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Due to the recent emergence of new modalities, the amount of signals collected daily has been increasing. As a result, it frequently occurs that various signals provide information about the same phenomenon. However, a single signal may only contain partial information about this phenomenon. Multimodal data fusion was proposed to overcome this issue. It is defined as joint processing of datasets acquired from different modalities. The aim of data fusion is to enhance the capabilities of each modality to express their specific information about the phenomenon of interest; it is also expected from data fusion that it brings out additional information that would be ignored by separate processing. However, due to the complex interactions between the modalities, understanding the advantages and limits of data fusion may not be straightforward.In a lot of applications such as biomedical imaging or remote sensing, the observed signals are three-dimensional arrays called tensors, thus tensor-based data fusion can be envisioned. Tensor low-rank modeling preserves the multidimensional structure of the observations and enjoys interesting uniqueness properties arising from tensor decompositions. In this work, we address the problem of recovering a high-resolution tensor from tensor observations with some lower resolutions. In particular, hyperspectral super-resolution (HSR) aims at reconstructing a tensor from two degraded versions. While one is degraded in two (spatial) modes, the second is degraded in the third (spectral) mode. Recently, tensor-based approaches were proposed for solving the problem at hand. These works are based on the assumption that the target tensor admits a given low-rank tensor decomposition. The first work addressing the problem of tensor-based HSR was based on a coupled canonical polyadic (CP) decomposition of the observations. This approach gave rise to numerous following reconstruction methods based on coupled tensor models, including our work.The first part of this thesis is devoted to the design of tensor-based algorithms for solving the HSR problem. In Chapter 2, we propose to formulate the problem as a coupled Tucker decomposition. We introduce two simple but fast algorithms based on the higher-order singular value decomposition of the observations. Our experiments show that our algorithms have a competitive performance with state-of-the-art tensor and matrix methods, with a lower computational time. In Chapter 3, we consider spectral variability between the observations. We formulate the reconstruction problem as a coupled block-term decomposition. We impose non-negativity of the low-rank factors, so that they can be incorporated into a physically-informed mixing model. Thus the proposed approach provides a solution to the joint HSR and unmixing problems. The second part of this thesis adresses the performance analysis of the coupled tensor models. The aim of this part is to assess the efficiency of some algorithms introduced in the first part. In Chapter 4, we consider constrained Cramér-Rao lower bounds (CCRB) for coupled tensor CP models. We provide a closed-form expression for the constrained Fisher information matrix in two scenarios, whether i) we only consider the fully-coupled reconstruction problem or ii) if we are interested in comparing the performance of fully-coupled, partially-coupled and uncoupled approaches. We prove that the existing CP-based algorithms are asymptotically efficient. Chapter 5 addresses a non-standard estimation problem in which the constraints on the deterministic model parameters involve a random parameter. We show that in this case, the standard CCRB is a non-informative bound. As a result, we introduce a new randomly constrained Cramér-Rao bound (RCCRB). The relevance of the RCCRB is illustrated using a coupled block-termdecomposition model accounting for random uncertainties.; Grâce au développement de nouvelles modalités, de plus en plus de signaux sont collectés chaque jour. Ainsi, il est fréquent que différents signaux renferment des informations sur un même phénomène physique. Cependant, un seul signal peut ne contenir que des informations partielles, d’où l’émergence de la fusion de données multimodales pour dépasser cette limitation. La fusion de données est définie comme le traitement conjoint de signaux issus de différentes modalités. Son but est d’exploiter à plein les capacités de chaque modalité à extraire du savoir sur le phénomène d’intérêt, tout en mettant en lumière des informations supplémentaires issues de la fusion. Cependant, dû aux interactions complexes entre les différentes modalités, dresser un tableau des avantages des modèles de fusion et de leurs limites par rapport au traitement séparé est une tâche complexe. Dans certains domaines tels que l’imagerie biomédicale ou la télédétection, les signaux observés sont des cubes de données appelés tenseurs ; ainsi, il est possible d’envisager des modèles de fusion tensorielle. En effet, la