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Os escoamentos bifásicos são amplamente encontrados nas mais diversas aplicações práticas, tais como sistemas de refrigeração, reatores nucleares, refinarias de petróleo, unidades de geração de energia e muitas outras. Entre os equipamentos que empregam os escoamentos bifásicos, vêm ganhando cada vez mais destaque os dispositivos microfluídicos. Esses dispositivos possuem dimensões da ordem de alguns mícrons e são empregados em diferentes ramos da indústria (farmacêutica, eletrônica, cosmética, médica, etc.). Nesse contexto, destacase a importância de se estudar as características dos escoamentos bifásicos e os processos neles envolvidos, como, por exemplo, a formação, a ruptura e a coalescência de gotas/bolhas. O presente trabalho tem como objetivo estudar o escoamento de uma gota em um microcanal bidimensional com junção em formato de T. Investiga-se o comportamento da gota na junção e os regimes de ruptura ou não-ruptura da gota, assim como a influência que parâmetros como o número de capilaridade e o comprimento da gota exercem sobre seu escoamento. O estudo é conduzido por meio de simulações numéricas realizadas no software comercial COMSOL Multiphysics®, o qual emprega o Método dos Elementos Finitos para discretizar as equações governantes de um fenômeno físico. O Método Campo de Fase, disponível no COMSOL, é utilizado para representar a interface entre a fase contínua e a fase dispersa do escoamento bifásico. Além disso, são aplicadas técnicas de refinamento local e de refinamento adaptativo da malha computacional em regiões de maior interesse do domínio, como as paredes e a interface entre os fluidos, a fim de melhorar a precisão da solução numérica. Foram estudados diferentes casos, cada qual com uma combinação de número de capilaridade e de comprimento da gota no momento que ela atinge a bifurcação em T. Obteve-se dados como o regime de ruptura da gota e a evolução temporal da espessura mínima do pescoço da gota na junção. Todos os resultados foram comparados com resultados presentes na literatura, a fim de se validar a metodologia empregada. Por fim, constatou-se que os resultados numéricos obtidos apresentaram uma boa concordância com a literatura de referência. Two-phase flows are widely found in the most diverse practical applications, such as refrigeration systems, nuclear reactors, oil refineries, power generation units and many others. Among the equipment employing two-phase flows, microfluidic devices have been gaining more prominence lately. These devices have dimensions on the order of a few microns and are used in different branches of industry (pharmaceutical, electronics, cosmetics, medical, etc.). In this context, the importance of studying the characteristics of two-phase flows is highlighted, as well as the processes involved in them, such as the formation, breakup and coalescence of droplets/bubbles. This work aims to study the flow of a droplet in a two-dimensional microchannel with a T-shaped junction. The behavior of the droplet at the junction and the breakup or non-breakup regimes of the droplet are investigated, as well as the influence of parameters such as capillary number and droplet length on its flow. The study is conducted by means of numerical simulations performed in the commercial software COMSOL Multiphysics®, which uses the Finite Element Method to discretize the governing equations of a physical phenomenon. The Phase Field Method, available in COMSOL, is used to represent the interface between the continuous phase and the dispersed phase of the two-phase flow. In addition, local mesh refinement and adaptive mesh refinement techniques are applied in regions of greater interest in the domain, such as the walls and the interface between the fluids, in order to improve the accuracy of the numerical solution. Different cases were studied, each with a combination of capillary number and droplet length as it reaches the T-junction. Data such as the droplet breakup regime and the temporal evolution of the minimum thickness of the droplet neck at the junction were obtained. All results were compared with results present in the literature, in order to validate the methodology used. Finally, it was found that the numerical results obtained were in good agreement with the literature.

