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Orientador: Márcio Antônio de Faria Rosa Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: O resumo poderá ser visualizado no texto completo da tese digital Abstract: The complete abstract is available with the full electronic document . Mestrado Matemática Mestre em Matemática

Orientador: Marcos Benevenuto Jardim Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Nesta tese estudamos basicamente como o acoplamento por uma conexão arbitraria influencia o comportamento do espectro do operador de Dirac, real e complexo. Atraves dos resultados classicos da literatura, e destes resultados vemos que, de modo geral, estruturas geometricas influenciam o espectro do operador de Dirac, acoplado ou não. Embora exista uma grande literatura a respeito de estruturas geometricas e o operador de Dirac, sobretudo para o operador não acoplado, existem alguns casos, possivelmente bastante interessantes, que não foram considerados. Com o recente desenvolvimento de geometria complexa generalizada, podemos nos perguntar sobre a possibilidade de definirmos operadores de Dirac neste contexto e se isto traz resultados novos ou entendimento sobre resultados ja conhecidos. Por se tratar de uma area recente existem varios problemas envolvidos na tentativa de estudarmos operadores de Dirac sobre variedades com estruturas complexas generalizadas. O proprio conceito de conexão para este tipo de geometria ainda não e muito claro, uma vez que não assumimos a priori uma metrica na variedade base não podemos considerar a conexão Levi-Civita, ficando a pergunta que se neste contexto existe alguma conexão natural analoga a conexão de Levi-Civita. Outra questão importante e com relação ao fibrado de spinores. No caso de variedades riemannianas a maneira mais usual de construirmos fibrados de Dirac e atraves de uma estrutura Spin na variedade base. Porem este tipo de estrutura tambem e definida em termos de uma metrica ficando a pergunta de como poderíamos construir fibrados de Dirac de maneira natural sobre uma variedade complexa generalizada. Caso seja possível respondermos estas questões podemos falar em operadores de Dirac sobre variedades complexas generalizadas. Podendo, a partir dai, investigar formulas do tipo Weitzenbock e o comportamento do espectro do operador de Dirac. Alem disso podemos nos perguntar se este tipo de operador e de fato um objeto totalmente novo ou se o mesmo se relaciona com operadores conhecidos da variedade base. Outro situação pouco explorada na literatura e a de operadores de Dirac sobre variedades algebricas imersas em CPn. Na literatura existem artigos, [5, 16], que exploram sobretudo estruturas Spin e spinores. Mas não existe tentativas de usar explicitamente que certas variedades podem ser consideradas como variedades algebricas imersas em CPn para tentar obter estimativas mais finas para o espectro do operador de Dirac, como por exemplo e feito para subvariedades Lagrangianas em [8]. Para considerarmos este problema devemos entender como considerar explicitamente que estamos lidando com variedades algebricas imersas em CPn. É possível que existam duas formas de fazermos isto. A primeira e aparentemente mais direta e considerar a imersão em si, na linha do que foi feito com subvariedades Lagrangianas em [8], e estudar propriedades da mesma. Para fazermos isto é possiível que tenhamos que restringir a classe de variedades em questão. A segunda forma, que parece ser um pouco mais delicada, é tentar escrever o operador de Dirac de forma a levar em consideração a estrutura algebrica da variedade. Pode ser possível que escrevendo o operador de Dirac na linguagem algebrica obtenhamos informações que nos permitirão encontrar estimativas para o espectro do mesmo Abstract: Not informed. Doutorado Geometria Doutor em Matemática

Orientador: Alberto Vazquez Saa Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Oscilações de buracos negros adquiriram importância nos últimos anos devido a possibilidade de se comprovar a existência de tais corpos celestes por meio da detecção da radiação gravitacional emitida por eles. Nesse trabalho, o estudo da propagação de ondas de diferentes tipos incidentes em um buraco negro é apresentado sob o ponto de vista matematico. Inicialmente, são usados elementos de Geometria Diferencial a fim de se estabelecer a estrutura matemática da gravitação e, a partir de um conjunto de hipóteses, determinase uma família de soluções das Equações de Einstein que caracteriza os buracos negros (Schwarzschild, Reissner-Nordstrom, Kerr e Kerr-Newman). As Equações de Teukolsky, que governam as perturbações de buracos negros, são obtidas com a ajuda do formalismo de Newman-Penrose e transformadas em uma equação de onda unidimensional. Obedecendo a condições de fronteira especificas, soluções dessa equação para frequências complexas são então determinadas a partir de diferentes métodos semi-analiticos Abstract: In the past few years, black hole oscillations became a very interesting research area mainly due to the possibility of proving the existence of such celestial bodies through the gravitational radiation emitted by them. In this work, the study of the propagation of different kinds of incident waves on a black hole is presented under the mathematical point of view. Initially, elements of differential geometry are used to establish the mathematical structure of gravitation and, under certain hypotheses, a family of solutions to the Einstein equations is obtained, describing the black holes (Schwarzschild, Reissner-Nordstr¨om, Kerr and Kerr-Newman). Teukolsky equations, which govern the black hole perturbations, are obtained with the aid of Newman-Penrose formalism and transformed to a one-dimensional wave equation. According to certain boundary conditions, solutions of this equation for complex frequencies are determined from different semi-analytic methods Mestrado Geometria Mestre em Matemática

Orientador: Adriano João da Silva Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho mostraremos que uma estrutura quase riemanniana (ARS) sobre uma variedade diferenciável de dimensão n pode ser definida, ao menos localmente, por um conjunto de n campos vetoriais, que se degeneram em algum conjunto singular, este conjunto é chamado de locus singular. Em especial definiremos um ARS sobre um grupo de Lie de dimensão n, como sendo n campos vetoriais invariantes à esquerda ou campos vetoriais afins com posto igual a n num subconjunto próprio aberto e denso o qual satisfaz a condição do posto de Lie. Apartir disso estudaremos o locus singular, o qual é o conjunto de pontos onde os campos vetoriais deixam de ser independentes, o locus singular de fato é um conjunto analítico, mas em geral não é uma subvariedade nem subgrupo, então estabeleceremos condições suficientes para que o locus singular torne-se uma subvariedade ou um subgrupo. Calcularemos as equações Hamiltonianas do PMP, e com isso obteremos uma caracterização completa de anormais. Por fim, faremos uma contribuição no estudo dos ARS simples, ao estudar o locus singular dos grupos de Lie solúvel não nilpotente de dimensão baixa Abstract: In this work we present an almost-Riemannian structure (ARS in short) on a n-dimensional differential manifold can be defined, at least locally, by a set of n vector fields, that degenerate on some singular set, this set is called the singular locus, we define an ARS on a n-dimensional Lie group by n left-invariant or affine vector fields the rank of which is equal to n on a proper open and dense subset and that satisfy the rank condition, we study the singular locus, that is the set of points where the vector fields fail to be independent, in fact it is an analytic set, but not a subgroup, not even a submanifold in general , then we establish sufficient conditions for the singular locus to be a submanifold or a subgroup. We compute The Hamiltonian equations of the PMP, and with it we get a complete characterization of the abnormals. In the section 6 we do a contribution to study of simple ARS, because we start to study the singular locus of nonnilpotent solvable low-dimensional Lie groups Mestrado Matemática Mestre em Matemática FAEPEX

Orientador: Alberto Vazquez Saa Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Mestrado Mestre em Matemática

Orientadores: Maria Helena Noronha, Francesco Mercuri Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Ciencia da Computação Resumo: Neste Trabalho são estudadas imersões isométricas de variedades Riernannianas homogêneas no espaço Euclideano em codimensão dois. É considerado o problema de rigidez para estas imersões, e rnostrado que toda subvariedade rígida é isoparamétrica. Para irnersões não rígidas é obtido também um teorema de classificação para variedades de dimensão maior que 4. No caso em que a variedade homogênea é tarnbém uma variedade de Einstein obtemos uma classificação completa, sern a restrição na dimensão da variedade. Em seguida os resultados obtidos são aplicados ao estudo das variedades de cohomogeneidade 1. É mostrado que urna hipersuperfície cornpacta do espaço Euclideano que adrnite uma ação de um subgrupo do grupo das isometrias com órbitas principais de codimensão 1 e curvatura seccional positiva, é uma hipersuperfície de revolução Abstract: Not informed Doutorado Doutor em Matemática

