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Ce mémoire s'articule autour des trois principaux thèmes auxquels j'ai consacré mes recherches au cours de ces 15 dernières années, thèmes qui sont assez étroitement reliés entre-eux. Il s'agit du produit harmonique, du procédé de sommation de Ramanujan et de la fonction zêta d'Arakawa-Kaneko qui ont fait l'objet des articles [1] à [10] de la liste de publications. Ces travaux se situent au confluent de la combinatoire, de l'algèbre et de la théorie des nombres.

The main purpose of this thesis is to study real singularities using arguments from motivic integration as initiated by S. Koike and A. Parusiński and then continued by G. Fichou. In order to classify real singularities, T.-C. Kuo introduced the blow-analytic equivalence which is an equivalence relation on real analytic germs without moduli for isolated singularities. This notion is closely related to the notion of arc-analytic maps introduced by K. Kurdyka, thus it is natural to adapt arguments from motivic integration to the study of the relation. The difficulty lies in finding efficient ways to prove that two germs are equivalent and in constructing invariants that distinguish germs which are not in the same class. We focus on the blow-Nash equivalence, a more algebraic notion which was introduced by G. Fichou. The first part of this thesis consists in an inverse theorem for blow-Nash maps. Under certain assumptions, this ensures that the inverse of a homeomorphism which is blow-Nash is also blow-Nash. Such maps are involved in the definition of the blow-Nash equivalence. In the second part, we associate a power series to an analytic germ, called the zeta function of the germ. This construction generalizes the zeta functions of Koike-Parusiński and Fichou. Furthermore, it admits a convolution formula while being an invariant for the blow-Nash equivalence.; Nous nous intéressons à l'étude des singularités réelles à l'aide d'arguments provenant de l'intégration motivique. Une telle démarche a été initiée par S. Koike et A. Parusiński puis poursuivie par G. Fichou. Afin de donner une classification des singularités réelles, T.-C. Kuo a défini la notion d'équivalence blow-analytique. Il s'agit d'une relation d'équivalence pour les germes analytiques réels n'admettant pas de module continu pour les singularités isolées. Cette notion est étroitement liée à la notion d'applications analytiques par arcs définie par K. Kurdyka. Il est donc naturel d'adapter des arguments provenant de l'intégration motivique pour l'étude de l'équivalence blow-analytique. La difficulté réside désormais dans le fait de trouver des méthodes permettant de montrer que deux germes sont équivalents et de construire des invariants permettant de distinguer deux germes qui ne sont pas dans la même classe. Nous travaillons avec une variante plus algébrique de cette notion, l'équivalence blow-Nash introduite par G. Fichou. La première partie de la thèse consiste en un théorème d'inversion donnant des conditions pour que l'inverse d'un homéomorphisme blow-Nash soit encore blow-Nash. L'intérêt d'un tel énoncé est que de telles applications apparaissent dans la définition de l'équivalence blow-Nash. La seconde partie est consacrée à l'étude d'une nouvelle fonction zêta motivique. Il s'agit d'associer à un germe analytique une série formelle. Cette fonction zêta motivique généralise les fonctions zêta de Koike-Parusiński et de Fichou et admet une formule de convolution. Il s'agit d'un invariant pour l'équivalence blow-Nash.

