SO(3) o SL(2, $\mathbb{C}$). Todo ello se hará con un objetivo en mente: encontrar las representaciones irreducibles de dimensión finita del grupo propio de Lorentz, SO$^{0}$ (1, 3), que es el grupo formado por las transformaciones de Lorentz, que describen el movimiento relativo de dos cuerpos de acuerdo con la teoría de la relatividad especial. He aquí la primera relación que hallamos con la física teórica. Pero no es la última, ya que estos resultados acaban dando pie a la obtención de la denominada ecuación de Dirac, cuyas soluciones son funciones de onda de partículas de spin $\frac{1}{2}$, como el electrón. Las páginas de este trabajo incluyen múltiples resultados de gran relevancia en sus campos; desde la unitarización de las representaciones de grupos finitos, cuya generalización para todo tipo de grupos compactos se conoce como unitarian trick, hasta la obtención de las representaciones de dimensión finita del grupo SU(2) mediante el espacio de polinomios homogéneos de dos variables como espacio de representación, debida a Hermann Weyl. Además, también contienen algo de trabajo propio como el cálculo de las matrices que actúan como coeficientes en la ecuación de Dirac.

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2015, Director: Vicenç Navarro Aznar, Even though the title of this composition you are reading is Gauge fields, this is just one of the many concepts that appear throughout the work. Moreover, despite the fact that this is rather a physical term (the actual mathematical name would be connections on principal G-bundles), the contents in this exposition are mathematical. As a student of both mathematics and physics, I wanted to choose a topic that could be covered in both aspects, a subject which could be interpreted physically but which had a mathematical background. This composition intends to contain the mathematical background to develop the so-called gauge theories used in modern physics such as quantum physics, particularly quantum field theory (QFT), for example quantum electrodynamics (QED) or quantum chromodynamics (QCD). However, as stated, this contains no physical conclusions, but only mathematical, with maybe some references to their physical applications. Thus, the motivation was a combination of my interest on physics (which may explain the outline and selection of topics) but also my fascination for differential geometry and topology.

In this thesis, we are interested first in the sub-Riemannian problems on 2-step nilpotent Lie groups. We start by obtaining a complete classification of 2-step nilpotent sub-Riemannian Lie algebras (SR-Lie algebras) of dimension n between 3 and 7, and those of arbitrary dimension n such that the derivated algebra is of dimension one. In addition, we characterize the contact and quasi contact SR-Lie algebras and we calculate, in dimension 5, the group of SR-infinitesimal symmetries. Having presented that classification, we study the sub-Riemannian geodesics associated with the 2 step nilpotent SR-Lie algebras obtained in our classification. We study the integrability of the adjoint geodesic equations and we give the optimal controls and optimal trajectories in each case. In the second part of the thesis, we study the sub-Riemannian geodesics for a sub-RiemannianLie group (G;D;B) where G = SO(4) or G = SO(2; 2) and D is of codimension 2 (giving contactSR-homogeneous spaces). We give canonical models of these spaces and then show that the Lie-Poisson adjoint systems associated with the models are always integrable in the Liouville sense. More over, we show that the Lie-Poisson system is either a linear system which is super-integrable with the help of trigonometric functions of time (or constant ones) or a non-linear system which is integrable in the Liouville sense and whose solutions can be expressed using the Weierstrass elliptic function.; Dans cette thèse, on s'intéresse en premier aux problèmes sous-riemanniens sur un groupe de Lie nilpotent d'ordre 2. Dans un premier temps, on réalise la classification complète des algèbres de Lie sous-riemanniennes (SR-algèbres de Lie) nilpotentes d'ordre 2 de dimension n compris entre 3 et 7, et celles de dimension arbitraire n telle que l'algèbre dérivée est de dimension une. De plus, nous avons distingué les SR-algèbres de Lie de contact et de quasi-contact et nous avons calculé, en dimension 5, le groupe des SR-symétries infinitésimales. Une fois cette classification réalisée, on étudie les géodésiques sous-riemanniennes associées aux SR-algèbres de Lie nilpotentes d'ordre 2 obtenues dans notre classification. Nous avons étudié l'intégrabilité des équations géodésiques adjointes et donné les contrôles optimaux ainsi que les trajectoires optimales dans chacun des cas. Dans une seconde partie de la thèse, on étudie les géodésiques sous-riemanniennes pour un groupe de Lie sous-riemannien (G;D;B) où G = SO(4) ou G = SO(2; 2) et D est de codimension 2 (donnant des espaces SR-homogènes de contact). Nous avons donné un modèle canonique de ces espaces et ensuite montré que les systèmes adjoints de Lie-Poisson associés au modèle étaient toujours intégrables au sens de Liouville. De plus, nous montrons que le système de Lie-Poisson est soit un système linéaire qui est super-intégrable en fonctions trigonométriques du temps ou constantes ; soit un système non linéaire intégrable au sens de Liouville et dont les solutions sont exprimables à l'aide de la fonction elliptique de Weierstrass.

In this thesis we study some geometric properties of real bounded symmetric domains, a notion of transvesality in their Shilov boundary S and give a description of the orbites in the set of transverse triples in S. We Further give a characterization of Poisson integrals on S., Ce travail fait l'objet d'une étude des quelques aspects géométriques des domaines bornés symétriques réels, de la notion de transversalité dans leurs frontières de Shilov S et de la description des orbites de l'ensemble des triplets transverses de S. Il se termine par caractérisation des intégrales de Poisson sur S.

