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Starting from the Riemann Mapping Theorem it arises the interest for biholomorphisms over domains in one or several complex variables. Poincar´e showed that there is no analytic isomorphism between the Polydisc and the unit ball already in C^2. The previous fact may suggest that biholomorphic domains are a class of such well-behaved sets that could extend some regularity of the biholomorpshism until their respective boundaries. A very influent approach was faced by Fefferman (published in the year 1974), by proving that every biholomorphism between bounded strongly pseudoconvex domains with smooth boundaries extends as a diffeomorphism to the closures of the domains. In this work is quoted a classical result that presents an isometry respect to the Bergman metric between biholomorphic domains and he noticed an interesting behaviour of geodesics when they are going to the boundary of a considered domain. The first part of this thesis mainly follows Abate’s work aiming to show the homeomorphic extension of a biholomorphism between C^2-smooth strongly pseudoconvex domains. The second part of this thesis mainly follows the work of Bracci, Gaussier and Zimmer aiming to show the homeomorphic extension of a Quasi-Isometric homeomorphisms to the End compactifications of the respective domains. Other consequences are related to extend the Denjoy-Wolff Theorem for domains in several complex variables and present the Denjoy-Wolff behaviour for commuting holomorphic selfmaps with no fixed point in the domain itself.

Il presente lavoro ha come oggetto gli spazi di Hilbert a nucleo riproducente. Lo studio parte concentrandosi sulla proprietà teorica che accomuna gli spazi di Bergman, di Dirichlet e di Hardy, ovvero di esser spazi di funzioni di Hilbert. Nel secondo capitolo vengono presentate maggiori speculazioni teoriche che correlano gli spazi di funzioni di Hilbert alle loro funzioni nucleo associate, stabilendo quindi una corrispondenza biunivoca tramite il teorema di Moore-Aronszajn. Sempre nello stesso capitolo viene introdotta l'algebra dei moltiplicatori, fornendo come esempio che le algebre dei moltiplicatori dello spazio di Bergman e dello spazio di Hardy siano l'insieme delle funzioni olomorfe e limitate definite sul disco unitario. Nell'ultimo capitolo si descrive il prodotto tensoriale di spazi di Hilbert, per poi applicarlo alla nozione di spazio di Hilbert a nucleo riproducente a valori vettoriali(vvRKHS) e infine viene data una costruzione di un operatore di moltiplicazione in questo dato spazio.

Starting from the Riemann Mapping Theorem it arises the interest for biholomorphisms over domains in one or several complex variables. Poincar´e showed that there is no analytic isomorphism between the Polydisc and the unit ball already in C^2. The previous fact may suggest that biholomorphic domains are a class of such well-behaved sets that could extend some regularity of the biholomorpshism until their respective boundaries. A very influent approach was faced by Fefferman (published in the year 1974), by proving that every biholomorphism between bounded strongly pseudoconvex domains with smooth boundaries extends as a diffeomorphism to the closures of the domains. In this work is quoted a classical result that presents an isometry respect to the Bergman metric between biholomorphic domains and he noticed an interesting behaviour of geodesics when they are going to the boundary of a considered domain. The first part of this thesis mainly follows Abate’s work aiming to show the homeomorphic extension of a biholomorphism between C^2-smooth strongly pseudoconvex domains. The second part of this thesis mainly follows the work of Bracci, Gaussier and Zimmer aiming to show the homeomorphic extension of a Quasi-Isometric homeomorphisms to the End compactifications of the respective domains. Other consequences are related to extend the Denjoy-Wolff Theorem for domains in several complex variables and present the Denjoy-Wolff behaviour for commuting holomorphic selfmaps with no fixed point in the domain itself.

Il presente lavoro ha come oggetto gli spazi di Hilbert a nucleo riproducente. Lo studio parte concentrandosi sulla proprietà teorica che accomuna gli spazi di Bergman, di Dirichlet e di Hardy, ovvero di esser spazi di funzioni di Hilbert. Nel secondo capitolo vengono presentate maggiori speculazioni teoriche che correlano gli spazi di funzioni di Hilbert alle loro funzioni nucleo associate, stabilendo quindi una corrispondenza biunivoca tramite il teorema di Moore-Aronszajn. Sempre nello stesso capitolo viene introdotta l'algebra dei moltiplicatori, fornendo come esempio che le algebre dei moltiplicatori dello spazio di Bergman e dello spazio di Hardy siano l'insieme delle funzioni olomorfe e limitate definite sul disco unitario. Nell'ultimo capitolo si descrive il prodotto tensoriale di spazi di Hilbert, per poi applicarlo alla nozione di spazio di Hilbert a nucleo riproducente a valori vettoriali(vvRKHS) e infine viene data una costruzione di un operatore di moltiplicazione in questo dato spazio.