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This thesis studies the long-time behavior of several partial differential equations arising in kinetic theory.Those equations have an equilibrium towards which, roughly, some solution converges.We employ both probabilistic and deterministic methods to derive the rate of this convergence. This work is divided into three parts.In the first one, we study the free-transport equation enclosed in a bounded domain with Maxwell boundary condition,as already considered by Aoki and Golse and Kuo et al.. We extend the (almost) optimal rate 1/t^d, where d is the dimension of the problem,to the case of a general regular domain, without the symmetry assumption required in earlier works.We use two different methods: a probabilistic coupling in Chapter 2, allowing us to generalize the boundary condition,and a deterministic version of some subgeometric Harris' theorem in Chapter 4, with which we can consider the case where the temperature varies at the boundary.In Chapter 3 we provide some numerical evidences supporting our result that the polynomial rate of convergence observed in the case where the spatial domain is symmetric should extend to non-symmetric, regular domains.In the second part of this thesis, we focus on the subgeometric convergence towards the invariant distribution of Markov processes.We exhibit a new set of conditions, close in spirit to the ones of Douc, Fort and Guillin and Hairer, leading to the subgeometric convergence of a strong Markov process.Our conditions are chosen in order to be equivalent, as in the exponential theory of Meyn and Tweedie, whereas only one implication holds in the usual set of conditions.In the last part, we study collisional kinetic models, namely the linearized Boltzmann and linearized Landau equations, enclosed in a regular, bounded domain.We prove constructive L² hypocoercivity estimates for the generalized Maxwell boundary condition, which includes the case of the specular reflection boundary condition.With those estimates, one concludes to the exponential relaxation towards equilibrium for those models.; Cette thèse est dédiée à l'étude du comportement en temps long de plusieurs équations aux dérivées partielles, issues de la théorie cinétique, pour lesquelles, informellement, un équilibre vers lequel la solution converge existe. Nous utilisons des méthodes probabilistes et déterministes pour obtenir le taux de convergence associé. Ce travail est divisé en trois parties. Dans la première, nous étudions un modèle de transport libre à l'intérieur d'un domaine borné, avec la condition au bord de Maxwell déjà considérée par Aoki et Golse et Kuo et al.. Nous étendons le taux (quasi) optimal 1/t^d, où d est la dimension du problème, au cas de domaines réguliers généraux, sans l'hypothèse de symétrie nécessaire dans les travaux précédents. On utilise deux méthodes différentes: un couplage probabiliste dans le Chapitre 2, qui nous permet de traiter des versions généralisées de la condition de bord, et un théorème de Harris sous-géométrique déterministe dans le Chapitre 4, qui permet notamment de traiter le cas où la température varie au bord. Au Chapitre 3, nous présentons des simulations numériques qui viennent à l'appui de nos résultats, selon lesquels le taux polynomial observé quand le domaine spatial est symétrique doit aussi s'appliquer à des domaines non symétriques réguliers. Dans la seconde partie de cette thèse, on s'intéresse à la convergence sous-géométrique vers la distribution invariante de processus de Markov. On présente un nouvel ensemble de conditions, proches de celles de Douc, Fort et Guillin et de Hairer, à partir desquelles l'on peut déduire la convergence sous-exponentielle d'un processus de Markov fort. Un point particulièrement intéressant est que ces nouvelles conditions sont équivalentes, comme dans le cas de la théorie pour les taux exponentielles de Meyn et Tweedie, et contrairement aux conditions pré-existantes. Dans la dernière partie, on étudie des modèles de cinétique collisionnelle, en particulier l'équation de Boltzmann linéarisée et l'équation de Landau linéarisée dans un domaine borné régulier. On prouve des estimées d'hypocoercivité constructives dans L² pour la condition de Maxwell généralisée au bord, qui inclut la cas de la réflexion spéculaire. Ces estimées permettent de conclure à la relaxation exponentielle vers l'équilibre de ces modèles.