O desenvolvimento de técnicas adequadas para extração eficiente de óleo de reservatórios de petróleo passa pela simulação precisa de tais fenômenos, que é alcançada através do estudo de modelos matemáticos e métodos computacionais robustos, eficientes e precisos. Neste contexto, este trabalho visa o estudo de métodos numéricos para a simulação de escoamentos bifásicos em meios porosos heterogêneos. Para tanto, propomos uma abordagem numérica do tipo staggered para estes modelos, que se baseia na aproximação de forma desacoplada dos sistemas de equações diferenciais parciais referentes aos problemas de Darcy e da saturação das fases. Dessa forma, podem ser empregados métodos numéricos específicos para cada sistema, que melhor se adequem às suas caractrerísticas. Assim, propomos o estudo de métodos de elementos finitos mistos, estáveis e estabilizados, clássicos e híbridos e localmente conservativos para o cômputo da velocidade da mistura e de um método de volumes finitos não-oscilatório de alta ordem, baseado em esquemas centrais, para a equação hiperbólica não-linear que governa o transporte da saturação das fases. Resultados numéricos comprovam a flexibilidade, a taxa de convergência e o custo computacional dos métodos adotados, além de demonstrar a eficácia dos métodos quando aplicados a simulação de problemas associados a extração de petróleo em cenários fortemente heterogêneos. The development of techniques for efficient oil extraction from reservoirs passes through the simulation of such phenomena, which is achieved by the study of mathematical models and robust, precise and efficient computational methods. This dissertation studies methods for the simulation of two-phase flows in heterogeneous porous media. To do so, we propose a “staggered” numerical approach for the numerical methods, that is based on the approximation of uncoupled systems of differential equations related to Darcy’s problems and saturation of the phases. Then, appropriate methods for each system, that best suit its characteristics can be applied. Therefore, we propose studying locally conservative finite element methods, stable and stabilized, classical and hybrid to approximate the velocity field and a non-oscillatory high order finite volume method, based on central schemes, to approximate the non-linear hyperbolic equation that governs the transport of phases. Numerical results attest to the flexibility, convergence rate and computational cost of the adopted methods, and demonstrate the effectiveness of such methods when applied to oil extraction in various heterogeneous porous media scenarios.

Submitted by Aglair Aguiar (aglair@ct.ufrj.br) on 2018-12-06T16:13:20Z No. of bitstreams: 1 867659.pdf: 3057291 bytes, checksum: 5f2f171676c6a1f641752809e49105c9 (MD5) Made available in DSpace on 2018-12-06T16:13:20Z (GMT). No. of bitstreams: 1 867659.pdf: 3057291 bytes, checksum: 5f2f171676c6a1f641752809e49105c9 (MD5) Previous issue date: 2017-07 Investiga as propriedades globais e locais de um escoamento gás-líquido horizontal em regime pistonado, para três tipos de fluidos reofluidificantes. Para a realização deste trabalho foi montado o aparato experimental, que foi testado inicialmente para validação com escoamentos ar-água. Foram preparados diferentes fluidos de trabalho para cada ensaio experimental e conduziu-se extensa campanha de medições. As características do escoamento bifásico, como o comprimento e a velocidade das bolhas longas, o comprimento do pistão líquido e o seu grau de radiação foram medidos com uma câmera de alta velocidade através da técnica de Dimensionamento de Bolhas por Sombras (Shadow Size). O campo de velocidades da fase líquida foi medido através de Velocimetria por Imagem de Partículas. As características reológicas do fluido foram quantificadas por meio de ensaios em reômetro rotacional no início e ao final de cada ensaio experimental. Em adição, para cada teste foram medidas também a distribuição de pressão ao longo da tubulação de 12m de comprimento e as vazões de gás e de líquido na entrada da tubulação. Todas estas propriedades das fases líquida e gasosa foram quantificadas para três vazões de gás e três vazões de líquido distintas. O objetivo final desta dissertação reside em analisar a influência das características reológicas da fase líquida no comportamento do escoamento bifásico pistonado. Os resultados serão utilizados para validar modificações de modelos mecanicistas para a previsão de propriedades globais e locais de escoamentos bifásicos. Investigate the local and global properties of a horizontal gas-liquid slug flow, in three different shear-thinning fluids. To do so, an experimental testing bench was assembled and validated using an air-water slug flow. Three different working fluids where prepared to be used in the testing section, where an extensive experimental measurement campaign was carried out. The main characteristics of the biphasic flow, such as bubbles length and velocity, slug length and aeration level where measured with a high speed camera through Shadow Sizer technic. The velocity field of the liquid phase was measured using Particle Image Velocimetry (PIV). The fluids rheological properties where quantified using a rotational rheometer in the beginning and at the end of each experiment. In addition, to each test, the pressure distribution was measured through the 12m long acrilic pipe, varying the gas and liquids flow rates. All this properties of liquid and gas phases where quantified for three gas and liquid flow rates, totalizing 9 different conditions for each fluid. Properties of the monophasic liquid flow where also evaluated for all fluids. The main objective of this work is to analyze the influence of liquid phase rheological characteristics in slug flow behavior. The experimental results will be used to validate literature modifications to the mechanistic models used in slug flow local and global properties prediction.