Orientadores: Francesco Mercuri, Daniel Victor Tausk Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: O objetivo deste trabalho é formalizar a teoria local das variedades infinito dimensionais e estudar a geometria/ topologia no caso em que a curvatura seccional seja limitada por duas constantes positivas, comparando-se com o caso finito dimensional e enfatizando as diferenças. A teoria local já era conhecida desde 1960, e por isso nós apresentamos, sem muitos detalhes, alguns resultados tais como a existência e unicidade da conexão de Levi Civita, lema de Gauss e a existência de vizinhanças convexas.Porém, nós provamos que o critério de tensorialidade não é verificado em dimensão infinita e introduzimos uma classe, que nós chamamos de C8-fracamente contínua, cujo critério é verificado. Quando queremos estudar as propriedades globais, o fato da variedade ser completa é fundamental, como no caso finito dimensional, mas como o teorema de Hopf-Rinow nem sempre é verificado não temos a equivalência com o fato da variedade ser geodesicamente completa. As variedades completas com curvatura seccional constate simplesmente conexas não apresentam as patologias anteriores e obtemos a mesma classificação finito dimensional. Porém, a classe das variedades completas com curvatura constante positiva é maior do que a respectiva classe de dimensão finita. Esse fato é conseqüência do estudo dos grupos que podem atuar efetivamente e de modo propriamente descontínuo, como grupo de isometrias, na esfera unitária dos espaços de Hilbert de dimensão infinita. Os dois fatos básicos que justificam nossa afirmação são que cada grupo de isometrias, finito, que atua de modo propriamente descontínuo na esfera euclidiana unitária, atua também na esfera unitária de qualquer espaço de Hilbert de dimensão infinita, com as mesmas propriedades, e que cada grupo G sem torção atua efetivamente e de modo propriamente descontínuo como grupo de isometrias na esfera unitária de l2 (G). O estudo das variedades completas com curvatura seccional limitada por duas constantes positivas nos levou a estender os teoremas de comparação de Rauch e o teorema de Topogonov, no caso de variedades que verificam o teorema de Hopf-Rinow. Como corolário obtemos vários resultados da geometria Riemanniana finito dimensional tais como o teorema de Berger-Topogonov sobre o diâmetro máximo e, sobre a hipótese de que o raio de injetividade é maior do que p, resultados na mesma linha do teorema da esfera clássico Abstract: The aim of this work is to formalize the local theory of infinite dimensional Riemannian manifold and to study the geometry/ topology when the sectional curvature is bounded by two positive constant. We compare this situation with the finite dimensional case and emphasize the difference. The local theory was already developed since 1960, so we describe, briefly, the basic facts of the theory as the existence and uniqueness of Levi Civita connection, Gauss lemma and existence of convex neighborhood. However, we proved that the fundamental theorem of tensor field is not verified and we introduced a class, that we called C8-weakly, for which the criterion holds. When we want to study the global properties, the fact that the manifold is complete is fundamental, as in finite dimensional case, but as the Hopf-Rinow theorem is not always verified, completeness is not always equivalent to geodesic completeness. These pathology is not verified by complete simply connected manifolds with constant sectional curvature and we have the same classification as the finite dimensional case. However, the class of infinite dimensional manifolds of constant positive curvatura is bigger than the respective class in the finite dimensional case. This fact is consequence of the study of the groups that could acts effective and properly discontinuosly, as isometry group, on the unitary sphere on infinite dimensional Hilbert spaces. The two basics facts that justify our are that any infinite dimensional Hilbert space and any group G without torsion, acts without fixed point and properly discontinuous, as isometry group, on the sphere in l2 (G). The extension of theorems of Rauch and Topogonov, is fundamental when we study the geometry of with sectional curvature bounded by two positive constants. The consequence are the extension of some classical result, that we have proved in chapter 6, like of Berger- Topogonov theorem about the maximal diameter and, when we assume that the radius of injectivity of the manifolds is at least p, some results in the spirit of the pinching theorems Doutorado Doutor em Matemática Pura

Orientador: Diego Sebastian Ledesma Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Nesta dissertação apresentamos generalizações de três resultados muito conhecidos em geometria Riemanniana: o Teorema de Myers, o Teorema de Bochner e o Teorema de decomposição de Cheeger-Gromoll. Em particular veremos que fazendo uma pequena modificação sobre os requisitos destes teoremas no que se refere ao tensor de Ricci, os resultados permanecem inalterados Abstract: In this dissertation we present generalizations of three well-known results in Riemannian geometry: The Myers's theorem, Bochner's theorem and the Cheeger-Gromoll splitting theorem. In particular, we will prove that making a small modification of the requirements of these theorems related to the Ricci tensor, the results remain unchanged Mestrado Matemática Mestre em Matemática

Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2018. Usando uma inequação do tipo Kato e Simons para uma subvariedade mínima n-dimensional de H^(n+m),obtemos condições necessárias para que uma subvariedade completa mínima imersa em H^(n+m)seja totalmente geodésicae usando uma inequação de Simons mostramos, sobe certas condições, que uma hipersuperficie não compacta completa imersa curvatura média constante seja totalmente umbilical. SeM é uma hipersuperfi ceiem n -Hdi^m(ne+n1s)ioconmal complete tipo espaçoestá imersa em M_1^(n+1) (c), ondec = {-1,0,1}, usando a normaL^ddo tensor traço livre da segunda forma fundamental e o primeiro auto valor de M, então M é isométrico a H^n (c-h^2 ), onde hé a curvatura média de M. Tomando uma variedade generalizada quasi-Yamabe(GQY-variedade), em certas direções para∇μ, temos∇μconstante.Finalmente, considerando〖(M〗^(n+1),f,g')=M^(n+1)×R_f, o produto torcido de M com R, o espaço tempo estático, onde 〖(M〗^n,g),n≥3, é uma variedade Riemanniana não compacta, conexa e orientável,usando a equação de Einstein com fluido perfeito mostramos que a densidade de energia de M é zero. Usando técnicas conhecidas damos uma estimativa para o crescimento de bolas geodésicas e a validade do princípio do máximo fraco nestes espaços. Using Kato-type inequality for n-dimensional minimal submanifold of Hn+m, we obtain necessary conditions so that a complete minimal submanifold immersed in Hn+m to be totally geodesic and using the Simons' inequality to get complete non-compact hypersurface immersed in Hn+1 with constant mean curvature to be totally umbilical. If M n-dimensional complete spacelike CMC hypersurfaces is immersed in Mn+1 1 (c), where c = f1; 0; 1g, using the norm Ld of the tracelles second fundamental form and the _rst eigenvalue of M, we prove that M is isometric to H(c H2), where H is the constant mean curvature of M. Taking a generalized quasi-Einstein manifold (GQY-manifold), in certain directions for r_, we have _ constant. Lastly, considering (cMn+1; ^g) = Mn _f R, the warped product of M with R, be a static space-time, where (Mn; g); n _ 3, is a noncompact, connected and oriented Riemannian manifold and use the Einstein equation with perfect uid as a matter _eld to show that the energy density in M is zero. Using known techniques, we gave estimates of the volume growth of the geodesic balls and the validity of the weak maximum principle. Using Kato-type inequality for n-dimensional minimal submanifold of Hn+m, we obtain necessary conditions so that a complete minimal submanifold immersed in Hn+m to be totally geodesic and using the Simons' inequality to get complete non-compact hypersurface immersed in Hn+1 with constant mean curvature to be totally umbilical. If M n-dimensional complete spacelike CMC hypersurfaces is immersed in Mn+1 1 (c), where c = f1; 0; 1g, using the norm Ld of the tracelles second fundamental form and the _rst eigenvalue of M, we prove that M is isometric to H(c H2), where H is the constant mean curvature of M. Taking a generalized quasi-Einstein manifold (GQY-manifold), in certain directions for r_, we have _ constant. Lastly, considering (cMn+1; ^g) = Mn _f R, the warped product of M with R, be a static space-time, where (Mn; g); n _ 3, is a noncompact, connected and oriented Riemannian manifold and use the Einstein equation with perfect uid as a matter _eld to show that the energy density in M is zero. Using known techniques, we gave estimates of the volume growth of the geodesic balls and the validity of the weak maximum principle.