This dissertation is devoted to the long time behaviour of the kinetic Fokker-Planck equation and of the McKean-Vlasov equation. The manuscript is composed of an introduction and six chapters.The kinetic Fokker-Planck equation is a basic example for Villani's hypocoercivity theory which asserts the exponential decay in large time in the absence of coercivity. In his memoir, Villani proved the hypocoercivity for the kinetic Fokker-Planck equation in either weighted H^1, weighted L^2 or entropy.However, a boundedness condition of the Hessian of the Hamiltonian was imposed in the entropic case. We show in Chapter 2 how we can get rid of this assumption by well-chosen multipliers with the help of a weighted logarithmic Sobolev inequality. Such a functional inequality can be obtained by some tractable Lyapunov condition.In Chapter 4, we apply Villani's ideas and some Lyapunov conditions to prove hypocoercivity in weighted H^1 in the case of mean-field interaction with a rate of exponential convergence independent of the number N of particles. For proving this we should prove the Poincaré inequality with a constant independent of N, and rends a dimension dependent boundeness estimate of Villani dimension-free by means of the stronger uniform log-Sobolev inequality and Lyapunov function method. In Chapter 6, we study the hypocoercive contraction in L^2-Wasserstein distance and we recover the optimal rate in the quadratic potential case. The method is based on the temporal derivative of the Wasserstein distance.In Chapter 7, Villani's hypoercivity theorem in weighted H^1 space is extended to weighted H^k spaces by choosing carefully some appropriate mixed terms in the definition of norm of H^k.The McKean-Vlasov equation is a nonlinear nonlocal diffusive equation. It is well-Known that it has a gradient flow structure. However, the known results strongly depend on convexity assumptions. Such assumptions are notably relaxed in Chapter 3 and Chapter 5 where we prove the exponential convergence to equilibrium respectively in free energy and the L^1-Wasserstain distance. Our approach is based on the mean field limit theory. That is, we study the associated system of a large numer of paricles with mean-field interaction and then pass to the limit by propagation of chaos., Cette thèse est consacrée au comportement à long terme de l'équation cinétique de Fokker-Planck et de l'équation de McKean-Vlasov. Le manuscrit est composé d'une introduction et de six chapitres. L'équation cinétique de Fokker-Planck est un exemple de base de la théorie de l'hypocoercivité de Villani qui affirme la décroissance exponentielle dans le temps en l'absence de coercivité. Dans son mémoire AMS, Villani a prouvé l'hypocoercivité de l'équation cinétique de Fokker-Planck en H^1(\mu), L^2(\mu) ou entropie. Cependant, une condition sur la bornitude de l'Hessien de l'hamiltonien a été imposée dans le cas entropique. Nous montrons au chapitre 2 comment nous pouvons affaiblir cette hypothèse par des multiplicateurs bien choisis à l'aide d'une inégalité de Sobolev logarithmique pondérée. Nous montrons que nos conditions sont satisfaites sous certaines conditions pratiques de fonction de Lyapunov.Dans le chapitre 4, nous appliquons les idées de Villani et certaines conditions de Lyapunov pour prouver l'hypocoercivité en H^1 pondéré dans le cas d'une interaction de champ moyen avec un taux de convergence exponentielle indépendant du nombre de particules. Pour cet objectif nous devons établir l'inégalité de Poincaré uniforme (sur le nombre de particules) et rendre une estimation connue de Villani qui était dimension-dépendante, dimension-indépendante.Au chapitre 6, nous étudions la contraction hypocoercive de la distance L^2-Wasserstein et nous retrouvons le taux optimal dans le cas du potentiel quadratique. La méthode est basée sur la dérivée en temps de la distance de Wasserstein. Au chapitre 7, le théorème d'hypoercivité de Villani dans l'espace H^1 pondéré est généralisé aux espaces H^k pondérés par une norm auxiliaire avec des termes mélangés bien choisis.L'équation de McKean-Vlasov est une équation diffusive non linéaire non locale. Il est bien connu qu'il a une structure de gradient-flot. Cependant, les résultats connus dépendent fortement des hypothèses de convexité. De telles hypothèses sont notamment assouplies dans les chapitres 3 et 5 où nous prouvons la convergence exponentielle vers l'équilibre respectivement en énergie libre et la distance L^1-Wasserstain, sous la condition de Dobrushin-Zegarlinski de l'absence de phase de transition. Notre approche est basée sur la théorie de la limite de champ moyen. Autrement dit, nous étudions le système d'un grand nombre de particules avec une interaction du type champ-moyen, puis passons à la limite par la propagation de chaos.