In this thesis, we are interested first in the sub-Riemannian problems on 2-step nilpotent Lie groups. We start by obtaining a complete classification of 2-step nilpotent sub-Riemannian Lie algebras (SR-Lie algebras) of dimension n between 3 and 7, and those of arbitrary dimension n such that the derivated algebra is of dimension one. In addition, we characterize the contact and quasi contact SR-Lie algebras and we calculate, in dimension 5, the group of SR-infinitesimal symmetries. Having presented that classification, we study the sub-Riemannian geodesics associated with the 2 step nilpotent SR-Lie algebras obtained in our classification. We study the integrability of the adjoint geodesic equations and we give the optimal controls and optimal trajectories in each case. In the second part of the thesis, we study the sub-Riemannian geodesics for a sub-RiemannianLie group (G;D;B) where G = SO(4) or G = SO(2; 2) and D is of codimension 2 (giving contactSR-homogeneous spaces). We give canonical models of these spaces and then show that the Lie-Poisson adjoint systems associated with the models are always integrable in the Liouville sense. More over, we show that the Lie-Poisson system is either a linear system which is super-integrable with the help of trigonometric functions of time (or constant ones) or a non-linear system which is integrable in the Liouville sense and whose solutions can be expressed using the Weierstrass elliptic function., Dans cette thèse, on s'intéresse en premier aux problèmes sous-riemanniens sur un groupe de Lie nilpotent d'ordre 2. Dans un premier temps, on réalise la classification complète des algèbres de Lie sous-riemanniennes (SR-algèbres de Lie) nilpotentes d'ordre 2 de dimension n compris entre 3 et 7, et celles de dimension arbitraire n telle que l'algèbre dérivée est de dimension une. De plus, nous avons distingué les SR-algèbres de Lie de contact et de quasi-contact et nous avons calculé, en dimension 5, le groupe des SR-symétries infinitésimales. Une fois cette classification réalisée, on étudie les géodésiques sous-riemanniennes associées aux SR-algèbres de Lie nilpotentes d'ordre 2 obtenues dans notre classification. Nous avons étudié l'intégrabilité des équations géodésiques adjointes et donné les contrôles optimaux ainsi que les trajectoires optimales dans chacun des cas. Dans une seconde partie de la thèse, on étudie les géodésiques sous-riemanniennes pour un groupe de Lie sous-riemannien (G;D;B) où G = SO(4) ou G = SO(2; 2) et D est de codimension 2 (donnant des espaces SR-homogènes de contact). Nous avons donné un modèle canonique de ces espaces et ensuite montré que les systèmes adjoints de Lie-Poisson associés au modèle étaient toujours intégrables au sens de Liouville. De plus, nous montrons que le système de Lie-Poisson est soit un système linéaire qui est super-intégrable en fonctions trigonométriques du temps ou constantes ; soit un système non linéaire intégrable au sens de Liouville et dont les solutions sont exprimables à l'aide de la fonction elliptique de Weierstrass.

Les travaux de Killing et Cartan ont montré la correspondance entre les algèbres de Lie semi-simples complexes et les matrices de Cartan. Ces dernières sont des matrices sur les entiers satisfaisants certaines propriétés, parmi lesquelles une condition de positivité. Si cette condition est omise, on obtient une matrice de Cartan généralisée. On peut y étendre la présentation de Serre pour les algèbre de Lie semi-simples et obtenir les algèbres de Kac-Moody. L'intérêt de l'étude des algèbres de Lie semi-simples réside dans le fait qu'elles induisent la plupart des groupes simples finis, comme le montre la construction de Chevalley. Il se fait que cette construction se généralise aux algèbres de Kac-Moody.L'ingrédient principal de cette construction est l'utilisation d'un système de sous-groupes dans un groupe de Kac-Moody, ceux-ci étant indicés par les racines du système de Coxeter associé à la matrice de Cartan généralisée. Tits a réalisé l'axiomatique de ce système de sous-groupes, une donnée radicielle jumelée, pour un système de Coxeter quelconque. Par définition, les groupes de Kac-Moody sur un corps commutatif admettent une donnée radicielle jumelée.En réalité les notions de donnée radicielle jumelée et d'immeuble jumelé de Moufang sont essentiellement équivalentes.Au vu de la classification des immeubles sphériques et des polygones de Moufang, on obtient une classification complète des données radicielles sphériques irréductibles de rang au moins 2. Il se trouve qu'elles sont toutes d'origine algébrique (i.e. obtenues par constructions algébriques à partir de groupes de Chevalley).Dans le cas sphérique, la situation est différente. D'une part, des résultats de Mühlherr semblent indiquer que les données radicielles jumelées 2-sphériques seraient d'origine algébrique. D'autre part Rémy et Ronan ont construit des exemples exotiques à angles droits pour lesquels l'adjectif "d'origine algébrique" est inapproprié.Néanmoins ces exemples sont toujours relativement proches d'une construction algébrique. On ne peut donc rien conclure sur les données radicielles jumelées. Afin de répondre à cette question, on peut essayer de prouver des théorèmes structurels sur les données radicielles jumelées ou en donner des constructions permettant plus de flexibilité.Les principaux résultats de cette thèse sont motivés par ces lignes directrices:- nous prouvons un critère d'existence général pour les données radicielles jumelées;- nous donnons une réponse affirmative à une question sur les automorphismes des groupes de Kac-Moody laissée ouverte dans un article de Caprace;- nous proposons une définition d'une donnée radicielle jumelée sur un corps commutatif de caractéristique p., Doctorat en Sciences, info:eu-repo/semantics/nonPublished

