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In this PhD thesis, we establish some limit theorems in Extreme Value Theory and on dynamical systems. This thesis is divided into two parts. The first one deals with extremes of a sequence which does not satisfy the classical properties appearing in Extreme Value Theory. The sequence is generated by a random walk in random scenery. We establish a limit theorem on the point process of exceedances and we make explicit the extremal index. Some mixing properties are also discussed. The second part of this thesis deals with almost sure convergence of various ergodic averages with weights (the weights can be random or deterministic) and is based on new techniques to provide rates of convergence. Our techniques are based on a work due to Móricz dealing with sums of random variables. The same technique allows us to establish results on the rates of convergence for the strong law of large numbers. Then we state several properties for the point convergence of weighted unilateral Hilbert transform., Dans cette thèse, nous établissons quelques théorèmes limites en théorie des valeurs extrêmes et en systèmes dynamiques. La thèse est composée de deux parties. Dans la première partie, nous nous intéressons au comportement du maximum d’une suite qui ne satisfait pas les hypothèses classiques de la théorie des valeurs extrêmes. La suite que nous considérons est générée par une marche aléatoire en milieu aléatoire. Nous établissons un résultat de convergence sur le processus ponctuel des excédents associé à la suite et calculons l’indice extrémal. Des propriétés de mélange de la suite sont également discutées.Dans la deuxième partie, nous étudions la convergence presque sûre de différents types de moyennes ergodiques avec poids (aléatoires et/ou déterministes), en développant une nouvelle technique pour donner des vitesses de convergence. Cette technique est basée sur des travaux de Móricz concernant l’étude de sommes de variables aléatoires. Elle nous permet d’établir des résultats sur la vitesse de convergence dans la loi forte des grandes nombres. Nous déduisons ensuite des propriétés de convergence ponctuelle de la transformée de Hilbert unilatérale pondérée.

The aim of this thesis is the study of limit theorems for stationary sequences of random variables (in particular, from dynamical system).We concentrate on two results which are important by their applications in statistics. We first study the asymptotique behavior of sums of random variables, precisely the central limit theorem and its invariance principles. We also consider the invariance principle of empirical processes. For the Donsker's weak invariance principle, many results can be obtained by martingale approximations and more generaly by projective criteria.We compare four of these criteria and we show that they are independent of each other. These criteria are the martingale-coboundary decomposition (Gordin, 1969), the Hannan condition (1979), the Dedecker and Rio criterion (2000) and the Maxwell-Woodroofe condition (2000).Concerning the asympotic behavior of empirical processes, we establish an invariance principle in the case of toral automorphisms. This permits to generalize the known hyperbolic case and to find a first result for a partially hyperbolic transformation.We also propose a new approach, based on operator techniques, for establishing an invariance principle.This technique is well adapted to cases when we only have good properties for a class of functions not containing the indicators. In particular, this is the case for some dynamical systems for which the transfer operator admits a spectral gap.At the end, following a question by Burton and Denker (1987), we are interested in the class of processes for which the central limit theorem holds. To refer to the empirical processes case, we study in particular the sequences of partial sums of iterates of indicator functions.; Cette thèse se consacre à l'étude de théorèmes limites pour des suites de variables aléatoires stationnaires (en particulier issues d'un système dynamique). Nous nous concentrons sur deux résultats importants, notamment par leurs applications en statistiques. Nous étudions tout d'abord le comportement limite des sommes de variables aléatoires, plus précisément le théorème limite central et son principe d'invariance. Ensuite nous considérons le principe d'invariance pour les processus empiriques.Dans le cadre du principe d'invariance faible de Donsker, plusieurs résultats s'obtiennent au travers d'approximations par des martingales et plus généralement par des critères projectifs. Nous comparons quatre de ces critères et montrons leur indépendance mutuelle. Les critères étudiés sont la décomposition martingale-cobord (Gordin, 1969), la condition de Hannan (1979), le critère de Dedecker et Rio (2000) etla condition de Maxwell et Woodroofe (2000).En ce qui concerne le comportement asymptotique des processus empiriques, nous établissons un principe d'invariance dans le cas des automorphismes du tore. Cela permet de sortir du cadre hyperbolique connu et d'obtenir un premier résultat pour une transformation partiellement hyperbolique.Nous proposons également une nouvelle approche, basée sur des méthodes d'opérateurs, permettant d'établir un principe d'invariance empirique. Cette méthode s'applique en particulier aux cas où l'on a de bonnes propriétés pour une classe de fonctions ne contenant pas les fonctions indicatrices. C'est en particulier le cas de certains systèmes dynamiques dont l'opérateur de transfert admet un trou spectral.En dernier lieu, suivant une question de Burton et Denker (1987), nous nous intéressons à la classe des processus pour lesquels le théorème limite central a lieu. En référence au cadre des processus empiriques, nous étudions en particulier les suites de sommes partielles des itérées d'une fonction indicatrice.