This thesis is dedicated to the study of the Fokker-Planck kinetic equation in the presence of an external and strong magnetic field.First, we show the exponential return to equilibrium of the solutions of this equation in $ L^p $-type spaces and Sobolev spaces with non-classical polynomial weights.Secondly, we are interested in a maximal-type estimate on the associated operator. This estimate makes it possible to give a better characterization of the domain of the closure of the operator considered.Finally, we study the quadratic Fokker-Planck electromagnetic operator. We explicitly compute the norm of the semi-group associated to the considered operator. We show an explicit and precise estimates of this norm in small and long time as well as uniform-in-time estimates when the magnetic parameter tends to infinity.; Cette thèse est dédiée à l'étude de l'équation cinétique de Fokker-Planck en présence d'un champ magnétique externe et fort. Premièrement, nous montrons le retour exponentiel à l'équilibre des solutions de cette équation dans des espaces de type $L^p$ et des espaces de Sobolev à poids polynomial non-classique.Deuxièmement, nous nous intéressons à une estimation de type maximal sur l'opérateur associé. Cette estimation permet de donner une meilleure caractérisation du domaine de la fermeture de l'opérateur considéré.Finalement, nous étudions l'opérateur quadratique de Fokker-Planck électro-magnétique. Nous calculons explicitement la norme du semi-groupe associé à l'opérateur considéré. Nous montrons des estimations explicites et précises de cette norme en temps petit et long ainsi que des estimations uniformes en temps lorsque le paramètre magnétique tend vers l'infini.

This thesis mainly study the hypocoercivity and long time behaviour of kinetic equations. We first consider the kinetic Fokker-Planck equation with weak confinement force and a class of general force. We prove the existence and uniqueness of a positive normalized equilibrium (in the case of a general force) and establish some exponential rate or sub-geometric rate of convergence to the equilibrium (and the rate can be explicitly computed). Then we study convergence to equilibriumof the linear relaxation Boltzmann (also known as linear BGK) and the linear Boltzmann equations either on the torus or on the whole space with a confining potential. We present explicit convergence results in total variation or weighted total variation norms. The convergence rates are exponential when the equations are posed on the torus, or with a confining potential growing at least quadratically at infinity. Moreover, we give algebraic convergence rates when subquadratic potentials considered. We use a method known as Harris’s Theorem.; Cette thèse porte principalement sur l’hypocoercivité et le comportement à long terme d’équations cinétiques. Nous considérons d’abord l’équation cinétique de Fokker-Planck avec la force de confinement faible et une classe de force générale. Nous prouvons l’existence et l’unicité d’un équilibre normalisé positif (dans le cas d’une force générale) et établissons un certain taux exponentiel ou sous-géométrique de convergence vers l’équilibre (et le taux peut être explicitement calculé). Ensuite, nous étudions la convergence vers l’équilibre de la relaxation Boltzmann linéaire (également appelé BGK linéaire) et le équations de Boltzmann linéaire soit sur le tore ou sur tout l’espace avec un confinement potentiel.Nous présentons des résultats de convergence explicites au normes de variation total ou de variation totale pondérée.Les taux de convergence sont exponentiels lorsque les équations sont posées sur le tore ou avec un potentiel de confinement grandir au moins quadratiquement à l’infini. De plus, nous donnons taux de convergence algébrique lorsque les potentiels sousquadratiqué pris en considération. Nous utilisons le théorème de Harris.

