Search

Using the concept of bounded boundary rotation, we investigate various properties of two new generalized classes of spirallike and Robertson functions of complex order with bounded boundary rotations. © Kyungpook Mathematical Journal.

Let A be the family of functions f(z) = z + a2z 2 + ... which are analytic in the open unit disc D = {z : |z| < 1}, and denote by P of functions p(z) = z + p1z + p2z 2 + ... analytic in D such that p(z) is in P if and only if p(z) ≺ 1 + z 1 − z ⇔ p(z) = 1 + φ(z) 1 − φ(z) , for some Schwarz function φ(z) and every z ∈ D. Let f(z) be an element of A, and satisfies the condition z f ′ (z) f(z) = k 4 + 1 2 p1(z) − k 4 − 1 2 p2(z) where p1(z), p2(z) ∈ P and k ≥ 2, then f(z) is called function with bounded radius rotation. The class of such functions is denoted by Rk. This class is generalization of starlike functions. The main purpose is to give some properties of the class Rk.

The influence of climatic oscillations (based on NAO and ENSO) on monthly catch rates of fish population such as blue fish and sea bass (pomatomus population between 1991-2008) were analyzed in Black Sea and Marmara Sea by wavelet transform (Wavelet 1-D and continuous wavelet 1-D) with DMeyer for 7-Levels. Wavelet analysis is an efficient method of time series analysis to study non-stationary data. Wavelet analyses allowed us to quantify both the pattern of variability in the time series and non-stationary associations between fish population and climatic signals. Phase analyses were carried out to investigate dependency between the two signals. We reported strong relations between fish stock and climate series for the 4- and 5-yr periodic modes, i.e. the periodic band of the El Niño Southern Oscillation signal propagation in the Black and Marmara Seas. These associations were nonstationary, evidenced from 1995 to 2008. Warm episodes matched increases of longline catch rates of bigeye during the 1970–1990 time frames, whereas the strong 1997–1998 warm event matched a decrease of purse seine catch rates of yellowfin. We discussed these results in terms of changes in catchability for purse seine and longline. The results of this study were compared with former harmonic analyses to explain seasonal effects of NAO and ENSO on fish population.

Let f = h(z) + be a univalent sense-preserving harmonic mapping of the unit disc D = {z is an element of C parallel to z vertical bar < 1}. If f satisfies the condition vertical bar w(z)vertical bar = vertical bar g'(z)/h'(z)vertical bar < k, (0

In the present paper we extend the fundamental property that if h(z) and g(z) are regular functions in the open unit disc D with the properties h(0) = g(0) = 0, h maps D onto many-sheeted region which is starlike with respect to the origin, and Re g ′ (z) h′(z) > 0, then Re g(z) h(z) > 0, introduced by R.J. Libera [5] to the Janowski functions and give some applications of this to the harmonic functions.

In the present paper we extent the fundamental property that if h(z) and g(z) are regular functions in the open unit disc D with the properties h(0) = g(0) = 0, h(z) maps D onto λ-spiral region and Ren e iλ g 0 (z) h0(z) o > 0, then Ren e iλ g(z) h(z) o > 0, and then give some applications of this to the harmonic functions.

WOS: 000208350900011 Marine ecosystems are not in steady state. They are affected by the environment. Fish populations respond to the variations of environmental factors which varies on spatial and temporal scales. The main aim of this study is to define the effects of atmospheric parameters variability on given fish population, such as horse mackerel (Trachurus trachurus), pilchard (Sardina pilchardus), atlantic bonito (Sarda sarda), anchovy (Engraulis encrasicolus), grey mullet (Mugil cephalus), blue fish (Pomatomus saltator) in the Black sea, Marmara sea, and swordfish (Xiphias gladius), gill head sea bream (Sparus aurata), sea bream (Sparus pagrus), chub mackerel (Scomber japonicus) in the northern part of the Aegean sea. Surface atmospheric parameters such as: air temperature, rainfall rate and sea surface temperature values observed in the period between 1980 and 2003 are statistically analysed. Time series analyses show the increasing and decreasing number of populations, aquaculture, in different years. In the second part of this study, harmonic analysis techniques were applied on data. The variations of first-sixth order harmonic amplitudes and phases provide a useful means of understanding the large and local-scale effects on meteorological parameters. The phase angle can be used to determine the time of the year when the maximum or minimum of a given harmonic occurs. Large- and meso-scale effects on fish populations and aquaculture were defined by comparing amplitude and phase values. As a case study, if we compare the population of anchovy (Engraulis encrasicolus) with annual total rainfall rate and annual average air temperature, it is concluded that rainfall variations play more important role on the population. This study has a key role to define the climate changing effects on meteorological parameters.

