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In this PhD thesis, our aim is to establish a general methodology for performing the segmentation of a dataset constituted of similar images with only a few annotated images as training examples. This methodology is directly intended to be applied to images gathered in Earth observation or materials science applications, for which there is not enough annotated examples to train state-of-the-art deep learning based segmentation algorithms. The proposed methodology starts from a superpixel partition of the image and gradually merges the initial regions until anactual segmentation is obtained. The two main contributions described in this PhD thesis are the development of a new superpixel algorithm which makes use of the Eikonal equation, and the development of a superpixel merging algorithm steaming from the adaption of the Eikonal equation to the setting of graphs. The superpixels merging approach makes use of a region adjacency graph computed from the superpixel partition. The edges are weighted by a dissimilarity measure learned by a machine learning algorithm from low-level cues computed on the superpixels. In terms of application, our approach to image segmentation is finally evaluated on the SWIMSEG dataset, a dataset which contains sky cloud images. On this dataset, using only a limited amount of images for training our algorithm, we were able to obtain segmentation results similar to the ones obtained with state-of-the-art algorithms.; La présente thèse vise à développer une méthodologie générale basée sur des méthodes d’apprentissage pour effectuer la segmentation d’une base de données constituée d’images similaires, à partir d’un nombre limité d’exemples d’entraînement. Cette méthodologie est destinée à être appliquée à des images recueillies dans le cadre d’observations de la terre ou lors d’expériences menées en science des matériaux, pour lesquelles il n’y a pas suffisamment d’exemples d’entraînement pour appliquer des méthodes basées sur des techniques d’apprentissage profond. La méthodologie proposée commence par construire une partition de l’image en superpixels, avant de fusionner progressivement les différents superpixels obtenus jusqu’à l’obtention d’une segmentation valide. Les deux principales contributions de cette thèse sont le développement d’un nouvel algorithme de superpixel basé sur l’équation eikonale, et le développement d’un algorithme de fusion de superpixels basé sur une adaptation de l’équation eikonale au contexte des graphes. L’algorithme de fusion des superpixels s’appuie sur un graphe d’adjacence construit à partir de la partition en superpixels. Les arêtes de ce graphe sont valuées par une mesure de dissimilarité prédite par un algorithme d’apprentissage à partir des caractéristiques de bas niveau calculées sur les superpixels. A titre d’application, l’approche de segmentation est évaluée sur la base de données SWIMSEG, qui contient des images de nuages. Pour cette base de données, avec un nombre limité d’images d’entraînement, nous obtenons des résultats de segmentation similaires à ceux de l’état de l’art.

Since the 80's optical mapping has become an important tool for the study and the understanding of cardiac arythmias. This experiment allows the visualization of fluorescence fluxes through tissue surface. The fluorescence is directly related to the transmembrane potential. Information about its three-dimension distribution is hidden in the data on the surfaces. Our aim is to exploit this surface measurements to reconstruct the depolarization front in the thickness. For that purpose we developed a method based on the resolution of an inverse problem. The forward problem is made of two diffusion equations and the parametrization of the wavefront. The inverse problem resolution enables the identification of the front characteristics. The method has been tested on in silico data with different ways to parameter the front (expanding sphere, eikonal equation). The obtained results are very satisfying, and compared to a method derived by Khait et al. [1]. Moving to experimental data put in light an incoherence in the model. We detail the possible causes we explored to improve the model : constant illumination, optical parameters, accuracy of the diffusion approximation. Several inverse problems are considered in this manuscript, that involves several cost functions and associated gradients. For each case, the calculation of the gradient is explicit, often with the gradient method. The presented method was also applied on data other than cardiac optical mapping.; Depuis les années 80 la cartographie optique est devenu un outil important pour l'étude et la compréhension des arythmies cardiaques. Cette expérience permet la visualisation de flux de fluorescence à la surface du tissu ; fluorescence qui est directement liée au potentiel transmembranaire. Dans les observations en surface se cachent des informations sur la distribution en trois dimensions de ce potentiel. Nous souhaitons exploiter ces informations surfaciques afin de reconstruire le front de dépolarisation dans l'épaisseur. Pour cela nous avons développé une méthode basée sur la résolution d'un problème inverse. Le modèle direct est composée de deux équations de diffusion et d'une paramétrisation du front de dépolarisation. La résolution du problème inverse permet l'identification des caractéristiques du front. La méthode a été testée sur des données in silico avec différentes manières de caractériser le front (sphère qui croît au cours du temps, équation eikonale). Les résultats obtenus sont très satisfaisants et comparés à une méthode développée par Khait et al. [1]. Le passage à l'étude sur données expérimentales a mis en évidence un problème au niveau du modèle. Nous détaillons ici les pistes explorées pour améliorer le modèle : illumination constante, paramètres optiques, précision de l'approximation de diffusion. Plusieurs problèmes inverses sont considérés dans ce manuscrit, ce qui implique plusieurs fonctionnelles à minimiser et plusieurs gradients associés. Pour chaque cas, le calcul du gradient est explicité, le plus souvent par la méthode de l'adjoint. La méthode développée a aussi été appliquée à des données autres que la cartographie optique cardiaque.

