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In this thesis, we consider two families of computational problems defined on graphs: proper edge-labellings and combinatorial games. We attack these problems in a similar (and classical) way: we show that they are computationally hard, and then find efficient algorithms for instances with specific structure.First we focus on problems related to proper labellings of graphs. For some natural number k, a k-labelling is a weight function on the edges of a graph G, assigning weights, called labels in this context, from {1, . . . , k}. A k-labelling induces a vertex-colouring of G, where each vertex receives as colour the sum of the labels of its incident edges. A k-labelling is proper if the induced vertex-colouring is proper, i.e., such that any two adjacent vertices of G are assigned different colours. According to the so-called 1-2-3 Conjecture, any connected graph of order at least 3 should admit a proper 3-labelling. We consider three variations of this conjecture. We look into equitable proper k-labellings, for which the assigned labels appear an equal number of times. We then focus on proper labellings that also minimise the sum of labels being used, and finally, proper 3-labellings that also minimise the number of times that the label 3 is assigned. The choice to study these variations is natural. Indeed, an equitable version of the 1-2-3 Conjecture claims that almost every graph G should admit an equitable proper 3-labelling. Also, the sum of labels of such a labelling would be at most 2|E(G)| and it would assign label 3 on at most one third of the edges of G. We prove that the introduced optimisation problems are NP-hard. Furthermore, through structural and algorithmical results, we propose new conjectures for the upper bounds of the parameters that we study, which we verify for specific graph classes (e.g. complete, bipartite, regular, 3-chromatic, etc.). Interestingly, our work gives further evidence that stronger variations of the 1-2-3 Conjecture could hold. We close our study of proper labellings by considering the problem of finding a largest induced subgraph of a given graph that admits a proper 1-labelling. This problem is proven to be computationally hard and not approximable within a ratio of O(|V (G)|^(1-1/c)) for every natural number c. Nevertheless, we provide efficient parameterised algorithms.In the second part of the thesis, we introduce and study the Maker-Breaker largest connected subgraph game. This game is played by two players, Alice and Bob, on a shared, initially uncoloured graph G. The two players take turns colouring the vertices of G, each one with their own colour, until there remains no uncoloured vertex. Alice is the winner of the game if, by the end, the largest connected subgraph of G induced by her colour is of order greater than k, where the natural number k is also given at the start of the game. Otherwise Bob wins the game. We also consider a Maker-Maker version of the same game, played in the same way, but in which the winner is the player whose colour induces the largest connected subgraph of G by the end of the game. We first prove that deciding the outcome of both of these games is PSPACE-hard, and then proceed by providing efficient algorithms when the games are played on particular graph classes (e.g. paths, cycles, cographs, (q, q-4)-graphs, etc.). Comparing the behaviour of these games, one of the main differences we observe is that Bob can never win the Maker-Maker version (if Alice plays optimally). Nevertheless, if Alice can win the Maker-Breaker version when playing on G for a value of k equal to half the order of G (the best outcome she can hopefor), then she can build a connected subgraph of the same order for the Maker-Maker version; such graphs are called A-perfect. We then study regular graphs that are A-perfect and prove that, surprisingly, any 3-regular A-perfect graph has order at most 132. We finish by providing sufficient conditions for a graph to be A-perfect.; Cette thèse considère deux familles de problèmes définis sur des graphes : les étiquetages d'arêtes propres et les jeux combinatoires. Nous traitons ces problèmes de façon similaire (et classique) : nous montrons que les problèmes considérés sont difficiles à résoudre, puis nous trouvons des algorithmes efficaces sur des instances restreintes.Nous nous concentrons d'abord sur des problèmes concernant des étiquetages propres de graphes. Pour un entier k fixé, un k-étiquetage d'un graphe G est une fonction associant à chaque arête de G une étiquette parmi {1, . . . , k}. Un k-étiquetage induit une coloration des sommets de G, où chaque sommet reçoit comme couleur la somme des étiquettes de ses arêtes incidentes. Un k-étiquetage est propre si, dans la coloration induite, deux sommets adjacents de G reçoivent des couleurs différentes. D'après la Conjecture 1-2-3, tout graphe connexe d'ordre au moins 3 admet un 3-étiquetage propre. Nous considérons trois variantes de cette conjecture. Nous étudions les k-étiquetages propres équilibrés, pour lesquels les étiquettes assignées apparaissent dans les mêmes proportions. La deuxième variante concerne les étiquetages propres qui minimisent la somme des étiquettes utilisées. Enfin, nous nous intéressons aux 3-étiquetages propres qui minimisent le nombre de fois où l'étiquette 3 est attribuée. Le choix d'étudier ces variantes est naturel. En effet, une version équilibrée de la Conjecture 1-2-3 est que presque tous les graphes G admettent un 3-étiquetage propre équilibré. En outre, la somme des étiquettes d'un tel étiquetage est au plus égale à 2|E(G)| et associe l'étiquette 3 à au plus un tiers des arêtes de G. Nous prouvons que les problèmes d'optimisation introduits sont NP-difficiles. Grâce à des résultats structurels et algorithmiques, nous sommes amenés à proposer de nouvelles conjectures pour ces problèmes, que nous vérifions sur quelques classes de graphes (complets, bipartis, réguliers, 3-chromatiques, etc.). Notre travail renforce l'idée que des variantes plus fortes de la Conjecture 1-2-3 pourraient être vraies. Nous terminons en considérant le problème consistant à trouver un plus grand sous-graphe induit d'un graphe donné qui admet un 1-étiquetage propre. Il est prouvé que ce problème est difficile à résoudre et qu'il n'est pas approximable à un facteur O(|V (G)|^(1-1/c)) près pour tout entier c. Néanmoins, nous fournissons des algorithmes paramétrés efficaces.La deuxième partie de la thèse introduit le jeu du plus grand sous-graphe connexe Maker-Breaker, joué par deux joueurs, Alice et Bob, sur un graphe G, initialement non coloré. Les joueurs colorent à tour de rôle les sommets de G, chacun avec sa couleur, jusqu'à ce que tous les sommets soient colorés. Alice est la gagnante si, à la fin, le plus grand sous-graphe connexe de G induit par sa couleur est d'ordre au moins k, un entier fixé. Sinon, Bob gagne le jeu. Nous considérons aussi une version Maker-Maker du même jeu, dans laquelle le gagnant est le joueur dont la couleur induit le plus grand sous-graphe connexe de G à la fin du jeu. Nous prouvons que décider de l'issue de ces deux jeux est PSPACE-difficile et nous fournissons des algorithmes efficaces pour le cas où le jeu se déroule dans certaines familles de graphes (chemins, cycles, cographes, (q, q-4)-graphes, etc.). En comparant ces deux jeux, la principale différence que nous observons est que Bob ne peut jamais gagner la version Maker-Maker (si Alice joue de manière optimale). Pour une valeur de k égale à la moitié de l'ordre de G, remarquons que si Alice peut gagner la version Maker-Breaker alors elle peut aussi construire un sous-graphe connexe du même ordre dans la version Maker-Maker ; de tels graphes sont nommés A-parfaits. Nous étudions les graphes réguliers qui sont A-parfaits et prouvons que tout graphe 3-régulier A-parfait a au plus 132 sommets. Nous terminons en fournissant des conditions suffisantes pour qu'un graphe soit A-parfait.

