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This thesis is situated in the context of the theoretical and numerical analysis of some generalizations of the Cahn–Hilliard equation. We study the well-possedness of these models, as well as the asymptotic behavior in terms of the existence of finite-dimenstional (in the sense of the fractal dimension) attractors. The first part of this thesis is devoted to some models which, in particular, have applications in image inpainting. We start by the study of the dynamics of the Bertozzi–Esedoglu–Gillette–Cahn–Hilliard equation with Neumann boundary conditions and a regular nonlinearity. We give numerical simulations with a fast numerical scheme with threshold which is sufficient to obtain good inpainting results. Furthermore, we study this model with Neumann boundary conditions and a logarithmic nonlinearity and we also give numerical simulations which confirm that the results obtained with a logarithmic non- linearity are better than the ones obtained with a polynomial nonlinearity. Finally, we propose a model based on the Cahn–Hilliard system which has applications in color image inpainting. The second part of this thesis is devoted to some models which, in particular, have applications in biologie and chemistry. We study the convergence of the solution of a Cahn–Hilliard equation with a proliferation term and associated with Neumann boundary conditions and a regular nonlinearity. In that case, we prove that the solutions blow up in finite time or exist globally in time. Furthermore, we give numericial simulations which confirm the theoritical results. We end with the study of the Cahn–Hilliard equation with a mass source and a regular nonlinearity. In this study, we consider both Neumann and Dirichlet boundary conditions., Cette thèse se situe dans le cadre de l’analyse théorique et numérique de quelques généralisations de l’équation de Cahn–Hilliard. On étudie l’existence, l’unicité et la régularité de la solution de ces modèles ainsi que son comportement asymptotique en terme d’existence d’un attracteur global de dimension fractale finie. La première partie de la thèse concerne des modèles appliqués à la retouche d’images. D’abord, on étudie la dynamique de l’équation de Bertozzi–Esedoglu–Gillette–Cahn–Hilliard avec des conditions de type Neumann sur le bord et une nonlinéarité régulière de type polynomial et on propose un schéma numérique avec une méthode de seuil efficace pour le problème de la retouche et très rapide en terme de temps de convergence. Ensuite, on étudie ce modèle avec des conditions de type Neumann sur le bord et une nonlinéarité singulière de type logarithmique et on donne des simulations numériques avec seuil qui confirment que les résultats obtenus avec une nonlinéarité de type logarithmique sont meilleurs que ceux obtenus avec une nonlinéarité de type polynomial. Finalement, on propose un modèle basé sur le système de Cahn–Hilliard pour la retouche d’images colorées. La deuxième partie de la thèse est consacrée à des applications en biologie et en chimie. On étudie la convergence de la solution d’une généralisation de l’équation de Cahn–Hilliard avec un terme de prolifération, associée à des conditions aux limites de type Neumann et une nonlinéarité régulière. Dans ce cas, on démontre que soit la solution explose en temps fini soit elle existe globalement en temps. Par ailleurs, on donne des simulations numériques qui confirment les résultats théoriques obtenus. On termine par l’étude de l’équation de Cahn–Hilliard avec un terme source et une nonlinéarité régulière. Dans cette étude, on considère le modèle à la fois avec des conditions aux limites de type Neumann et de type Dirichlet.