Since the 80's optical mapping has become an important tool for the study and the understanding of cardiac arythmias. This experiment allows the visualization of fluorescence fluxes through tissue surface. The fluorescence is directly related to the transmembrane potential. Information about its three-dimension distribution is hidden in the data on the surfaces. Our aim is to exploit this surface measurements to reconstruct the depolarization front in the thickness. For that purpose we developed a method based on the resolution of an inverse problem. The forward problem is made of two diffusion equations and the parametrization of the wavefront. The inverse problem resolution enables the identification of the front characteristics. The method has been tested on in silico data with different ways to parameter the front (expanding sphere, eikonal equation). The obtained results are very satisfying, and compared to a method derived by Khait et al. [1]. Moving to experimental data put in light an incoherence in the model. We detail the possible causes we explored to improve the model : constant illumination, optical parameters, accuracy of the diffusion approximation. Several inverse problems are considered in this manuscript, that involves several cost functions and associated gradients. For each case, the calculation of the gradient is explicit, often with the gradient method. The presented method was also applied on data other than cardiac optical mapping., Depuis les années 80 la cartographie optique est devenu un outil important pour l'étude et la compréhension des arythmies cardiaques. Cette expérience permet la visualisation de flux de fluorescence à la surface du tissu ; fluorescence qui est directement liée au potentiel transmembranaire. Dans les observations en surface se cachent des informations sur la distribution en trois dimensions de ce potentiel. Nous souhaitons exploiter ces informations surfaciques afin de reconstruire le front de dépolarisation dans l'épaisseur. Pour cela nous avons développé une méthode basée sur la résolution d'un problème inverse. Le modèle direct est composée de deux équations de diffusion et d'une paramétrisation du front de dépolarisation. La résolution du problème inverse permet l'identification des caractéristiques du front. La méthode a été testée sur des données in silico avec différentes manières de caractériser le front (sphère qui croît au cours du temps, équation eikonale). Les résultats obtenus sont très satisfaisants et comparés à une méthode développée par Khait et al. [1]. Le passage à l'étude sur données expérimentales a mis en évidence un problème au niveau du modèle. Nous détaillons ici les pistes explorées pour améliorer le modèle : illumination constante, paramètres optiques, précision de l'approximation de diffusion. Plusieurs problèmes inverses sont considérés dans ce manuscrit, ce qui implique plusieurs fonctionnelles à minimiser et plusieurs gradients associés. Pour chaque cas, le calcul du gradient est explicité, le plus souvent par la méthode de l'adjoint. La méthode développée a aussi été appliquée à des données autres que la cartographie optique cardiaque.

