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This thesis mainly study the hypocoercivity and long time behaviour of kinetic equations. We first consider the kinetic Fokker-Planck equation with weak confinement force and a class of general force. We prove the existence and uniqueness of a positive normalized equilibrium (in the case of a general force) and establish some exponential rate or sub-geometric rate of convergence to the equilibrium (and the rate can be explicitly computed). Then we study convergence to equilibriumof the linear relaxation Boltzmann (also known as linear BGK) and the linear Boltzmann equations either on the torus or on the whole space with a confining potential. We present explicit convergence results in total variation or weighted total variation norms. The convergence rates are exponential when the equations are posed on the torus, or with a confining potential growing at least quadratically at infinity. Moreover, we give algebraic convergence rates when subquadratic potentials considered. We use a method known as Harris’s Theorem.; Cette thèse porte principalement sur l’hypocoercivité et le comportement à long terme d’équations cinétiques. Nous considérons d’abord l’équation cinétique de Fokker-Planck avec la force de confinement faible et une classe de force générale. Nous prouvons l’existence et l’unicité d’un équilibre normalisé positif (dans le cas d’une force générale) et établissons un certain taux exponentiel ou sous-géométrique de convergence vers l’équilibre (et le taux peut être explicitement calculé). Ensuite, nous étudions la convergence vers l’équilibre de la relaxation Boltzmann linéaire (également appelé BGK linéaire) et le équations de Boltzmann linéaire soit sur le tore ou sur tout l’espace avec un confinement potentiel.Nous présentons des résultats de convergence explicites au normes de variation total ou de variation totale pondérée.Les taux de convergence sont exponentiels lorsque les équations sont posées sur le tore ou avec un potentiel de confinement grandir au moins quadratiquement à l’infini. De plus, nous donnons taux de convergence algébrique lorsque les potentiels sousquadratiqué pris en considération. Nous utilisons le théorème de Harris.

This thesis studies the class of interacting particle systems called kinetically constrained models (KCMs). It considers first the question of universality: can the infinity of possible models be sorted into a finite number of classes according to their properties? Such a result was recently proven in a related class of models, bootstrap percolation, where models can be divided into supercritical, critical and subcritical. This classification can also be applied to KCMs, but it is not precise enough: supercritical KCMs have to be divided into rooted and unrooted, and critical KCMs depending on them having or not an infinity of stable directions. This thesis shows the relevance of this classification of KCMs and completes the proof of their universality in the supercritical and critical cases, by proving a lower bound for two characteristic scales, the relaxation time and the first time at which a site is at 0, in the supercritical rooted case (work with F. Martinelli and C. Toninelli, relying on a combinatorial result shown without collaboration) and in the case of critical models with an infinity of stable directions (work with I. Hartarsky and C. Toninelli). It also establishes a more precise lower bound in the particular case of the Duarte model (work with F. Martinelli and C. Toninelli). Secondly, this thesis shows results of exponential convergence to equilibrium, for all supercritical KCMs under certain conditions and in the particular case of the d-dimensional East model without restrictions.; Cette thèse étudie la classe de systèmes de particules en interaction appelés modèles avec contraintes cinétiques (KCM). La première question considérée est celle de l’universalité : peut-on classer l’infinité de modèles possibles en un nombre fini de classes selon leurs propriétés ? Un tel résultat a été récemment démontré dans une classe de modèles proche, la percolation bootstrap, où les modèles se subdivisent en surcritiques, critiques et sous-critiques. Cette classification s’applique aussi aux KCM, mais elle n’est pas assez fine : les KCM surcritiques doivent être subdivisés en enracinés et non enracinés, et les KCM critiques selon qu’ils ont ou pas une infinité de directions stables. Cette thèse prouve la pertinence de cette classification des KCM et complète la preuve de leur universalité dans les cas surcritique et critique, en démontrant une borne inférieure pour deux grandeurs caractéristiques, le temps de relaxation et le premier temps auquel un site est à 0, dans les cas surcritique enraciné (travail avec F. Martinelli et C. Toninelli, reposant sur un résultat combinatoire réalisé sans collaboration) et critique avec une infinité de directions stables (travail avec I. Hartarsky et C. Toninelli). Elle établit aussi une borne inférieure plus précise dans le cas particulier du modèle de Duarte (travail avec F. Martinelli et C. Toninelli). Dans un deuxième temps, cette thèse montre des résultats de convergence exponentielle vers l’équilibre, pour tous les KCM surcritiques sous certaines conditions et dans le cas particulier du modèle Est en dimension d sans restriction.