modélisation tensorielle de rang faible permet de préserverla structure des observations tout en jouissant des propriétés d’unicité des décompositions de tenseurs. Dans cette thèse, on s’intéresse à un problème de reconstruction d’un tenseur à haute résolution à partir d’observations tensorielles faiblement résolues. En particulier, le problème desuper-résolution hyperspectrale (HSR) vise à reconstruire un tenseur à partir de deux versions dégradées : tandis que l’une est faiblement résolue dans deux modes spatiaux, la seconde est faiblement résolue dans le troisième mode spectral. Des approches tensorielles ont été récemmentproposées, sous l’hypothèse d’une décomposition tensorielle de rang faible du tenseur à haute résolution. Les premiers travaux à exploiter cette hypothèse se basent sur la décomposition canonique polyadique (CP) et ont donné lieu à de nombreuses méthodes tensorielles de reconstruction, incluant ce travail.La première partie de cette thèse est dédiée au développement d’algorithmes tensoriels pour le problème HSR. Dans le Chapitre 2, nous proposons une reformulation sous forme d’une décomposition de Tucker couplée, ainsi que deux algorithmes analytiques basés sur la décompositionen valeurs singulières d’ordre supérieur. Les simulations illustrent des performances compétitives au regard des méthodes de l’état de l’art, avec un temps de calcul réduit. Le Chapitre 3 utilise un modèle de variabilité spectrale. Le problème de reconstruction est reformulé grâce une décomposition bloc-termes. Les facteurs de la décomposition sont contraints à être positifs afin de garantir leur interprétabilité physique dans un modèle de mélange. Ainsi, cette approche propose une solution conjointe au problème HSR et au problème de démélange spectral.La seconde partie de cette thèse consiste en l’étude des performances statistiques des modèles tensoriels couplés. Cette partie vise à évaluer l’efficacité de certains algorithmes présentés dans la première partie. Dans le Chapitre 4, on considère les bornes de Cramér-Rao sous contraintes(CCRB) pour des modèles CP couplés. L’expression de la matrice d’information de Fisher est fournie dans deux scénarios, selon que i) l’on considère le problème de reconstruction totalement couplé seulement, ou ii) l’on cherche à comparer les performances des modèles totalement couplé,partiellement couplé et découplé. L’efficacité asymptotique des algorithmes CP existants est également illustrée. Le Chapitre 5 considère un problème d’estimation non-standard dans lequel les contraintes sur les paramètres déterministes du modèle impliquent un paramètre aléatoire.Dans ce contexte, la CCRB standard est non-informative. De fait, on introduit une nouvelle borne de Cramér-Rao sous contraintes aléatoires (RCCRB). Son intérêt est illustré au moyen d’un modèle bloc-termes couplé avec incertitudes.

Hyperspectral imaging refers to the acquisition of spatial images at many spectral bands, e.g. in microscopy. Processing such data is often challenging due to the blur caused by the observation system, mathematically expressed as a convolution. The operation of deconvolution is thus necessary to restore the original image. Image restoration falls into the class of inverse problems, as opposed to the direct problem which consists in modeling the image degradation process, treated in part 1 of the thesis. Another inverse problem with many applications in hyperspectral imaging consists in extracting the pure materials making up the image, called endmembers, and their fractional contribution to the data or abundances. This problem is termed spectral unmixing and its resolution accounts for the nonnegativity of the endmembers and abundances. Part 2 presents algorithms designed to efficiently solve the hyperspectral image restoration problem, formulated as the minimization of a composite criterion. The methods are based on a common framework allowing to account for several a priori assumptions on the solution, including a nonnegativity constraint and the preservation of edges in the image. The performance of the proposed algorithms are demonstrated on fluorescence confocal images of bacterial biosensors. Part 3 deals with the spectral unmixing problem from a geometrical viewpoint. A sufficient condition on abundance coefficients for the identifiability of endmembers is proposed. We derive and study a joint observation model and mixing model and demonstrate the interest of performing deconvolution as a prior step to spectral unmixing on confocal Raman microscopy data, L'imagerie hyperspectrale consiste à acquérir une scène spatiale à plusieurs longueurs d'onde, e.g. en microscopie. Cependant, lorsque l'image est observée à une résolution suffisamment fine, elle est dégradée par un flou (convolution) et une procédure de déconvolution doit être utilisée pour restaurer l'image originale. Ce problème inverse, par opposition au problème direct modélisant la dégradation de l'image observée, est étudié dans la première partie . Un autre problème inverse important en imagerie, la séparation