This thesis is devoted to study the large time asymptotic behaviour and hypocoercivity of evolution PDEs. We prove that for Nernst-Planck equation and in several cases of flocking model, there exist optimal exponential rates of convergence to station- ary solutions for large time, and the rates are determined by spectral gap of the linearized problem around the stable solutions. Moreover, for the flocking model, we prove that there exists a threshold value that drives phase transition and classify all station- ary solutions and the linear stability properties. Then for kinetic Fokker-Planck equation, we prove that for its φ-entropy, the exponential rate of decay is faster than the optimal rate up to a zero-measure set in time t. And for linearized Vlasov-Poisson- Fokker-Planck equation with an external potential of confinement, we study the large time behaviour of the solutions using hypocoercivity methods and a notion of scalar product adapted to the presence of a Poisson coupling.., Cette thèse est consacrée à l’étude du comportement asymptotique dans le temps et de l’hypocoercivité des EDP d’évolution. Nous montrons que pour l’équation de Nernst-Planck et dans les cas spécial de modèle de flocage, il existe des taux de con- vergence exponentiels optimaux vers des solutions stationnaires pour un temps t long, et que ces taux sont déterminés par le trou spectral du problème linéarisé autour des solutions stables. De plus, pour le modèle de flocage, nous prouvons qu’il existe une valeur seuil qui commande la transition de phase et classe toutes les solutions stationnaires et les propriétés de stabilité linéaire. Ensuite, pour l’équation cinétique de Fokker-Planck, nous prouvons que, pour son entropie, le taux de décroissance exponentiel est plus rapide que le taux optimal jusqu’à une mesure nulle définie dans le temps. Et pour l’équation linéarisée de Vlasov-Poisson-Fokker-Planck avec un potentiel de confinement externe, nous étudions le comportement dans le temps long des solutions en utilisant des méthodes d’hypocoercivité et une notion de produit scalaire adaptée à la présence d’un couplage de Poisson.

This thesis is devoted to several studies which aim at investigating the link between the Boltzmann equation for gaseous mixtures and the Maxwell-Stefan equations, modelling purely diffusive phenomena inside a gas. Our analysis is built on a linearization of the solution of the kinetic equation around a local Maxwellian state characterized by different bulk velocities for each species of the mixture, but having the same order of mag- nitude of the scaling parameter which prescribes the diffusion asymptotics. In a first part, we start by showing that the Boltzmann operator linearized around such a Maxwellian, which does not constitute an equilibrium for the gas, exhibits a quasi-stability property on its spectral gap : the spectral gap known to exist for the collision operator linearized a global equilibrium state is preserved up to a correction which is of the same order of the scaling parameter. Thanks to this feature and via the derivation of suitable hypocoercivity estimates, we are then able to prove that the Maxwell-Stefan system can be rigorously obtained from the Boltzmann multi-species equation, by showing that the solutions of the kinetic and macroscopic models exist uniquely in a perturbative sense. In a second part of the manuscript, using the moment method, we design a numerical scheme which captures the correct behaviour of the solutions at different scales of the diffusion asymptotics. We prove that our scheme possesses at least one solution with positive concentrations, and we show numerically that it is asymptotic-preserving in the vanishing limit of the scaling parameter., Cette thèse est consacrée à plusieurs études reliant l’équation de Boltzmann pour les mélanges gazeux aux équations de Maxwell-Stefan décrivant la diffusion gazeuse. Notre analyse est construite sur une linéarisation de la solution de l’équation cinétique autour d’un état maxwellien local ayant des vitesses différentes pour chaque espèce du mélange, mais de l’ordre du paramètre d’échelle qui prescrit l’asymptotique diffusive. Dans une première partie, nous montrons que l’opérateur de Boltzmann linéarisé autour d’une telle maxwellienne, ne constituant pourtant pas un état d’équilibre pour le gaz, satisfait une propriété de quasi-stabilité de son trou spectral : le trou spectral obtenu en linéarisant l’opérateur de collision autour d’un état d’équilibre global est préservé à une correction du même ordre que le paramètre d’échelle. Ainsi, nous sommes ensuite en mesure de prouver que le système de Maxwell-Stefan peut être dérivé rigoureusement à partir de l’équation de Boltzmann multi-espèce. Cette dérivation est obtenue en montrant existence et unicité des solutions perturbatives des modèles cinétique et macroscopique, grâce en particulier à des estimations d’hypocoercivité. Dans une deuxième partie du manuscrit, par le biais de la méthode des moments, nous construisons un schéma numérique capable de décrire le comportement des solutions aux différentes échelles de l’asymptotique diffusive. Pour ce schéma, nous prouvons un résultat d’existence et de positivité des solutions, et un caractère préservant l’asymptotique est montré à travers plusieurs tests numériques.