Orientador: Prof. Dr. Jinyun Yuan Coorientador: Prof. Dr. Orizon P. Ferreira Tese (doutorado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Matemática. Defesa : Curitiba, 16/03/2018 Inclui referências: p.52-57 Resumo: Nesta tese, n'os estudamos m'etodo de Newton para encontrar singularidade de campo de vetor definido em variedade Riemanniana. Obtemos uma importante propriedade do transporte paralelo de vetor para estabelecer (sob hip'otese m'?nima) convergˆencia super-linear da sequˆencia gerada pelo cl'assico m'etodo de Newton para encontrar zero de campo de vetor. Al'em disso, n'os propomos um m'etodo de Newton amortecido e apresentamos sua an'alise global de convergˆencia usando busca linear e uma fun?c˜ao m'erito. Asseguramos que, ap'os um n'umero finito de iteradas, uma sequˆencia gerada pelo proposto m'etodo de Newton amortecido reduz-se a uma sequˆencia gerada pelo m'etodo de Newton. Portanto, a taxa de convergˆencia do m'etodo proposto 'e super-linear/quadr'atica. N'os implementamos ambos os m'etodos para encontrar minimizadores globais de uma fam'?lia de fun?c˜oes definidas no cone de matrizes sim'etricas definidas positivas. Nossos experimentos mostram que a performance do m'etodo de Newton amortecido 'e superior a performance do cl'assico m'etodo de Newton, indicando que o comportamento dos m'etodos no espa?co Euclidiano permanecem neste novo cen'ario. Para proceder com os experimentos, n'os primeiro equipamos o cone de matrizes sim'etricas definidas positivas com uma estrutura de variedade Riemanniana. Ent˜ao, definimos as iteradas das sequˆencias geradas pelo m'etodo de Newton e pelo m'etodo de Newton amortecido usando a curva geod'esica nesta variedade. Contudo, computar geod'esica involve significante custo num'erico. Devido a isso, n'os propomos dois novos algoritmos, a saber, m'etodo de Newton com retra¸c˜ao e m'etodo de Newton amortecido com retra¸c˜ao, para encontrar singularidade de campo de vetor definido em variedade Riemanniana. N'os apresentamos an'alises de convergˆencias desses novos m'etodos por extender os resultados obtidos para estabelecer o m'etodo de Newton e o m'etodo de Newton amortecido. Finalmente, n'os implementamos o m'etodo de Newton amortecido com retra?c˜ao para encontrar minimizadores da fam'?lia de fun?c˜oes acima mencionada. Neste caso, nossos experimentos mostram que o m'etodo de Newton amortecido possui performance similar do m'etodo de Newton amortecido com retra ?c˜ao. As principais contribui?c˜oes desta tese s˜ao como seguem. 1) Sob hip'otese m'?nima, isto 'e, invertibilidade da derivada covariante do campo de vetor em sua singularidade, n'os mostramos que o m'etodo de Newton est'a bem definido em uma vizinhan?ca aceit'avel de sua singularidade e que a sequˆencia gerada por este m'etodo converge com taxa super-linear, (veja (27)). 2) N'os propomos um m'etodo de Newton amortecido no contexto de variedade Riemanniana e estabelecemos sua convergˆencia global para uma singularidade do campo de vetor preservando as taxas de convergˆencias super-linear e quadr'atica do m'etodo de Newton (veja (16)). 3) Propomos o m'etodo de Newton amortecido com retra¸c˜ao e estudamos suas propriedades de convergˆencia, obtendo os mesmos resultados do m'etodo de Newton e do m'etodo de Newton amortecido. Keywords: variedade Riemanniana · m'etodo de Newton · m'etodo de Newton amortecido · convergˆencia local · convergˆencia global · taxa super-linear · taxa quadratica · busca linear · exponential mapping · retra¸c˜ao. Abstract: In this thesis, we study Newton's method for finding a singularity of a differentiable vector field defined on a Riemannian manifold. We obtain an important property of the parallel transport of a vector which allows to establish (under a mild assumption) super-linear convergence of the sequence generated by the classical Newton's method for finding a zero of a vector field. Moreover, we propose a damped Newton's method and we present its global analysis of convergence using a linear search together with a merit function. We ensure that the sequence generated by the proposed damped Newton's method reduces to a sequence generated by the classical iteration of Newton's method after a finite number of iterations. Thus, the convergence rate of the proposed method is super-linear/quadratic. We implement both methods for finding global minimizers of a family of functions defined on the cone of symmetric positive definite matrices. Our experiments show that the performance of the damped Newtons method is superior to that of the classical Newton's method, indicating that the behavior of the methods in Euclidean space persists in this new setting. To proceed with the experiments, we first endow the cone of symmetric positive definite matrices with a Riemannian manifold structure. Then, we define the iterations of the sequences generated by Newton's method and damped Newtons method using the geodesic curve of this manifold. However, in general, performing this task in a computationally efficient manner involves significant numerical challenges. Therefore, we propose two new algorithms, namely Newton's method with retraction and damped Newton's method with retraction, to find a singularity of a vector field defined on a Riemannian manifold. We present the convergence analysis of these new methods by extending the results of Newton's method and the damped Newton's method. Finally, we implement the damped Newton's method with retraction for finding global minimizers of the aforementioned family of functions. For this case, our experiments show that damped Newton method with retraction does not present a better performance than the damped Newton method. The main contributions of this thesis are the following. 1) Under a mild assumption, i.e., invertibility of the covariant derivative of the vector field at its singularity, we show that Newton's method is well defined in a suitable neighborhood of this singularity and that the sequence generated by this method converges to the solution at a super-linear rate (see (27)). 2) We propose the damped Newton's method in the Riemannian manifold context and establish its global convergence to a singularity of a vector field preserving the super-linear convergence rates of Newton's method (see (16)). 3) We propose the damped Newton's method with retraction and study its convergence properties, obtaining the same results as those of Newton's method and the damped Newton's method. Keywords: Riemannian manifold · Newton's method · damped Newton's method · local convergence · global convergence · super-linear rate · quadratic rate · linesearch · exponential mapping · retraction.

Nós estudamos superfícies tipo-espaço compactas com curvatura média constante no espaço tridimensional de Lorentz-Minkowski (...). Quando a fronteira da superfície é uma curva plana, nós obtemos uma estimativa para a altura da superfície medida desde o plano (...) que contem a fronteira. Nós mostramos que esta altura não pode ser maiorque a (...) sobre (...), onde A e H denotam respectivamente, a área da superfície que fica acima de (...) e a curvatura média da superfície. Além disso, esta estimativa é atingida se, e somente se, a superfície é um domínio planar (com H = 0) ou uma tampa hiperbólica (com H 0). We study compact spacelike surfaces with constant mean curvature in the threedimensional Lorentz-Minkowski space (...). When the boundary of the surface is a planar curve, we obtain an estimate for the height of the surface measured from the plane (...) that contains the boundary. We show that this height cannot extend more that (...) above (...), where A and H denote respectively, the area of the surface that lies over (...) and the mean curvature of the surface. Moreover, this estimative is attained if and only if the surface is a planar domain (with H = 0) or a hyperbolic cap (with H 0).