Teknik Eğitim Fakültelerinin amacı Teknik Lise ve Endüstri Meslek Liselerinde okutulan meslek derslerini verebilecek ve bunun yanı sıra endüstriye de hizmet edebilecek teknik öğretmen yetiştirmektir. Bu fakülteler arasında Marmara Teknik Eğitim Fakültesi günümüze kadar 2500 den fazla mezun vermiştir. Mezunlardan öğretmen olarak atananların sayısının gittikçe azaldığı gözlenmiştir. Bu yetişmiş öğretmen adaylarının Endüstrinin değişik iş kollarında kolay iş bulup bulamamaları arkasındaki nedenlerin (faktörlerin) araştırılması güncelliğini korumaktadır. Bunun tersinin de araştırılması gerekmektedir. Yani "Endüstri'nin çeşitli iş kolları, teknik eğitim fakültesi mezunlarını, istihdam etmek için, yeterli görüyor mu?" sorusunun araştırılması aynı ölçüde önemlidir. Biz çalışmamızda nitel özellikteki nicel gözlem verilerini kullanarak sonuca varmak ve yorumlayarak yeni bilgiler bulmayı amaçladık. İstatistikteki Lineer (Doğrusal) Modellerin "2-Faktörlü İç-İçe (Hiyerarşik) Sınıflandırma " modeliyle eldeki verileri değerlendirdik. Modelimizde bu Yüksek Teknik Eğitim Kurumunun "Tekstil" ve "Teknik" eğitim programlarını ( Faktörü) olarak varsayarak, bunların aşağıda sıralanan alt programları içinde: Bilgisayar ve Kontrol, Enerji, Hazır Giyim Elektrik, Elektronik ve Haberleşme, Metal Matbaa, Otomotiv, Talaşlı Üretim, Tasarım ve Konstrüksiyon, Tekstil ve Tekstil Terbiye Öğretmenliği. Tekstil Eğitim programının "Hazır Giyim Öğretmenliği", "Tekstil Terbiye Öğretmenliği" ve " Tekstil Öğretmenliği " düzeyleriyle, Teknik olarak ifade edilen eğitim faktörünün ise yukarıdaki listeden en popüler ve aranan meslekleri rastgele seçerek: " Elektronik ve Haberleşme Öğr. " Otomotiv Öğretmenliği (Makina) Öğr. " Metal Öğretmenliği Öğr. " Bilgisayar ve Kontrol Öğr. düzeylerini alarak (a faktörü B faktörünün düzeyleri ) (1) lineer 2-Faktörlü İç-İçe(Hiyerarşik-V.A) modelini oluşturduk. İstanbul Ticaret Üniversitesi

…

Klasik Analizle çözülemeyen bazı veri tiplerine çözüm getirilmek için lineer modellerin matrislerle ifade ve çözümlemesinin (analizi) bazı sakıncaları vardır[l].Uzun süre nitel değ işkenlerin sözkonusu olduğu araştırmaların istatistiksel değerlendirmelerinde lineer modellerden yararlanırken başvurulan yöntem genellikle Variyans Analizi (Çözümlemesi)dir[2]. Ancak bu yaklaşımla matris cebrinin pek ötesine gidilmeyip tekrar klasik yöntemlere dönülmüştür ya da bir takım kısıtlamalara gidilerek çözüm yolları aranmıştır. Bunun başlıca nedeni nitel değişkenler kullanarak oluşturulan model genel olarak: Y=X ß+ ? biçiminde olup bu modellerde tek çözüm elde edilememektedir. Çünkü bu modelden elde edilen normal denklemlerinin X'X matrisi özel bir yapı gösterip, bunun rankı tam değildir. Klasik anlamda normal denklemlerin katsayılar matrisinin determinantı sıfırdan farklı olmadığından (tam ranklı değil) ters matrisi yoktur.Bilinmeyen parametreler vektörü için tek çözüm olmadığından ya kısıtlamalara gidilmektedir ya da önceden uygun koşullar öne sürülerek çözüm getirilmektedir. Ancak bu şekilde çözümsüzlüğün üstesinden geliniyordu. Çalışmamızda yine nitel değişkenlerle oluşturulan modele kısıtlamalar olmadan da "Genelleştirilmiş Ters Matrislerle" çözüm bulunabileceğini göstereceğiz.

