Search

Kinematik, mühendislik, sanat, cam dizayn ve geometri gibi birçok alanda çok özel bir yere sahip olan sabit genişlikli eğriler bu başlık altında özel olarak ele alınmıştır. Bu çalışmada sabit genişlikli eğrileri karakterize eden bir diferansiyel denklem sisteminin vasıtasıyla elde edilen üç diferansiyel denklem irdelenmiştir. Bu diferansiyel denklemler farklı değişkenlere bağlı üçüncü mertebeden, değişken katsayılı, homojen, lineer diferansiyel denklemlerdir. Bu denklemlerin farklı iki polinom yaklaşımı ile yaklaşık çözümleri hesaplanıp hata analizleri yapılmıştır. Elde edilen sonuçlar sayısal bir örnek üzerinden analiz edilerek en iyi sonuç veren yaklaşım metodu tespit edilmiştir. Bu denklemler farklı uzaylarda farklı çatılara göre farklı eğri tipleri için de bir karakterizasyon teşkil edebilmektedir. Dolayısıyla bu çalışma sadece bu eğri tipi için değil benzer denklemlerle ifade edilebilen tüm eğrilerin geometrisi için önem arz etmektedir., The fixed-width curves, which have a very special place in many fields such as kinematics, engineering, art, cam design and geometry, are specially discussed under this title. In this study, three differential equations obtained by means of a system of differential equations characterizing fixed-width curves are examined. These differential equations are third order, variable coefficient, homogeneous, linear differential equations based on different variables. Approximate solutions of these equations are calculated with two different polynomial approximations and error analysis is made for the solutions. Thus, the best approach method is determined for the most accurate result. Also, these equations can constitute a characterization for different types of curves according to different frames in different spaces. Therefore, this study is important not only for this curve type but also for the geometry of all curves that can be expressed with similar equations.

Many materials and problems in physics and engineering applications can bemathematically modeled with sufficient accuracy using classical Lebesgue and classical Sobolev spaces. However, must be variable in order to be expressed correctlythe underlying energy of some nonhomogeneous materials. Such problems can besolved only in the variable-exponent Lebesgue and Sobolev spaces. Therefore, in recent years, theinterest to partial differential equations with non-standard growth conditionalinvolving -Laplacian (with growth conditional) and variational integrals havebeen increased. ElectrorheologicalFluids Theory, Nonlinear Elasticity Theory, Image Processing, Flow in PorousMedia are some of the application areas in engineering of non-standard growth conditionaldifferential equations involving -Laplacian.Especially Electrorheological fluids have been used inrobotics and space technology (The Research is mostly done in America andespecially in NASA laboratories) have significiant importance. In this presentation, we provide information on variational integralsand on nonstandard growth-conditional partial differential equations involving -Laplacian,which has an important role in applied sciences (especially in engineering)., Fizik alanında vemühendislik uygulamalarında birçok materyal ve problemklasik Lebesgue ve klasik Sobolev uzayları kullanılarakyeterli doğrulukla matematiksel olarak modellenebilir. Ancak bazı nonhomojenmateryallerin etkin enerjisinin doğru şekilde ifade edilebilmesi için üssünündeğişken olması gerekir. Bu tür problemlerin çözümleri yalnız değişken üslü Lebesgue ve Sobolev uzaylarında mümkündür. Bundandolayı son yıllarda, –Laplacian içeren standart olmayan büyüme koşullu ( büyüme koşullu) kısmi diferansiyel denklemlereve varyasyonel integrallere olan ilgi artmıştır. –Laplacian içeren standart olmayan büyüme koşullu diferansiyeldenklemlerin uygulama alanlarından bazıları electroreheolojik akışkanlar teorisi,lineer olmayan esneklik teorisi, görüntü iyileştirme ve gözenekli ortamlarda akış’dır.Bunlar içerisinde en önemlisi robot ve uzayteknolojisinde de kullanılan (araştırmaları çoğunlukla Amerika’da ve özellikle NASAlaboratuvarlarında yapılan) electroreheolojik akışkanlar (ER akışkanlar)teorisidir. Bu sunumumuzda uygulamalı bilimlerde (özellikle mühendislikte)önemli bir yere sahip olan –Laplacian içeren standart olmayan büyüme koşullu kısmidiferansiyel denklemler ve varyasyonel integrallerle ilgili çalışmalar hakkındabilgi verilecektir.