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Física, Programa de Pós-Graduação em Física, 2017. A incompatibilidade da Teoria da Relatividade Geral de Einstein (TRG) com a Mecânica Quântica fez surgir a necessidade de se discutir a possibilidade da formulação de uma teoria de gravitação que seja compatível com esta. Uma teoria que seja mais ampla do que a TRG, e que possa ser aplicada a nível atômico e subatômico. Essa possível teoria de gravitação é muitas vezes chamada Gravitação Quântica. Nesse contexto, muitos pesquisadores têm se empenhado na busca por uma formulação consistente, física e matematicamente, dessa nova teoria e alguns modelos têm sido propostos. No entanto, esse não é um trabalho simples, pois, embora já se tenha avançado bastante, muita coisa ainda permanece obscura. Na ausência de teoria completa de gravidade quântica, qualquer generalização consistente de Relatividade Geral pode ser útil, porque poderia sugerir como essa nova teoria pode ser. Nossa proposta consiste em um modelo de gravitação bimétrica fundamentado em geometria Finsler. As vantagens de uma formulação fundamentada nessa geometria consistem no fato de que a Geometria Finsler é uma geometria Riemanniana sem a limitação quadrática, e assim, a recuperação de dados obtidos a partir da aplicação da TRG se torna teoricamente mais simples. Neste trabalho foi utilizado, na construção da métrica, uma função formada a partir da soma de duas métricas riemannianas, F(x, y) = α(x, y) + β(x, y), onde, α(x,y) = p αij(x)y iy j e β(x,y) = p βij(x)y iy j . A escolha dessa métrica se deu pela própria proposta do trabalho, uma vez que sua estrutura, dentre outras características, facilita a adição de um termo de massa, utilizando-se, para isto, o termo β(x,y). O trabalho está organizado da seguinte forma, no primeiro capítulo são abordados algumas relações entre as geometrias de Riemann e Finsler e destas com a TRG. No segundo capítulo, apresenta-se uma breve revisão dos conceitos matemáticos da geometria Finsler, tais como a métrica, conexões, geodésicas, integração em uma variedade Finsler. No capítulo três, temse um estudo sobre modelos de gravitação fundamentados em geometria Finsler, onde são apresentados alguns trabalhos de diversos autores, desenvolvidos em gravitação bimétrica. No quinto, apresentamos nossos cálculos para a obtenção de uma métrica Finsler gij. Concluímos no capítulo seis, onde também são apresentadas nossas perspectivas de trabalhos futuros. The incompatibility of Einstein’s General Theory of Relativity (GR) with Quantum Mechanics (QM) has raised the need to discuss the possibility of formulating a theory of gravitation that is compatible with the QM, a theory that generalizes GR, and that can be applied at the atomic and subatomic level. This possible theory of gravitation is often called Quantum Gravity (QG). In this context, many researchers have been engaged in the search for a consistent formulation, physically and mathematically, of this new theory and some models have been proposed. However, this is not a simple job, because, although considerable progress has already been made, a lot still remains unclear. In the absence of a complete theory of quantum gravity, any consistent generalization of General Relativity could be useful, because it might suggest how the theory of QG should look like. Our proposal consists of a bi-metric gravity model based on Finsler geometry. The advantages of a formulation based on this geometry consist in the fact that the Finsler Geometry is essentially Riemannian geometry without the quadratic limitation, and so, the retrieval of data obtained from the application of this modification GR becomes theoretically more simple. In this work was used, in the metric construction, a function formed from the sum of two Riemannian metrics, F(x, y) = α(x, y) + β(x, y), where, α(x,y) = p αij(x)y iy j and β(x,y) = p βij(x)y iy j . The choice of this metric was based on the work proposal itself, since its structure, among other characteristics, facilitates the addition of a mass term, using, for this, the term β(x,y). The work is organized as follows, in the first chapter we discuss some relations between the geometries of Riemann and Finsler and of these with the GR. In the second chapter, we present a brief review of the mathematical concepts of Finsler geometry, such as the metric, connections, geodesics, integration on a Finsler manifold. In chapter three, we study gravity models based on Finsler geometry, where some works in bi-metric gravity are presented. In the fifth, we present our calculations to obtain a Finsler metric gij. We conclude in chapter six, where our perspectives for future work are also presented.

Programa de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacional. Departamento de Matemática, Instituto de Ciências Exatas e Biológicas, Universidade Federal de Ouro Preto. Esse trabalho faz uma construção das geometrias: elíptica dupla, projetiva e afim. Também apresenta aplicações das mesmas como um modelo para o movimento da superfície terrestre e na identificação de cônicas. Além disso, possui uma utilização de cada uma dessas aplicações no ensino médio como meio de motivar os alunos no estudo de geometrias não euclidianas. This work makes a construction of the geometries: Double Eliptica, Projective, and Affine. It presents applications as the model for the movement of the terrestrial surface and in the identification of conics. In addition, has a use of each of these applications in high school with a means to motivate students in the study of non-Euclidean geometries.

Orientador : Jurandir Ceccon Co-orientador : Higidio Portillo Oquendo Tese (doutorado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Matemática. Defesa: Curitiba, 24/02/2016 Inclui referências : f. 105-107 Área de concentração: Equações diferenciais parciais Resumo: Seja (M , g ) uma variedade Riemanniana suave, compacta, sem bordo com dimensão n > 2 . Inicialmente, provamos que a desigualdade de Moser Riemanniana ótima: \u\r dvg^j < ^ A (p ,n ) p \Vgu\p dvg^j + Bapt ^ J \u\p dv^j ^ \u\p dv^j é válida para toda função u G H l'p(M) com p > 1, r = Ah±e1 e 1 < r < m in{2,p}, No caso em que 1 < r < m in{2 ,p}, ocorre a existência de funções extremais. Em seguida, mostramos a validade da desigualdade de p-entropia Riemanniana ótima. Precisamente, estabelecemos que para toda função u G H 1,P(M) com ||tt||LP(M) = 1, verifica-se J \u\p log(\u\p) dvg < ~ log \V gu\p dvg^j + B( p,r) em que p > 1 e 1 < r < m in{2 ,p}, Quando 1 < r < m in{2 ,p} ou r = p < 2 , a desigualdade acima admite função extremaL. Além disso, aplicamos a desigualdade de p-entropia Riemanniana ótima para garantir que o semigrupo associado ao problema de Cauchy com equação de difusão não linear: Ut = Ap i u ^ ) em que {x, t) G M x (0, +oo), u(-, 0) = / para algum dado inicial / G L l (M), f > 0 é hipercontrativo. Por fim, mostramos a validade da desigualdade de r-entropia Riemanniana ótima, isto é, para toda função u G H 1,P(M) com ||t(||lgm ) = 1, tem-se \u\r log(\u\r) dv9 < ------- r^ - -----log IM np - nr + pr Aent / \V9u\P dvg + Bent / \u\P dvg Jm Jm com 1 < r < p < 2, Se 1 < r < p < 2, então existe função extremal. Palavras-chave: constantes ótimas, desigualdades ótimas, desigualdade de Moser, desigualdades de entropia. Abstract: Let (M, g) be a smooth compact Riemannian manifold of dimension n > 2 without boundary. First, we prove the validity of the optimal Moser inequality: I \u\r dvg^j < ^A(p,n)p \Vgu\p dvg^j + Bapt ^ J \u\p dv^j ^ \u\p dvg for all function u G H 1,P(M) where p > 1, r = anci 1 < T < min{2,p}, We prove the existence of an extremal function for the optimal inequality above when 1 < r < m in{2 ,p}. Next, we establish the validity of the general optimal Lp-entropv: J \u\p log(\u\p) dvg < ^ lo g \Vgu\p dvg^j + B(p,r) for all function u G H 1,P(M) with ||tt||LP(M) = 1 where p > 1 and 1 < rm in {2 ,p }. When 1 < r < m in{2,p} we show the existence of an extremal function. Using this inequality, we prove that the semigroup associated with the Cauchy problem Ut = Ap i u ^ ) em que {x, t) G M x (0, +oo), u(-, 0) = / for some / G L l (M), f > 0 is hypercontractive. Finally, we show the validity of the optimal Lr-entropv: \u\r log(\u\r) dv9 < ------- -Y----- log IM np - nr + pr Aent / \ VgU\P dvg + Bent / \u\P dvg J m J m for all functions u G H 1,P(M) with \ \ u \ \ L r = 1 where 1 < r < p < 2, If 1 < r < p < 2 we show there exists an extremal function. K eyw ords: Best constants, Optimal inequalities, Moser inequality, Entropy inequalities.