…

Let S∗ be the class of starlike functions and let SH be the class of harmonic mappings in the plane. In this paper we investigate harmonic mapping related to the starlike functions. Publisher's Version

Analitik yalınkat fonksiyonları bir alt küme olarak içeren harmonik yalınkat fonksiyonlar, özellikle son zamanlarda üzerinde durulmaya başlanan bir araştırma konusudur. `Analitik fonksiyonların hangi özellikleri, kendisinden daha büyük bir sınıf olan harmonik yalınkat dönüşümler için geçerliliğini korumaya devam eder?` sorusu 3. ve 4. bölümlerin genel temasını oluşturacaktır. Bu çalışmada dönüşüm kavramı, analitik yalınkat fonksiyonlar ve normalize S_H sınıfı genel anlamda incelenirken, diğer taraftan da ComplexTool programı yardımıyla elde edilen grafiklerle bu kavramlar görsel bir anlam kazanacaktır.Son olarak q-calculus ile ilgili genel bilgiler eşliğinde, analitik kısmı q-convex olan harmonik dönüşümler incelenecektir. Harmonic univalent functions which contains the collection of analytic univalent functions as a subset is especially began to focus on a research topic lately. A general theme in chapter 3 and 4 will be `What properties of analytic univalent functions are still true for this larger class of harmonic univalent functions?` While examined concept of mappings, analytic univalent functions and normalized S_H class in this study, at the same time, these concepts will acquire visual sense with the resultant graph provided by the ComplexTool program. Finally at the last chapter we will examined the harmonic mappings for which analytic part is q-convex functions accompanied by general information about the q-calculus. 68