In this thesis we construct two integrable systems associated with an arbitrary simple Lie algebras: the 2-Toda lattice and the periodic Full Kostant-Toda lattice fo simple Lie algebras. Each of these lattices is given by a Hamiltonian vector field, associated to a Poisson bracket which results from an R-matrix of the underlying Lie algebra. We construct in both cases a big family of constants of motion which we use to prove the Liouville integrability of the two systems. We achieve the proof of their integrability by using several results on simple Lie algebras, R-matrices, invariant functions and root systems.; Cette thèse traite essentiellement de deux systèmes intégrables associés à des algèbres de Lie simples. Les deux résultats principaux sont la construction et l'intégrabilité au sens de Liouville des réseaux de 2-Toda et de Full Kostant-Toda périodique sur toute algèbre de Lie simple. Ces réseaux sont l'un et l'autre décrit par un champ hamiltonien associé à un crochet de Poisson qui provient d'une algèbre de Lie munie d'une R-matrice. Nous construisons dans les deux cas une grande famille de constantes de mouvement que nous utilisons pour démontrer l'intégrabilité au sens de Liouville des deux systèmes. Nos constructions et nos démonstrations font appel à de nombreux résultats sur les algèbres de Lie simples, leurs R-matrices, leurs fonctions Ad-invariantes et leurs systèmes de racines.

In this thesis we construct two integrable systems associated with an arbitrary simple Lie algebras: the 2-Toda lattice and the periodic Full Kostant-Toda lattice fo simple Lie algebras. Each of these lattices is given by a Hamiltonian vector field, associated to a Poisson bracket which results from an R-matrix of the underlying Lie algebra. We construct in both cases a big family of constants of motion which we use to prove the Liouville integrability of the two systems. We achieve the proof of their integrability by using several results on simple Lie algebras, R-matrices, invariant functions and root systems., Cette thèse traite essentiellement de deux systèmes intégrables associés à des algèbres de Lie simples. Les deux résultats principaux sont la construction et l'intégrabilité au sens de Liouville des réseaux de 2-Toda et de Full Kostant-Toda périodique sur toute algèbre de Lie simple. Ces réseaux sont l'un et l'autre décrit par un champ hamiltonien associé à un crochet de Poisson qui provient d'une algèbre de Lie munie d'une R-matrice. Nous construisons dans les deux cas une grande famille de constantes de mouvement que nous utilisons pour démontrer l'intégrabilité au sens de Liouville des deux systèmes. Nos constructions et nos démonstrations font appel à de nombreux résultats sur les algèbres de Lie simples, leurs R-matrices, leurs fonctions Ad-invariantes et leurs systèmes de racines.

Lie algebras were introduced toward the end of XIXth century in order to study some geometrical problems. In the aim of classifying these objects, the notion of semisimple Lie algebra is crucial. The symmetric Lie algebras are a generalization of Lie algebras. Furthermore, there exists a bijective correspondence between real Lie algebras and complex symmetric Lie algebras, strenghtening the interest in this notion. There is an important second level of structure concerning (semisimple complex) Lie algebras. It is about considering the Lie algebra g as a G-variety where G is the adjoint group of g. We can then study it in the framework of algebraic geometry. In this way, some geometric properties of some subvarieties of Lie algebras have been studied. My work consisted into understanding and generalizing some properties of analogue varieties of symmetric Lie algebras, Les algèbres de Lie ont été introduites vers la fin du XIXème siècle afin d'étudier certains problèmes de nature géométrique. Dans un soucis de classification de ces objets, les algèbres de Lie semi-simples se sont vues conférer un rôle important. Les algèbres de Lie symétriques sont, elles, une généralisation des algèbres de Lie. De plus, il existe une correspondance bijective entre les algèbres de Lie réelles et les algèbres de Lie symétriques complexes, ce qui renforce l'intérêt porté à ces dernières. Un second niveau de structure des algèbre de Lie (semi-simples complexe) joue un rôle important. Il s'agit de considérer l'algèbre de Lie g comme une G-variété où G est le groupe algébrique adjoint de g opérant via l'action adjointe sur g. Il s'avère alors utile d'étudier ceci dans le cadre de la géométrie algébrique. Les propriétés géométriques de certaines variétés issues des algèbres de Lie ont alors pu être étudiées. D'un point de vue général, ce travail consiste à généraliser et comprendre les propriétés de variétés analogues dans les algèbres de Lie symétriques.