Ce mémoire présente mes travaux de recherche effectués après ma thèse, entre 2002 et 2008. Les thèmes principaux sont les équations aux dérivées partielles non-linéaires et des problèmes d'évolutions de fronts ou d'interfaces. Il est organisé en trois chapitres.Le premier chapitre concerne l'évolution de fronts avec une vitesse normale prescrite. Pour étudier ce genre de problème, une première approche, dite par lignes de niveaux, consiste àreprésenter le front comme une ligne de niveau d'une fonction auxiliaire u. Cette approche ramène l'étude du problème d'évolution géométrique à un problème d'EDP puisque u vérifie une équation de Hamilton-Jacobi. Quelques résultats dans le cas de vitesses locales comme la courbure moyenne sont présentés mais la majorité des résultats concerne le cas de vitesses non-locales décrivant la dynamique des dislocations dans un cristal ou modélisant l'asymptotique d'un système de FitzHugh-Nagumo apparaissant en biologie. Une approche différente, basée sur des solutions de viscosité géométriques, est utilisée pour étudier des problèmes de propagation de fronts apparaissant en optimisation de formes. Le but est de trouver un ensemble optimal minimisant une énergie du type capacité à volume ou périmètre constant. L'idée est de déformer le bord d'un ensemble donné avec une vitesse normale adéquate de manière à diminuer au plus son énergie. La mise en oeuvre de cette idée nécessite la construction rigoureuse d'une telle évolution pour tout temps et la preuve de la convergence vers une solution du problème initial. De plus, la décroissance de l'énergie est obtenue le long du flot.Le deuxième chapitre décrit des résultats d'unicité, d'existence et d'homogénéisation pour des équations de Hamilton-Jacobi-Bellman. La majeure partie du travail effectué concerne des équations provenant de problèmes de contrôle stochastique avec des contrôles non-bornés. Les équations comportent alors des termes quadratiques par rapport au gradient et les solutions étudiées sont elles-mêmes à croissance quadratique. Des liens entre ces solutions et les fonctions valeurs des problèmes de contrôle correspondants sont établis. La seconde partie est consacrée à un théorème d'homogénéisation pour un système d'équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre.Le troisième et dernier chapitre traite d'un sujet un peu à part, à savoir le lien entre les flots de gradient et l'inégalité de Lojasiewicz. La principale originalité de ce travail est de placer l'étude dans un cadre hilbertien pour des fonctions semiconvexes, ce qui sort du cadre de l'inégalité de Lojasiewicz classique. Le principal théorème produit des caractérisations de cette inégalité. Les résultats peuvent être précisés dans le cas des fonctions convexes ; en particulier, un contre-exemple de fonction convexe ne vérifiant pas l'inégalité de Lojasiewicz est construit. Cette dernière inégalité est reliée à la longueur des trajectoires de gradient. Une borne de cette longueur est obtenue pour les fonctions convexes coercives en dimension deux même lorsque cette inégalité n'est pas vérifiée.

Ce mémoire présente mes travaux de recherche effectués après ma thèse, entre 2002 et 2008. Les thèmes principaux sont les équations aux dérivées partielles non-linéaires et des problèmes d'évolutions de fronts ou d'interfaces. Il est organisé en trois chapitres.Le premier chapitre concerne l'évolution de fronts avec une vitesse normale prescrite. Pour étudier ce genre de problème, une première approche, dite par lignes de niveaux, consiste àreprésenter le front comme une ligne de niveau d'une fonction auxiliaire u. Cette approche ramène l'étude du problème d'évolution géométrique à un problème d'EDP puisque u vérifie une équation de Hamilton-Jacobi. Quelques résultats dans le cas de vitesses locales comme la courbure moyenne sont présentés mais la majorité des résultats concerne le cas de vitesses non-locales décrivant la dynamique des dislocations dans un cristal ou modélisant l'asymptotique d'un système de FitzHugh-Nagumo apparaissant en biologie. Une approche différente, basée sur des solutions de viscosité