This thesis explores problems related to games. The games that we consider in this study are games for which there is no hidden information: all the players have access to all the information related to the game; there is also no randomness and everything is deterministic. A few well-known board games (such as chess or go) fall in this category and are representative of the kinds of games that we consider here. Central to the study of these games is the notion of strategy, which roughly speaking, is a way of playing which ensures a certain objective. The main question of interest, when both playing and studying a game, is the problem of finding the 'best' strategy, which secures the victory for the player following it. In this thesis, we consider both one-player games, also called combinatorial puzzles, and two-player games. Examples of combinatorial puzzles include Rubik's cube, Rush-Hour, Sokoban, the 15 puzzle, or peg solitaire. Recently, some types of one-player games in particular have received a strong regain of interest as part of the larger area of reconfiguration problems. The puzzles we described above can all be described in the following way: there is a set of configurations, which represents all the possible states of the game; and the player is allowed to transform a configuration using a prescribed set of moves. Starting from an initial configuration, the goal is to reach a target configuration by a succession of valid moves. Reconfiguration extends this definition to any search problem: the set of configuration becomes the set of solutions to an instance of a given problem, and we ask whether we can transform one given solution to another using only a prescribed set of moves. Hence, in addition to the combinatorial puzzles, reconfiguration problems also include many `games' which are not played by humans anymore but are instead mathematical problems sharing a lot of similarities with combinatorial puzzles. The study of reconfiguration problems has been driven by many different motivations. It has algorithmic applications: it can be seen as a way to adapt a current solution already in place to reach a new one by only making small local changes. It is also connected to other problems such as random sampling, approximate counting or problems coming from statistical physics. It can also be used as a tool for understanding the performance of some heuristic algorithms based on local modifications of solutions such as local search. Two-player games, which are also called combinatorial games, have been studied since the beginning of the twentieth century, with the works of Bouton which were continued with the development of a nice theory by Berlekamp, Conway, and Guy, unifying a certain number of classical games. We focus in this study on perfect strategies (i.e., players always choosing the best possible move), and try to characterize who wins under perfect play for various games. This approach is at the heart of what is called Combinatorial Game Theory. Most of the research in this area is focused on `math games' which are games invented by mathematicians, often with simple rules and almost never played by humans. The main motivation for studying these games comes from the nice, and sometimes unexpected connections these games have with other areas of mathematics, such as for example number theory, automatons, or dynamical systems. In this thesis, we study one- and two-player games. The questions we consider are often related to complexity. Complexity theory consists in trying to classify problems depending on their hardness. By hardness we mean to quantify how much time it would take for a computer to solve the problem. An other aspect of this research consists in investigating structural properties that these games can satisfy. Finally, one of our main tools is the notion of graph, and we use in particular methods and techniques from graph theory to answer the different questions we just mentioned; Cette thèse explore des problématiques liées aux jeux. Les jeux qui nous intéressent sont ceux pour lesquels il n'y a pas d'information cachée: tout les joueurs ont accès à toute l'information relative au jeu; il n'y a pas non plus d'aléa. Certains jeux de société (comme les échecs ou le go) satisfont ces propriétés et sont représentatifs des jeux que nous considérons ici. La notion de stratégie est au centre de l'étude de ces jeux. En termes simples, une stratégie est une façon de jouer qui permet de s'assurer un certain résultat. La question centrale, à la fois quand on joue à un jeu et quand on l'étudie, est le problème de trouver la 'meilleure' stratégie, qui assure la victoire du joueur qui l'applique. Dans cette thèse, nous considérons à la fois des jeux à un joueurs, appelés puzzles combinatoires, et des jeux à deux joueurs. Le Rubik's cube, Rush-Hour, et le taquin sont des exemples biens connus de puzzles combinatoires. Récemment, un certain nombre de jeux -- des jeux à un joueur notamment -- ont connu un regain d'intérêt en tant qu'objets d'étude dans un domaine plus grand appelé reconfiguration. Les puzzles que l'on vient de mentionner peuvent tous être décrit de la façon suivante: il y a un ensemble de configurations, qui représente tous les états possibles du jeu; et le joueur est autorisé à transformer une configuration en une autre à via un certain nombre de règles. Le but est d'atteindre une certaine configuration cible à partir d'une configuration initiale. Le domaine de la reconfiguration étend cette définition à des problèmes de recherche: l'ensemble des configurations devient l'ensemble des solutions à une instance d'un problème donné, et l'on se demande si l'on peut transformer une solution donnée en une autre en utilisant uniquement un ensemble de règles de transformation précises. La recherche sur ce type de problèmes a été guidée par des motivations algorithmiques: ce processus peut être vu comme un moyen d'adapter une solution déjà en place en une nouvelle solution à l'aide de petits changements locaux; et des connections avec d'autres problèmes comme la génération aléatoire, ainsi que des problèmes de physique statistique. Les jeux à deux joueurs, qui sont aussi appelés jeux combinatoires, ont été étudiés depuis le début du XXème siècle avec les travaux de Bouton, continués par Berlekamp, Conway et Guy avec le développement d'une théorie unifiant un certain nombre de jeux classiques. Ce travail se focalise sur des joueurs parfaits, c'est à dire qui choisissent toujours le coup optimal. Notre but est de caractériser lequel des deux joueurs possède une stratégie qui lui assure la victoire, quelque soient les coups de son adversaire. Cette approche est au coeur de ce qui est appelé la Théorie des Jeux Combinatoires. Une grande parties des recherche est focalisée sur des 'jeux mathématiques', qui sont des jeux inventés par des mathématiciens, souvent avec des règles très simples, et rarement connus en dehors de la recherche. La motivation principale pour étudier ces jeux est la présence de liens parfois surprenant entre ces jeux et d'autres domaines des mathématiques comme entre autre la théorie des nombres, les automates ou les systèmes dynamiques. Dans cette thèse, nous étudions ainsi des jeux à un et deux joueurs. Nous nous intéressons tout particulièrement à la complexité de ces jeux, c'est à dire évaluer à quel point il est difficile (d'un point de vue algorithmique) de calculer une stratégie gagnante. Nous nous intéressons aussi à leur structure et à certaines propriétés qu'ils peuve satisfaire. Finalement, un des outils principaux dans cette étude est la notion de graphe, et nous utilisons notamment des méthodes et des techniques provenant de théorie des graphes pour résoudre ces problèmes