This thesis is situated in the context of the theoretical and numerical analysis of some generalizations of the Cahn–Hilliard equation. We study the well-possedness of these models, as well as the asymptotic behavior in terms of the existence of finite-dimenstional (in the sense of the fractal dimension) attractors. The first part of this thesis is devoted to some models which, in particular, have applications in image inpainting. We start by the study of the dynamics of the Bertozzi–Esedoglu–Gillette–Cahn–Hilliard equation with Neumann boundary conditions and a regular nonlinearity. We give numerical simulations with a fast numerical scheme with threshold which is sufficient to obtain good inpainting results. Furthermore, we study this model with Neumann boundary conditions and a logarithmic nonlinearity and we also give numerical simulations which confirm that the results obtained with a logarithmic non- linearity are better than the ones obtained with a polynomial nonlinearity. Finally, we propose a model based on the Cahn–Hilliard system which has applications in color image inpainting. The second part of this thesis is devoted to some models which, in particular, have applications in biologie and chemistry. We study the convergence of the solution of a Cahn–Hilliard equation with a proliferation term and associated with Neumann boundary conditions and a regular nonlinearity. In that case, we prove that the solutions blow up in finite time or exist globally in time. Furthermore, we give numericial simulations which confirm the theoritical results. We end with the study of the Cahn–Hilliard equation with a mass source and a regular nonlinearity. In this study, we consider both Neumann and Dirichlet boundary conditions.; Cette thèse se situe dans le cadre de l’analyse théorique et numérique de quelques généralisations de l’équation de Cahn–Hilliard. On étudie l’existence, l’unicité et la régularité de la solution de ces modèles ainsi que son comportement asymptotique en terme d’existence d’un attracteur global de dimension fractale finie. La première partie de la thèse concerne des modèles appliqués à la retouche d’images. D’abord, on étudie la dynamique de l’équation de Bertozzi–Esedoglu–Gillette–Cahn–Hilliard avec des conditions de type Neumann sur le bord et une nonlinéarité régulière de type polynomial et on propose un schéma numérique avec une méthode de seuil efficace pour le problème de la retouche et très rapide en terme de temps de convergence. Ensuite, on étudie ce modèle avec des conditions de type Neumann sur le bord et une nonlinéarité singulière de type logarithmique et on donne des simulations numériques avec seuil qui confirment que les résultats obtenus avec une nonlinéarité de type logarithmique sont meilleurs que ceux obtenus avec une nonlinéarité de type polynomial. Finalement, on propose un modèle basé sur le système de Cahn–Hilliard pour la retouche d’images colorées. La deuxième partie de la thèse est consacrée à des applications en biologie et en chimie. On étudie la convergence de la solution d’une généralisation de l’équation de Cahn–Hilliard avec un terme de prolifération, associée à des conditions aux limites de type Neumann et une nonlinéarité régulière. Dans ce cas, on démontre que soit la solution explose en temps fini soit elle existe globalement en temps. Par ailleurs, on donne des simulations numériques qui confirment les résultats théoriques obtenus. On termine par l’étude de l’équation de Cahn–Hilliard avec un terme source et une nonlinéarité régulière. Dans cette étude, on considère le modèle à la fois avec des conditions aux limites de type Neumann et de type Dirichlet.

Our aim in this article is to propose a generalization of the Bertozzi– Esedoglu–Gillette–Cahn–Hilliard equation, introduced for binary image inpainting, for grayscale image inpainting. In particular, we consider the solution to the corresponding Cahn–Hilliard inpainting model as a complex valued function. We are interested in the study of the well-posedness and of the asymptotic behavior, in terms of finite-dimensional attractors, of the associated dynamical system. We have to face two major difficulties here. The first one comes from the fact that we no longer have the conservation of mass, i.e., of the spatial average of the order parameter u, contrary to the classical Cahn–Hilliard equation. The second one is due to the estimates on the nonlinear terms, combined with the fact that the order parameter u is complex valued. We finally give numerical simulations which confirm and extend previous ones on the efficiency of the binary model.

In this article, we are interested in the study of the asymptotic behavior, in terms of finite-dimensional attractors, of a generalization of the Cahn-Hilliard equation with a fidelity term (integrated over Ω\D instead of the entire domain Ω, D ⊂⊂ Ω). Such a model has, in particular, applications in image inpainting. The difficulty here is that we no longer have the conservation of mass, i.e. of the spatial average of the order parameter u, as in the Cahn-Hilliard equation. Instead, we prove that the spatial average of u is dissipative. We finally give some numerical simulations which confirm previous ones on the efficiency of the model.