Orientador: Simão Nicolau Stelmastchuk Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: O nosso trabalho tem como objetivo implementar alguns conceitos da Geometria Riemanniana no software Mathematica. Desta forma, o uso do software Mathematica visa facilitar a resolução de cálculos, algébricos e numéricos, e de sistemas de equações diferenciais que envolvem os conceitos como métrica, símbolos de Christoffel, conexões Riemannianas, transporte paralelo, geodésicas e curvatura numa variedade Riemanniana Abstract: This work aims to implement some concepts of Riemannian geometry in the Mathematica software. Thus , the use of Mathematica software facilitates the resolution of algebraic and numerical calculations and systems of differential equations related to concepts such as metric , Christoffel symbols , Riemannian connections, parallel transport , geodesics and curvature in a Riemannian manifold Mestrado Matemática Aplicada e Computacional Mestre em Matemática Aplicada e Computacional

Neste trabalho, estudaremos a prova da conjectura de Willmore no espaço projetivo real (...), feito por A. Ross [24], que nos diz, para qualquer toro imerso no espaço projetivo real (...) com curvatura média H, tem-se (...), e a igualdade é válida se, e somente se, é o toro de Clifford mínimo. Em termos de superfícies imersas na esfera (..), o resultado diz que a conjectura de Willmore é válida para qualquer toro imerso na esfera unitária (...) invariante sob a aplicação antípoda. In this paper, we study the proof of the Willmore conjecture in the real projective space (...), made by A. Ross [24], which tells us for any torus immersed in the real projective space (...) with mean curvature H we have that (...) and that the equality is true if and only if is the minimal Clifford torus. In terms of immersed surfaces in (...), this result says that the Willmore conjecture is true for immersed tori in (...) invariant under the antipodal map.

Made available in DSpace on 2016-02-05T18:29:18Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2015-10-05. Added 1 bitstream(s) on 2016-02-05T18:33:04Z : No. of bitstreams: 1 000857275.pdf: 1760867 bytes, checksum: d6a76ab24ce9acf6844b3d3d0df2ebe4 (MD5) Neste trabalho realizamos o estudo da Geometria Elíptica baseado no livro Introdução à Geometria Projetiva de Abdênago Alves de Barros e Plácido Francisco de Assis Andrade. A fim de apresentar este tema de forma didática, desenvolvemos alguns tópicos da álgebra linear e da geometria analítica que serão utilizados no decorrer deste trabalho. A Geometria Projetiva Elíptica é dividida em duas frentes: a Geometria Elíptica Dupla e a Geometria Elíptica Simples. A Geometria Elíptica Dupla tem como modelo a esfera unitária S2 e a Geometria Elíptica Simples tem como modelo o plano projetivo RP2 que pode ser visto como a esfera unitária S2 com a relação de equivalência que identifica os pontos antípodas We have made a study of projective elliptic geometry based on the book Introdução à Geometria Projetiva of Abdênago Alves de Barros and Plácido Francisco de Assis Andrade. In order to introduce this theme in a didactic way, we developed some topics of the linear algebra and of the analytic geometry, that will be used in this work. The projective elliptic geometry is divided in two approaches the double elliptic geometry and the simple elliptic geometry. The double elliptic geometry has as model the unit sphere S2 and the simple elliptic geometry has as model the real projective plane RP2; that is, the unit sphere S2 with the equivalence relation that identi es antipodal points

O objetivo deste trabalho é discutir uma conjectura de classificação relativa ao índice de hipersuperfícies mínimas não totalmente geodésicas da esfera de n-dimensional de raio um Sn. Discuta-se resumidamente a teoria básica de subvariedades mínimas antes defocar nossa atenção para as subvariedades mínimas e hipersuperfices em Sn: Apresenta-se alguns resultados de Simons, os quais mostram que qualquer subvariedade mínima de Sn é inestável, e como as totalmente geodésicas Sk C Sn sãoo caracterizadas por seu índice. Emseguida, mostra-se a conjectura que afirma que as hipersuperficies de Clifford são também caracterizadas por seu índice de forma semelhante, os mais recentes desenvolvimentos relacionados à conjectura, e a prova de Urbano da conjectura para o caso especial quando n=3. Por último, apresenta-se o estudo da classificação das superfícies mínimas de índice de Morse pequeno na variedade produto S2 x S1(r). The purpose of this thesis is to discuss a conjecture classification concerning the index of non-totally geodesic minimal hypersurfaces of the n-dimensional standard sphere of radius one Sn. Briey discuss the basic theory of minimal submanifolds before focusing our attention to the minimal submanifolds and hypersurfaces of Sn. We present someresults of Simons which show that any minimal submanifolds of Sn is unstable, and how the totally geodesic Sk C Sn are characterized by their index. We then present a related conjecture which claims that the Clifford hypersurfaces are also characterized by their index in a similar way, discuss the most recent developments related to the conjecture,and give Urbano's proof of the conjecture for the special case when n=3. Finally, we have the ultimate goal of studying the classification of minimal surfaces of Morse small index in product varieties S2 x S1(r).

Este artigo se propõe a expor conceitos de geometria riemanniana e aplicá-los a uma esfera em duas dimensões, a esfera S2, que é a variedade riemanniana mais simples de construir. Assim, esse artigo visa dar subsídios suficientes aos estudantes de graduação em Física para que eles compreendam tais conceitos de geometria com o propósito de facilitar o estudo da teoria da relatividade geral. Da mesma forma, este artigo atende às necessidades de professores do Ensino Médio que queiram transpor didaticamente a geometria riemanniana a fim de ensinar os avanços obtidos no campo aos estudantes do Ensino Básico. Nesse sentido, introduzimos conceitos básicos como curvatura e construímos a variedade S2, mostrando que a sua curvatura não é zero. Isso ilustra o arcabouço teórico da relatividade geral pois mostra como conceitos familiares da geometria euclidiana são alterados. Como exemplo mostramos como o teorema de Pitágoras é construído na variedade S2. This article presents concepts of Riemannian geometry and apply them to a two-dimensional sphere, the sphere S2, which is the simplest Riemannian manifold. Thus this article is intended to give enough subsidies to undergraduate students of physics to understand such concepts of geometry in order to facilitate the study of the general relativity. Similarly, this article is suitable to high school teachers who want to use basics concepts of Riemannian geometry to talk about the progress made in the field. In this sense, we introduce the curvature and define the manifold S2, showing that its curvature is not zero. This illustrates the theoretical framework of general relativity and it shows how the familiar concepts in Euclidian geometry change when the geometry is expanded. As an example we show how the Pythagorean theorem is built on this manifold.

Orientador: Diego Sebastian Ledesma Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Este trabalho apresenta um estudo sobre variedades Riemannianas que possuem um tensor de Bakry-Émery-Ricci com limitações. Inicialmente abordamos tanto aspectos da geometria Riemanniana tradicional como métricas e geodésicas, quanto aspectos mais avançados como as fórmulas de Bochner, Weitzenböck e o teorema de Hodge. Em seguida discutimos a convergência de Gromov-Hausdorff e suas propriedades, além de serem apresentados alguns teoremas como os de Kasue e Fukaya. Por fim estudamos as propriedades topológicas e geométricas de variedades com limitação no tensor de Bakry-Émery-Ricci e o comportamento de tais limitações com respeito à submersões e à convergência de Gromov-Hausdorff Abstract: This work presents a study about Riemannian manifolds having a Bakry-Émery-Ricci tensor with bounds. Initially we approached both the traditional aspects of Riemannian geometry like metrics and geodesics, as more advanced aspects like the Bochner, Weitzenböck formulas and the Hodge's theorem. Then we discussed the Gromov-Hausdorff convergence and its properties, in addition to showing some theorems as those from Kasue and Fukaya. Lastly we studied the topological and geometric properties of manifolds with bounds on the Bakry-Émery-Ricci tensor and the behavior of these bounds with respect to submersions and the Gromov-Hausdorff convergence Mestrado Matemática Mestre em Matemática