We study the properties of stationary states associated with nonequilibrium dynamics from a theoretical and a numerical point of view. These dynamics are obtained by perturbing equilibrium dynamics with mechanical and / or thermal forcings. In the theoretical approach, the system considered evolves according to a Langevin dynamics perturbed by a torque. In this framework, we study the convergence of the law of dynamics to the stationary measure, giving quantitative estimates of the exponential rate, both in the Hamiltonian and `` overdamped '' regimes.By a numerical approach, we consider a chain of rotors subjected to both forcings and a chain of Toda oscillators subject to a thermal forcing and a stochastic perturbation. We study the features of the stationary state and analyze its transport properties. In particular, in the case of the rotor chain, contrary to what is naively expected, we observe that the average energy current is in some cases increased by an opposite temperature gradient.; Nous étudions les propriétés des états stationnaires et de dynamiques hors-équilibre, d’un point de vue théorique et numérique. Ces dynamiques sont obtenues en perturbant la dynamique d’équilibre par forçage mécanique et/ou thermique. Dans l’approche théorique, le système considéré évolue selon une dynamique de Langevin à laquelle on ajoute une force extérieure. Nous étudions la convergence de la loi de la dynamique vers la mesure stationnaire, en donnant des estimations quantitatives du taux, dans les régimes Hamiltonien et sur amorties. Dans l’approche numérique, nous considérons une chaîne de rotateurs soumise aux deux forçages et une chaîne d’oscillateurs de Toda soumise à un forçage thermique et à une perturbation stochastique. Nous étudions les caractéristiques de l’état stationnaire et les propriétés de transport. Dans le cas de la chaîne de rotateurs nous observons en particulier que le courant d’énergie moyen est dans certains cas accru par un gradient de température opposé.

We study the properties of stationary states associated with nonequilibrium dynamics from a theoretical and a numerical point of view. These dynamics are obtained by perturbing equilibrium dynamics with mechanical and / or thermal forcings. In the theoretical approach, the system considered evolves according to a Langevin dynamics perturbed by a torque. In this framework, we study the convergence of the law of dynamics to the stationary measure, giving quantitative estimates of the exponential rate, both in the Hamiltonian and `` overdamped '' regimes.By a numerical approach, we consider a chain of rotors subjected to both forcings and a chain of Toda oscillators subject to a thermal forcing and a stochastic perturbation. We study the features of the stationary state and analyze its transport properties. In particular, in the case of the rotor chain, contrary to what is naively expected, we observe that the average energy current is in some cases increased by an opposite temperature gradient.; Nous étudions les propriétés des états stationnaires et de dynamiques hors-équilibre, d’un point de vue théorique et numérique. Ces dynamiques sont obtenues en perturbant la dynamique d’équilibre par forçage mécanique et/ou thermique. Dans l’approche théorique, le système considéré évolue selon une dynamique de Langevin à laquelle on ajoute une force extérieure. Nous étudions la convergence de la loi de la dynamique vers la mesure stationnaire, en donnant des estimations quantitatives du taux, dans les régimes Hamiltonien et sur amorties. Dans l’approche numérique, nous considérons une chaîne de rotateurs soumise aux deux forçages et une chaîne d’oscillateurs de Toda soumise à un forçage thermique et à une perturbation stochastique. Nous étudions les caractéristiques de l’état stationnaire et les propriétés de transport. Dans le cas de la chaîne de rotateurs nous observons en particulier que le courant d’énergie moyen est dans certains cas accru par un gradient de température opposé.