géométriques, est utilisée pour étudier des problèmes de propagation de fronts apparaissant en optimisation de formes. Le but est de trouver un ensemble optimal minimisant une énergie du type capacité à volume ou périmètre constant. L'idée est de déformer le bord d'un ensemble donné avec une vitesse normale adéquate de manière à diminuer au plus son énergie. La mise en oeuvre de cette idée nécessite la construction rigoureuse d'une telle évolution pour tout temps et la preuve de la convergence vers une solution du problème initial. De plus, la décroissance de l'énergie est obtenue le long du flot.Le deuxième chapitre décrit des résultats d'unicité, d'existence et d'homogénéisation pour des équations de Hamilton-Jacobi-Bellman. La majeure partie du travail effectué concerne des équations provenant de problèmes de contrôle stochastique avec des contrôles non-bornés. Les équations comportent alors des termes quadratiques par rapport au gradient et les solutions étudiées sont elles-mêmes à croissance quadratique. Des liens entre ces solutions et les fonctions valeurs des problèmes de contrôle correspondants sont établis. La seconde partie est consacrée à un théorème d'homogénéisation pour un système d'équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre.Le troisième et dernier chapitre traite d'un sujet un peu à part, à savoir le lien entre les flots de gradient et l'inégalité de Lojasiewicz. La principale originalité de ce travail est de placer l'étude dans un cadre hilbertien pour des fonctions semiconvexes, ce qui sort du cadre de l'inégalité de Lojasiewicz classique. Le principal théorème produit des caractérisations de cette inégalité. Les résultats peuvent être précisés dans le cas des fonctions convexes ; en particulier, un contre-exemple de fonction convexe ne vérifiant pas l'inégalité de Lojasiewicz est construit. Cette dernière inégalité est reliée à la longueur des trajectoires de gradient. Une borne de cette longueur est obtenue pour les fonctions convexes coercives en dimension deux même lorsque cette inégalité n'est pas vérifiée.

First arrival traveltime tomography aims at inferring a seismic wave propagation velocity model from first arrival traveltimes picked on seismograms. The velocity model inferred can be used directly to perform a structural interpretation of the subsurface or as an initial model for another seismic imaging method. This technique can be applied at different scales from geotechnical studies to seismology through oil exploration. The geophysicist know-how plays an important role in the difficult resolution of the nonlinear and ill-posed tomographic problem. Numerous studies have tried to ease and improve this resolution considering a physical or mathematical approach. Within the scope of this work, we wish to develop a pragmatic approach, i.e. we consider that the tomographic problem should be solved using an interactive algorithm whose tuning parameters are clearly identified. The interactive aspect of the algorithm facilitates the acquisition of the tomographic know-how because it allows performing, within a reasonable time, many simulations for different kinds of parameterization. The goal pursued in this work is the definition of a first arrival traveltime tomography algorithm that fulfills these specifications at best. Conventional first arrival traveltime tomography algorithms do not match our criteria of a pragmatic approach. Indeed, their implementation hardly takes benefit of the parallel architecture of current supercomputers in order to reduce the computation times. Moreover, their practical application implies a complex parameterization due to the resolution of the linear tomographic system. All these practical limitations issue from the original formulation of the algorithm based on a Gauss-Newton minimization method. The idea developed in this work is to formulate the resolution of the tomographic problem using a steepest descent method to overcome all these limitations. The key step of this formulation is the computation of the gradient of the misfit function with respect to the model parameters. We