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, 2014. Nesta dissertação será apresentado um estudo de classes de métricas Riemannianas, tendo como objetivo um resultado de classificação de sólitons de Ricci gradiente, steady ou shrinking, que são localmente conformemente planos. Este resultado é baseado em um trabalho de Manuel Fernández Lopéz e Eduardo García Río, onde os autores mostram que todo sóliton de Ricci gradiente completo, localmente conformemente plano e simplesmente conexo deve ser localmente isométrico ao produto warped de uma forma espacial com uma variedade unidimensional. Se, em adição, tal sóliton for shrinking ou steady, então deve ser rotacionalmente simétrico. _________________________________________________________________________________ ABSTRACT In this dissertation it will be presented a study about classes of Riemannian metrics, where the goal is a classification result of locally conformally at steady or shrinking gradient Ricci solitons. This result is based on an article due to Manuel Fernández Lopéz and Eduardo García Río, where it is proved that a locally conformally at gradient Ricci soliton, simply connected, is locally isometric to an warped product of a space form with an one dimensional manifold. In addition, if such soliton is shrinking or steady, then it will be rotationally symmetric.

Nesta dissertação seguiremos a exposição de [1], onde o matemático holandês J. J. Duistermaat (1942-2010) faz um estudo detalhado da função X1 n=1 1 n2 sen(n2x). Definiremos essa função na forma f(x) = X1 n=1 1 n2 sen(n2x); (1) com o fator de escala introduzido para simplificar fórmulas futuras. Segundo o relato de Weierstrass no dia 18 de julho de 1872 à Academia Real de Ciências em Berlim, essa função havia sido introduzida por Riemann como um exemplo de uma função contínua que não possui derivada em nenhum ponto. Weierstrass não conseguiu demonstrar essa propriedade para a funçã f, mas teve sucesso em prová-la para funções da forma X1 n=0 1 an sen(bnx); (2) em que a > 1, b e um inteiro positivo ímpar e b a > 1 + 3 2 . Foi neste mesmo relato que Weierstrass apresentou o artigo em que fazia essa construção, provando a não-diferenciabilidade de (2)..

Neste trabalho estudamos o fluxo de Ricci dada por Hamilton abordando existência e unicidade, obtendo assim uma solução definida em um intervalo de tempo, em seguida, dar algumas estimativasde Bernstein-Bando-Shi, onde será demonstrado que a norma da curvatura de Riemann explode num tempo finito. Depois estudaremos a noção de convergência dado por Cheeger e Gromov devariedades Riemannianas pontuadas para enunciar o teorema de compacidade de Hamilton dando assim uma demonstração da conjectura de Poincaré no caso em que o tensor de Ricci é positivo. In this work we study the Ricci ow given by Hamilton addressing existence and uniqueness, thus obtaining a solution defined in a time interval, then give some estimates of Bernstein-Bando-Shi,which will be shown that the norm of the Riemann curvature explodes a finite time. Then we study the notion of convergence given by Cheeger and Gromov of pointed Riemannian manifolds for state the compactness theorem of Hamilton thus giving a demonstration of the Poincaré conjecture in the case where the Ricci tensor is positive.

Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) O objetivo principal deste trabalho é apresentar alguns resultados recentes na teoria de folheações polares, também chamadas de folheações riemannianas singulares com seções, em variedades de curvatura não positiva, presentes no artigo [24]. As ações polares também são estudadas, pois são objetos de pesquisa ativa que motivam e ilustram o estudo das folheações polares. Fornecemos uma demonstração de que não existem folheações polares próprias em variedades compactas de curvatura não positiva. Além disso, apresentamos um resultado que descreve globalmente as folheações polares próprias em variedades de Hadamard. Abordamos este resultado também no contexto particular das ações polares, utilizando a teoria de subvariedades taut. As ações adjunta e por conjugação são brevemente estudadas como exemplos clássicos de ações polares. This work aims at presenting some recent results on the theory of polar foliations, also know as singular riemannian foliations with sections, on nonpositively curved manifolds, as seen in T oben [24]. Polar actions are also studied, for they are active research subject that motivate and illustrate polar foliations. We give a proof of the nonexistence of proper polar foliations on compact manifolds of nonpositive curvature. Then we present a result that globally describes proper polar foliations on Hadamard manifolds. We prove this same result in the special case of polar actions by using the theory of taut submanifolds. The adjoint and conjugation actions are brie y presented as classical examples of polar actions.

The purpose of this work is study Ricci solitions and quasi-Einstein metrics on simply connected homogeneous Riemannian manifolds, with emphasis in problems in three and four dimensions, trying to characterize and to describe explicitly such structures, getting results of existence, uniqueness and consequently, build new examples on these class of manifolds. The quoted description consists basically in to obtain conditions that ensure the existence and show explicitly the family of vector fields that generate each of these structures, relating them identifying what of these vector fields are gradient. We should highlight that in the part of this work that corresponds to homogeneous three manifolds, we will consider the classification relative to dimension of isometry group, while in the part that corresponds to homogeneous four manifolds, we treat only the solvable geometry Lie type, namely, the simply connected solvable Lie group with left invariants metrics. Este trabalho tem como objetivo principal estudar os solitons de Ricci e as métricas quasi-Einstein em variedades riemannianas homogêneas e simplesmente conexas, enfatizando problemas em dimensões três e quatro, procurando caracterizar e descrever explicitamente tais estruturas, obtendo resultados de existência, unicidade e consequentemente, construir novos exemplos sobre essas classes de variedades. A descrição mencionada, consiste basicamente em determinar condições que garantam existência e explicitar a família de campos de vetores que geram todas essas possíveis estruturas, relacionando-os entre si e identificando quais desses campos de vetores são do tipo gradiente. Devemos ressaltar que a parte do trabalho que corresponde às variedades homogêneas de dimensão três considera a classificação relativa à dimensão do grupo de isometrias, enquanto a parte que corresponde às variedades homogêneas de dimensão quatro, contempla apenas uma subclasse das variedades homogêneas de dimensão quatro que é constituída pelas variedades solúveis tipo-Lie, ou seja, grupos de Lie solúveis, simplesmente conexos e munidos de métrica invariante à esquerda.

Orientador: Rafael de Freitas Leão Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica Resumo: Dada uma conexão sobre um fibrado vetorial podemos usá-la para construir o transporte paralelo de elementos do fibrado ao longo de curvas da variedade base. Esta operação nos fornece isomorfismos lineares entre as fibras do fibrado em questão, mas quando consideramos laços na variedade base o ponto de partida é igual ao ponto de chegada, desta forma obtemos um isomorfismo da fibra sobre este ponto nela mesma. O conjunto de isomorfismos obtidos por esta construção formam um grupo chamado Grupo de Holonomia. Quando consideramos o fibrado tangente de uma variedade riemanniana com a conexão Levi-Civita o grupo de holonomia está intrinsecamente relacionado com a geometria da variedade. Esta foi explorada por Marcel Berger para classificar quais grupos podem aparecer como holonomia de uma variedade riemanniana. O objetivo desta dissertação é fornecer uma demonstração geométrica, obtida por Carlos Olmos, deste resultado Abstract: Given a connection over a vector bundle we can use it to build the parallel transport of elements in the bundle along curves of the base manifold. This function provides us with linear isomorphisms between the fibers of the bundle in question, but when we consider loops in the base manifold starting point is equal to the arrival point, this way we obtain an isomorphism of the fiber over this point in itself. The set of isomorphism obtained by this construction form a group called Holonomy Group. When we consider the tangent bundle of a Riemannian manifold with Levi-Civita connection the holonomy group is intrinsically related to the geometry of the array. This was explored by Marcel Berger to classify which groups can appear as holonomy of a Riemannian manifold. The objective of this dissertation is to provide a geometric demonstration, obtained by Carlos Olmos, this result Mestrado Matemática Mestre em Matemática