The present work proposes to extend the IMERSPEC methodology to solve two-phase flows. This methodology based on the coupling of Fourier psedospectral method (FPSM) and immersed boundary method (IBM). The main features of the FPSM are the high rate of numerical convergence, high numerical accuracy combined with high computational efficiency because it uses the Fast Fourier Transform algorithm, and beside that, in order to solve the Navier-Stokes equations, solving linear system for pressure-velocity coupling is not necessary. To deal with two-phase flows with moving and deformable geometry, two methods were coupled the IMERSPEC methodology: the Front-Tracking method (FT) and Volume of Fluid method (VOF). The FT method works with two domains, the Eulerian, where the equations for the fluid are evaluated and the Lagrangian for modeling the interfaces. In the FT, both domains are coupled by using interpolation and distribution process, with no restriction on the movement and deformation of the dispersed phase of the Lagrangian mesh over Eulerian domain. The disadvantages of the FT method are a possible mass loss and the need of a fragmentation and coalescence bubble model. The VOF method defines the surface by the volume fractions which allows the fragmentation and coalescence of bubbles without the requirement of implementing a specific model, however it may present numerical instabilities. The results obtained by evaluating the spurious currents, mass conservation and analysis through numerical experimentation of bubbles rise show that IMERSPEC-FT can be considered validated and promising, while the IMERSPEC-VOF presents promising results for cylindrical bubble regime. No presente trabalho propõe-se a extensão da metodologia IMERSPEC para resolver problemas de escoamentos bifásicos. Esta metodologia é baseada no acoplamento do método pseudoespectral de Fourier (MPEF) com o método da fronteira-imersa (MFI). As principais características desta metodologia são a alta taxa de convergência numérica e a alta acurácia aliadas a um baixo custo computacional devido ao algoritmo denominado Fast Fourier Transform (FFT) e, além disso, na resolução das equações de Navier-Stokes não é necessário resolver o sistema linear proveniente do acoplamento pressão-velocidade. Para tratar escoamentos bifásicos com geometria móvel e deformável, dois métodos foram acoplados á metodologia IMERSPEC: Front-Tracking(FT) e Volume of fluid (VOF). O método FT trabalha com dois domínios, sendo um euleriano, onde se resolvem as equações para o fluido e o outro, móvel, lagrangiano, utilizado para as interfaces entre dois fluidos. Para este método, ambos os domínios são acoplados pelo processo de interpolação e distribuição do campo de força lagrangiano e não apresentam restrição quanto ao movimento da malha lagrangiana sobre o domínio euleriano e quanto à deformação da mesma. As principais desvantagens do método Front-Tracking estão na possível perda de massa e na necessidade de implementar modelos para fragmentação e coalescência. O método VOF define a superfície através de frações de volume, o que permite fragmentação e coalescência de bolhas não requerendo modelos específicos. Entretanto apresenta instabilidades numéricas no cálculo da curvatura. Os resultados obtidos através da avaliação das correntes espúrias, conservação de massa e análise através de experimentação numérica de ascensão de bolhas mostram que a metodologia IMERSPEC-FT pode ser considerada validada, enquanto que a metodologia IMERSPEC-VOF apresentou resultados promissores para regime de bolha cilíndrica. Doutor em Engenharia Mecânica

FACEPE As técnicas de discretização de alta ordem podem ser vantajosas quando comparadas aos métodos upwind de primeira ordem (FOUM), para o modelamento do escoamento dos fluidos através dos reservatórios de petróleo, em que complexidades físicas, tais como heterogeneidade e anisotropia desempenham um papel importante, pois essas técnicas são capazes de produzir soluções muito menos difusivas. Este trabalho tem como objetivo aplicar o método espectral dos volumes finitos (SFVM), metodologia formulada por Z. J. Wang em 2002, para o modelamento 1D do escoamento de água e óleo em meios porosos. Este tipo de recuperação de óleo é conhecido como recuperação secundária. O modelo matemático, que caracteriza as equações de transporte em meios porosos, inclui os efeitos da gravidade e da pressão capilar, onde os fluidos são considerados imiscíveis. Neste modelo matemático, o termo advectivo é discretizado usando o SFVM de alta ordem, a capilaridade o termo difusivo é aproximada utilizando o método de diferenças finitas para os volumes de controle (CVFDM) de segunda ordem. A integração no tempo é feita utilizando o método de Runge-Kutta