The first problem which arises naturally in the study of the nilpotenttie algebras is their classification in small dimension. The classification of nilpotent complex Lie algebras was completed until dimension 7. For dimensions lower or equal to 6, there is, except isomotphisms, a finite number of nilpotent complex Lie algebras. In dimension 7, Ancochea classified the nilpotent complex Lie algebras according to their characteristic sequence and he obtains a more extensive list which contains families of non isomorphic Lie algebras.We intend then to study the nilpotent Lie algebras according to their nilindex by beginning with those which have a maximal nilindex. also called filiform Lie algebras. From 1970. Vergne started the study of the filiform Lie algebras. She showed that on a field having an infinity of elements. there are, except isomorphisme, only two naturally graded Lie algebras of even dimension 2n, named L2n, and Q2n,. and there is only one in odd dimension 2n+1, called L2n+1.More recently, Snobl and Winternitz determined the complex and real Lie algebras having the algebra L„ as nilradieal. To generalize this classification to all filiform naturally graded Lie algebra_ we have proceed in a similar wav with the algebra Q2n,. Moreover, we prove that indecomposable Lie algebras with filiform nilradieal are necessarily solvable. Thus, the filiform Lie algebra are irrelevant in the study of the non solvable Lie algebras.This result is not truc for the quasi-filiform Lie algebras. Let us recall that the nilindex of quasi-filiform Lie algebras is, by definition, lowered by a unit with regard to the filiform. Indeed, by looking for all the Lie algebras having a quasifiliform naturally graded nilradieal, we found non solvable Lie algebras having a quasi-filiform nilradical.The same counterexample also reveals differences between the notion of rigidity in R and in C. The classification of complex rigid Lie algebras having been already made until dimension 8, we are then brought to find this classification in the real case.Besides, we determined the quasi-filiform Lie algebras admitting a tonus of derivations, we obtain a list much richer than for the filiform case. This list allows us to prove that all quasi-fi liform Lie algebras are complete. Let us remind that all the filiform Lie algebras are also complete.Finally, we are interested in the existence of complex structures associated to the filiform and quasi-filiform Lie algebras Goze and Remm proved that the filiform algebras did not admit this type of structure. Since a different approach, we are going to re-demonstrate this result and we see that there are, on the other hand, quasi-filiform Lie algebras provided with a complex structure, but only in dimension 4 and 6.; Le premier problème qui se pose naturellement lors de l'étude des algèbres de Lie nilpotentes est la classification de celles-ci en petite dimension. La classification des algèbres de Lie nilpotentes complexes a été complétée jusqu'en dimension 7. Pour les dimensions inférieures ou égales à 6, il n'existe, sauf isomorphismes, qu'un nombre fini d'algèbres de Lie nilpotentes complexes. Ancochea a classé les algèbres de Lie nilpotentes complexes en dimension 7 selon leur suite caractéristique. On obtient ainsi, une liste plus étendue qui contient des familles d'algèbres de Lie non isomorphes entre elles.On envisage alors d'étudier les algèbres de Lie nilpotentes selon leur nilindice, en commençant par celles qui ont un nilindice maximal, c'est-à-dire , les algèbres de Lie filiformes. Dès 1970. Vergne a initié l'étude des algèbres de Lie filiformes. Elle a montré que sur un corps ayant une infinité d'éléments, il n'existe, sauf isomorphismes, que deux algèbres de Lie filiformes naturellement graduées de dimension paire 2n, nommées L2n et Q2n, et une seule en dimension impaire 2n + 1, appelée L2n+ avec n E N.Plus récemment, Snobl et Winternitz ont déterminé les algèbres de Lie ayant comme nilradical l'algèbre Ln, sur le corps des complexes et des réels. Afin de compléter cette classification à toutes les algèbres de Lie filiformes naturellement graduées, nous avons procéder de même avec les algèbres Q2n,. Nous démontrons ensuite que si une algèbre de Lie indécomposable de dimension finie possède un nilradical filiforme alors elle est forcément résoluble. Les algèbres de Lie filiformes ne présentent donc aucun intérêt dans l'étude des algèbres de Lie non résolubles.Ce résultat n'est plus vrai pour les algèbres de Lie quasi-filiformes dont leur nilradical est abaissé d'une unité par rapport aux filiformes. En effet, en cherchant toutes les algèbres de Lie dont le nilradical est quasi-filiforme naturellement gradué, on a trouvé des algèbres de Lie non résolubles ayant un nilradical quasi-filiforme.Ce même contre-exemple, révèle aussi des différences entre la notion de rigidité dans R et dans C. La classification des algèbres de Lie rigides complexes ayant été déjà faite jusqu'à dimension 8, on est alors amené à trouver cette classification dans le cas réel.Par ailleurs, on a déterminé les algèbres de Lie quasi-filiformes ayant un tore non nul, on obtient une liste beaucoup plus riche que pour le cas filiforme. Cette liste nous permet de prouver la complétude des algèbres de Lie quasi-filiformes. Rappelons que toutes les algèbres de Lie filiformes sont aussi complètes.Finalement, on s'intéresse à l'existence de structures complexes associées aux algèbres de Lie filiformes et quasi-filiformes. Goze et Remm ont démontré que les algèbres filiformes n'admettaient pas ce type de structure. Depuis une approche différente, nous allons redémontrer ce résultat et nous allons voir qu'il existe par contre des algèbres de Lie quasi-filiformes munies d'une structure complexe, mais seulement en dimension 4 et 6.