Tez (Yüksek Lisans) -- İstanbul Ticaret Üniversitesi -- Basılısı mevcuttur. -- Kaynakça var. Yalınkat fonksiyonlar teorisi, kompleks değişkenli fonksiyonların en ilginç konularından biridir. Birim dairede normalize yalınkat friksiyonların 5 sınıfı için extremal problemleri ele alan dikkate değer birçok problem vardır. Metodların çeşitliliği bu problemleri çalışmaya yol açmıştır. Son yıllarda, yalınkat fonksiyonların harmonik dönüşümlere genelleştirilmesi dikkat çekmektedir. Ayrıca, harmonik dönüşümlerin sınırlı sınır rotasyonlarıyla ilişkileri incelenmektedir. Bu çalışmanın amacı yalınkat fonksiyonların temel öze diklerini vermek ve harmonik dönüşümlerin sınırlı sınır rotasyonları ile ilişkilerini araştırmaktır. The theory of univalent functions is one of the most interesting topics in complex variable. There are many remarkable theorems dealing with extremal problems for the class S of normalized univalent functions on the unit disc. A variety of methods was lead to study these problems. In recent years, generalization of univalent functions to the harmonic mappings is get attract attention. Moreover, harmonic mappings related to the bounded bundary rotation is get investigation. The aim of this research is to give elemantary properties of univalent functions and to investigation of the class harmonic mappings related to the bounded boundary rotation. Özet (Abstract), iii -- Şekil Listesi, vi -- Kısaltmalar, vii -- Teşekkür, viii -- GİRİŞ, 1 -- 1. ANALİTİK FONKSİYONLAR -- 1.1 Temel Kavramlar, 3 -- 1.1.1 Topolojik Kavramlar, 3 -- 1.1.2 Kompleks Fonksiyonlarda Limit ve Türev, 4 -- 1.2 Analitik Fonksiyonlarda Temel Tanımlar, 6 -- 1.3 Harmonik Fonksiyonların Genel Özellikleri, 9 -- 1.4 Yalınkat Fonksiyonlarda Temel Tanımlar, 13 -- 2. YALINKAT FONKSİYONLARIN TEMEL ÖZELLİKLERİ -- 2.1 Kompleks Düzlemde Yalınkatlık, 17 -- 2.1.1 Yalınkat Fonksiyonlar Teorisinde Temel Sonuçlar, 17 v -- 2.1.2 Alan Teoremi, 24 -- 2.1.3 Sınıfında Büyüme, Kapsama ve Bükülme Sonuçları, 28 -- 2.1.4 Yalınkat Fonksiyonların Maksimum Modülü, 34 -- 2.1.5 Sınıfı İçin İki Noktalı Bükülme Sonuçları, 37 -- 3. BİRİM DAİREDE YALINKAT FONKSİYONLARIN ALTSINIFLARI -- 3.1 Pozitif Reel Kısımlı Fonksiyonlar, Subordinasyon ve Herglotz Formülü, 41 -- 3.1.1 Caratheodory Sınıfı, Subordinasyon, 41 -- 3.1.2 Subordinasyon Prensibinin Uygulamaları, 47 -- 3.2 Yıldızıl ve Konveks Fonksiyonlar, 49 -- 3.3 Yıldızıllık ve Mertebeden Konvekslik, Alfa Konvekslik, 67 -- 3.3.1 Yıldızıllık ve Mertebeden Konvekslik, 67 -- 3.3.2 Alfa Konvekslik, 72 -- 3.4 Birim Dairede Konvekse Yakın, Spirallike ve like Fonksiyonlar, 76 -- 3.4.1 Birim Dairede Konvekse Yakın Fonksiyonlar, 76 -- 3.4.2 Birim Dairede Spirallike Fonksiyonlar, 87 -- 3.4.3 Birim Dairede like Fonksiyonlar, 93 -- 3.5 Harmonik Dönüşümlerin Sınırlı Sınır Rotasyonlarıyla İlişkileri, 97 -- 3.5.1 Temel Sonuçlar, 101 -- KAYNAKÇALAR, 104