This thesis studies the class of interacting particle systems called kinetically constrained models (KCMs). It considers first the question of universality: can the infinity of possible models be sorted into a finite number of classes according to their properties? Such a result was recently proven in a related class of models, bootstrap percolation, where models can be divided into supercritical, critical and subcritical. This classification can also be applied to KCMs, but it is not precise enough: supercritical KCMs have to be divided into rooted and unrooted, and critical KCMs depending on them having or not an infinity of stable directions. This thesis shows the relevance of this classification of KCMs and completes the proof of their universality in the supercritical and critical cases, by proving a lower bound for two characteristic scales, the relaxation time and the first time at which a site is at 0, in the supercritical rooted case (work with F. Martinelli and C. Toninelli, relying on a combinatorial result shown without collaboration) and in the case of critical models with an infinity of stable directions (work with I. Hartarsky and C. Toninelli). It also establishes a more precise lower bound in the particular case of the Duarte model (work with F. Martinelli and C. Toninelli). Secondly, this thesis shows results of exponential convergence to equilibrium, for all supercritical KCMs under certain conditions and in the particular case of the d-dimensional East model without restrictions.; Cette thèse étudie la classe de systèmes de particules en interaction appelés modèles avec contraintes cinétiques (KCM). La première question considérée est celle de l’universalité : peut-on classer l’infinité de modèles possibles en un nombre fini de classes selon leurs propriétés ? Un tel résultat a été récemment démontré dans une classe de modèles proche, la percolation bootstrap, où les modèles se subdivisent en surcritiques, critiques et sous-critiques. Cette classification s’applique aussi aux KCM, mais elle n’est pas assez fine : les KCM surcritiques doivent être subdivisés en enracinés et non enracinés, et les KCM critiques selon qu’ils ont ou pas une infinité de directions stables. Cette thèse prouve la pertinence de cette classification des KCM et complète la preuve de leur universalité dans les cas surcritique et critique, en démontrant une borne inférieure pour deux grandeurs caractéristiques, le temps de relaxation et le premier temps auquel un site est à 0, dans les cas surcritique enraciné (travail avec F. Martinelli et C. Toninelli, reposant sur un résultat combinatoire réalisé sans collaboration) et critique avec une infinité de directions stables (travail avec I. Hartarsky et C. Toninelli). Elle établit aussi une borne inférieure plus précise dans le cas particulier du modèle de Duarte (travail avec F. Martinelli et C. Toninelli). Dans un deuxième temps, cette thèse montre des résultats de convergence exponentielle vers l’équilibre, pour tous les KCM surcritiques sous certaines conditions et dans le cas particulier du modèle Est en dimension d sans restriction.

The thesis has two independent parts. The first part concerns the convergence toward equilibrium of discrete gradient flows or, with more generality, of some discretizations of autonomous systems which admit a Lyapunov function. The study is performed assuming sufficient conditions for the solutions of the continuous problem to converge toward a stationary state as time goes to infinity. It is shown that under mild hypotheses, the discrete system has the same property. This leads to new results on the large time asymptotic behavior of some known non-linear schemes. The second part concerns the numerical simulation of the motion of particles suspended in a viscous fluid. It is shown that the most widely used methods for computing the hydrodynamic interactions between particles lose their accuracy in the presence of large non-hydrodynamic forces and when at least two particles are close from each other. This case arises in the context of medical engineering for the design of nano-robots that can swim. This loss of accuracy is due to the singular character of the Stokes flow in areas of almost contact. A new method is introduced here. Numerical experiments are realized to illustrate its better accuracy., La thèse comporte deux parties. La première traite de la convergence vers l'équilibre de flots de gradients discrets ou plus généralement de discrétisations d'un système autonome admettant une fonction de Lyapunov. En se plaçant dans une cadre pour lequel les olutions du problème continu converge vers un état stationnaire en temps grand, il est démontré sous des hypothèses générale que le système discret a la même propriété. Ce résultat conduit à des conclusions nouvelles sur le comportement en temps grand de schémas numériques anciens. La seconde partie concerne la simulation numérique de particules en suspension dans un fluide visqueux. Il est montré que les méthodes utilisées actuellement pour simuler l'interaction hydrodynamique entre particules perdent de leur précision quand de grandes forces non-hydrodynamiques sont en jeu et que au moins deux particules sont proches l'une de l'autre. Ce cas survient, dans le contexte de l'ingénierie biomédicale, lors de la conception de nano-robots capables de nager. Cette perte de précision est due au caractère singulier de l'écoulement de Stokes dans les zones de presque contact. Une nouvelle méthode est introduite ici. Des expérimentations numériques sont effectuées pour mettre en évidence sa grande précision.