Orientadores: Luiz Antonio Barrera San Martin, Lino Anderson da Silva Grama Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Resumo: Neste trabalho estudamos os aspectos geométricos dos grupos de Lie do ponto de vista da geometria Riemanniana, geometria Hermitiana e geometria Kähler, através das estruturas geométricas invariantes associadas. Exploramos resultados relacionados às curvaturas da variedade Riemanniana subjacente a um grupo de Lie através do estudo de sua álgebra de Lie correspondente. No contexto da geometria Hermitiana e geometria Kähler, para um caso concreto de grupo de Lie complexo, investigaram suas curvaturas seccionais holomorfas e verificamos a existência de uma estrutura pseudo-Kähler invariante por sua forma real compacta Abstract: In this dissertation, we study the geometric aspects of Lie groups from the viewpoint of Riemannian geometry, Hermitian geometry, and Kähler geometry through its associated invariant geometric structures. We explore results related to curvatures of Riemannian manifold underlying a Lie group by studying its corresponding Lie algebra. In the context of Hermitian geometry and Kähler geometry, for a complex Lie group case, we investigate its holomorphic sectional curvatures and verify the existence of pseudo-Kähler structure invariant for its compact real form Mestrado Matemática Mestre em Matemática

Neste trabalho, provaremos resultados obtidos por Robert C. Reilly no artigo [30], os resultados obtidos são no contexto de subvariedades do espaço Euclidiano compactas e sem bordo. A princípio, mostramos uma generalização da curvatura média conforme [30], criando as r-ésimas curvaturas médias (.)r, que podem ter valores reais ou vetoriais. As fórmulas de Hsiung-Minkowski são identidades conhecidas em análise geométrica. Em 1954, Hsiung provou essa identidade para subvariedades do espaço Euclidiano de codimensão 1, compactas e sem bordo, no artigo [17]. Provaremos esse resultado para subvariedades de codimensão qualquer, como feito em [30]. Em uma variedade, nem sempre é possível obter valor exato do primeiro autovalor do Laplaciano. Utilizando o princípio do mínimo e as fórmulas de Hsiung-Minkowski, encontramos cotas superiores para esse autovalor, desigualdades, as quais, também classificam a variedade, com teoremas do tipo "esfera". No primeiro capítulo, registramos resultados básicos de geometria Riemanniana, que são úteis para o capítulo final. O segundo capítulo trata de subvariedades, a referência que mais utilizamos para a sua escrita foi [12]. O trabalho consta ainda de dois apêndices, nos quais, veremos uma demonstração da desigualdade de Wirtinger para o R2, , que junto com outra desigualdade que será vista no último capítulo, nos dá a desigualdade isoperimétrica para curvas suaves. No segundo apêndice sera visto um cálculo explicito do primeiro autovalor do Laplaciano no caso da esfera.

In this work we study complete minimal hypersurfaces with constant Gauss-Kronecker curvature in a space form Q4(c). We prove that the infimum of the absolute value of the Gauss-Kronecker curvature of a complete minimal hypersurface in Q4(c); c ≤ 0; whose Ricci curvature is bounded from below,is equal to zero. Futher, we study the connected minimal hypersurfaces M3 of a space form Q4(c) with constant Gauss-Kronecker curvature K. For the case c ≤ 0, we prove, by a local argument, that if K is constant, then K must be equal to zero. We also present a classification of complete minimal hypersurface of Q4 with K constant. Examples of complete minimal hypersurfaces which are not totally geodesic in the Euclidean space R4 and the hiperbolic space H4(c) with vanishing Gauss-Kronecker curvature are also presented. Neste trabalho estudamos hipersuperfícies mínimas completas e com curvatura de Gauss-Kronecker constante em uma forma espacial Q4(c). Provamos que o ínfimo do valor absoluto da curvatura de Gauss-Kronecker de uma hipersuperfície mínima completa em Q4(c); c ≤ 0; na qual a curvatura de Ricci é limitado inferiormente, é igual a zero. Além disso, estudamos hipersuperfícies mínimas conexas M3 em uma forma espacial Q4(c) com curvatura de Gauss-Kronecker K constante. Para o caso c ≤ 0, provamos, por um argumento local, que se K é constante, então K deve ser igual a zero. Também apresentamos uma classificação de hipersuperfícies completas mínimas em Q4 com K constante. Exemplos de hipersuperfícies mínimas que não são totalmente geodésicas no espaço Euclidiano e no espaço hiperbólico com curvatura de Gauss-Kronecker nula são apresentados.

Estudamos sistemas elípticos sob a forma potencial envolvendo o p-Laplaciano com a presença de não-linearidades críticas. Na primeira parte apresentamos condições para a existência de soluções regulares de sistemas potenciais em Geometria Riemanniana, uma decomposição em bolhas diagonais para aplicações de Palais-Smale e aplicações teóricas dessa decomposição. Na segunda parte, no espaço Euclideano, apresentamos uma segunda decomposição em bolhas e aplicamos-a a um resultado de compacidade.

Tese (doutorado)-Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2010. Neste trabalho, consideramos variedades completas, não-compactas, satisfazendo alguma hipótese sobre a curvatura de Ricci radial. Na primeira parte, obtemos algumas estimativas `a priori e também a questão de existência para equações tipo Yamabe em tais variedades. Como consequência destes resultados, mostramos um teorema de existência de métricas conformes com curvatura escalar dada. Na segunda parte, estudamos algumas famílias de desigualdades clássicas da análise. Entre outras coisas, mostramos que uma variedade completa, não-compacta, satisfazendo a propriedade do volume duplicado e tal que vale alguma desigualdade de Gagliardo- Nirenberg, possui máximo crescimento de volume. Também mostramos que variedades completas n˜ao compactas com curvatura de Ricci não negativa e que satisfazem alguma desigualdade de Log-Sobolev ou de Hardy, com uma constante “próxima”da melhor constante do caso Euclideano, são difeomorfas a este último. ___________________________________________________________________________________________ ABSTRACT In this work, we consider complete non-compact manifolds, satisfying some hypothesis about the radial Ricci curvature. In the first part, we obtain some priori estimates and also the question of existence for Yamabe type equations in such manifolds. As a consequence of these results, we show a theorem of existence of conformal metrics with scalar curvature given. In the second part, we study some families of classical inequalities of analysis. Among other things, we show that a complete non-compact manifold satisfying the doubling volume property and such that some inequality of Gagliardo-Nirenberg holds, has maximal volume growth. We also show that non-compact manifolds with non-negative Ricci curvature and satisfying some inequality of Log-Sobolev or Hardy, with a constant “ close ”to the best constant of the Euclidean case are diffeomorphics to the latter.

Orientador: Pedro Jose Catuogno Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Neste trabalho estudamos a geometria dos caminhos em grupos de Lie usando a exponencial estocástica e o logaritmo estocástico. Apresentamos as construções geométricas do espaço tangente, uma métrica e uma conexão natural as caminhos em grupos de Lie. Finalmente apresentamos uma situação em que essa conexão é Levi-Civita e outra que não é Abstract: In this work, we study the path geometry in Lie groups using the stochastic exponential and the stochastic logarithm. We show the geometric constructions of tangent space, one metric and one natural conection of Lie groups valued path. Finelly we show one situation that this conection is Levi-Civita and another one that is not Mestrado Geometria Mestre em Matemática