use the adjoint state method and a method based on an a posteriori ray tracing to compute this gradient. These two methods differ from their formulation, respectively nonlinear and linearized, and their implementation. Then, we clearly define the parameterization of the new algorithm and validate on a supercomputer its practical properties that are: a direct and efficient parallelization, a memory requirement independent of the amount of input data and a straightforward implementation. Finally, in order to validate the tomographic behaviour of this new algorithm, in terms of obtained results and stability, we present tomography results for 2-D and 3-D, synthetics and real, marine and land, seismic refraction acquisitions. A great number of simulations have been carried out thanks to the fast execution time of the algorithm, typically few minutes for 2-D simulations.; La tomographie des temps de première arrivée cherche à estimer un modèle de vitesse de propagation des ondes sismiques à partir des temps de première arrivée pointés sur les sismogrammes. Le modèle de vitesse obtenu peut alors permettre une interprétation structurale du milieu ou bien servir de modèle initial pour d'autres traitements de l'imagerie sismique. Les domaines d'application de cette méthode s'étendent, à des échelles différentes, de la géotechnique à la sismologie en passant par la géophysique pétrolière. Le savoir-faire du géophysicien joue un rôle important dans la difficile résolution du problème tomographique non-linéaire et mal posé. De nombreuses recherches ont entrepris de faciliter et d'améliorer cette résolution par des approches mathématique ou physique. Dans le cadre de ce travail, nous souhaitons développer une approche pragmatique, c'est-à-dire que nous considérons que le problème tomographique doit être résolu par un algorithme interactif dont les paramètres de réglage sont clairement définis. L'aspect interactif de l'algorithme facilite l'acquisition du savoir-faire tomographique car il permet de réaliser, dans un temps raisonnable, de nombreuses simulations pour des paramétrisations différentes. Le but poursuivi dans cette thèse est de définir, pour le cas spécifique de la tomographie des temps de première arrivée, un algorithme qui réponde au mieux à ces critères. Les algorithmes de tomographie des temps de première arrivée classiquement mis en oeuvre aujourd'hui ne répondent pas à nos critères d'une approche pragmatique. En effet, leur implémentation ne permet pas d'exploiter l'architecture parallèle des supercalculateurs actuels pour réduire les temps de calcul. De plus, leur mise en oeuvre nécessite une paramétrisation rendue complexe du fait de la résolution du système linéaire tomographique. Toutes ces limitations pratiques sont liées à la formulation même de l'algorithme à partir de la méthode de Gauss- Newton. Cette thèse repose sur l'idée de formuler la résolution du problème tomographique à partir de la méthode de plus grande descente pour s'affranchir de ces limitations. L'étape clé de cette formulation réside dans le calcul du gradient de la fonction coût par rapport aux paramètres du modèle. Nous utilisons la méthode de l'état adjoint et une méthode définie à partir d'un tracé de rais a posteriori pour calculer ce gradient. Ces deux méthodes se distinguent par leur formulation, respectivement non-linéaire et linéarisée, et par leur mise en oeuvre pratique. Nous définissons ensuite clairement la paramétrisation du nouvel algorithme de tomographie et validons sur un supercalculateur ses propriétés pratiques : une parallélisation directe et efficace, une occupation mémoire indépendante du nombre de données observées et une mise en œuvre simple. Finalement, nous présentons des résultats de tomographie pour des acquisitions de type sismique réfraction, 2-D et 3-D, synthétiques et réelles, marines et terrestres, qui valident le bon comportement de l'algorithme, en termes de résultats obtenus et de stabilité. La réalisation d'un grand nombre de simulations a été rendue possible par la rapidité d'exécution de l'algorithme, de l'ordre de quelques minutes en 2-D.

