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The first part is a study of the interactions between acoustic and vorticity perturbations in linear incompressible shear flows, which can decomposed as a sum of a hyperbolic part and of a rigid rotation part. The plane Couette flow is an example of such flows. By using the non-modal approach, the equations governing the evolution of compressible perturbations reduce to an ODE of dimension three in time, which depends on a dimensionless parameter ε representing the ratio between the shear rate of the flow and the frequency of the perturbations. For small ε values, the WKB method allows us to exhibit naturally three modes (two acoustic modes and one vorticity mode) and to highlight couplings between these modes. These couplings are exponentially small in 1/ε, and cannot be taken into account by an asymptotic method. They seem to be linked to the hyperbolic part of the flow.The second part deals with the reflection of a wave by a geometrically complex surface. A conformal mapping allows us to transform a complex boundary into a plane boundary, but makes appear varying coefficients in the bulk equations. These equations are then solved with the multimodal impedance matrix method, which reduce the problem to a Riccati equation for the impedance matrix. A method to find geometries allowing for the existence of trapped modes is proposed. Then the solving method is applied to the modeling of the viscous boundary layer of a fluid oscillating near a periodical rough surface. A perturbative solution is proposed. The presence of recirculation areas is studied., La première partie concerne les interactions acoustique-vorticité dans les écoulements cisaillés linéaires incompressibles, qui peuvent être décomposés en la somme d’une partie hyperbolique et d’une partie rotation solide. L’écoulement de Couette en est un exemple. En utilisant la démarche non-modale , les équations d’évolution de perturbations compressibles se réduisent à une EDO de dimension trois en temps, qui dépend d’un paramètre adimensionné ε représentant le rapport entre le taux de cisaillement de l’écoulement et la fréquence des perturbations. Pour ε faible, la méthode WKB permet d’exhiber naturellement trois modes (deux modes acoustiques et un mode de vorticité) et permet de mettre en évidence des couplages entre ces modes. Ces couplages sont exponentiellement faible en 1/ε, et ne peuvent être pris en compte par une méthode asymptotique. Ils semblent être liés à la partie hyperbolique de l’écoulement. La seconde partie traite de la réflexion d'une onde par une surface de géométrie complexe. Une transformation conforme permet de transformer une frontière complexe en une frontière plane, mais fait apparaître des coefficients non constants dans les équations en volume. Celles-ci sont résolues au moyen de la méthode de la matrice d’impédance multimodale qui ramène le problème à une équation de Riccati pour la matrice d’impédance. Une méthode pour trouver des géométries admettant des modes piégés est proposée. Puis la méthode de résolution est appliquée à la modélisation de la couche limite visqueuse d’un fluide oscillant au contact d’une surface complexe périodique. Une solution perturbative est proposée. La présence de zones de recirculation est étudiée.

International audience; The evolution of linear acoustic and vorticity perturbations in incompressible linear flow is studied. In the particular case of the plane Couette flow, two major phenomenons occur: acoustic wave generation by vortexes, and acoustic wave transformations. A straight forward order 1 Wentzel–Kramers–Brillouin (WKB) method is developed to perform a systematic study of all 2D incompressible linear flows. A small correction based on the conservation of a constant quantity is made to avoid non uniformities. All the considered flows are decomposed as a weighted sum of a hyperbolic flow and a solid rotation flows. Three modes naturally come out of such an approach: two acoustic modes with opposite phase velocities, and one vorticity mode. The acoustic mode acquire a vorticial component and are not curl-free. In the same time the vorticity mode are not divergence-free. The two above mentioned coupling phenomenons are also studied. They are due to Landau-Zenner type non-adiabatic transitions, and are of an order exponentially small with respect to the shear rate of the flow. The efficiency of the couplings depending on the flow class is investigated. The hyperbolic flow provides the most efficient coupling.

National audience; Cette étude porte sur la propagation d'ondes acoustiques dans un écoulement 2-D cisaillé linéairement $\overrightarrow{U_0}= Ay\overrightarrow{e_x}$. La réduction des équations du mouvement, dans un système de coordonnées convectées suivant l'écoulement, permet l'utilisation de la transformée de Fourier spatiale, et mène à un système différentiel linéaire du premier ordre reliant les dérivées temporelles des perturbations (vitesse et pression) à un opérateur variant au cours du temps et dépendant d'un petit paramètre $\varepsilon$. Ce dernier représente le rapport entre la vorticité de l'écoulement moyen et la fréquence acoustique. Une méthode asymptotique empruntée à la mécanique quantique et valable dans la limite des faibles valeurs de $\varepsilon$ est utilisée. En effet il est possible de projeter le système sur une base dite "superadiabatique d'ordre $m$", constituée du développement asymptotique à l'ordre $m$ des solutions qui, au premier ordre, correspondent aux modes propres de l'opérateur (solutions WKB). Il a été montré [Berry, Proc. R. Soc. Lond. A, 429, p61 (1990)] que pour l'équation de Schrödinger, il existe un ordre $n$ particulier pour lequel l'expression des amplitudes dans cette base revêt un caractère universel. La possibilité d'utiliser ce résultat pour notre problème est investiguée. Cette méthode met notamment en évidence des couplages importants entre acoustique et vorticité, qui ne mettent en jeu que des phénomènes linéaires.