Orientador: Reginaldo Palazzo Junior Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computação Resumo: Em geral, o espaço EucIidiano é utilizado no projeto e na análise de desempenho da maior parte dos sistemas de comunicações atuais. Nesta tese, verificamos que o modelo de um sistema de comunicação não necessariamente está restrito ao espaço Euclidiano, mas sim a uma variedade Riemanniana. Com isso, os sistemas de comunicaçoes podun ser analisados em um contexto mais geral, no qual constatamos que a curvatura do espaço influencia em seus desempenhos. Corno exemplo, estudamos a curvatura de meios ópticos e propomos novos perfis de guias de ondas, fibras ópticas e lentes de interesse prático. Além disso, caracterizamos a curvatura de modulações não-lineares (twisted) e verificamos que o valor máximo permitido para a energia média do ruído está relacionada ao valor da curvatura da modulação. Neste contexto, as moclulações associadas a superfícies mínimas apresentaram bons desempenhos, pois tais modulações são pontos críticos do erro quadrático médio. Mostramos também que o espaço de sinais possui métrica induzida da superfície associada à modulação. Com isso, foi possível demonstrar que os espaços de sinais com curvatura negativa são os que apresentam melhor desempenho segundo a probabilidade média de erro. Dessa forma, alguns exemplos de constelações de sinais geometricamente uniformes foram construídos e analisados em variedades Riemannianas. Finalizamos este trabalho notando que na maioria das vezes que o espaço hiperbólico é utilizado nos blocos ele um sistema ele comunicações, o desempenho desse sistema tende a se aproximar do ponto ótimo de operação Abstract: ln general, the Euclidian space is used in the design and performance analysis in most of the current communication systems. ln this thesis, we note that the model of a communication system is not necessarily restricted to the Euclidian space, more precisely, the model can be linked to Riemannian manifolds. Thus, the communication systems could be analyed in a broader context, in which the curvature of space influence on their performance. As an example, we studied the curvature of optical medium and propose new profiles of waveguides, optical fibers and lenses of practical interest. Moreover, we have characterized the curvature of twisted modulations and found that the maximum value allowed for the average energy of noise is related to the value of the curvature of the modulation. ln this context, the modulation associatecl with minimal surfaces showed good performance, because these modulations are critical points of minimum the mean-square error. VVe show that the signal space has induced metric associated with surface of the modulation. Thus, we have shown that the signal space with negative curvature is the space where the average error probability decrease a function of the curvature. Thus, some examples of geometrically uniform signal constellations were constructecl and analyzed on Riemannian manifolds. Finally we note that most of the time that hyperbolic space is considered in blocks of a communication system, then the performance of this system tends to be closer to the optimum point of operation Doutorado Telecomunicações e Telemática Doutor em Engenharia Elétrica

Orientador: Caio Jose Colleti Negreiros Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: O objetivo deste trabalho é estudar a relação existente entre holomorfia e harmonicidade de aplicações f : M 2 (IF; J; ds2? ), onde M 2 é uma superfície de Riemann compacta, orientável e IF é a variedade bandeira maximal. Para isto, apresentamos parte da teoria geral de aplicações harmônicas e holomorfas, necessária para demonstrar o teorema de Lichnerowicz. Uma de suas conseqüências é uma ferramenta importante neste estudo, pois fornece o seguinte critério: se f é J-holomorfa e ds2? é (1,2)-simplética, então f é harmônica. Portanto, também estamos interessados em descrever as métricas (1,2)-simpléticas nas variedades bandeira. Primeiramente, no caso geométrico, estudamos a variedade bandeira complexa maximal de subespaços encaixados IF(n). Posteriormente, este estudo é generalizado para outras variedades bandeiras maximais IF, definidas através de álgebras de Lie semi-simples complexas. Ainda, demonstramos o teorema de Burstall-Salamon, que fornece propriedades da estrutura quase complexa invariante J através de um torneio ?J associado. Finalmente, exibimos as equações de Cauchy-Riemann e de Euler-Lagrange para estas aplicações, e apresentamos exemplos de famílias de funções equi-harmônicas Abstract: The goal of this work is to study the relationship bettwen holomorphicity and harmonicity of maps f: M 2 (IF; J; ds2? ), where M 2 is a compact, orientable Riemann surface and IF is the full-flag manifold. With this pourpose, we present part of the general holomorphic/harmonic maps theory, which is necessary to prove the Lichnerowicz theorem.It states like consequence a criterion, which is an important tool in this study: if f is J-holomorphic and ds2? é (1,2)-symplectic, then f is harmonic. Therefore, we are interested in to describe (1,2)-symplectc metrics on the flag manifold.Firstly, in the geometrical case, we study the complex full-flag manifold IF(n). Later, we generalize this study to other full-flag manifolds IF, which is defined through complex semisimple Lie algebras. Also, we prove the Burstall-Salamon theorem, which gives some properties of the almost complex structure J through an associated tournament ?J. Finally, we show-up the Cauchy-Riemann equations and the Euler-Lagrange equations to this maps, and present examples of families of equi-harmonic maps Mestrado Mestre em Matemática

Neste trabalho estudamos as anomalias gravitacionais (anomalia de Einstein e anomalia de Weyl) em duas dimensões através do método de regularização implícita (RI). Uma breve revisão das ferramentas matemáticas mínimas para tratarmos o problema é feita. Com isto em mãos, utilizamos o método de RI para calcular a amplitude relativa ao problema, e consequentemente as identidades de Ward. Mostramos que nossos resultados independem de ponto de subtração das integrais divergentes e que dois parâmetros dependentes de regularização permanecem até o final dos cálculos. O valor numérico destes parâmetros são estipulados através de argumentos sobre a própria simetria. Por fim apresentamos o resultado final das anomalias de Einstein e de Weyl. In this work we study the gravitational anomalies (Einstein anomaly andWeyl anomaly) in two dimensions through the method of implicit regularization (RI). We present a brief review on the minimal mathematical tools to treat the problem. After that, we use the method of RI to calculate the amplitude relative to the problem, and consequently the Ward identities. We show that our results do not depend on the subtraction point of the divergent integrals and that two regularization dependend parameters remain in the end of the calculations. The numeric values of these parameters are stipulated through symmetry arguments. Finally we show the final results about the Einstein and Weyl anomalies.

Made available in DSpace on 2016-01-13T13:27:47Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2004. Added 1 bitstream(s) on 2016-01-13T13:33:16Z : No. of bitstreams: 1 000855317.pdf: 1965123 bytes, checksum: c524cf5365c49cb4bf2f4f8552b3e7bc (MD5)

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Orientador : Reginaldo Palazzo Junior Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computação Mestrado

Orientadores: Antonio Carlos Asperti, Francesco Mercuri Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: O principal objetivo deste trabalho é introduzir e estudar uma nova classe de imersões isométricas, chamadas imersões pseudo-paralelas, como um análogo intrínseco das variedades pseudo-simétricas introduzidas por Ryszard Deszcz, e como uma generalização natural das imersões semi-paralelas introduzidas por Johan Deprez. Neste contexto apresentamos vários exemplos importantes de imersões pseudo-paralelas que não são semi-paralelas e de imersões pseudo-simétricas que não são pseudo-paralelas. Além disso, mostramos uma caracterização das hipersuperfícies pseudo-paralelas e uma série de resultados em nível de superfícies, imersões em codimensão dois e também com codimensão alta. Por último, neste trabalho mostramos que as imersões pseudo-paralelas estão intimamente relacionadas com os sistemas triplos de Jordan. Abstract: The main objective of this work is to introduce and study a new class of isometric immersions, called pseudo-parallel, as an intrinsic analogue of the pseudo-symmetric manifolds introduced by Ryszard Deszcz, and as a natural generalization of the semi-parallel immersions introduced by Johan Deprez. Moreover we presente several important examples of pseudo-parallel immersions that are not semi-parallel and of pseudo-symmetric immersions that are not pseudo-parallel. Besides, we showed a characterization of the pseudo-parallel hypersufaces and some results for surfaces, immersions in codimention two and also with high codimention. At last, we showe that the pseudo-parallel immersions are related with Jordan's triple systems. Doutorado Doutor em Matemática

Orientador: Francesco Mercuri Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica Resumo: Os objetos fundamentais deste trabalho são as hipersuperficies de G-cohomogeneidade 1 do espaço euclidiano, isto é, as imersões isométricas... ... Observação: O resumo, na íntegra, poderá ser visualizado no texto completo da tese digital. Abstract: Not informed. Doutorado Doutor em Matemática

Orientador: Caio Jose Colletti Negreiros Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Ciencia da Computação Resumo: Não informado. Abstract: Not informed. Mestrado Mestre em Matemática