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This work, addresses a structure preserving integration method for mechanical systems with dynamics on different time scales and its use in optimal control. Such mechanical systems have contradicting requirements on the integrator. For the integration to be stable a tiny time step is needed for dynamics on small time scales, while for the dynamics on large time scales a large time step is accurate enough for integration. A very efficient solution to this issue offer multirate integration methods. For structure preserving integration methods in the simulation first integrals are preserved, like the angular momentum or energy. We follow the variational approach of the so called variational integrators, which are by design structure preserving. We combine the multirate integration with variational integration, to form a variational multirate integrator. The integrator is developed with systems with dynamics on two time scales, i.e. slow and fast dynamics. Since the derivation of the integrator in question is variational, certain properties, like good energy behaviour and a discrete Noether's Theorem, arise. The variational multirate integrator is studied numerically concerning the behaviour of the error and the computing time. Because of the multirate property of the integrator, different scenarios for the convergence need to be considered. Here, we look at two scenarios. When investigating, whether the multirate method needs less computational effort than the single rate method, we compare the computing time for simulations with the same accuracy. Before the multirate variational integrator can be used for optimal control, it has to be extended to non-conservative systems with external forces. The external forces are used as control forces to steer a mechanical system. This new multirate variational integration method with forces is studied numerically regarding its convergence. Now, the integrator can be used in optimal control. Using the DMOC as a basis, a multirate optimal control method is derived for systems with dynamics on two time scales. In optimal control there arises the issue, whether a system is fully actuated or underactuated. As an example of optimal control with a underactuated mechanical systems, a biomechanical system is studied, the pole vault. For fully actuated and underactuated systems with dynamics on two time scales, we numerically study the behaviour of the error and the computational effort. Investigating the multirate optimal control the same scenarios need to be considered as for the multirate varionational integration method. Diese Arbeit beschäftigt sich mit Struktur erhaltenden Integrationsmethoden für mechanische System, deren Dynamiken auf verschiedenen Zeitskalen liegen, sowie deren Anwendung in optimaler Steuerung. Solche Systeme haben widersprüchliche Anforderungen an ein Integrationsverfahren. Für eine stabile Integration werden sehr kleine Zeitschritte für die Dynamiken auf kleinen Zeitskalen benötigt. Allerdings sind für Dynamiken auf größeren Zeitskalen auch größerer Zeitschritte ausreichend genau. Multiraten-Integrations-Verfahren bieten für diese widersprüchlichen Anforderungen eine effiziente Lösung. Bei Struktur erhaltende Integrationsmethoden werden erste Integrale, wie z.B. der Drehimpuls und die Energie. Es wird der variationelle Ansatz der sogenannten variationellen Integratoren verfolgt, der durch seine Herleitung zu Struktur erhaltenden Integrationsverfahren führt. Die Multiraten-Integration wird mit variationalen-Integratoren kombiniert, um ein variationales-multiraten-Integrations-Verfahren zu bilden. Der Integrator wird entwickelt für Systeme, deren Dynamiken auf zwei Zeitskalen liegen, d.h. es gibt schnelle und langsame Dynamiken. Aufgrund seiner variationellen Herleitung besitzt der hier besprochene Integrator bestimmte Eigenschaften, wie ein gutes Energieverhalten und ein diskretes Noether Theorem. Der variationelle multiraten Integrator wird numerisch untersucht auf das Fehlerverhalten und bezüglich des Rechenaufwands. Da der Integrator ein Multiratenintegrator ist, müssen verschiedene Szenarien bedacht werden, wenn man die Konvergenz betrachtet. In dieser Arbeit betrachten wir zwei Szenarien. Für die Untersuchung, ob der multiraten Integrator weniger Rechenaufwand erfordert, werden die Rechenzeiten bei gleicher Genauigkeit in der Simulation verglichen. Um den variationelle mutltiraten Integrator für die optimale Steuerung einsetzen zu können, muss er für nicht-konservative Systems mit externen Kräften erweitert werden. Dabei werden die externen Kräfte als Kontrollkräfte genutzt, um ein mechanisches System zu steuern. Diese neue multiraten variationale Integrationsmethode mit externen Kräften wird numerisch auf das Fehlerverhalten untersucht. Jetzt kann der Integrator in der optimalen Steuerung verwendet werden. Auf Basis von DMOC wird eine multiraten optimale Steuerung hergleitet für Systeme mit Dynamiken auf zwei Zeitskalen. In der optimalen Steuerung ergibt sich die Frage, ob ein System vollständig gesteuert oder unvollständig gesteuert ist. Als ein Beispiel für die Anwendung von optimaler Steuerung auf ein unvollständig gesteuertes System wird ein biomechanisches System untersucht, der Stabhochsprung. Für die multiraten optimale Steuerung wird numerisch das Fehlerverhalten und der Rechenaufwand untersucht. Dabei werden sowohl vollständig gesteuerte als auch unvollständig gesteuerte Systeme betrachtet. Für die numerischen Betrachtungen der multiraten optimalen Steuerung müssen die gleichen Szenarien wie beim multiraten variationellen Integrator berücksichtigt werden.