This thesis explores problems related to games. The games that we consider in this study are games for which there is no hidden information: all the players have access to all the information related to the game; there is also no randomness and everything is deterministic. A few well-known board games (such as chess or go) fall in this category and are representative of the kinds of games that we consider here. Central to the study of these games is the notion of strategy, which roughly speaking, is a way of playing which ensures a certain objective. The main question of interest, when both playing and studying a game, is the problem of finding the 'best' strategy, which secures the victory for the player following it. In this thesis, we consider both one-player games, also called combinatorial puzzles, and two-player games. Examples of combinatorial puzzles include Rubik's cube, Rush-Hour, Sokoban, the 15 puzzle, or peg solitaire. Recently, some types of one-player games in particular have received a strong regain of interest as part of the larger area of reconfiguration problems. The puzzles we described above can all be described in the following way: there is a set of configurations, which represents all the possible states of the game; and the player is allowed to transform a configuration using a prescribed set of moves. Starting from an initial configuration, the goal is to reach a target configuration by a succession of valid moves. Reconfiguration extends this definition to any search problem: the set of configuration becomes the set of solutions to an instance of a given problem, and we ask whether we can transform one given solution to another using only a prescribed set of moves. Hence, in addition to the combinatorial puzzles, reconfiguration problems also include many `games' which are not played by humans anymore but are instead mathematical problems sharing a lot of similarities with combinatorial puzzles. The study of reconfiguration problems has been driven by many different motivations. It has algorithmic applications: it can be seen as a way to adapt a current solution already in place to reach a new one by only making small local changes. It is also connected to other problems such as random sampling, approximate counting or problems coming from statistical physics. It can also be used as a tool for understanding the performance of some heuristic algorithms based on local modifications of solutions such as local search. Two-player games, which are also called combinatorial games, have been studied since the beginning of the twentieth century, with the works of Bouton which were continued with the development of a nice theory by Berlekamp, Conway, and Guy, unifying a certain number of classical games. We focus in this study on perfect strategies (i.e., players always choosing the best possible move), and try to characterize who wins under perfect play for various games. This approach is at the heart of what is called Combinatorial Game Theory. Most of the research in this area is focused on `math games' which are games invented by mathematicians, often with simple rules and almost never played by humans. The main motivation for studying these games comes from the nice, and sometimes unexpected connections these games have with other areas of mathematics, such as for example number theory, automatons, or dynamical systems. In this thesis, we study one- and two-player games. The questions we consider are often related to complexity. Complexity theory consists in trying to classify problems depending on their hardness. By hardness we mean to quantify how much time it would take for a computer to solve the problem. An other aspect of this research consists in investigating structural properties that these games can satisfy. Finally, one of our main tools is the notion of graph, and we use in particular methods and techniques from graph theory to answer the different questions we just mentioned, Cette thèse explore des problématiques liées aux jeux. Les jeux qui nous intéressent sont ceux pour lesquels il n'y a pas d'information cachée: tout les joueurs ont accès à toute l'information relative au jeu; il n'y a pas non plus d'aléa. Certains jeux de société (comme les échecs ou le go) satisfont ces propriétés et sont représentatifs des jeux que nous considérons ici. La notion de stratégie est au centre de l'étude de ces jeux. En termes simples, une stratégie est une façon de jouer qui permet de s'assurer un certain résultat. La question centrale, à la fois quand on joue à un jeu et quand on l'étudie, est le problème de trouver la 'meilleure' stratégie, qui assure la victoire du joueur qui l'applique. Dans cette thèse, nous considérons à la fois des jeux à un joueurs, appelés puzzles combinatoires, et des jeux à deux joueurs. Le Rubik's cube, Rush-Hour, et le taquin sont des exemples biens connus de puzzles combinatoires. Récemment, un certain nombre de jeux -- des jeux à un joueur notamment -- ont connu un regain d'intérêt en tant qu'objets d'étude dans un domaine plus grand appelé reconfiguration. Les puzzles que l'on vient de mentionner peuvent tous être décrit de la façon suivante: il y a un ensemble de configurations, qui représente tous les états possibles du jeu; et le joueur est autorisé à transformer une configuration en une autre à via un certain nombre de règles. Le but est d'atteindre une certaine configuration cible à partir d'une configuration initiale. Le domaine de la reconfiguration étend cette définition à des problèmes de recherche: l'ensemble des configurations devient l'ensemble des solutions à une instance d'un problème donné, et l'on se demande si l'on peut transformer une solution donnée en une autre en utilisant uniquement un ensemble de règles de transformation précises. La recherche sur ce type de problèmes a été guidée par des motivations algorithmiques: ce processus peut être vu comme un moyen d'adapter une solution déjà