Résumé anglais: This thesis consists of an introductory text followed by two separate parts which may be read independently of each other. In Part I we analyze certain hyperbolic structures arising when studying gravity in the vicinity of spacelike singularities (the BKL-limit). In this limit, spatial points decouple and the dynamics exhibits ultralocal behaviour which may be mapped to an auxiliary problem given in terms of a (possibly chaotic) hyperbolic billiard. In all supergravities arising as low-energy limits of string theory or M-theory, the billiard dynamics takes place within the fundamental Weyl chambers of certain hyperbolic Kac-Moody algebras, suggesting that these algebras generate hidden infinite-dimensional symmetries of gravity. We investigate the modification of the billiard dynamics when the original gravitational theory is formulated on a compact spatial manifold of arbitrary topology, revealing fascinating mathematical structures known as galleries. We further use the conjectured hyperbolic symmetry E10 to generate and classify certain cosmological (S-brane) solutions in eleven-dimensional supergravity. Finally, we show in detail that eleven-dimensional supergravity and massive type IIA supergravity are dynamically unified within the framework of a geodesic sigma model for a particle moving on the infinite-dimensional coset space E10/K(E10). Part II of the thesis is devoted to a study of how (U-)dualities in string theory provide powerful constraints on perturbative and non-perturbative quantum corrections. These dualities are typically given by certain arithmetic groups G(Z) which are conjectured to be preserved in the effective action. The exact couplings are given by moduli-dependent functions which are manifestly invariant under G(Z), known as automorphic forms. We discuss in detail various methods of constructing automorphic forms, with particular emphasis on a special class of functions known as (non-holomorphic) Eisenstein series. We provide detailed examples for the physically relevant cases of SL(2,Z) and SL(3,Z), for which we construct their respective Eisenstein series and compute their (non-abelian) Fourier expansions. We also discuss the possibility that certain generalized Eisenstein series, which are covariant under the maximal compact subgroup K(G), could play a role in determining the exact effective action for toroidally compactified higher derivative corrections. Finally, we propose that in the case of rigid Calabi-Yau compactifications in type IIA string theory, the exact universal hypermultiplet moduli space exhibits a quantum duality group given by the emph{Picard modular group} SU(2,1;Z[i]). To verify this proposal we construct an SU(2,1;Z[i])-invariant Eisenstein series, and we present preliminary results for its Fourier expansion which reveals the expected contributions from D2-brane and NS5-brane instantons. /Résumé francais: Cette thèse est composée d'une introduction suivie de deux parties qui peuvent être lues indépendemment. Dans la première partie, nous analysons des structures hyperboliques apparaissant dans l'étude de la gravité au voisinage d'une singularité de type espace (la limite BKL). Dans cette limite, les points spatiaux se découplent et la dynamique suit un comportement ultralocal qui peut être reformulé en termes d'un billiard hyperbolique (qui peut être chaotique). Dans toutes les supergravités qui sont des limites de basse énergie de théories de cordes ou de la théorie M, la dynamique du billiard prend place à l'intérieur des chambres de Weyl fondamentales de certaines algèbres de Kac-Moody hyperboliques, ce qui suggère que ces algèbres correspondent à des symétries cachées de dimension infinie de la gravité. Nous examinons comment la dynamique du billard est modifiée quand la théorie de gravité originale est formulée sur une variété spatiale compacte de topologie arbitraire, révélant ainsi de fascinantes structures mathématiques appelées galleries. De plus, dans le cadre de la supergravité à onze dimensions, nous utilisons la symétrie hyperbolique conjecturée E10 pour engendrer et classifier certaines solutions cosmologiques (S-branes). Finalement, nous montrons en détail que la supergravité à onze dimensions et la supergravité de type IIA massive sont dynamiquement unifiées dans le contexte d'un modèle sigma géodesique pour une particule se déplaçant sur l'espace quotient de dimension infinie E10/K(E10).La deuxième partie de cette thèse est consacrée à étudier comment les dualités U en théorie des cordes fournissent des contraintes puissantes sur les corrections quantiques perturbatives et non perturbatives. Ces dualités sont typiquement données par des groupes arithmétiques G(Z) dont il est conjecturé qu'ils préservent l'action effective. Les couplages exacts sont donnés par des fonctions des moduli qui sont manifestement invariantes sous G(Z), et qu'on appelle des formes automorphiques. Nous discutons en détail différentes méthodes de construction de ces formes automorphiques, en insistant particulièrement sur une classe spéciale de fonctions appelées séries d'Eisenstein (non holomorphiques). Nous présentons comme exemples les cas de SL(2,Z) et SL(3,Z), qui sont physiquement pertinents. Nous construisons les séries d'Eisenstein correspondantes et leurs expansions de Fourier (non abéliennes). Nous discutons également la possibilité que certaines séries d'Eisenstein généralisées, qui sont covariantes sous le sous-groupe compact maximal, pourraient jouer un rôle dans la détermination des actions effectives exactes pour les théories incluant des corrections de dérivées supérieures compactifiées sur des tores., Doctorat en Sciences, info:eu-repo/semantics/nonPublished

Recent works of Bezrukavnikov, Mirkovic and Rumynin obtain a good localization theory for Ug-modules in positive characteristic (where g is the Lie algebra of a connected, simply-connected, semi-simple algebraic group), yielding equivalences of derived categories between certain categories of g-modules and certain categories of coherent sheaves of Springer's variety. In this thesis we apply and extend some results of this theory. In chapter II, we give a geometric construction of an action of the extended affine braid group appearing in localization theory. Chapter III contains the main results of this thesis: we develop an appropriate version of a “linear Koszul duality”, which allows us to prove that certain blocks of Ug can be endowed with a Koszul grading, if the characteristic of the base field is sufficiently large. This generalizes previous results of Andersen, Jantzen and Soergel. In chapter IV, in collaboration with Mirkovic, we consider again “linear Koszul duality” in a slightly different, and more general, setting. Finally, chapter I (in collaboration with Bezrukavnikov) gives explicit computations in the case of SL(3) which were the starting point of this work., Les travaux récents de Bezrukavnikov, Mirkovic et Rumynin obtiennent une bonne théorie de la localisation des Ug-modules en caractéristique positive (où g est l'algèbre de Lie d'un groupe algébrique semi-simple connexe et simplement connexe), qui donne lieu à des équivalences de catégories dérivées entre des catégories de g-modules et des catégories de faisceaux cohérents sur la variété de Springer. Dans cette thèse, on applique et étend certains résultats de cette theorie. Dans le chapitre II, on donne une construction géométrique d'une action du groupe de tresses affine étendu apparaissant dans la théorie de la localisation. Le chapitre III contient les résultats principaux de la thèse : on y développe une version appropriée d'une « dualité de Koszul linéaire », qui permet de démontrer que certains blocs de Ug peuvent être munis d'une graduation de Koszul, si la caractéristique du corps est suffisamment grande. Ceci généralise des résultats antérieurs de Andersen, Jantzen et Soergel. Dans le chapitre IV, en collaboration avec Mirkovic, on reprend la « dualité de Koszul linéaire », sous une forme un peu différente, valable dans un cadre plus général. Enfin, le chapitre I (en collaboration avec Roman Bezrukavnikov) donne des calculs explicites dans le cas de SL(3) qui ont été le point de départ de ce travail.