This thesis is aimed to study some biological models in neuronal network and chemotaxis with the spectral analysis method. In order to deal with the main concerning problems, such as the existence and uniqueness of the solutions and steady states as well as the asymptotic behaviors, the associated linear or linearized model is considered from the aspect of spectrum and semigroups in appropriate spaces then the nonlinear stability follows. More precisely, we start with a linear runs-and-tumbles equation in dimension d≥1 to establish the existence of a unique positive and normalized steady state and the exponential asymptotic stability in weighted L¹ space based on the Krein-Rutman theory together with some moment estimates from kinetic theory. Then, we consider time elapsed model under general assumptions on the firing rate and prove the uniqueness of the steady state and its nonlinear exponential stability in case without or with delay in the weak connectivity regime from the spectral analysis theory for semigroups. Finally, we study the model under weaker regularity assumption on the firing rate and the existence of the solution as well as the same exponential stability are established generally no matter taking delay into account or not and no matter in weak or strong connectivity regime.; Cette thèse vise à étudier certains modèles biologiques dans le réseau neuronal et dans la chimiotaxie avec la méthode d’analyse spectrale. Afin de traiter les principaux problèmes, tels que l’existence et l’unicité des solutions et des états stationnaires ainsi que les comportements asymptotiques, le modèle linéaire ou linéarisé associé est considéré par l’aspect du spectre et des semi-groupes dans les espaces appropriés, puis la stabilité de modèle non linéaire suit. Plus précisément, nous commençons par une équation de courses-et-chutes linéaire dans la dimension d≥1 pour établir l’existence d’un état stationnaire unique, positif et normalisé et la stabilité exponentielle asymptotique dans l’espace L¹ pondéré basé sur la théorie de Kerin-Rutman avec quelques estimations du moment de la théorie cinétique. Ensuite, nous considérons le modèle du temps écoulé sous les hypothèses générales sur le taux de tir et nous prouvons l’unicité de l’état stationnaire et sa stabilité exponentielle non linéaire en cas sans ou avec délai au régime de connectivité faible de la théorie de l’analyse spectrale pour les semi-groupes. Enfin, nous étudions le modèle sous une hypothèse de régularité plus faible sur le taux de tir et l’existence de la solution ainsi que la même stabilité exponentielle sont généralement établies n’importe la prise en compte du délai ou non, au régime de connectivité faible ou forte.

This thesis is devoted to the mathematical study of some models of partial differential equations from plasma physics. We are mainly interested in the theoretical study of various asymptotic regimes of Vlasov-Poisson-Fokker-Planck systems. First, in the presence of an external magnetic field, we focus on the approximation of massless electrons providing reduced models when the ratio me{mi between the mass me of an electron and the mass mi of an ion tends to 0 in the equations. Depending on the scaling, it is shown that, at the limit, solutions satisfy hydrodynamic models of convection-diffusion type or are given by Maxwell-Boltzmann-Gibbs densities depending on the intensity of collisions. Using hypocoercive and hypoelliptic properties of the equations, we are able to obtain convergence rates as a function of the mass ratio. In a second step, by similar methods, we show exponential convergence of solutions of the Vlasov-Poisson-Fokker-Planck system without magnetic field towards the steady state, with explicit rates depending on the parameters of the model. Finally, we design a new type of finite volume scheme for a class of nonlinear convection-diffusion equations ensuring the satisfying long-time behavior of discrete solutions. These properties are verified numerically on several models including the Fokker-Planck equation with magnetic field, Cette thèse est consacrée à