en place en une nouvelle solution à l'aide de petits changements locaux; et des connections avec d'autres problèmes comme la génération aléatoire, ainsi que des problèmes de physique statistique. Les jeux à deux joueurs, qui sont aussi appelés jeux combinatoires, ont été étudiés depuis le début du XXème siècle avec les travaux de Bouton, continués par Berlekamp, Conway et Guy avec le développement d'une théorie unifiant un certain nombre de jeux classiques. Ce travail se focalise sur des joueurs parfaits, c'est à dire qui choisissent toujours le coup optimal. Notre but est de caractériser lequel des deux joueurs possède une stratégie qui lui assure la victoire, quelque soient les coups de son adversaire. Cette approche est au coeur de ce qui est appelé la Théorie des Jeux Combinatoires. Une grande parties des recherche est focalisée sur des 'jeux mathématiques', qui sont des jeux inventés par des mathématiciens, souvent avec des règles très simples, et rarement connus en dehors de la recherche. La motivation principale pour étudier ces jeux est la présence de liens parfois surprenant entre ces jeux et d'autres domaines des mathématiques comme entre autre la théorie des nombres, les automates ou les systèmes dynamiques. Dans cette thèse, nous étudions ainsi des jeux à un et deux joueurs. Nous nous intéressons tout particulièrement à la complexité de ces jeux, c'est à dire évaluer à quel point il est difficile (d'un point de vue algorithmique) de calculer une stratégie gagnante. Nous nous intéressons aussi à leur structure et à certaines propriétés qu'ils peuve satisfaire. Finalement, un des outils principaux dans cette étude est la notion de graphe, et nous utilisons notamment des méthodes et des techniques provenant de théorie des graphes pour résoudre ces problèmes

In this thesis, 2-player games on graphs and their algorithmic and structural aspects are studied. First, we investigate two dynamic dominating set games: the eternal domination game and its generalization, the spy game. In these two games, a team of guards pursue a fast attacker or spy in a graph with the objective of staying close to him eternally and one wants to calculate the eternal domination number (guard number in the spy game) which is the minimum number of guards needed to do this. Secondly, the metric dimension of digraphs and a sequential version of the metric dimension of graphs are then studied. These two problems are those of finding a minimum subset of vertices that uniquely identify all the vertices of the graph by their distances from the vertices in the subset. In particular, in the latter, one can probe a certain number of vertices per turn which return their distances to a hidden target and the goal is to minimize the number of turns in order to ensure locating the target. These games and problems are studied in particular graph classes and their computational complexities are also studied. Precisely, in Chapter 3, the NP-hardness of the spy game and the guard numbers of paths and cycles are first presented. Then, results for the spy game on trees and grids are presented. Notably, we show an equivalence between the fractional variant and the "integral" version of the spy game in trees which allowed us to use Linear Programming to come up with what we believe to be the first exact algorithm using the fractional variant of a game to solve the "integral" version. In Chapter 4, asymptotic bounds on the eternal domination number of strong grids are presented. In Chapter 5, results on the NP-completeness of the Localization game under different conditions (and a variant of it) and the game in trees are presented. Notably, we show that the problem is NP-complete in trees, but despite this, we come up with a polynomial-time (+1)-approximation algorithm in trees. We consider such an approximation to be rare as we are not aware of any other such approximation in games on graphs. Lastly, in Chapter 6, results on the metric dimension of oriented graphs are presented. In particular, the orientations which maximize the metric dimension are investigated for graphs of bounded degree, tori, and grids., Dans cette thèse, les jeux à 2 joueurs dans les graphes et leurs aspects algorithmiques et structurels sont étudiés. Nous explorons tout d'abord le jeu de domination éternelle ainsi que sa généralisation, le jeu de l'espion, deux jeux qui reposent sur les ensembles dominants dynamiques. Dans ces deux jeux, une équipe de gardes poursuit un attaquant ou espion rapide dans un graphe, avec l'objectif de rester près de lui éternellement. Le but est de calculer le nombre de domination éternelle (nombre de gardes pour le jeu de l'espion) qui est le nombre minimum de gardes nécessaires pour réaliser l'objectif. La dimension métrique des digraphes et une version séquentielle de la dimension métrique des graphes sont aussi étudiées. Ces deux problèmes ont pour objectif de trouver un sous-ensemble de sommets de taille minimum tel que tous les sommets du graphe sont identifiés uniquement par leurs distances aux sommets du sous-ensemble. En particulier, dans ce dernier problème, on peut "interroger" un certain nombre de sommets par tour. Les sommets interrogés retournent leurs distances à une cible cachée. Le but est de minimiser le nombre de tours nécessaires pour localiser la cible. Ces jeux et problèmes sont étudiés pour des classes de graphe particulières et leurs complexités temporelles sont aussi étudiées. Précisément, dans le Chapitre 3, il est démontré que le jeu de l'espion est NP-difficile et les nombres de gardes des chemins et des cycles sont présentés. Ensuite, des résultats sur le jeu de l'espion dans les arbres et les grilles sont présentés. Notamment, nous démontrons une équivalence entre la variante fractionnaire et la variante "intégrale" du jeu de l'espion dans les arbres qui nous a permis d'utiliser la programmation linéaire pour concevoir ce que nous pensons être le premier algorithme exact qui utilise la variante fractionnaire d'un jeu pour résoudre sa variante "intégrale". Dans le Chapitre 4, des bornes asymptotiques sur le nombre de domination éternelle de la grille du roi sont présentées. Dans le Chapitre 5, des résultats sur la NP-complétude du jeu de Localisation sous différentes conditions (et une variante de ce jeu) sont présentés. Notamment, nous démontrons que le problème est NP-complet dans les arbres. Malgré cela, nous concevons un (+1)-algorithme d'approximation qui résout le problème en temps polynomial. Autant que nous sachions, il n'existe pas d'autres telles approximations pour les jeux dans les graphes. Finalement, dans le Chapitre 6, des résultats sur la dimension métrique des graphes orientés sont présentés. En particulier, les orientations qui maximisent la dimension métrique sont explorées pour les graphes de degré borné, les tores et les grilles.