de sources, consiste à extraire les spectres des composants purs de l'image (sources) et à estimer les contributions de chaque source à l'image. La deuxième partie propose des contributions algorithmiques en restauration d'images hyperspectrales. Le problème est formulé comme la minimisation d'un critère pénalisé et résolu à l'aide d'une structure de calcul rapide. La méthode est adaptée à la prise en compte de différents a priori sur l'image, tels que sa positivité ou la préservation des contours. Les performances des techniques proposées sont évaluées sur des images de biocapteurs bactériens en microscopie confocale de fluorescence. La troisième partie est axée sur le problème de séparation de sources, abordé dans un cadre géométrique. Nous proposons une nouvelle condition suffisante d'identifiabilité des sources à partir des coefficients de mélange. Une étude innovante couplant le modèle d'observation avec le mélange de sources permet de montrer l'intérêt de la déconvolution comme étape préliminaire de la séparation. Ce couplage est validé sur des données acquises en spectroscopie Raman

Hyperspectral imaging refers to the acquisition of spatial images at enough spectral bands to produce highly resolved pixel spectra. When applied to microscopy, this technique allows to collect additional information about the specimens of interest. Processing hyperspectral data is often challenging due to the blurring caused by the observation system, mathematically expressed as a convolution. The operation of deconvolution is thus necessary to restore the original image from the observations. Image restoration falls into the class of inverse problems, as opposed to the direct problem which consists in modeling the image degradation process, treated in part 1 of the thesis. Another inverse problem with many applications in hyperspectral imaging consists in extracting the pure materials making up the image, called endmembers, and their fractional contribution to the data or abundances. This problem is termed spectral unmixing and its resolution accounts for the nonnegativity of the endmembers and abundances. Part 2 presents algorithms designed to efficiently solve the hyperspectral image restoration problem, formulated as the minimization of a composite criterion. The methods are based on a common framework allowing to account for several a priori assumptions on the solution, including a nonnegativity constraint and the preservation of edges in the image. The performance of the proposed algorithms are demonstrated on fluorescence confocal images of bacterial biosensors. Part 3 deals with the spectral unmixing problem from a geometrical viewpoint. A sufficient condition on abundance coefficients for the identifiability of endmembers is proposed. We derive and study a joint observation model and mixing model and demonstrate the interest of performing deconvolution as a prior step to spectral unmixing on confocal Raman microscopy data., L'imagerie hyperspectrale consiste à acquérir une scène spatiale à plusieurs longueurs d'onde, de manière à reconstituer le spectre des pixels. Cette technique est utilisée en microscopie pour extraire des informations spectrales sur les spécimens observés. L'analyse de telles données est bien souvent difficile : lorsque l'image est observée à une résolution suffisamment fine, elle est dégradée par l'instrument (flou ou convolution) et une procédure de déconvolution doit être utilisée pour restaurer l'image originale. On parle ainsi de problème inverse, par opposition au problème direct consistant à modéliser la dégradation de l'image observée, étudié dans la première partie de la thèse. Un autre problème inverse important en imagerie consiste à extraire les signatures spectrales des composants purs de l'image ou sources et à estimer les contributions fractionnaires de chaque source à l'image. Cette procédure est qualifiée de séparation de sources, accomplie sous contrainte de positivité des sources et des mélanges. La deuxième partie propose des contributions algorithmiques en restauration d'images hyperspectrales. Le problème de déconvolution est formulé comme la minimisation d'un critère pénalisé et résolu à l'aide d'une structure de calcul rapide. Cette méthode générique est adaptée à la prise en compte de différents a priori sur la solution, tels que la positivité de l'image ou la préservation des contours. Les performances des techniques proposées sont évaluées sur des images de biocapteurs bactériens en microscopie confocale de fluorescence. La troisième partie de la thèse est axée sur la problématique de séparation de sources, abordé dans un cadre géométrique. Nous proposons une nouvelle condition suffisante d'identifiabilité des sources à partir des coefficients de mélange. Une étude innovante couplant le modèle d'observation instrumental avec le modèle de mélange de sources permet de montrer l'intérêt de la déconvolution comme étape préliminaire de la séparation. Ce couplage est validé sur des données acquises en microscopie confocale Raman.