l'étude mathématique de quelques modèles d'équations aux dérivées partielles issues de la physique des plasmas. On s'intéresse principalement à l'analyse théorique de différents régimes asymptotiques de systèmes d'équations cinétiques de type Vlasov-Poisson-Fokker-Planck. Dans un premier temps, en présence d'un champ magnétique extérieur on se concentre sur l'approximation des électrons sans masse fournissant des modèles réduits lorsque le rapport me{mi entre la masse me d'un électron et la masse mi d'un ion tend vers 0 dans les modèles. Suivant le régime considéré, on montre qu'à la limite les solutions vérifient des modèles hydrodynamiques de type convection-diffusion ou sont données par des densités de type Maxwell-Boltzmann-Gibbs, suivant l'intensité des collisions dans la mise à l'échelle. En utilisant les propriétés hypocoercives et hypoelliptiques des équations, on est capable d'obtenir des taux de convergence en fonction du rapport de masse. Dans un second temps, par des méthodes similaires, on montre la convergence exponentielle en temps long vers l'équilibre des solutions du système de Vlasov-Poisson-Fokker-Planck sans champ magnétique avec des taux explicites en les paramètres du modèles. Enfin, on conçoit un nouveau type de schéma volumes finis pour des équations de convection-diffusion non-linéaires assurant le bon comportement en temps long des solutions discrètes. Ces propriétés sont vérifiées numériquement sur plusieurs modèles dont l'équation de Fokker-Planck avec champ magnétique

In this thesis, we are interested in some kinetic equation in which there is a small parameter h which corresponds to the low-temperature regime of the system. More precisely, we provide an analysis of the spectrum near 0 of the operators associated to the models. The technics are quite different depending on the studied equation: from hypocoercivity to semiclassical analysis. We also show the supersymmetric structure of one of the models. The spectral results are translated into semigroup decay rate estimates for the associated operator.; Dans cette thèse, on s’intéresse à des équations cinétiques faisant apparaître un petit paramètre h correspondant au régime des basses températures du système. Plus précisément, on effectue une analyse du spectre proche de 0 pour les opérateurs associés à ces modèles. Les méthodes utilisées varient suivant l’équation étudiée de l’hypocoercivité hilbertienne à l’analyse semi-classique. On montre également la structure supersymétrique d’un des modèles. Les résultats spectraux obtenus sont traduits en terme de décroissance du semi-groupe associé à l’opérateur.

In this thesis, we are interested in some kinetic equation in which there is a small parameter h which corresponds to the low-temperature regime of the system. More precisely, we provide an analysis of the spectrum near 0 of the operators associated to the models. The technics are quite different depending on the studied equation: from hypocoercivity to semiclassical analysis. We also show the supersymmetric structure of one of the models. The spectral results are translated into semigroup decay rate estimates for the associated operator.; Dans cette thèse, on s’intéresse à des équations cinétiques faisant apparaître un petit paramètre h correspondant au régime des basses températures du système. Plus précisément, on effectue une analyse du spectre proche de 0 pour les opérateurs associés à ces modèles. Les méthodes utilisées varient suivant l’équation étudiée de l’hypocoercivité hilbertienne à l’analyse semi-classique. On montre également la structure supersymétrique d’un des modèles. Les résultats spectraux obtenus sont traduits en terme de décroissance du semi-groupe associé à l’opérateur.

International audience; In this paper we are looking for quantitative estimates for the convergene to equilibrium of non reversible Markov processes, especialy in short times. The models studied are simple enough to get an explicit expression of the L2 distance betweeen the semigroup and the invariant measure throught time and to compare it with the corresponding reversible cases.