This work presents an extensive theoretical investigation of the structure of the nucleon within the standard model of elementary particle physics. In particular, the long range contributions to a number of various form factors parametrizing the interactions of the nucleon with an electromagnetic probe are calculated. The theoretical framework for those calculations is chiral perturbation theory, the exact low energy limit of Quantum Chromo Dynamics, which describes such long range contributions in terms of a pion-cloud. In this theory, a nonrelativistic leading one loop order calculation of the form factors parametrizing the vector transition of a nucleon to its lowest lying resonance, the Delta, a covariant calculation of the isovector and isoscalar vector form factors of the nucleon at next to leading one loop order and a covariant calculation of the isoscalar and isovector generalized vector form factors of the nucleon at leading one loop order are performed. In order to perform consistent loop calculations in the covariant formulation of chiral perturbation theory an appropriate renormalization scheme is defined in this work. All theoretical predictions are compared to phenomenology and results from lattice QCD simulations. These comparisons allow for a determination of the low energy constants of the theory. Furthermore, the possibility of chiral extrapolation, i.e. the extrapolation of lattice data from simulations at large pion masses down to the small physical pion mass is studied in detail. Statistical as well as systematic uncertainties are estimated for all results throughout this work. Die vorliegenden Arbeit liefert eine umfassende theoretische Untersuchung der Struktur des Nukleons innerhalb des Standardmodells der Elementarteilchenphysik. Es werden die langreichweitigen Beiträge zu einer Vielzahl von Formfaktoren, die die Wechselwirkung des Nukleons mit einer elektromagnetischen Probe parametrisieren berechnet. Der theoretische Rahmen für diese Rechnungen ist die chirale Störungstheorie, der exakte Niederenergielimes der Quantenchromodynamik, in der diese langreichweitigen Beiträge durch eine Pionwolke beschrieben werden. Eine nichtrelativistische Rechnungen für die Formfaktoren, die den Übergang des Nukleons in seinen niedrigsten angeregten Zustand (das Delta) parametrisieren bis zur führenden Einschleifenordnung, eine kovariante Rechnung der isosvektoriellen und isoskalaren Vektorformfaktoren des Nukleons bis zur nächstführenden Einschleifenordnung und eine kovariante Rechnung der isosvektoriellen und isoskalaren verallgemeinerten Vektorformfaktoren des Nukleons bis zur führenden Einschleifenordnung werden präsentiert. Um wiederspruchsfreie Rechnungen in der kovarianten Formulierung der chiralen Störungstheorie sicher zu stellen wird ein entsprechendes Renormierungsschema für diese Theorie definiert. Die theoretischen Vorhersagen werden mit Ergebnissen der Phenomenologie sowie von Gittersimulationen verglichen. Diese Vergleiche ermöglichen eine Bestimmung der Niederenergiekonstanten. Des Weiteren wird die Möglichkeit chiraler Extrapolationen, d.h. Extrapolationen der Ergebnisse von Gittersimulationen bei großen Pionmassen hin zur kleinen, physikalischen Pionmasse, ausführlich untersucht. Systematische und statistische Unsicherheiten werden für alle Ergebnisse dieser Arbeit abgeschätzt.