explícito de terceira ordem. Para satisfazer a condição tipo TVD (Total Variation Diminishing) e suprimir as oscilações perto das descontinuidades, um limitador de declividade é usado no estagio de reconstrução. Toda a formulação desenvolvida foi verificada numericamente através de uma variedade de problemas modelo. Sempre que possível, os resultados são comparados com a solução semi-analítica ou com outras soluções numéricas disponíveis na literatura. Os resultados obtidos no presente trabalho se comparam de maneira favorável com outras metodologias fornecidas por diferentes autores e apresentaram um bom desempenho, atingindo uma alta acurácia de forma eficiente. Os perfis de saturação para as ditas simulações mostram a correta captura da frente de saturação ou choque, e da onda de rarefação. Para o modelo simples analisado neste trabalho, o uso de métodos de alta ordem produz resultados acurados e eficientes, o que é ainda mais relevante se aplicações reais em grande escala são planejados. High order discretization techniques may offer advantages relative to standard FOUM (first order upwind methods) for the modeling of flows through petroleum reservoirs, in which physical complexities such as heterogeneity and anisotropy play an important role, because these techniques are capable of producing much less diffusive solutions. The purpose of this work is to apply a SFVM (spectral finite volume method) methodology formulated by Z. J. Wang in 2002, for the modeling 1D oil-water displacement through porous formations. This sort of oil recovery is known as secondary recovery. The mathematical model that characterizes the transport equations in porous media includes the effects of gravity and capillary pressure, where the fluids are considered immiscible. In this mathematical model the hyperbolic term is discretized using a high order SFVM, the capillary (diffusive term) is approximated using a second order CVFDM (control volume finite difference method). The integration in time is carried out using a third-order explicit Runge-Kutta method. In order to satisfy the TVD (total variation diminishing) condition and to suppress numerical oscillations near shocks, a slope limiter is used in the reconstruction stage. The entire formulation developed was checked numerically by a variety of problems model. Where it was possible the results are compared with the semi-analytical solution or other numerical solutions available in the literature. The results obtained in this study compare favorably with other methods provided by different authors and performed well achieving a high accuracy efficiently. Saturation profiles for said simulations show the correct capture of the saturation front (shock) wave and rarefaction. The simple model analyzed in this work shows that the use of high order methods yields accurate and efficient results, which is even more relevant if real large scale applications are devised.

Submitted by Boris Flegr (boris@uerj.br) on 2021-01-07T14:38:38Z No. of bitstreams: 1 Tese_JoseAntonioOliveiraAquino.pdf: 3920825 bytes, checksum: e182e17c43ffec7348ea74af532491dc (MD5) Made available in DSpace on 2021-01-07T14:38:38Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Tese_JoseAntonioOliveiraAquino.pdf: 3920825 bytes, checksum: e182e17c43ffec7348ea74af532491dc (MD5) Previous issue date: 2008-07-31 In this paper is presented a new numerical simulator for the water-air two-phase flow and contaminant transport in unsaturated zone. It was used a decomposition of operators and implemented numerical methods suitable to the solution of each of the problems arising in this decomposition. The mathematical model consists of a system of nonlinear partial differential equations in the unknowns pressure, saturation and concentration with which one can determine the position of the contaminant as a function of time. A three-tier operators decomposition makes possible to use different time steps for different levels of decomposition. In the first two levels are solved the problems of velocity, transport and diffusion, to the problem of water infiltration underground. The third level is solved the problem of the transport of the contaminant from the calculated velocities and saturations on the solution to the problem of infiltration. The hybrid mixed finite element method is employed in numerical resolution of the problem of velocity-pressure and diffusive transport to the problem of infiltration. In the solution of the problem of convective transport, water-air two-phase flow, is used a central scheme of finite differences, not oscillatory and conservative. For the solution to the problem of contaminant transport is proposed a new Lagrangian method locally conservative, who received the denomination of Forward