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Lo scopo di questa tesi e quello di risolvere alcuni problemi di approssimazioni di punti ssi di mappe non lineari e approssimazioni di soluzioni di disequazioni variazionali, illustrati in una ricca raccolta e collezione di signi cativi risultati sui metodi iterativi introdotti. Numerosi problemi in molte aree della matematica possono essere riformulati come un problema di punto sso di una mappa non lineare, de nita su un sottoinsieme non vuoto di uno spazio di Banach X in se stesso, e, dunque, si riducono a trovare le soluzioni della seguente equazione x = Tx; x 2 X: Vi presenteremo il nostro contributo ai seguenti problemi proposti. Problem 1: Non sappiamo se e possibile ottenere un Teorema di convergenza forte per un metodo di tipo Halpern per mappe nonspreading, vedi [40] Abbiamo dato una risposta parziale in F. Cianciaruso, G. Marino, A. Rugiano, B. Scardamaglia, On Strong convergence of Halpern's method using averaged type mappings, J. Appl. Math., (2014), Art. ID 473243, 11 pages. Nel Capitolo 2, discuteremo in modo accurato i nostri risultati. Problem 2: Non sappiamo se e possibile ottenere un Teorema di convergenza forte per un metodo di tipo viscoso per approssimare punti ssi comuni di due mappe. Abbiamo presentato una risposta parziale in F. Cianciaruso, G. Marino, A. Rugiano, B. Scardamaglia, On strong convergence of viscosity type method using averaged type mappings, Journal of Nonlinear and Convex Analysis no. 8, vol. 16, (2015), 1619-1640. Riporteremo i nostri risultati nel Capitolo 3. Problem 3: E di notevole interessante capire per quali classi di mappe e possibile ottenere un Teorema di convergenza forte per un metodo di tipo Halpern, senza introdurre le mappe di tipo average. Abbiamo discusso una risposta parziale in J. Garcia Falset, E. LLorens Fuster, G. Marino, A. Rugiano, On strong convergence of Halpern's method for quasi-nonexpansive mappings in Hilbert Spaces, submitted for publication. Il Capitolo 4 e dedicato all'analisi dei rusultati ottenuti. Problem 4: Non sappiamo se e possibile ottenere un Teorema di convergenza forte per il metodo iterativo introdotto da Iemoto and Takahashi in [31]. Abbiamo illustrato una risposta parziale in A. Rugiano, B. Scardamaglia, S. Wang, Hybrid iterative algorithms for a nite family of nonexpansive mappings and for a countable family of nonspreading mappings in Hilbert spaces, to appear in Journal of Nonlinear and Convex Analysis. Analizzeremo in dettaglio i nostri risultati nel Capitolo 5. Dottorato di Ricerca in Matematica ed Informatica, Ciclo XXVIII a.a. 2015-2016 Università della Calabria

In questa tesi vengono a rontati, e talvolta risolti, alcuni problemi sulla convergenza di algoritmi per punti ssi. A tali problemi, verr a a ancato inoltre l'ulteriore problema di stabilire quando tali algoritmi convergono a punti ssi che risultano essere soluzioni di disuguaglianze variazionali. I contributi scienti ci personali apportati alla teoria dei punti ssi, riguardano essenzialmente la ricerca di ottenere convergenza forte di uno o pi u metodi iterativi, laddove non e nota convergenza, o qualora e nota la sola convergenza debole. La struttura dei capitoli e articolata come segue: Nel primo capitolo vengono introdotti gli strumenti di base e i cosiddetti spazi ambiente in cui verranno mostrati i principali risultati. Inoltre verranno fornite tutte le propriet a sulle mappe nonlineari utili nelle dimostrazioni presenti nei capitoli successivi. Nel secondo capitolo, e presente una breve e mirata introduzione a quelli che sono alcuni dei risultati fondamentali sui metodi iterativi di punto sso pi u noti in lettaratura. Nel terzo capitolo, vengono mostrate le principali applicazioni dei metodi di approssi- mazione di punto sso. Nel quarto e nel quinto capitolo, vengono mostrati nei dettagli alcuni risultati riguardo un metodo iterativo di tipo Mann e il metodo iterativo di Halpern. In questi ultimi capitoli sono presenti i contributi dati alla teoria dell'approssimazione di punti ssi. Dottorato di Ricerca in Matematica ed Informatica, Ciclo XXVIII a.a. 2015-2016 Università della Calabria