In this thesis, we study three competitive optimization graph games. These games allow a dynamic approach to discrete optimization problems, which is an advantageous alternative way to consider these questions. The global idea consists in defining a combinatorial partisan game, associated to the original optimization problem, like coloring, domination, etc. Two players alternatively build the structure related to the optimization problem. One of them tries to obtain a structure as optimal as possible, whereas his opponent wants to prevent him from doing it. Under the hypothesis that both players play optimally, the size of the obtained structure defines a game invariant of the graph.We start by studying a 1-improper variation of the coloring game, which is the first and the most studied competitive optimization graph game. In this game, the players colors the vertices of a graph, such that two adjacent vertices do not share the same color. In the 1-improper version, we allow a vertex to have at most one neighbor with the same color as it. Then, we study the domination game, in which the players have to build a domination set, that is a sub-set of vertices such that any other vertex is adjacent to one of the vertex in this set. Finally, we define a new game, related to the distinguishing coloring problem. This game is about building a vertex-coloring which is preserved by none of the graph automorphisms. We raise some challenging open questions about this new game, especially concerning the characterization of graphs with infinite game invariant, by the existence of order two automorphisms., Dans cette thèse nous étudions trois jeux à objectif compétitif sur les graphes. Les jeux à objectif compétitif proposent une approche dynamique des problèmes d'optimisation discrètes. L'idée générale consiste à associer à un problème d'optimisation (coloration, domination, etc.) un jeu combinatoire partisan de la façon suivante. Deux joueurs construisent tour à tour la structure reliée au problème d'optimisation. L'un d'eux cherche à ce que cette structure soit le plus optimale possible, tandis que l'autre essaye de l'en empêcher. Sous l'hypothèse que les deux joueurs jouent optimalement, la taille de la structure obtenue définit un invariant ludique.Nous commençons par étudier une variante 1-impropre du jeu de coloration, qui est le premier et le plus étudié des jeux à objectif compétitif. Dans ce jeu, les joueurs colorient les sommets d'un graphe de sorte que deux sommets adjacents ne partagent jamais la même couleur. Dans la version 1-impropre, un sommet peut avoir au plus un voisin ayant la même couleur que lui. Nous considérons ensuite le jeu de domination, dans lequel les deux joueurs doivent construire un ensemble dominant, c'est-à-dire un ensemble de sommets du graphe tel que tout autre sommet est adjacent à l'un des membres de cet ensemble. Finalement, nous définissons un nouveau jeu à objectif compétitif, relié au problème de coloration distinguante. Dans ce jeu, il s'agit de construire une coloration qui n'est invariante par aucun des automorphismes du graphe. Nous soulevons plusieurs interrogations stimulantes concernant ce nouveau jeu, notamment sur la caractérisation des graphes ayant un invariant ludique infini, par l'existence d'automorphismes d'ordre deux.

In this thesis, we study three competitive optimization graph games. These games allow a dynamic approach to discrete optimization problems, which is an advantageous alternative way to consider these questions. The global idea consists in defining a combinatorial partisan game, associated to the original optimization problem, like coloring, domination, etc. Two players alternatively build the structure related to the optimization problem. One of them tries to obtain a structure as optimal as possible, whereas his opponent wants to prevent him from doing it. Under the hypothesis that both players play optimally, the size of the obtained structure defines a game invariant of the graph.We start by studying a 1-improper variation of the coloring game, which is the first and the most studied competitive optimization graph game. In this game, the players colors the vertices of a graph, such that two adjacent vertices do not share the same color. In the 1-improper version, we allow a vertex to have at most one neighbor with the same color as it. Then, we study the domination game, in which the players have to build a domination set, that is a sub-set of vertices such that any other vertex is adjacent to one of the vertex in this set. Finally, we define a new game, related to the distinguishing coloring problem. This game is about building a vertex-coloring which is preserved by none of the graph automorphisms. We raise some challenging open questions about this new game, especially concerning the characterization of graphs with infinite game invariant, by the existence of order two automorphisms.; Dans cette thèse nous étudions trois jeux à objectif compétitif sur les graphes. Les jeux à objectif compétitif proposent une approche dynamique des problèmes d'optimisation discrètes. L'idée générale consiste à associer à un problème d'optimisation (coloration, domination, etc.) un jeu combinatoire partisan de la façon suivante. Deux joueurs construisent tour à tour la structure reliée au problème d'optimisation. L'un d'eux cherche à ce que cette structure soit le plus optimale possible, tandis que l'autre essaye de l'en empêcher. Sous l'hypothèse que les deux joueurs jouent optimalement, la taille de la structure obtenue définit un invariant ludique.Nous commençons par étudier une variante 1-impropre du jeu de coloration, qui est le premier et le plus étudié des jeux à objectif compétitif. Dans ce jeu, les joueurs colorient les sommets d'un graphe de sorte que deux sommets adjacents ne partagent jamais la même couleur. Dans la version 1-impropre, un sommet peut avoir au plus un voisin ayant la même couleur que lui. Nous considérons ensuite le jeu de domination, dans lequel les deux joueurs doivent construire un ensemble dominant, c'est-à-dire un ensemble de sommets du graphe tel que tout autre sommet est adjacent à l'un des membres de cet ensemble. Finalement, nous définissons un nouveau jeu à objectif compétitif, relié au problème de coloration distinguante. Dans ce jeu, il s'agit de construire une coloration qui n'est invariante par aucun des automorphismes du graphe. Nous soulevons plusieurs interrogations stimulantes concernant ce nouveau jeu, notamment sur la caractérisation des graphes ayant un invariant ludique infini, par l'existence d'automorphismes d'ordre deux.