Integral-Tube Tracking Method (FIT). This new method is used in the numerical resolution of the convective transport of contaminant. The formulation, implementation and test of FIT is the main original contribution of this work. On verification and validation of the new numerical simulator, the results are compared with those from other experiments, simulators and from problems solved analytically. In all cases were obtained good concordances between the results of the new simulator and from others. The simulator has proved to be efficient in solving two-dimensional problems in saturated and unsaturated heterogeneous porous media, featuring mass conservation, low diffusion numerical and computational efficiency. Neste trabalho é apresentado um novo simulador numérico para a simulação de escoamentos bifásicos água-ar e o transporte de contaminantes na zona não saturada. Fez-se uso de uma decomposição de operadores e implementou-se métodos numéricos adequados à solução de cada um dos problemas originados desta decomposição. O modelo matemático consiste de um sistema de equações diferenciais parciais não-lineares nas incógnitas pressão, saturação e concentração com as quais se pode determinar a posição do contaminante como uma função do tempo. Uma decomposição de operadores a três níveis possibilita que sejam utilizados passos de tempo distintos para os diferentes níveis da decomposição. Nos dois primeiros níveis são resolvidos os problemas de velocidade-pressão, transporte e difusão, para o problema de infiltração da água no subsolo. No terceiro nível é resolvido o problema do transporte do contaminante, a partir das velocidades e saturações calculadas na solução do problema de infiltração. O método dos elementos finitos mistos híbrido é empregado na resolução numérica do problema de velocidade-pressão e do transporte difusivo para o problema de infiltração. Na solução do problema de transporte convectivo, do escoamento bifásico água-ar, é utilizado um esquema central de diferenças finitas, não oscilatório e conservativo. Para a solução do problema do transporte de contaminantes é proposto um novo método Lagrangeano localmente conservativo, que recebeu a demominação de Foward Integral-Tube Tracking Method (FIT). Esse novo método é utilizado na resolução numérica do transporte convectivo do contaminante. A formulação, implementação e teste do FIT constitui a principal contribuição original deste trabalho. Na verificação e validação do novo simulador numérico comparou-se os resultados obtidos com os resultados oriundos de experimentos, de outros simuladores e de problemas resolvidos analiticamente. Em todos os casos foram obtidas boas concordâncias entre os resultados do novo simulador e dos demais. O simulador mostrou-se eficiente na solução de problemas bidimensionais em meios porosos heterogêneos saturados e não saturados, apresentando conservação de massa, baixa difusão numérica e eficiência computacional.

Submitted by Boris Flegr (boris@uerj.br) on 2021-01-07T14:37:20Z No. of bitstreams: 1 TeseSimoneSousaRibeiroBDTD.pdf: 5019976 bytes, checksum: d1373a0c6d5abe68b1cbf8fb259c28d7 (MD5) Made available in DSpace on 2021-01-07T14:37:20Z (GMT). No. of bitstreams: 1 TeseSimoneSousaRibeiroBDTD.pdf: 5019976 bytes, checksum: d1373a0c6d5abe68b1cbf8fb259c28d7 (MD5) Previous issue date: 2007-08-17 Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Incompressible two-phase flows aremodeled by a non-linear system of partial differential equations involving velocity, pressure and saturation. In this work we present a new numerical method in two spatial dimensions to solve the fluid transport equation. Its main features are computational eficiency, accuracy of solutions and absense of spurious oscillations with descontinuous initial conditions. The mathematical model used to develop this numerical method combines and extends ideias from Lax-Friedrichs, Rusanov, Nessyahu, Tadmor and Kurganov s central schemes to two spatial dimensions, i.e., it uses central differences, local speed of propagation and the REA algorithm. This new central scheme has second order accuracy and allows for a semi-discrete formulation, which makes its small numerical diffusion independent of the time step size used to integrate the differential equation. This provides the main feature of this new central scheme: no extra numerical diffusion is added if one needs to reduce the time step. This behavior is very important for applications to multiphase flows in highly heterogeneous pretoleum reservoirs, since this implies a big variability of the velocity field which demands a reduction of the time step. The very simple final formulation of the scheme is a system of ordinary differential equations involving the saturation for each cell in