My Ph.D dissertation mainly focuses on long time behavior of Markov processes, functional inequalities and related techniques. More specifically, I will present the computable sub-exponential convergence rate of the Markov process in two approaches : Meyn-Tweedie’s method and (weak) hypocoercivity. The paper consists of three parts. In the first part, I will introduce some important results and related knowledge. Firstly, overviews of my research field are given. Exponential (or subexponential) convergence of Markov chains and (continuous time) Markov processes is a hot issue in probability. The traditional method - Meyn-Tweedie’s approach is widely applied for this problem. Most of the results about convergence rate is not explicit, and some of them will be introduced briefly. In addition,Lyapunov function is crucial in Meyn-Tweendie’s aproach, and it is also related to some functional inequalities (for example, Poincar´e inequality). The relationship of them will be given with results in L2 sense. Furthermore, as a example of kinetic Fokker-Planck equation, a computable result of exponential convergence of the solution of it will be introduced in Villani’ way - hypocoercivity. These contents are foundations of my work, and my destination is to study the sub-exponential decay. In the second part, it is my article cooperated with others about subexponential convergence rate of continuous time Markov processes. As we all know, the explicit results of convergence rate is about the exponential case. We extend them to sub-exponential case in Meyn-Tweedie’s approach. The key of the proof is the estimation of the hitting time to small set which was got by Douc, Fort and Guillin, for which we also propose an alternative simpler proof. We also use coupling construction as others and give a quantitative sub-exponential ergodicity. At last, we give some calculations for examples. In the last part, my second article deal with the kinetic Fokker-Planck equation. I extend the hypocoercivity to weak hypocoercivity which correspond to weak Poincar´e inequality. Through the extension, one can get the computable rate of convergence of the solution, which is also sub-exponential case. The convergence is in H1 sense and in L2 sense. In the end of this paper, I study the relative entropy case as C.Villani, and get convergence in entropy. Finally, I give two examples for potentials that implies weak Poincar´e inequality or weak logarithmic Sobolve inequality for invarient measure.; Ma thèse de doctorat se concentre principalement sur le comportement en temps long des processus de Markov, les inégalités fonctionnelles et les techniques relatives. Plus spécifiquement, Je vais présenter les taux de convergence sous-exponentielle explicites des processus de Markov dans deux approches : la méthode Meyn-Tweedie et l’hypocoercivité (faible). Le document se divise en trois parties. Dans la première partie, Je vais présenter quelques résultats importants et des connaissances connexes. D’abord, un aperçu de mon domaine de recherche sera donné. La convergence exponentielle (ou sous-exponentielle) des chaînes de Markov et des processus de Markov (à temps continu) est un sujet d’actualité dans la théorie des probabilité. La méthode traditionnelle développée et popularisée par Meyn-Tweedie est largement utilisée pour ce problème. Dans la plupart des résultats, le taux de convergence n’est pas explicite, et certains d’entre eux seront brièvement présentés. De plus, la fonction de Lyapunov est cruciale dans l’approche Meyn-Tweedie, et elle est aussi liée à certaines inégalités fonctionnelles (par exemple, inégalité de Poincaré). Cette relation entre fonction de Lyapounov et inégalités fonctionnelles sera donnée avec les résultats au sens L2. En outre, pour l’exemple de l’équation cinétique de Fokker-Planck, un résultat de convergence exponentielle explicite de la solution sera introduite à la manière de Villani : l’hypocoercivité. Ces contenus sont les fondements de mon travail, et mon but est d’étudier la décroissance sous-exponentielle. La deuxième partie, fait l’objet d’un article écrit en coopération avec d’autres sur les taux de convergence sous-exponentielle explicites des processus de Markov à temps continu. Comme nous le savons, les résultats sur les taux de convergence explicites ont été donnés pour le cas exponentiel. Nous les étendons au cas sous-exponentielle par l’approche Meyn-Tweedie. La clé de la preuve est l’estimation du temps de passage dans un ensemble ”petite”, obtenue par Douc, Fort et Guillin, mais pour laquelle nous donnons une preuve plus simple. Nous utilisons aussi la construction du couplage et donnons une ergodicité sous exponentielle explicite. Enfin, nous donnons quelques applications numériques. Dans la dernière partie, mon second article traite de l’équation cinétique de Fokker-Planck. Je prolonge l’hypocoercivité à l’hypocoercivité faible qui correspond à inégalité de Poincaré faible. Grâce à cette extension, on peut obtenir le taux de convergence explicite de la solution, dans des cas sous-exponentiels. La convergence est au sens H1 et au sens L2. A la fin de ce document, j’étudie le cas de l’entropie relative comme Villani, et j’obtiens la convergence au sens de l’entropie. Enfin, Je donne deux exemples pour les potentiels qui impliquent l’inégalité de Poincaré faible ou l’inégalité de Sobolev logarithmique faible pour la mesure invariante.