In this thesis we consider the problem of lower bounds for the canonical height onelliptic curves, aiming for the conjecture of Lehmer. Our main diophantine result isan explicit version of a theorem of Laurent (who proved this conjecture for ellipticcurves with CM up to a " exponent) using arithmetic intersection, enlightening thedependence with parameters linked to the elliptic curve ; such a result can be motivatedby the conjecture of Lang, hoping for a lower bound proportional to, roughly,the Faltings height of the curve.Nevertheless, our dissertation begins with a part dedicated to a completely explicitversion of the density theorem of Chebotarev, along the lines of a previous workdue to Lagarias and Odlyzko, which will be crucial to investigate the elliptic Lehmerproblem. We also obtain upper bounds for Siegel zeros, and for the smallest primeideal whose Frobenius is in a fixed conjugacy class.; Cette thèse étudie le problème de minoration de la hauteur canonique sur les courbeselliptiques. Son résultat diophantien principal utilise des méthodes d’intersectionarithmétique pour retrouver un résultat de Laurent, qui démontrait la conjecturede Lehmer pour les courbes elliptiques à multiplications complexes à un exposant" près, tout en explicitant complètement sa dépendance en divers paramètres liésà la courbe elliptique ; une telle démarche peut être motivée par la conjecture deLang, qui présage une minoration possible de la hauteur canonique proportionnelle,essentiellement, à la hauteur de Faltings de la courbe.Notre dissertation commence toutefois par une partie dédiée à l’explicitation duthéorème de densité de Chebotarev, qui reprend les grandes lignes d’un travail deLagarias et Odlyzko, et s’avère être cruciale dans notre approche du problème deLehmer elliptique. On obtient également des majorations des zéros de Siegel et de lanorme du plus petit idéal premier entrant en jeu dans le théorème de Chebotarev.

Ce manuscrit présente une synthèse de mes travaux de recherche effectués au sein de l'IRMAR depuis mon arrivée à l'université de Rennes 1 en 2004. Il tente de dégager les idées directrices qui sous-tendent cette recherche, portant sur l'étude des singularités des germes de fonctions réelles à travers des relations d'équivalence après résolution des singularités, tout en se permettant à l'occasion de rentrer dans quelques détails en vue d'illustrer les méthodes utilisées.

47 pages; We consider zeta function $Z(f ;P ;s)=\sum_{\m \in \N^{*n}} f(m_1,\dots, m_n)~P(m_1,\dots ,m_n)^{-s/d}$ where $P \in \R_+[X_1,\dots ,X_n]$ and $f$ is an arithmetic function (not necessary regular and could be multiplicative function). In this paper we study the existence and several properties of meromorphic continuation of such series, under some assumptions on $P$ and $f$. As application, we obtain a general result on the representation of integers by polynomials expression on integers satisfying multiplicative arithmetical conditions. As a second application, we prove Manin conjecture for a class of projective toric varieties with a large class of metrics. This last result extends in non trivial way somes previous results for the standard metric.

Motivic integration, a theory recently developped by J. Denef and F. Loeser, is a powerful tool for constructing invariants of singularities. However it necessitates, in order to construct measures for this integration, to known generalized Euler characteristics, that is additive and multiplicative invariants at the level of varieties. In the setting of real algebraic geometry, such generalized Euler characteristics does not abound whereas it is the case in complex algebraic geometry. We construct in this Ph. D. thesis such an invariant, called the virtual Poincaré polynomial, for the larger category or arc-symmetric sets, generalizing a result of C. McCrory and A. Parusiński. We prove that this virtual Poincaré polynomial is moreover an invariant for Nash isomorphisms between arc-symmetric sets. This enables us, following the work of J. Denef and F. Loeser, to construct zeta functions for a Nash function germ. In particular, we can state a formula for these zeta functions in terms of a modification of the germ. The main result about these zeta functions is that they are invariants for the blow-Nash equivalence between Nash function germs, which is a particular case of the blow-analytic equivalence due to T.-C. Kuo. Moreover, we prove a triviality result concerning the blow-Nash equivalence, whose proof requires new techiques because of the particularity of the Nash setting., L'objet de la thèse est d'utiliser, en géométrie algébrique réelle, l'intégration motivique, une théorie développée par J. Denef et F. Loeser, dans le but de construire des invariants pour les singularités analytiques. Cette théorie de l'intégration motivique nécessite la connaissance de caractéristiques d'Euler généralisées pour les variétés algébriques réelles, c'est-à-dire d'invariants additifs et multiplicatifs qui permettent de construire des mesures calculables sur les espaces d'arcs. Or, si on dispose en géométrie algébrique complexe de bonnes caractéristiques d'Euler généralisées, ce n'est pas le cas en géométrie algébrique réelle. En effet la seule connue, mais peu utilisable, est la caractéristique d'Euler à supports compacts. Dans cette thèse, nous construisons un tel invariant pour une catégorie d'ensembles plus large, les ensembles symétriques par arcs, généralisant un résultat de C. McCrory et A. Parusiński. Cet invariant algébrique, appelé polynôme de Poincaré virtuel et construit à partir de nombres de Betti virtuels, est de plus invariant par isomorphismes de Nash. On applique alors l'intégration motivique, avec la mesure provenant du polynôme de Poincaré virtuel, pour étudier les germes de fonctions analytiques réelles. On construit en particulier des fonctions zêta, suivant les travaux de J. Denef et F. Loeser, que l'on prouve être des invariants pour un cas particulier de la relation d'équivalence analytique après éclatements, appelée l'équivalence de Nash après éclatements. On énonce de plus, concernant cette nouvelle relation entre germes de fonction Nash, un résultat de trivialisation pour une famille ayant de bonnes propriétés algébriques.