The aim of this thesis is the study of limit theorems for stationary sequences of random variables (in particular, from dynamical system).We concentrate on two results which are important by their applications in statistics. We first study the asymptotique behavior of sums of random variables, precisely the central limit theorem and its invariance principles. We also consider the invariance principle of empirical processes. For the Donsker's weak invariance principle, many results can be obtained by martingale approximations and more generaly by projective criteria.We compare four of these criteria and we show that they are independent of each other. These criteria are the martingale-coboundary decomposition (Gordin, 1969), the Hannan condition (1979), the Dedecker and Rio criterion (2000) and the Maxwell-Woodroofe condition (2000).Concerning the asympotic behavior of empirical processes, we establish an invariance principle in the case of toral automorphisms. This permits to generalize the known hyperbolic case and to find a first result for a partially hyperbolic transformation.We also propose a new approach, based on operator techniques, for establishing an invariance principle.This technique is well adapted to cases when we only have good properties for a class of functions not containing the indicators. In particular, this is the case for some dynamical systems for which the transfer operator admits a spectral gap.At the end, following a question by Burton and Denker (1987), we are interested in the class of processes for which the central limit theorem holds. To refer to the empirical processes case, we study in particular the sequences of partial sums of iterates of indicator functions., Cette thèse se consacre à l'étude de théorèmes limites pour des suites de variables aléatoires stationnaires (en particulier issues d'un système dynamique). Nous nous concentrons sur deux résultats importants, notamment par leurs applications en statistiques. Nous étudions tout d'abord le comportement limite des sommes de variables aléatoires, plus précisément le théorème limite central et son principe d'invariance. Ensuite nous considérons le principe d'invariance pour les processus empiriques.Dans le cadre du principe d'invariance faible de Donsker, plusieurs résultats s'obtiennent au travers d'approximations par des martingales et plus généralement par des critères projectifs. Nous comparons quatre de ces critères et montrons leur indépendance mutuelle. Les critères étudiés sont la décomposition martingale-cobord (Gordin, 1969), la condition de Hannan (1979), le critère de Dedecker et Rio (2000) etla condition de Maxwell et Woodroofe (2000).En ce qui concerne le comportement asymptotique des processus empiriques, nous établissons un principe d'invariance dans le cas des automorphismes du tore. Cela permet de sortir du cadre hyperbolique connu et d'obtenir un premier résultat pour une transformation partiellement hyperbolique.Nous proposons également une nouvelle approche, basée sur des méthodes d'opérateurs, permettant d'établir un principe d'invariance empirique. Cette méthode s'applique en particulier aux cas où l'on a de bonnes propriétés pour une classe de fonctions ne contenant pas les fonctions indicatrices. C'est en particulier le cas de certains systèmes dynamiques dont l'opérateur de transfert admet un trou spectral.En dernier lieu, suivant une question de Burton et Denker (1987), nous nous intéressons à la classe des processus pour lesquels le théorème limite central a lieu. En référence au cadre des processus empiriques, nous étudions en particulier les suites de sommes partielles des itérées d'une fonction indicatrice.