Tez (Yüksek Lisans) -- İstanbul Ticaret Üniversitesi -- Kaynakça var. Son yıllarda, çok uygulama alanı olması nedeniyle yalınkat fonksiyonlar teorisine ilgi artmıştır. Yalınkat fonksiyonların, harmonik dönüşümlere genelleştirilip genelleştirilemeyeceği ilgi çekmektedir. Yalınkat fonksiyonlar teorisinde incelenen fonksiyonların katsayı sınırlarını ve modülünün alt ve üst sınırlarını bulma problemi, harmonik dönüşümler teorisindeki katsayı eşitsizliklerini bulmaya ve klasik distorsiyon teoremlerinin kesin formlarını elde etmeye yönlendirir. Bu çalışmadaki amacımız Koebe distorsiyon teoremlerini ve bu teoremlerin harmonik dönüşümlerle ilişkisini incelemektir. Bir diğer amacımız ise, bu konuda çalışan araştırmacılara yol gösterici bir kaynak oluşturmaktır. In recent years, theory of univalent functions has gained much popularity reason of the it has many applications. The matter of, generalization of univalent functions to harmonic mappings is possible or not get attract attention. At univalent functions theory upper limits and inferior limits of modulus of functions and coefficients of functions leads to finding coefficient inequality at harmonic mappings and the forms of classical distortion theories. The aim of this research is to analyze the Koebe distortion theorems and the correlation of this theorems with harmonic mappings. Another aim of this research is to compose an instructive guide for people who is studying in this area. Özet (Abstract), iv -- Kısaltmalar, vii -- Şekil Listesi, viii -- Teşekkür, ix -- GİRİŞ, 1 -- 1. ANALİTİK FONKSİYONLAR, 3 -- 1.1 Limit ve Süreklilik, 3 -- 1.2 Limit Teoremleri, 4 -- 1.3 Düzgün Süreklilik, 4 -- 1.4 Diferansiyellenebilme ve Kompleks Türev, 4 -- 1.5 Türev Üzerine Temel Teoremler, 5 -- 1.6 Zincir Kuralı, 5 -- 1.7 Bir Açık Cümle Üzerindeki Analitik Fonksiyonlar, 6 -- 1.8 Cauchy-Riemann Denklemleri, 6 -- 1.9 Kompleks Diferansiyel Operatörler, 9 -- 1.10 Kompleks Diferansiyel Operatörlerin Bazı Özellikleri, 10 -- 1.11 Ters Tasvirler, 11 -- 2. YALINKAT FONKSİYONLAR, 14 -- 2.1 Yalınkat Fonksiyonların Bazı Temel Özellikleri, 14 -- 2.2 Riemann Dönüşüm Teoremleri, 16 -- 2.3 Green Analitik Formülü, 21 -- 2.4 Klasik (Koebe) Distorsiyon Teoremleri, 22 -- 2.5 Bazı Reel Kısma Haiz Fonksiyonlar ve Subordinasyon, 28 -- 2.6 Yıldızıl ve Konveks Fonksiyonlar, 35 -- 2.7 Konvekse Yakın Fonksiyonlar, 42 -- 3. HARMONİK DÖNÜŞÜMLER, 48 -- 3.1 Bazı Temel Durumlar, 51 -- 3.2 Argüman Prensibi, 55 -- 3.3 Konform Dönüşümler, 57 -- 3.4 Harmonik Dönüşümlerin Genel Özellikleri, 60 -- 3.5 Harmonik Fonksiyonların Kritik Noktaları, 60 -- 3.6 Lewy Teoremi, 62 -- 3.7 Heinz Lemması, 63 -- 3.8 Rado Teoremi, 65 -- 3.9 Yaklaşım Teoremi, 68 -- 3.10 Katsayı Tahminleri, 82 -- 3.11 Harmonik Fonksiyonlar İçin Schwarz Lemması, 86 -- 3.12 Harmonik Yalınkat Fonksiyonlar, 88 -- 3.13 Normal Aileler, 90 -- 3.14 Harmonik Koebe Fonksiyonu, 93 -- 3.15 Janowski Konvekse Yakın Harmonik Fonksiyonlar, 98 -- Kaynakça, 105

Ill ÖZET Bu tezde modüler gruplara kısaca değinildikten sonra modüler grupların alt grupları incelenmiştir. Birinci bölümde önceliklle homojen ve inhomojen lineer dönüşüm kavramları ve bu iki dönüşüm arasındaki ilişkiler ele alınmıştır. Bu dönüşümler kullanılarak modüler grubun tanımı yapılmıştır. Modüler grup yardımıyla modüler dönüşümler sınıflandırılmış, modüler grubun üreteç ve bağlantılarına yer verilmiştir. Daha sonra temel bölge tanımlanıp temel bölgenin varlığına bağlı olarak, üst yan düzlemin bölümlere ayrılması incelenmiştir. İkinci bölümde modüler grupların alt gruplarına ayrıntılı olarak yer verilmiştir. Esas kogrüans grupları tanımlanmış ve daha sonra özel kongrüans gruplarına yer verilmiştir. Daha sonra alt gruplar için esas bölgeler gösterilmiştir. H/T bölüm uzayı ayrıntılı olarak ele alındıktan sonra esas bölgenin tip formülü verilmiş ve normal alt gruplara karşılık gelen dallanma şemaları çizilmiştir. Son olarak da To(N) nin esas bölgesinin tipi incelenmiştir. IV ABSTRACT In this thesis after modular groups was mentioned the subgroups of modular groups are studied. In chapter I firstly homogeneous and inhomogeneous lineer transformation concepts and relation bnetween these two concepts are considered. The modular group is defined by using this transformations. After this modular transformations are clasified by means of the transformations and also generators of the modular groups and their relations are studied. More over, fundemental region is defined. Teselletion upper half plane is examined because of existence of fundemental region. In chapter II the subgroup of modular groups are studied with details. Principle congruence groups and special congruence groups have been defined. After that principle region was shown for subgroups. The quotiet space Jf/T is studied in details and the genous formula of principal regions is given. The branch schemas corresponding to normal subgroups was drawn. Finally the genous of To(N) of principal region has been studied. 67