Cette thèse est basée sur 3 articles. Dans le premier article, nous étudions les liens entre 2 algèbres de Lie "engendrées" de manière différente par la même 3-forme. Le deuxième article concerne la construction de la base principale d'une algèbre de Lie simple à partir de ces polynômes invariants. La notion de base principale a été introduite par Kostant. Dans cet article nous donnons une nouvelle construction de la base principale et nous complétons la définition pour le ca so(41). Dans le troisième article, nous étudions les algèbres différentielles acycliques munies d'une structure de module sur une algèbre de polynôme. En particulier on calcule la cohomologie de ces algèbres quotientées par l'idéal engendré par ces polynômes. On démontre que la cohomologie est toujours isomorphe, comme algèbre, à une algèbre de Clifford dont la forme bilinéaire est définie par les cochaines de transgression de ces polynômes.

Let A be an elliptic pseudodifferential operator self-adjoint of order a left-invariant on a Lie group G. My job was to approximate e-ITA by OFI left invariant. Then I studied the irreducible unitary representations and the orbit method of Kirillov. Finally, I demonstrated a Weyl asymptotic formula for pi (a) or is a formally positive elliptic U (g)., Soit A un opérateur pseudo-différentiel elliptique auto-adjoint d'ordre 1 invariant à gauche sur un groupe de Lie G. Mon travail a consisté à approximer de e-itA par un OFI invariant à gauche. Puis, j'ai étudié les représentations unitaires irréductibles et la méthode des orbites de Kirillov. Enfin, j'ai fait la démonstration d'une formule asymptotique de Weyl pour pi(a) ou a est un élément formellement positif elliptique de U(g).

Cette thèse est consacrée à une classe de groupes, appelés groupes de Kac-Moody, qui généralise de façon naturelle les groupes de Lie semi-simples, ou plus précisément, les groupes algébriques réductifs, dans un contexte infini-dimensionnel. On s'intéresse plus particulièrement au problème d'isomorphismes pour ces groupes, en vue d'obtenir un analogue infini-dimensionnel de la célèbre théorie des homomorphismes 'abstraits' de groupes algébriques simples, due à Armand Borel et Jacques Tits.Le problème d'isomorphismes qu'on étudie s'avère être un cas particulier d'un problème plus général, qui consiste à caractériser les homomorphismes de groupes algébriques vers les groupes de Kac-Moody, dont l'image est bornée. Ce problème peut à son tour s'énoncer comme un problème de rigidité pour les actions de groupes algébriques sur les immeubles, via l'action naturelle d'un groupe de Kac-Moody sur une paire d'immeubles jumelés. Les résultats partiels, relatifs à ce problème de rigidité, que nous obtenons, nous permettent d'apporter une solution complète au problème d'isomorphismes pour les groupes de Kac-Moody déployés.En particulier, on obtient un résultat de dévissage pour les automorphismes de ces objets. Celui-ci fournit à son tour une description complète de la structure du groupe d'automorphismes d'un groupe de Kac-Moody déployé sur un corps de caractéristique~$0$.Nos arguments permettent également de traiter de façon analogue certaines formes anisotropes de groupes de Kac-Moody complexes, appelées formes unitaires. On montre en particulier que la topologie Hausdorff naturelle que portent ces formes est un invariant de leur structure de groupe abstrait. Ceci généralise un résultat bien connu de H. Freudenthal pour les groupes de Lie compacts.Enfin, l'on s'intéresse aux homomorphismes de groupes de Kac-Moody à image fini-dimensionnelle, et l'on démontre la non-existence de tels homomorphismes à noyau central, lorsque le domaine est un groupe de Kac-Moody de type indéfini sur un corps infini. Ceci réduit un problème ouvert, dit problème de linéarité pour les groupes de Kac-Moody, au cas de corps de base finis., Doctorat en sciences, Spécialisation mathématiques, info:eu-repo/semantics/nonPublished