Bu çalışmada 6. sınıf öğrencilerinin cebirsel ifadeler konusundaki kavram yanılgılarını tespit etmek amaçlanmıştır. Bu çalışma da, nitel araştırma desenlerinden, durum çalışması modeli kullanılmıştır. Çalışma grubu 2018-2019 eğitim-öğretim yılında Bayburt ilinde bir ortaokulda 6. sınıf düzeyinde öğrenim gören 41 öğrenciden oluşmaktadır. Öğrencilerin kavram yanılgılarını tespit etmek için 10 sorudan oluşan teşhis testi hazırlanmıştır. Teşhis testi 6. sınıf matematik öğretim programında yer alan kazanımlar doğrultusunda hazırlanmıştır. Bu kazanımlar şunlardır; `sözel olarak verilen bir duruma uygun cebirsel ifade ve verilen bir cebirsel ifadeye uygun sözel bir durum yazar`, `cebirsel ifadenin değerini değişkenin alacağı farklı doğal sayı değerleri için hesaplar` ve `basit cebirsel ifadelerin anlamını açıklar`. Uygulanan test sonucunda öğrencilerin hataları ve kavram yanılgısına olabileceği tahmin edilen durumlar ortaya çıkarılmıştır. Öğrencilerin yaptıkları hataların kavram yanılgısı olup olmadığını anlamak amacıyla öğrenciler ile klinik mülakat yapılmıştır. Mülakat öğrencilerin hatada ısrar edip etmediklerini anlamak için yapılmıştır. Öğrencilerin hatada ısrar etmeleri onların kavram yanılgısına sahip olduğunu gösterecektir. Öğrencilerin tamamına ulaşılamadığından 26 öğrenci ile mülakat yapılmıştır. Yapılan çalışma sonucunda öğrencilerin sahip olduğu 27 adet kavram yanılgısı tespit edilmiştir. 6. sınıf öğrencilerin aritmetikten cebire geçiş dönemi olduğu için kavram yanılgıları ve hataların çok olduğu görülmüştür. Çalışmanın sonuçları doğrultusunda, bu konu ile alakalı çalışma yapacak paydaşlara tavsiyelerde bulunulmuştur. In this study, it is aimed to determine the misconceptions of 6th grade students about algebraic expressions. In this study, a case study model, one of the qualitative research designs, was used. The study group consisted of 41 6th grade students in a secondary school in Bayburt in the 2018-2019 academic year. A diagnostic test consisting of 10 questions was prepared in order to determine students' misconceptions. The diagnostic test was prepared in accordance with the gains in the 6th grade mathematics curriculum. These gains are as follows; `writes an algebraic expression appropriate to a given oral situation and writes an oral situation appropriate to a given algebraic expression.`, `calculates the value of the algebraic expression for different natural number values that the variable will take` and `explain the meaning of simple algebraic expressions `. As a result of the test, students' errors and misconceptions were predicted. A clinical interview was conducted with the students in order to understand whether the mistakes made by the students were misconceptions. The interview was conducted to see if the students insisted on the mistake. Students' insistence on mistakes will show that they have misconceptions. As all students could not be reached, 26 students were interviewed. As a result of the study, 27 misconceptions of the students were determined. Since it is the transition period of arithmetic to algebra for 6th grade students, it is seen that there are many misconceptions and errors. In line with the results of the study, recommendations were made to the stakeholders who will work on this subject. 96

İlk bölümde üzerinde çalışılan uzayın gelişimi ve literatür hakkında bilgi verilmiştir. İkinci bölümde çalışma boyunca ihtiyaç duyulan temel kavram, tanım ve teoremlerden söz edilmiş, Lebesgue ve Sobolev uzayları hakkında bilgi verilmiştir. Üçüncü bölümde varyasyonel yaklaşım ve varyasyonel yaklaşımla ilgili temel kavram, tanım ve teoremlerden söz edilmiş, ayrıca varyasyonel yaklaşımın uygulandığı bazı problem türlerinden söz edilmiştir. Dördüncü bölümde Diskret p ? k ? -Laplacian operatörünü içeren eliptik bir denklem incelenerek, sıfırdan farklı en az üç çözümün olduğu Ricceri üç kritik nokta teoremi ile gösterilmiştir. Beşinci bölümde Kirchhoff tipli diskret problem varyasyonel yaklaşımla incelenerek, sıfırdan farklı çözümler bazı koşullar yardımıyla elde edilmiştir. In the first chapter, the necessary knowledge about development of the space and literature are given. In the second chapter, some basic definitions and theorems are given which are the necessary for properly understanding of the following chapters. Moreover, the Lebesgue and Sobolev space are mentioned. In the third chapter, variational approach and the related basic concepts, definitions and theorems are given. Furthermore, applications of variational approach to the some problem types are given. In the fourth chapter, by examining an elliptic equation involoving a discrete p ? k ? -Laplacian operator, at least three non-zero solutios are shown with Ricceri?s three critical points theorem. In the fifth chapter, by examining via variational approach discrete problem at Kirchhoff type