Nous nous intéressons au nombre de points rationnels des variétés algébriques projectives sur un corps fini. Nous déterminons notamment la fonction zêta (et plus précisément les polynômes caractéristiques de l'endomorphisme de Frobenius sur les espaces de cohomologie étale l-adique) des courbes algébriques projectives sans autre hypothèse de lissité ou d'irréductibilité. Nous montrons la divisibilité de ces polynômes dans un revêtement plat de courbes connexes, que l'on peut interpréter comme un analogue de la conjecture d'holomorphie d'Artin sur les fonctions zêta de Dedekind des corps de nombres. Nous obtenons des bornes sur le nombre de points rationnels sur un corps fini dans un revêtement plat entre courbes algébriques projectives connexes, généralisant les bornes connues et notamment celle de Weil. Nous nous sommes également intéressé au problème du nombre de classes dans les corps de fonctions à une variable sur un corps fini. Nous avons établi un théorème de finitude en ce qui concerne les extensions totalement imaginaires d'extensions totalement réelles dont le nombre de classes d'idéaux du corps imaginaire est fixé . Dans le cas où ces extensions sont quadratiques, nous donnons une formule du nombre de classes relatif en terme de fonction L, ainsi qu'une formule liant cette fonction L à une somme de caractères de type Legendre dans le cas du nombre de classe 1. Si l'on suppose de plus que le groupe de Galois d'une telle extension est isomorphe au groupe de Klein, via la théorie du corps de classes ainsi que des factorisations de fonctions zêta et des estimations de régulateurs, nous déterminons ces corps via les extensions d'Artin-Schreier et les jacobiennes.

In modern methods for analytic exponential sums theory, the A and B Van der Corput's process occur in various forms where more accuracy is needed. The first part of this thesis achieves a complete study of B process for single exponential sums or sums with a parameter. In the second part, Fouvry and Iwaniec's method for multiple exponential sums with monomial is combined with A and B Vander Corput's process to get new bounds for single exponential sums which complete Huxley's table. The third part gives an accurate estimation for single oscillating integrals when the critical point is close to the endpoints of the integration interval which applies to mean values of oscillating integrals such as those that occur in the study of multiple B transform., Les développements actuels de la méthode de Van der Corput pour les sommes d'exponentielles font apparaître la nécessité d'apporter des précisions aux transformations de base A et B. La première partie de cette thèse constitue une étude complète de la transformation B simple ; le cas des sommes d'exponentielles avec paramètre est également étudié. Dans la deuxième partie, nous étudions un nouveau procédé de majoration pour les sommes simples d'exponentielles qui consiste à adapter la méthode de Fouvry et Iwaniec à celle de Van der Corput. Les résultats obtenus viennent compléter un tableau de Huxley. Enfin, la troisième partie reprend en détaille lemme de la phase stationnaire, le résultat obtenu donne une estimation (probablement) optimale pour les moyennes d'intégrales oscillantes en vue d'applications à la transformation B simple, double et multiple.