TANITICI ÖZET I. Bölümde sabit olmayan bir eliptik fonksiyonun oluşturulması problemi üze rinde çalıştık. Periyodları tanımladık ve bu periyodlara sahip en basit eliptik fonksiyonu bulmaya çalıştık. Eliptik fonksiyonun lineer olmayan bir diferansiyel denklemi sağladığını verdik. Klein'nin modüler fonksiyonunu tanımladık ve J nin Modüler dönüşümler altında invaryantlığını gösterdik. J(t) ve A(t) nin fouirer açı lımları verildi. I. Bölümde birim modüllü dönüşümler incelendi. F modüler grubunun doğu ranlarının T ve S olduğunu gösterdik, f fonksiyonu modüler ve eşdeğer olarak sı fırdan farklı ise o zaman Rp esas bölgesinin kapanışında fin sıfırlarının sayısının kutuplarının sayışma eşit olduğunu ispatladık ve sonra Eisenstein serileri için inversiyon problemine ve Picard teoremine uygulamaları verildi. SUMMARY In the first chapter we studied on the problem of constructing a non constant elip- tic function we prescribed the periods arnd tried to find the simplest elliptic functi on having these period. We gived the elliptic function satisfies the nonlinear diffe rential equation. We introduced Kleins Modüler function and inticated invariance of J undur unimodular transformations. We gived the Fouirer expansions of A(t) and J(x). In the second chapter we studied unimodular trnasformations in greater detail. We showed the modular group T is generated by Tand S. We proved if f is modular and not identically zero then in the clousure of fundemantal region Rr the number of zeros f is equal to the number of poles and then applications to the inversion problem for Eisenstein series and Picard's theorem had been given. IV 58

Bu tezde modüler fonksiyonlar ve modüler formlar incelenmiştir. Birinci bölümde öncelikle homojen ve inhomojen lineer dönüşüm kavramları ve bu iki dönüşüm arasındaki ilişkiler ele alınmıştır. Bu dönüşümler kullanılarak modüler grubun tanımı yapılmıştır. Modüler grup yardımı ile modüler dönüşümler sınıflandırılmış, modüler grubun üreteç ve bağlantılarına yer verilmiştir. Daha sonra temel bölge tanımlanarak temel bölgenin varlığına bağlı olarak, üst yan düzlemin bölümlere ayrılması incelenmiştir. ikinci bölümde ise periyodik olmayan ve kompleks düzlemi eğrisel üçgenler halinde değer bölgelerine ayıran ve bu bölgelerin her birinde olanaklı bütün değerleri alan modüler fonksiyonlar ele alınmıştır. Ayrıca bu bölümde eliptik modüler fonksiyonlar üzerinde çalışılmıştır. Modüler fonksiyonların varlığından yararlanarak modüler formların oluşturulması gösterilmiştir. Buna bağlı olarak modüler J fonksiyonunun T türevi yardımı ile tüm modüler formların kuruluşu ile bunların özellikleri çalışılmıştır. Son olarak tüm modüler formlar uzayı ve modüler fonksiyonlar ile tüm modüler formlar arasındaki ilişkiler incelenmiştir. These thesis mainly concerned with modular functions and related modular forms. In Chapter L firstly homogeneous and inhomogeneous linear transformations concepts, and relations between these two transformations are considered. The modular group is defined using these transformations. After these, modular transformations are classified by means of the transformations, and also generators of the modular group and their relations are studied. Furthermore, fundamental region is defined. Tesellation upper half plane is examined because of existence of fundamental region. In Chapter II, modular functions which are not periodic and tesellate the complex plane like triangular and take all possible values in the each region are discussed. However, in this chapter, modular forms which represent an important class of functions in the development of the theory of elliptic modular functions are studied. In addition existence of modular forms are showed by means of modular functions. Connected with this, construction of entire modular forms with the help of J which is derivative of modular J function and their properties are studied. Lastly, the space of entire modular forms and relations between modular functions and entire modular forms are examined. 122