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In this work we deal with the exponential stability of the nonlinear Kortewegde Vries (KdV) equation on a finite star-shaped network in the presence of delayed internal feedback. We start by proving the well-posedness of the system and some regularity results. Then we state an exponential stabilization result using a Lyapunov function by imposing small initial data and a restriction over the lengths. In this part also, we are able to obtain an explicit expression for the rate of decay. Then we prove the exponential stability of the solutions without restriction on the lengths and for small initial data, this result is based on an observability inequality. After that, we obtain a semi-global stabilization result working directly with the nonlinear system. Next we study the case where it may happen that a control domain with delay is outside of the control domain without delay. In that case, we obtain also a local exponential stabilization result. Finally, we present some numerical simulations in order to illustrate the stabilization.

The improved Boussinesq equation is studied in this paper. Control properties for this equation posed on a bounded interval are first considered. When the control acts through the Dirichlet boundary condition the linearized system is proved to be approximately but not spectrally controllable. In a second part, the equation is posed on the one-dimensional torus and distributed moving controls are considered. Under some condition on the velocity to which the control moves, exact controllability results for both linear and nonlinear improved Boussinesq equations are obtained applying the moment method and a fixed point argument.

International audience; This paper concerns the inverse problem of retrieving the principal coefficient in a Korteweg-de Vries (KdV) equation from boundary measurements of a single solution. The Lipschitz stability of this inverse problem is obtained using a new global Carleman estimate for the linearized KdV equation. The proof is based on the Bukhge˘ım-Klibanov method.

International audience; This paper presents an inverse problem for the nonlinear 1-d Kuramoto-Sivashinsky (K-S) equation. More precisely, we study the nonlinear inverse problem of retrieving the anti-diffusion coefficient from the measurements of the solution on a part of the boundary and at some positive time everywhere. Uniqueness and Lipschitz stability for this inverse problem are proven with the Bukhgeim-Klibanov method. The proof is based on a global Carleman estimate for the linearized K-S equation.

National audience

A new method for analyzing arterial blood pressure is presented in this article. The technique is based on the scattering transform and consists in solving the spectral problem associated to a one-dimensional Schrödinger operator with a potential depending linearly upon the pressure. This potential is then expressed with the discrete spectrum which includes negative eigenvalues and corresponds to the interacting components of an N-soliton. The approach is similar to a nonlinear Fourier transform where the solitons play the role of sine and cosine components. The method provides new cardiovascular indices that seem to have meaningful physiological information, especially about the stroke volume and the ventricular contractility. We first show how to reconstruct the arterial blood pressure waves and separate its systolic and diastolic phases using this approach. Then we analyse the parameters computed from this technique in two physiological conditions, the head-up 60 degrees tilt test and the isometric handgrip test, widely used for studying short term cardiovascular control. Promising results are obtained.