Let g be a Lie algebra over a field k, U(g) its enveloping algebra, K(g) the ring of fractions of U(g). The aim of this thesis is to study algebraic properties of the division ring K(g) in the following two situations: on the one hand when k is of characteristic 0 and g is infinite-dimensional; on the other hand when k is of positive characteristic and g is finite-dimensional.Assume k is of characteristic 0. We first define the notion of 'transcendance degree of level q' for Poisson algebras. This notion is introduced from V. Petrogradsky's dimensions of level q for associative or Lie algebras. We prove, under mild assumptions on g, that the transcendance degree of level q+1 of K(g) is equal to the dimension of level q of g.We then proceed to the study of the family of Witt type Lie algebras defined by R. Yu. We can thus construct infinite families of pairwise non-isomorphic division rings with a given transcendance degree of level 3. We also study the question of centralisers in the enveloping skewfield of positive parts of Witt type algebras. In particular, we prove the following result: there exist infinite dimensional non-commutative Lie algebras g such that the first Weyl skewfield does not embed in K(g).Now assume that k is of characteristic p>0. We study the following specific Lie algebras: the matrix algebras gl(n); the algebras sl(n) provided p does not divide n; the modular Witt algebra W(1) and a subalgebra P of the Witt algebra W(2) (isomorphic to a tensor product of the Lie algebra W(1) with an associative algebra of truncated polynomials). In each case we prove that the enveloping skewfield is isomorphic to a Weyl skewfield. For the algebras W(1) and P, we also prove that the centre of the enveloping algebra is a unique factorisation domain, in agreement with a recent conjecture by A. Braun and C. Hajarnavis.; Soient g une k-algèbre de Lie, U(g) son algèbre enveloppante, K(g) le corps des fractions de U(g). L'objet de cette thèse est d'étudier des propriétés algébriques du corps gauche K(g) dans les deux cas suivants : d'une part si k est de caractéristique 0 et g est de dimension infinie ; d'autre part si k est de caractéristique positive et g est de dimension finie.On suppose k de caractéristique nulle. On définit d'abord la notion de "degré de transcendance de niveau q" pour les algèbres de Poisson. Cette notion est introduite à partir de la notion de dimension de niveau q définie par V. Pétrogradsky pour les algèbres associatives et les algèbres de Lie. On démontre, sous des hypothèses peu restrictives sur g, que le degré de transcendance de niveau q+1 de K(g) est égal à la dimension de niveau q de g.On s'attache ensuite à l'étude de la famille des algèbres de type Witt définies par R. Yu. On construit ainsi des familles infinies de corps gauches deux à deux non isomorphes mais de même degré de transcendance de niveau 3 donné. On étudie aussi la question des centralisateurs dans les corps enveloppants des parties positives des algèbres de type Witt. On établit en particulier le résultat suivant : il existe des algèbres de Lie non commutatives de dimension infinie g telles que le premier corps de Weyl ne se plonge pas dans K(g).Supposons maintenant k de caractéristique p>0. On étudie le cas particuliers des algèbres de Lie suivantes : les algèbres gl(n) ; les algèbres sl(n) lorsque p ne divise pas n ; l'algèbre de Witt modulaire W(1) et une sous-algèbre P de l'algèbre de Witt W(2) (s'identifiant à un produit tensoriel de l'algèbre de Lie W(1) avec une algèbre associative de polynômes tronqués). Dans tous les cas, on démontre que le corps enveloppant est isomorphe à un corps de Weyl. Pour les algèbres W(1) et P, on démontre en outre que le centre de l'algèbre enveloppante est un anneau factoriel, en accord avec une conjecture récente de A. Braun et C. Hajarnavis.

Let g be a Lie algebra over a field k, U(g) its enveloping algebra, K(g) the ring of fractions of U(g). The aim of this thesis is to study algebraic properties of the division ring K(g) in the following two situations: on the one hand when k is of characteristic 0 and g is infinite-dimensional; on the other hand when k is of positive characteristic and g is finite-dimensional.Assume k is of characteristic 0. We first define the notion of 'transcendance degree of level q' for Poisson algebras. This notion is introduced from V. Petrogradsky's dimensions of level q for associative or Lie algebras. We prove, under mild assumptions on g, that the transcendance degree of level q+1 of K(g) is equal to the dimension of level q of g.We then proceed to the study of the family of Witt type Lie algebras defined by R. Yu. We can thus construct infinite families of pairwise non-isomorphic division rings with a given transcendance degree of level 3. We also study the question of centralisers in the enveloping skewfield of positive parts of Witt type algebras. In particular, we prove the following result: there exist infinite dimensional non-commutative Lie algebras g such that the first Weyl skewfield does not embed in K(g).Now assume that k is of characteristic p>0. We study the following specific Lie algebras: the matrix algebras gl(n); the algebras sl(n) provided p does not divide n; the modular Witt algebra W(1) and a subalgebra P of the Witt algebra W(2) (isomorphic to a tensor product of the Lie algebra W(1) with an associative algebra of truncated polynomials). In each case we prove that the enveloping skewfield is isomorphic to a Weyl skewfield. For the algebras W(1) and P, we also prove that the centre of the enveloping algebra is a unique factorisation domain, in agreement with a recent conjecture by A. Braun and C. Hajarnavis., Soient g une k-algèbre de Lie, U(g) son algèbre enveloppante, K(g) le corps des fractions de U(g). L'objet de cette thèse est d'étudier des propriétés algébriques du corps gauche K(g) dans les deux cas suivants : d'une part si k est de caractéristique 0 et g est de dimension infinie ; d'autre part si k est de caractéristique positive et g est de dimension finie.On suppose k de caractéristique nulle. On définit d'abord la notion de "degré de transcendance de niveau q" pour les algèbres de Poisson. Cette notion est introduite à partir de la notion de dimension de niveau q définie par V. Pétrogradsky pour les algèbres associatives et les algèbres de Lie. On démontre, sous des hypothèses peu restrictives sur g, que le degré de transcendance de niveau q+1 de K(g) est égal à la dimension de niveau q de g.On s'attache ensuite à l'étude de la famille des algèbres de type Witt définies par R. Yu. On construit ainsi des familles infinies de corps gauches deux à deux non isomorphes mais de même degré de transcendance de niveau 3 donné. On étudie aussi la question des centralisateurs dans les corps enveloppants des parties positives des algèbres de type Witt. On établit en particulier le résultat suivant : il existe des algèbres de Lie non commutatives de dimension infinie g telles que le premier corps de Weyl ne se plonge pas dans K(g).Supposons maintenant k de caractéristique p>0. On étudie le cas particuliers des algèbres de Lie suivantes : les algèbres gl(n) ; les algèbres sl(n) lorsque p ne divise pas n ; l'algèbre de Witt modulaire W(1) et une sous-algèbre P de l'algèbre de Witt W(2) (s'identifiant à un produit tensoriel de l'algèbre de Lie W(1) avec une algèbre associative de polynômes tronqués). Dans tous les cas, on démontre que le corps enveloppant est isomorphe à un corps de Weyl. Pour les algèbres W(1) et P, on démontre en outre que le centre de l'algèbre enveloppante est un anneau factoriel, en accord avec une conjecture récente de A. Braun et C. Hajarnavis.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