Ce document présente des activités pour découvrir les graphes et les algorithmes de manière simple et ludique. La première partie présente des activités pour découvrir la notion de graphe et montre l'importance que les graphes ont en science. Ensuite, nous abordons la notion d'algorithme. Nous présentons notamment une activité permettant de comprendre pourquoi la puissance de l'ordinateur ne permet pas de se dispenser de réfléchir à la conception d'algorithmes efficaces. La troisième partie explique deux tours de magie très amusants qui utilisent les graphes et le binaire. Dans la suite, nous abordons les jeux combinatoires et nous expliquons comment gagner. Enfin, nous expliquons brièvement le monde de la Recherche et quelques autres activités supplémentaires.

Monte Carlo Tree Search (MCTS) has been initially introduced for the game of Go but has now been applied successfully to other games and opens the way to a range of new methods such as Multiple-MCTS or Nested Monte Carlo. MCTS evaluates game states through thousands of random simulations. As the simulations are carried out, the program guides the search towards the most promising moves. MCTS achieves impressive results by this dynamic, without an extensive need for prior knowledge. In this thesis, we choose to tackle MCTS as a full learning system. As a consequence, each random simulation turns into a simulated experience and its outcome corresponds to the resulting reinforcement observed. Following this perspective, the learning of the system results from the complex interaction of two processes : the incremental acquisition of new representations and their exploitation in the consecutive simulations. From this point of view, we propose two different approaches to enhance both processes. The first approach gathers complementary representations in order to enhance the relevance of the simulations. The second approach focuses the search on local sub-goals in order to improve the quality of the representations acquired. The methods presented in this work have been applied to the games of Go and Impartial Solitaire Clobber. The results obtained in our experiments highlight the significance of these processes in the learning dynamic and draw up new perspectives to enhance further learning systems such as MCTS, Depuis son introduction pour le jeu de Go, Monte Carlo Tree Search (MCTS) a été appliqué avec succès à d'autres jeux et a ouvert la voie à une famille de nouvelles méthodes comme Mutilple-MCTS ou Nested Monte Carlo. MCTS évalue un ensemble de situations de jeu à partir de milliers de fins de parties générées aléatoirement. À mesure que les simulations sont produites, le programme oriente dynamiquement sa recherche vers les coups les plus prometteurs. En particulier, MCTS a suscité l'intérêt de la communauté car elle obtient de remarquables performances sans avoir pour autant recours à de nombreuses connaissances expertes a priori. Dans cette thèse, nous avons choisi d'aborder MCTS comme un système apprenant à part entière. Les simulations sont alors autant d'expériences vécues par le système et les résultats sont autant de renforcements. L'apprentissage du système résulte alors de la complexe interaction entre deux composantes : l'acquisition progressive de représentations et la mobilisation de celles-ci lors des futures simulations. Dans cette optique, nous proposons deux approches indépendantes agissant sur chacune de ces composantes. La première approche accumule des représentations complémentaires pour améliorer la vraisemblance des simulations. La deuxième approche concentre la recherche autour d'objectifs intermédiaires afin de renforcer la qualité des représentations acquises. Les méthodes proposées ont été appliquées aux jeu de Go et du Clobber solitaire impartial. La dynamique acquise par le système lors des expérimentations illustre la relation entre ces deux composantes-clés de l'apprentissage

On considère généralement que la théorie des graphes est née au 18e siècle, et qu'elle connaît un essor significatif depuis les années 1960. L'avènement de la théorie des jeux combinatoires est quant à lui plus récent (fin des années 1970). Ce domaine reste alors moins exploré dans la littérature, et de nombreuses études sur des techniques générales de résolution sont toujours actuellement en cours de construction. Dans ce mémoire, je propose plusieurs tours d'horizons à propos de problématiques bien ciblées de ces deux domaines.Dans un premier temps, je m'interroge sur la complexité des règles de jeux de suppression de tas. Il s'avère que dans la littérature, la complexité d'un jeu est souvent définie comme la complexité algorithmique d'une stratégie gagnante. Cependant, il peut aussi avoir du sens de s'interroger sur la nature des règles de jeu. Un premier pas dans cette direction a été fait avec l'introduction du concept de jeu dit invariant. On notera au passage que certains résultats obtenus ont mis en exergue des liens entre combinatoire des mots et stratégie gagnante d'un jeu. Dans un deuxième chapitre, j'aborde les jeux sous l'angle des graphes. Deux aspects sont considérés:* Un graphe peut être vu comme un support de jeu. Le cas du jeu de Nim et ses variantes sur les graphes y est examiné.* Certaines problématiques standard de théorie des graphes peuvent être transformées dans une version ludique. C'est d'ailleurs un objet d'étude de plus en plus prisé par la communauté. Nous détaillerons le cas des jeux de coloration sommet.Enfin, le dernier chapitre se concentre sur deux nouvelles variantes de problématiques issues de la théorie des graphes: le placement de graphes et les colorations distinguantes. J'en profite pour faire un état de l'art des principaux résultats sur ces deux domaines.