De nos jours, le concept de tension artérielle, qui fait référence à la pression artérielle (PA), devient de plus en plus familier et intègre le langage courant. Ceci est dû à l'incidence de la mortalité due aux maladies cardio-vasculaires et en raison du rôle fondamental que joue la PA dans l'appareil circulatoire. L'intérêt porté à la PA a mobilisé depuis des décennies la communauté scientifique qui tente d'élaborer un modèle mathématique permettant de comprendre le fonctionnement du système cardio-vasculaire (SCV), aussi bien dans le cas sain que pathologique. Ce type de modélisation rentre dans le cadre de la modélisation des systèmes vivants qui constitue l'un des plus grands défis de la science du 21ième siècle et fait partie des principaux objectifs de l'INRIA (Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique) pour les quatre prochaines années. En plus des spécialistes du domaine, celle-ci nécessite l'implication de chercheurs en automatique, en traitement de l'information et en mathématiques appliquées. Le SCV constitue l'un des systèmes vivants les plus fascinants, mais aussi l'un des plus complexes, rendant sa modélisation très difficile. Bien que la littérature abonde de travaux sur la modélisation de la circulation sanguine, il est possible de distinguer deux approches : les modèles différentiels et les modèles à paramètres distribués. Les premiers, incluant les célèbres modèles Windkessel, reposent sur une analogie avec les circuits électriques. Ils ne comportent pas de dimension spatiale. Ils permettent une bonne compréhension du comportement global du SCV, mais n'expliquent pas tous les phénomènes mis en jeu. Les modèles à paramètres distribués, quant à eux, font appel aux principes de l'écoulement des fluides. Ils sont plus précis mais bien plus complexes, particulièrement en dimension 3. La variabilité de la PA est un phénomène déterminé par de nombreux facteurs physiologiques, physiopathologiques et environnementaux . On distingue principalement la variabilité à long terme qui décrit les variations sur 24 heures et plus (variation saisonnière), et celle à court terme englobant des fluctuations à périodicité brève allant de quelques secondes à quelques minutes. Cette dernière ne peut être étudiée que par des enregistrements continus de la PA, battement par battement, qui font appel à des techniques invasives, intra-artérielles, potentiellement dangereuses pour le patient, qui ne sont utilisables que dans des cas très particuliers et pas en clinique de routine. Il existe cependant un type d'appareil qui permet la mesure non invasive de la PA continue, au niveau du doigt. Le FINAPRES en est un exemple. Il serait alors intéressant de songer à élaborer des méthodes qui permettraient de reconstruire la pression au niveau central à partir de la pression périphérique. Dans cette perspective, différents travaux ont été effectués : les méthodes proposées utilisent généralement la notion de fonction de transfert entre la pression proximale et la pression distale, mais sont délicates à mettre en oeuvre. Le travail présenté, dans le cadre de ce stage de Master-2 Recherche, consiste à étudier un modèle de PA qui prenne en compte aussi bien la phase systolique que la phase diastolique. Ce modèle devrait permettre de remonter au coeur à l'aide d'une mesure non invasive et présenterait des caractéristiques intéressantes permettant d'envisager des applications en clinique, notamment pour le diagnostic. Nous nous intéresserons particulièrement au problème de l'identifiabilité des paramètres de ce modèle et de sa validation.

The purpose of this article is to study the exact boundary controllability of the classical Boussinesq equation. The control is applied to the first spatial derivative and then, to the second spatial derivative, both at the right endpoint. The exact controllability of the linearized problem is essentially proved by using the Hilbert Uniqueness Method. From this result, we deduce the exact boundary controllability for the nonlinear Boussinesq equations. The main improvements compared to existing results in the literature are the absence of restrictions on controllability time, the use of more regular spaces and the extension of the exact boundary controllability to the nonlinear Boussinesq equation.

Projet SOSSO; We study the boundary controllability of a nonlinear Korteweg-de Vries equation with the Dirichlet boundary condition on an interval with a critical length for which it has been shown by Rosier that the linearized control system around the origin is not controllable. We prove that the nonlinear term gives the local controllability around the origin

Puel Jean-Pierre, président du jury; Raymond Jean-Pierre, Rouchon pierre, Tucsnak Marius, membres du jury;; In this thesis, we study the exact controllability of two dispersive equations, the Korteweg-de Vries equation and the "good" Boussinesq equation. First, for the Korteweg-de Vries equation, we extend a result of Rosier. We prove that for a critical length, the nonlinear equation is exactly controllable in a neighborhood of a small non null stationary solution. This study uses the Hilbert Uniqueness Method with the multiplier theory and a fixed point theorem. Secondly, we study the exact controllability of the "good" Boussinesq equation with two different boundary controls. We use again the Hilbert Uniqueness Method but with Ingham inequality. Lastly, we apply this method for a numerical approach of the controllability of the Boussinesq equation both for linear and nonlinear equations. The control is applied to the second spatial derivative, at the right endpoint.; Le sujet principal de cette thèse est l'étude de la contrôlabilité exacte de deux équations dispersives, l'équation de Korteweg-de Vries et la "bonne" équation de Boussinesq. En ce qui concerne l'équation de Korteweg-de Vrie, on étend un résultat de Rosier en montrant la contrôlabilité exacte en tout temps de l'équation non linéaire autour d'une solution stationnaire proche de zéro mais non nulle, ce pour des longueurs de domaine spatial critiques. Cette démonstration utilise en particulier la méthode d'unicité hilbertienne couplée avec la méthode des multiplicateurs et un théorème de point fixe. Ensuite, nous étudions le problème de la contrôlabilité exacte de l'équation de Boussinesq pour deux contrôles différents. On utilise également la méthode d'unicité hilbertienne pour ces problèmes en appliquant une inégalité de Ingham. On obtient ainsi un résultat de contrôlabilité exacte pour des temps arbitrairement petits. Nous implémentons ensuite cette méthode de facon numérique pour l'équation de Boussinesq avec un contrôle portant sur la dérivée seconde a droite, tant sur le problème linéaire que non linéaire.