the computational domain. These equations are solved using a explicit second-order Runge-Kutta method. The numerical results obtained are very accurate when compared with the Nessyahu-Tadmor s totally discrete second-order central scheme. These results indicate that one needs tomultiply the number of computational cells in theNessyahu-Tadmor s scheme by 16 in order to obtain a solution comparable to the one provided by the new method. Os escoamentos bifásicos incompressíveis água-óleo são modelados por um sistema de equações diferenciais parciais nas incógnitas velocidade, pressão e saturação. Neste trabalho é apresentado um novo método numérico em duas dimensões espaciais para a resolução numérica da equação de transporte de massa. Suas principais características são: eficiência computacional, boa precisão numérica e ausência de oscilações espúrias na presença de dados inicias descontínuos. O modelo matemático usado no desenvolvimento do método numérico se baseia na combinação e extensão das idéias dos esquemas centrais de Lax-Friedrichs, Rusanov, Nessyahu, Tadmor e Kurganov para duas dimensões espaciais, isto é, usa diferenças centradas, velocidade local de propagação e o algoritmo REA. O novo esquema central obtido tem precisão de segunda ordem e admite uma formulação semi-discreta, tornando a sua pequena difusão numérica independente do tamanho do passo de tempo usado para a evolução da equação diferencial. Isto garante a principal propriedade apresentada pelo novo método numérico: nenhuma difusão numérica extra é inserida se o passo de tempo for reduzido. Este comportamento é muito importante quando aplicado a problemas de escoamentos multifásicos em reservatórios de petróleo altamente heterogêneos, pois a alta heterogeneidade do meio poroso introduz uma grande variabilidade no campo de velocidades que exige, por sua vez, uma redução no passo de tempo. Sua formulação final, bastante simples, é um sistema de equações diferenciais ordinárias, na incógnita saturação, para cada célula do domínio computacional definido. Estas equações são então resolvidas pelo método de Runge-Kutta de segunda ordem na sua forma explícita. Os resultados numéricos obtidos são bastante precisos quando comparados com o esquema central totalmente discreto Nessyahu-Tadmor de segunda ordem. Estes resultados indicam que, ao usar o esquema de Nessyahu-Tadmor, torna-se necessário multiplicar por 16 o número de células da malha computacional para se obter uma solução comparável à solução apresentada pelo novo método numérico.

Escoamentos bifásicos são encontrados em processos industriais, naturais ou biológicos. Além de ser importante predizer o comportamento do escoamento através da solução das equações que descrevem o fenômeno físico, conhecer como os parâmetros do sistema influenciam no comportamento deste escoamento pode melhorar o conhecimento do mesmo. O conhecimento prévio dos parâmetros que mais influenciam no comportamento de sistemas físicos pode depender de uma boa análise de sensibilidade realizada a priori. O objetivo deste trabalho é simular numericamente transitórios de escoamentos bifásicos e realizar estudos de sensibilidade no modelo matemático usando o formalismo de perturbação diferencial. O modelo matemático considera o escoamento bifásico, unidimensional, incompressível e adiabático, mas sem mudança de fase. A transferência de quantidade de movimento na interface inclui os termos interfaciais de massa virtual, arraste, tensão turbulenta de Reynolds e de diferença de pressão interfacial. Para obter a solução do sistema de equações diferenciais é usado um esquema implícito de diferenças finitas. Os resultados das simulações mostram as distribuições temporal e espacial da fração de vazio, velocidades do líquido e do gás e pressão para os vetores de estado e adjunto. Os coeficientes de sensibilidade calculados através do método perturbativo diferencial são comparados com aqueles calculados através dos métodos analítico e direto. Dois casos-problema foram considerados neste trabalho: um escoamento anular e um escoamento de bolhas. Para cada caso, foram estudados dois tipos de respostas: valores médios e locais para as grandezas fração de vazio, velocidades das fases e pressão. Os parâmetros estudados são aqueles que definem as propriedades físicas das fases (por exemplo, a densidade), as condições de contorno e inicial do problema (por exemplo, a fração de vazio na entrada do tubo) e os coeficientes de interação interfacial (por exemplo, o termo de arraste). Os resultados obtidos para os coeficientes de sensibilidade calculados através dos métodos perturbativos mostram excelente concordância com aqueles obtidos através da solução direta do problema ou, quando possível, através da solução analítica do mesmo