This thesis aims at the developpement of modal analysis algorithms for multidimensional signals (R-D) presenting resolution and numerical complexity problems. A multidimensional signal of dimension R is the superimposition of products of R monodimensional sinusoids. The intended application is NMR spectroscopy. Firstly, after a state-of-the-art on the so-called ''algebraic'' estimation methods, we propose a parametric method based on tensors. It uses the multidimensional tensor lattice of the R-D modal signal and exploits the eigenvectors structure of the signal subspace obtained using a higher-order singular value decomposition (HOSVD). Unlike most tensor-based eigenvalue approaches, modes estimated by the proposed method are automatically paired, thus it avoids a separate pairing step and joint diagonalization. Secondly, the multidimensional modal estimation problem is formulated as a sparse approximation problem in which the dictionary is obtained by the discretization of complex exponential functions. To achieve good spectral resolution, it is necessary to choose a very fine grid, which leads to handling a large dictionary with all the underlying computational problems. Hence, we propose a novel method that consists in combining a sparse approximation and a multigrid approach on several levels of resolution. The approach is demonstrated using several 1-D and 2-D examples. In addition, the influence of the initial dictionary on the algorithm convergence is also studied. The developed methods are then applied to estimate 1-D and 2-D NMR signal parameters. To reduce the computation cost in the case of large bidimensional signals, we also propose an approach exploiting the simultaneous sparsity principle to estimate the coordinates of the modes on each dimension. The procedure involves two 1-D sparse approximations followed by a 2-D modes painring step., La thèse porte sur le développement d'algorithmes d'estimation rapides pour l'analyse modale de signaux multidimensionnels (R-D) présentant des problèmes de résolution et de complexité numérique. Un signal multidimensionnel de dimension R est la superposition de produits de R sinusoïdes. L'application visée est la spectroscopie RMN.Dans un premier temps, après un état de l'art des méthodes d'estimation dites « algébriques », nous proposons une méthode paramétrique basée sur les tenseurs. Celle-ci utilise le treillis multidimensionnel du tenseur du signal R-D et exploite la structure des vecteurs propres du sous-espace signal obtenus en utilisant la décomposition en valeurs singulières d'ordre supérieur. Contrairement à la plupart des approches tensorielles, la méthode proposée permet d'éviter la phase d'appariement des coordonnées des modes dans chacune des dimensions ou d'une diagonalisation conjointe. Dans un deuxième temps, le problème d'estimation modale multidimensionnelle est présenté comme un problème d'approximation parcimonieuse dans lequel le dictionnaire est obtenu par la discrétisation de fonctions exponentielles complexes. Afin d'atteindre une bonne résolution spectrale, il est nécessaire de choisir une grille très fine, ce qui conduit à la manipulation d'un dictionnaire de grande taille avec tous les problèmes calculatoires sous-jacents. Nous proposons alors une méthode originale qui consiste à combiner une approximation parcimonieuse et une approche multigrille sur plusieurs niveaux de résolution. L'approche est validée au travers de plusieurs exemples 1-D et 2-D. En outre, une étude sur l'influence du choix du dictionnaire initial sur la convergence est également menée. Les méthodes développées sont ensuite appliquées à l'estimation des paramètres de signaux de spectroscopie RMN 1-D et 2-D. Afin de réduire le coût de calcul dans le cas de signaux bidimensionnels de grande taille, nous proposons également une approche exploitant la notion de parcimonie simultanée, pour estimer les coordonnées des modes sur chacune des dimensions. La procédure consiste à effectuer deux approximations parcimonieuses 1-D suivies d'une phase de reformation des paires de modes 2-D