İlk bölümde üzerinde çalışılan uzayın gelişimi ve literatür hakkında bilgi verilmiştir.İkinci bölümde çalışma boyunca ihtiyaç duyulan temel kavram, tanım ve teoremlerden söz edilmiş, Lebesgue ve Sobolev uzayları hakkında bilgi verilmiştir.Üçüncü bölümde varyasyonel yaklaşım ve varyasyonel yaklaşımla ilgili temel kavram, tanım ve teoremlerden söz edilmiş, ayrıca varyasyonel yaklaşımın uygulandığı bazı problem türlerinden bahsedilmiştir.Dördüncü bölümde eliptik bir denklem sistemi varyasyonel yaklaşımla incelenerek, sıfırdan farklı çözümler Mountain-Pass Teoremi ve Cerami koşulu kullanılarak elde edilmiştir.Beşinci bölümde Kirchhoff problemi varyasyonel yaklaşımla incelenerek, sıfırdan farklı çözümler Krasnoselskii Genus Teoremi ve Palais-Smale koşulu yardımıyla elde edilmiştir. In the first chapter, the necessary knowledge about development of the space and literature are given.In the second chapter, some basic definitions and theorems are given which are the necessary for properly understanding of the following chapters. Moreover, the Lebesgue and Sobolev space are mentioned.In the third chapter, variational approach and the related basic concepts, definitions and theorems are given. Furthermore, applications of variational approach to the some problem types are given.In the fourth chapter, in view of variational approach, by using Mountain Pass Theorem and Cerami condition the the existence of nontrivial solutions of an elliptic system are obtained.In the fifth chapter, in view of variational approach, by using Krasnoselskii?s Genus Theorem and Palais-Smale condition the the existence of nontrivial solutions of a Kirchhoff equation are obtained. 77

Bu tez çalışmasında değişken üstlü Lebesgue ve Sobolev uzaylarında varyasyonel yaklaşımla Nehari Manifold metodu, Mountain Pass Teoremi ve Simetrik Mountain Pass Teoremini kullanılarak p(x)- Laplace tipindeki denklemlerin çözümlerinin varlığı araştırılmıştır. Bu tezde, standart olmayan büyüme koşuluna sahip iki farklı denklemin çözümleri değişken üstlü Lebesgue ve sobolev uzaylarında elde edilmiştir. Birinci bölümde, değişken üstlü Lebesgue ve Sobolev uzaylarının tarihi gelişiminden ve standart olmayan büyüme koşullu diferansiyel denklemlerin uygulamaları hakkında bilgi verilmiştir. Daha sonra, standart olmayan büyüme koşullu diferansiyel denklemlerle ilgili şimdiye kadar yapılan çalışma ve elde edilen sonuçlar hakkında kısa bilgi verilmiştir. İkinci bölümde, daha sonraki bölümlerde kullanacağımız temel bilgiler ve Lebesgue-Sobolev uzayları hakkında bilgi verilmiştir. Üçüncü bölümde, standart ve standart olmayan büyüme koşullu denklemlerin çözümlerinin varlığı için kullanılan temel tanımlar, temel teoremler ve varyasyonel yaklaşım hakkında bilgi verilmiştir. Ayrıca, bu teoremlerin kullanıldığı belli başlı çalışmalardan bahsedilmiştir. Dördüncü bölümde, standart olmayan büyüme koşullu Dirichlet sınır değer koşullarına sahip yarılineer bir elliptik problem için varyasyonel bir yaklaşımla Nehari Manifold metodu kullanarak problemin en az iki pozitif çözümün varlığı değişken üstlü Sobolev uzayında elde edilmiştir. Beşinci bölümde, p(x)Laplace tipindeki düzgün olmayan eliptik denklem için Mountain Pass ve Simetrik Mountain Pass Teoremini kullanarak denklemin çözümlerinin varlığı ve çokluğu değişken üstlü Sobolev uzayında elde edilmiştir. In this thesis, using variational approach and applying Nehari Manifold method, Mountain Pass theorem and Symmetric Mountain Pass theorem the existence of the solutions of the p(x)- Laplacian type equations were investigated in the variable exponent Lebesgue and Sobolev spaces. In the present thesis, solutions of two different equations which have non-standard growth condition were obtained in variable exponent Lebesque and Sobolev spaces. In the first part, some information was given about the historical progress of variable exponent Lebesgue --Sobolev spaces and about the applications of differential equations with non-standard growth condition.Then, some account was also added about the studies carried out so far and the results obtained with regard to differential eqations with non-standard growth condition. In the second part, some other information was given about the Lebesque Sobolev spaces as well as the basic kowledge that we would use in the following parts. In the third part, some account was given about the basic theorems, basic definitions and variational approach used for the existence of solutions of equations with standard and non- standard growth conditions. In addition, some major studies, in which these theorems were used, were referred to. In the fourth part, for a semilinear elliptic problem that possesses the Dirichlet boundary value conditions with non- Standard growth condition, at least the existence of two positive solutions was obtained in variable exponent Sobolev space by using the Nehari Manifold Method through a variational approach. In the fifth part, the existence and multiplicity of the the solutions were obtained in variable exponent Sobolev space for the nonuniform elliptic Laplacian equation by using the Mountain Pass theorem and Symetric Mountain Pass theorem.