First arrival traveltime tomography aims at inferring a seismic wave propagation velocity model from first arrival traveltimes picked on seismograms. The velocity model inferred can be used directly to perform a structural interpretation of the subsurface or as an initial model for another seismic imaging method. This technique can be applied at different scales from geotechnical studies to seismology through oil exploration. The geophysicist know-how plays an important role in the difficult resolution of the nonlinear and ill-posed tomographic problem. Numerous studies have tried to ease and improve this resolution considering a physical or mathematical approach. Within the scope of this work, we wish to develop a pragmatic approach, i.e. we consider that the tomographic problem should be solved using an interactive algorithm whose tuning parameters are clearly identified. The interactive aspect of the algorithm facilitates the acquisition of the tomographic know-how because it allows performing, within a reasonable time, many simulations for different kinds of parameterization. The goal pursued in this work is the definition of a first arrival traveltime tomography algorithm that fulfills these specifications at best. Conventional first arrival traveltime tomography algorithms do not match our criteria of a pragmatic approach. Indeed, their implementation hardly takes benefit of the parallel architecture of current supercomputers in order to reduce the computation times. Moreover, their practical application implies a complex parameterization due to the resolution of the linear tomographic system. All these practical limitations issue from the original formulation of the algorithm based on a Gauss-Newton minimization method. The idea developed in this work is to formulate the resolution of the tomographic problem using a steepest descent method to overcome all these limitations. The key step of this formulation is the computation of the gradient of the misfit function with respect to the model parameters. We use the adjoint state method and a method based on an a posteriori ray tracing to compute this gradient. These two methods differ from their formulation, respectively nonlinear and linearized, and their implementation. Then, we clearly define the parameterization of the new algorithm and validate on a supercomputer its practical properties that are: a direct and efficient parallelization, a memory requirement independent of the amount of input data and a straightforward implementation. Finally, in order to validate the tomographic behaviour of this new algorithm, in terms of obtained results and stability, we present tomography results for 2-D and 3-D, synthetics and real, marine and land, seismic refraction acquisitions. A great number of simulations have been carried out thanks to the fast execution time of the algorithm, typically few minutes for 2-D simulations.; La tomographie des temps de première arrivée cherche à estimer un modèle de vitesse de propagation des ondes sismiques à partir des temps de première arrivée pointés sur les sismogrammes. Le modèle de vitesse obtenu peut alors permettre une interprétation structurale du milieu ou bien servir de modèle initial pour d'autres traitements de l'imagerie sismique. Les domaines d'application de cette méthode s'étendent, à des échelles différentes, de la géotechnique à la sismologie en passant par la géophysique pétrolière. Le savoir-faire du géophysicien joue un rôle important dans la difficile résolution du problème tomographique non-linéaire et mal posé. De nombreuses recherches ont entrepris de faciliter et d'améliorer cette résolution par des approches mathématique ou physique. Dans le cadre de ce travail, nous souhaitons développer une approche pragmatique, c'est-à-dire que nous considérons que le problème tomographique doit être résolu par un algorithme interactif dont les paramètres de réglage sont clairement définis. L'aspect interactif de l'algorithme facilite l'acquisition du savoir-faire tomographique car il permet de réaliser, dans un temps raisonnable, de nombreuses simulations pour des paramétrisations différentes. Le but poursuivi dans cette thèse est de définir, pour le cas spécifique de la tomographie des temps de première arrivée, un algorithme qui réponde au mieux à ces critères. Les algorithmes de tomographie des temps de première arrivée classiquement mis en oeuvre aujourd'hui ne répondent pas à nos critères d'une approche pragmatique. En effet, leur implémentation ne permet pas d'exploiter l'architecture parallèle des supercalculateurs actuels pour réduire les temps de calcul. De plus, leur mise en oeuvre nécessite une paramétrisation rendue complexe du fait de la résolution du système linéaire tomographique. Toutes ces limitations pratiques sont liées à la formulation même de l'algorithme à partir de la méthode de Gauss- Newton. Cette thèse repose sur l'idée de formuler la résolution du problème tomographique à partir de la méthode de plus grande descente pour s'affranchir de ces limitations. L'étape clé de cette formulation réside dans le calcul du gradient de la fonction coût par rapport aux paramètres du modèle. Nous utilisons la méthode de l'état adjoint et une méthode définie à partir d'un tracé de rais a posteriori pour calculer ce gradient. Ces deux méthodes se distinguent par leur formulation, respectivement non-linéaire et linéarisée, et par leur mise en oeuvre pratique. Nous définissons ensuite clairement la paramétrisation du nouvel algorithme de tomographie et validons sur un supercalculateur ses propriétés pratiques : une parallélisation directe et efficace, une occupation mémoire indépendante du nombre de données observées et une mise en œuvre simple. Finalement, nous présentons des résultats de tomographie pour des acquisitions de type sismique réfraction, 2-D et 3-D, synthétiques et réelles, marines et terrestres, qui valident le bon comportement de l'algorithme, en termes de résultats obtenus et de stabilité. La réalisation d'un grand nombre de simulations a été rendue possible par la rapidité d'exécution de l'algorithme, de l'ordre de quelques minutes en 2-D.