During the last years, mechanical articulated systems have become increasingly important in the field of automation. This work makes two important contributions towards a better utilization of mathematical abstraction: - The first contribution concerns the dynamic modelisation of articulated systems like mechanical manipulators and complex open kinematic chains. The mathematical abstraction by the Lie groups and Lie algebras theory offers an excellent means for simplifying the syntactical form of expressions of models. New methods for describing (by fundamental families) configurations of mechanical systems and an original efficient recursive computational scheme of Newton-Euler dynamics are developed. With this formulation, it should be possible to compute a near-optimal Newton-Euler dynamics in real time. - The second contribution concerns algebraic typing, term rewriting theory and automatic generation of codes. These problems lead to new computer algebra system architectures based on artificial intelligence methods and representations in multi-equational specifications. In this order of ideas, a prototype of computer algebra system (SURVEYOR) and an extension (MEDUSA MF77) of Maple system, based on object oriented programming and artificial intelligence control, are realized. A software tool for generating Fortran and Maple iterative symbolic optimized codes of our dynamic formulation is developed with MEDUSA MF77 system., Dans cette thèse nous apportons deux contributions importantes par l'outil de l'abstraction mathématique : - La première contribution concerne la mécanique et plus précisément la modélisation dynamique des systèmes articulés. L'abstraction mathématique par la théorie des groupes et algèbres de Lie coordonnée avec un usage judicieux de la notion des nombres duaux permet d'élaborer un langage très commode où les modèles géométriques et dynamiques des systèmes mécaniques poly-articulés s'expriment sous une forme syntaxique relativement simple (malgré la complexité du système). De nouvelles méthodes pour la description des configurations des systèmes multicorps et un algorithme récurrent original (et très efficace) sont alors développés grâce à ce langage. - La seconde contribution concerne le domaine informatique en calcul formel. Elle est basée sur le typage algébrique, les techniques de réécriture et la génération automatique des codes (programmation assistée par ordinateur). Les problèmes soulevés nécessitent de nouvelles architectures de systèmes de calcul formel. Dans cet ordre d'idées, un prototype de système de calcul formel (SURVEYOR) basé sur la réécriture typée et une extension (MEDUSA MF77) du système Maple ont été réalisés. Un outil informatique pour la génération automatique des codes Fortran et Maple des schémas de calcul optimisés relatifs à notre formulation dynamique est développé à l'aide du système MEDUSA MF77. Plusieurs applications en calcul symbolique et en robotique sont, par ailleurs, présentées en annexes sous forme de réalisations informatiques des aspects théoriques traités.

La première partie du rapport de recherche est constituée de trois articles , inédits auxquels le groupe Systema fait parfois référence. Le plus ancien (1987) établit une liaison entre certains relateurs arithmétiques dégénérés et des algorithmes résolvant certaines équations différentielles (cas de l'oscillateur harmonique quantique par exemple). Dans l'article suivant (1988), sont esquissées des formes de cellules cérébrales (une condition de "bifurcation" est appliquée à un relateur arithmétique biquadratique). Dans le troisième (1988), des relateurs à deux variables d'environnement sont utilisées, à un niveau de synthèse élevé, pour une modélisation de certains phénomènes de vieillissement. La deuxième partie concerne des problèmes généraux (tels que la complexité, les relations entre science et tradition) et des applications spécifiques en physique, biologie, informatique, sciences humaines, socio-économie (communications présentées en août 1992 lors du XIIIe Congrès International de Cybernétique). Les plus récentes publications exploitent la notion de 1 système générique et de 1/2 pilotage. La troisième partie est une synthèse sur les applications des relateurs arithmétiques, rédigée à l'intention des auditeurs de la deuxième Ecole de Systémique (Mont Ste Odile, octobre 1992).

In arbitrary dimensional spaces the Lie algebra of the Poincare group is seen to be a subalgebra of the complex Galilei algebra, while the Galilei algebra is a subalgebra of Poincare algebra. The usual contraction of the Poincare to the Galilei group is seen to be equivalent to a certain coordinate transformation.

Through an imaginary change of coordinates, the ordinary Poincare algebra is shown to be a subalgebra of the Galilei one in four space dimensions. Through a subsequent contraction the remaining Lie generators are eliminated in a natural way. An application of these results to connect Galilean and relativistic field equations is discussed.

In this paper we consider a general action principle for mechanics written by means of the elements of a Lie algebra. We study the physical reasons why we have to choose precisely a Lie algebra to write the action principle. By means of such an action principle we work out the equations of motion and a technique to evaluate perturbations in a general mechanics that is equivalent to a general interaction picture. Classical or quantum mechanics come out as particular cases when we make realizations of the Lie algebra by derivations into the algebra of products of functions or operators, respectively. Later on we develop in particular the applications of the action principle to classical and quantum mechanics, seeing that in this last case it agrees with Schwinger's action principle. The main contribution of this paper is to introduce a perturbation theory and an interaction picture of classical mechanics on the same footing as in quantum mechanics.

The infinitesimal transformations that leave invariant a two-covariant symmetric tensor are studied. The interest of these symmetry transformations lays in the fact that this class of tensors includes the energy-momentum and Ricci tensors. We find that in most cases the class of infinitesimal generators of these transformations is a finite dimensional Lie algebra, but in some cases exhibiting a higher degree of degeneracy, this class is infinite dimensional and may fail to be a Lie algebra. As an application, we study the Ricci collineations of a type B warped spacetime.