This research is included in the project of the research group "Maths à modeler". In particular, in the part that corresponds to the study of "situations de recherche pour la classe" (SiRC). This research is focused in the study of the role played by the mathematical activity, the combinatorial games and particularly the games of Nim-type in learning the fundamental know-hows. We put under the term "fundamental know-hows" all the knowledge, methods and techniques found in all mathematical activity: experimenting, studying particular cases, conjecturing, building examples and counter-examples, modeling, proving, defining, etc. (Grenier et Payan, 2002). The main aim of this research is the construction, the experimentation and the analysis of SiRC based on combinatorial games of Nim-type for students designed to make them build and develop the know-hows required for the implementation of a "mathematical process". Our main problem is then identifying the fundamental and notional know-hows of the mathematical activity that are used in combinatorial games of Nim-type and establishing the epistemological and didactical conditions and constrains that favor the learning of these know-hows in the classroom. To achieve our aim, our research is supported, on one hand, by some aspects of the theory of didactical situation by Brousseau (Brousseau, 2004) and the theory of conceptual fields by Vergnaud (Vergnaud, 1994) and, on the other hand, by the SiRC model, where we also contribute to precise it. We based our research in the epistemological and didactical study of Nim-type games to conduct mathematical and didactical analysis of two SiRC: the first one, called "the geometrical Euclid game", is a situation of Nim-type created specifically for this research and based on the classical Euclid game. The second one, called "the chocolate game", is a situation frequently experimented by the research group math à modeler whose didactical analysis had not been done yet. The analysis and experimentations we have conducted show that the situations based on Nim-type games can lead to a mathematical activity that goes beyond developing and practicing mathematical techniques. They can open access to more general know-hows specific to the mathematical activity., La recherche que nous avons menée s'inscrit dans les projets de l'équipe de recherche Maths à Modeler. En particulier dans celui portant sur les situations de recherche pour la classe (SiRC). Cette recherche est centrée sur l'étude du rôle, pour l'apprentissage des savoir-faire fondamentaux, de l'activité mathématique, des jeux combinatoires et plus particulièrement des jeux de type Nim. Nous mettons sous l'expression « savoir-faire fondamentaux » les savoirs, méthodes et techniques qui sont à la base de toute activité mathématique : l'expérimentation, l'étude de cas particuliers, l'énoncé et l'étude de conjectures, la construction d'exemples et contre-exemples, la modélisation, l'élaboration et l'écriture de preuves, la définition d'objets, etc. (Grenier et Payan, 2002). Le sujet est la construction, l'expérimentation et l'analyse de SiRC basées sur des jeux combinatoires de type Nim pour des élèves, afin de leur faire construire et développer les savoir- faire indispensables à la mise en œuvre d'une « démarche mathématique ». Notre problématique porte donc sur l'identification des savoirs notionnels et des savoir-faire fondamentaux de l'activité mathématique qui sont mis en œuvre dans les jeux combinatoires de type Nim et la détermination des conditions et contraintes épistémologiques et didactiques favorisant l'apprentissage en classe de ces savoirs. Pour mener à bien notre étude, nous nous sommes appuyés d'une part sur certains éléments de la théorie des situations didactiques de Brousseau (Brousseau, 2004) et de la théorie des champs conceptuels de Vergnaud (Vergnaud, 1994) et, d'autre part, sur le modèle SiRC, contribuant à préciser ce modèle. Nous nous sommes servis de l'étude épistémologique et didactique des jeux de type Nim, pour mener les analyses mathématique et didactique de deux SiRC : la première, nommée « jeu d'Euclide géométrique », situation de jeu de type Nim, construite spécifiquement pour cette recherche, basée sur un jeu d'Euclide classique. La seconde, nommée le « jeu du chocolat », situation expérimentée régulièrement dans l'équipe Maths à Modeler, mais dont l'étude didactique n'avait pas vraiment été faite. Les analyses et expérimentations que nous avons menées montrent que les situations basées sur des jeux de type Nim, peuvent induire une activité mathématique qui va au-delà du développement et de la pratique de techniques mathématiques : Elles peuvent ouvrir l'accès à des savoir-faire plus généraux propres de l'activité mathématique.

In this thesis, we study combinatorial games under differentconventions. A combinatorial game is a finite acyclic two-player game withcomplete information and no chance. First, we look at impartial gamesin normal play and in particular at the games VertexNim and Timber.Then, we consider partizan games in normal play, with results on the gamesTimbush, Toppling Dominoes and Col. Next, we look at all these gamesin misère play, and study misère games modulo the dicot universe and modulothe dead-ending universe. Finally, we talk about the domination game which,despite not being a combinatorial game, may be studied with combinatorialgames theory tools.; Dans cette thèse, nous étudions les jeux combinatoires sousdifférentes contraintes. Un jeu combinatoire est un jeu à deux joueurs, sanshasard, avec information complète et fini acyclique. D’abord, nous regardonsles jeux impartiaux en version normale, en particulier les jeux VertexNimet Timber. Puis nous considérons les jeux partisans en version normale, oùnous prouvons des résultats sur les jeux Timbush, Toppling Dominoeset Col. Ensuite, nous examinons ces jeux en version misère, et étudionsles jeux misères modulo l’univers des jeux dicots et modulo l’univers desjeux dead-endings. Enfin, nous parlons du jeu de domination qui, s’il n’estpas combinatoire, peut être étudié en utilisant des outils de théorie des jeuxcombinatoires.