Bu çalışmada Hardy tipi eşitsizlikler ve Hardy tipli operatörler hakkında bilgi verilmiş ve ağırlıklı Lebesque uzayları üzerinde tanımlanmış normlar ile Hardy operatörlerinin ve bunların conjugate fonksiyonları ile Riemann Liouville, Weyle, Kernel ve Hardy-Steklov operatörleri arasındaki bağlantı için tanımlanan norm eşitsizlikleriyle bu operatörlerin sınırlı oldukları gösterilmiştir. Ve ağırlıksız Hardy-Steklov operatörleri üzerinde tanımlanan norm eşitsizlikleri için en küçük C sabitinin bulunması araştırılmıştır.Birinci bölümde diğer bölümlerde kullanılmak üzere bazı tanımlar verilmiştir.İkinci bölümde daha sonraki bölümlerde kullanılmak üzere bazı özel eşitsizlikler ve Lebesgue ölçümü ve integrali verilmiştir.Üçüncü bölümde Lebesgue uzayları ve Sobolev uzayları tanımlanarak aralarındaki eşitsizlikler tanımlanmıştır.Dördüncü bölümde Sobolev gömülme teoremleri, ağırlıklı Lebesque uzayları norm eşitsizlikleri verilmiştir.Beşinci bölümde ağırlıklı ve ağırlıksız Hardy Eşitsizlikleri ile aralarındaki bağlantılar belirtilmiştir.Altıncı bölümde esas kısmını oluşturan ağırlıklı, ağırlıksız Hardy-Steklov operatörleri üzerinde tanımlanan norm eşitsizlikleri için en küçük C sabitinin bulunması araştırılmıştır. In this study, has given information about Hardy-type inequalities and Hardy-type operators; norms defined on weighted Lebesgue spaces and Hardy operators and conjugate of these functions and relation between normed inequalities defined with Riemann Liouville, Weyle, Kernel and Hardy-Steklov operators and showed these operators are bounded. And investigated smallest C constant for normed inequalities defined on nonweighted Hardy-Steklov operators.In the first chapter, introduced some terms and notations for using following chapters.In the second chapter, some special inequalities for using following chapters and Lebesgue measure and integral have given.In the third chapter, Lebesgue and Sobolev spaces and inequalities between them defined.In the fourth chapter, Sobolev embedding theorems and weighted-Lebesgue space with norm inequalities has given.In the fifth chapter, weighted and non-weighted Hardy inequalities and relations between them defined.In the final chapter, investigated to find smallest C constant for normed inequalities defined on weighted and nonweighted Hardy-Steklov operators. 95

Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, çalışmada kullanılacak temel tanım ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde, L uzay p ı ve özellikleri incelenmiştir. Ayrıca L uzay p ı yardımıyla elde edilen bazı eşitsizlikler tanımlanmıştır. Üçüncü bölümde, l Wp uzayı incelenmiştir. Ayrıca L ve p l Wp uzayların daha genel durumu için integral gösterimleri elde edilmiştir. Dördüncü bölümde, daha önceki bölümde elde edilen integral gösterimleri yardımıyla bu uzaylarda iz düşüm teoremi ispatlanmıştır. This study consists of four chapters. In the first chapter, main definitions and theorems to be used in the study are given. In the second chapter, L space and its characteristics were studied. In p addition, some inequalities obtained by means of Lp space were defined. In the third chapter, l Wp space was studied. Furthermore, integral representations for a more general condition of L and p l Wp spaces were obtained. In the fourth chapter, the projection theorem on these spaces was proven by integral representations obtained in the previous chapter.

ÖZET Bu tezde, değişken üstlü Lebesgue ve Sobolev uzaylarında gömme tipli eşitsizlikler olan Sobolev ve ağırlıklı Hardy eşitsizlikleri elde edilmiştir. Ök bölüm giriş niteliğinde olup, bu bölümde değişken üstlü Lebesgue ve Sobolev uzaylarının çıkış noktası ve fiziksel motivasyonu ile günümüze kadar yapılan çalışmalar kısaca ele alınmıştır. Tezde kullanılan temel bilgiler ve değişken üstlü Lebesgue ve Sobolev uzaylarına temel teşkil eden uzaylar ikinci bölümde verilmiştir. Üçüncü bölümde, değişken üstlü Lebesgue ve Sobolev uzayları Teorisi verilmiş ve bu uzaylarda özellikle çalışma konumuzla ilgili sonuçlar üzerinde durulmuştur. Değişken üstlü Lebesgue ve Sobolev uzaylarında ölçülebilir fonksiyonlar için Sobolev tipli eşitsizlik ve kesirli maksimal fonksiyon ile Riesz potansiyel operatörü arasındaki ilişkiden yararlanarak, kesirli maksimal fonksiyon için Sobolev tipli eşitsizlik dördüncü bölümde ispatlanmıştır. Beşinci bölümde, değişken üstlü Lebesgue uzayında gömme teoremlerinin elde edilmesi için vazgeçilmez bir araç olan Hardy tipli eşitsizliklerle ilgilenilmiştir. Bu bölümde, değişken üstlü Lebesgue uzaylarında Hardy Eşitsizliği global log-Hölder süreklilik koşulu altında ve kuvvet tipli Hardy eşitsizliği ise test fonksiyonunun tanım bölgesinde tanımlı değişken üstlerin regülerlik koşulu ve bu üslerin şuurdaki değerleri cinsinden ifade edilmiş global log-Hölder süreklilik koşulu altında elde edilmiştir. Son olarak, ağırlık fonksiyonlarının davranışları incelenerek ve değişken üstlerin şuurdaki değerleri ve ağırlık fonksiyonları cinsinden ifade edilmiş global-Hölder süreklilik koşulu altında genelleştirilmiş Hardy eşitsizliği son bölümde ispatlanmıştır. M SUMMARY In this thesis, the inequalities of embedding type, Sobolev and weighted Hardy type inequalities, are obtained in Lebesgue and Sobolev space with variable exponent. In the first chapter, as an introduction chapter, the exit point and physical motivation of Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponent, and the studies that have been carried out up to now are briefly dealt with. The basic information used in the thesis and the spaces forming the basis of Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponent are presented in the second chapter. In Hie third chapter, theory of Lebesgue and Sobolev space with, variable exponent is given, and in these spaces, especially the results about our studies are taken up. We proved Sobolev type inequality for measurable functions in Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponent and Sobolev type inequality for fractional maximal function by making use of the relation between fractional maximal function and Riesz potential operator in the fourth chapter. In the fifth chapter, we were interested in Hardy type inequality, which is an indispensable tool for getting embedding theorems Lebesgue space with variable exponent. In this chapter, we obtained Hardy type inequality under the global log-Hölder continuity condition and also power type Hardy inequality under regularity condition of variable exponents defined in the domain of test function and the global log-Hölder continuity condition which is expressed in terms of boundary value of these exponents in Lebesgue spaces with variable exponent. Finally, we proved generalized Hardy inequality by investigating behaviors of weight functions and under the global log-Hölder continuity condition which is expressed in terms of boundary value of variable exponents and weight functions in the last chapter. 97