In this thesis for Habilitation à diriger des recherches, we describe our recent work on graph theory and combinatorial game theory. A first chapter is dealing with graph parameters, especially on the structural constraints that permit to give better general bounds. We consider in particular paired domination, independent domination but also cograph partitions and near colorings. In a second chapter, we propose a tentative survey of the known results on power domination, an iterated variation of domination. Finally, the third chapter is about games. We first present our recent results about some conjectures on a domino game, toppling dominoes, and then about misère games. We finally discuss a domination game, which is a graph parameter based on a game.; Ce manuscrit d'Habilitation à diriger des recherches décrit mes travaux de recherche récents en théorie des graphes et en théorie des jeux combinatoires. Une première partie est consacrée à l'étude de paramètres de graphes en s'intéressant particulièrement aux contraintes structurelles qui permettent d'améliorer les bornes connues. Dans cette partie, nous traitons notamment la paire-domination, la domination indépendante mais aussi les partitions en cographes et les colorations quasi propres. Une deuxième partie traite de la domination de puissance, une forme itérative de la domination au sujet de laquelle nous proposons un début de synthèse des résultats existants. Enfin, une troisème partie parle de jeux. Nous y traitons d'abord le travail réalisé sur quelques conjectures portant sur un jeu de domino, puis au sujet des jeux en version misère. Nous y parlons enfin du jeu de domination, qui est à l'interface entre le paramètre de graphe et le jeu combinatoire.

In this thesis for Habilitation à diriger des recherches, we describe our recent work on graph theory and combinatorial game theory. A first chapter is dealing with graph parameters, especially on the structural constraints that permit to give better general bounds. We consider in particular paired domination, independent domination but also cograph partitions and near colorings. In a second chapter, we propose a tentative survey of the known results on power domination, an iterated variation of domination. Finally, the third chapter is about games. We first present our recent results about some conjectures on a domino game, toppling dominoes, and then about misère games. We finally discuss a domination game, which is a graph parameter based on a game., Ce manuscrit d'Habilitation à diriger des recherches décrit mes travaux de recherche récents en théorie des graphes et en théorie des jeux combinatoires. Une première partie est consacrée à l'étude de paramètres de graphes en s'intéressant particulièrement aux contraintes structurelles qui permettent d'améliorer les bornes connues. Dans cette partie, nous traitons notamment la paire-domination, la domination indépendante mais aussi les partitions en cographes et les colorations quasi propres. Une deuxième partie traite de la domination de puissance, une forme itérative de la domination au sujet de laquelle nous proposons un début de synthèse des résultats existants. Enfin, une troisème partie parle de jeux. Nous y traitons d'abord le travail réalisé sur quelques conjectures portant sur un jeu de domino, puis au sujet des jeux en version misère. Nous y parlons enfin du jeu de domination, qui est à l'interface entre le paramètre de graphe et le jeu combinatoire.

Everyone has ever played a combinatorial game, such as chess or checkers. The interest of mathematicians about this subject is often related to the search of a winning strategy for one of both players. From the game of Nim to chess, the complexity of this search is very variable. In this manuscript, we firstly give a short view of the main stages of the topic, who really started in the beginning of the XXth century. Besides, we emphasize the correlation between combinatorial games and number theory, error-correcting codes, or graph theory. We then investigate some variations of « classical » combinatorial games : Wythoff's game and Dots and Boxes. We detail the strategy and « good » game positions for the first and the second player. We then consider a solitaire variation of a recent two-player game : Clobber. It is a one-player game, where stones are placed on the vertices of a given graph. A move consisting in removing a stone (under some conditions), the goal is to minimize the number of remaining stones at the end. We give structural and algorithmic results about this game played on grids, trees or hypercubes., Chacun d'entre nous s'est déjà essayé à un jeu combinatoire, tel que les dames ou les échecs. Les jeux les plus connus présentent le double avantage de mêler plaisir ludique et réflexion. L'intérêt que les mathématiciens leur porte réside souvent autour de la recherche d'une stratégie gagnante pour l'un des deux joueurs. Du jeu de Nim jusqu'aux échecs, la complexité de cette recherche est très variable. Dans cette thèse, nous donnons tout d'abord un aperçu des principales étapes du développement de ce domaine, qui a commencé au début des années 1900, et soulignons son étroite corrélation avec des domaines connexes tels que la théorie des nombres, des codes correcteurs d'erreur ou des graphes. Nous nous intéressons ensuite à des variantes de jeux bien connus : le Wythoff's game et le Dots and Boxes. Nous présentons et expliquons les stratégies et positions de jeu favorables au premier et au second joueur. Enfin, nous regardons une version solitaire d'un jeu récent à deux joueurs : le Clobber. Il s'agit d'un casse-tête qui se joue en posant des pierres sur les sommets d'un graphe, et dont le but est de détruire le plus de pierres possibles. Nous donnons des résultats structurels et algorithmiques sur les grilles, les arbres, ou encore les hypercubes.

In this thesis, we study combinatorial games under differentconventions. A combinatorial game is a finite acyclic two-player game withcomplete information and no chance. First, we look at impartial gamesin normal play and in particular at the games VertexNim and Timber.Then, we consider partizan games in normal play, with results on the gamesTimbush, Toppling Dominoes and Col. Next, we look at all these gamesin misère play, and study misère games modulo the dicot universe and modulothe dead-ending universe. Finally, we talk about the domination game which,despite not being a combinatorial game, may be studied with combinatorialgames theory tools., Dans cette thèse, nous étudions les jeux combinatoires sousdifférentes contraintes. Un jeu combinatoire est un jeu à deux joueurs, sanshasard, avec information complète et fini acyclique. D’abord, nous regardonsles jeux impartiaux en version normale, en particulier les jeux VertexNimet Timber. Puis nous considérons les jeux partisans en version normale, oùnous prouvons des résultats sur les jeux Timbush, Toppling Dominoeset Col. Ensuite, nous examinons ces jeux en version misère, et étudionsles jeux misères modulo l’univers des jeux dicots et modulo l’univers desjeux dead-endings. Enfin, nous parlons du jeu de domination qui, s’il n’estpas combinatoire, peut être étudié en utilisant des outils de théorie des jeuxcombinatoires.