Search

This paper presents an efficient method for the computation of two highly oscillatory integrals having logarithmic and Cauchy-logarithmic singularities. This approach first requires the transformation of the original oscillatory integrals into a sum of line integrals with semi-infinite intervals. Afterwards, the coefficients of the three-term recurrence relation that satisfy the orthog-onal polynomial are obtained by using the method based on moments, where classical Laguerre and Gautschi's logarithmic weight functions are employed. The algorithm reveals that with fixed n, the method is capable of achieving significant figures within a short time. Furthermore, the approach yields higher accuracy as the frequency increases. The results of numerical experiments are given to substantiate our theoretical analysis.

Toplumsal olaylara müdahale eden kolluğa hukuk, belirli durumlarda zor kullanma, bu arada da gazlar kullanma yetkisini vermektedir. Gaz kullanma uygulamaları hukuka uygun olmakla birlikte, acaba insan hakları bakımından durum ne? Çalışmamızın amacı, toplumsal olaylara müdahalede gazların kullanılmasının ve yarattığı bazı sonuçların insan hakları açısından incelenmesidir. Tezin birinci bölümünde, kolluk kuvvetlerinin toplumsal olaylarda gaz kullanmasına izin veren kanun ve yönetmelikler incelenmiş ve gösterileri dağıtma amacıyla gaz silahlarının kullanımının hukukî boyutu belirtilmiştir. İkinci bölümde ise, temel hakların sınırlandırılması üzerinde durularak, kolluk kuvvetlerinin neden olduğu hak ihlalleri AİHM ve Anayasa Mahkemesinden örnek kararlarla gösterilmiştir. Sonuç olarak, kolluk kuvvetlerinin belirli durumlarda kullanmaya yetkisi olduğu göz yaşartıcı gazların ve biber gazlarının hukuka uygun, fakat insan haklarına aykırı bir uygulama olduğu ortaya konmuştur., The law entitles the police to use force, and at the same time the use of gas in certain public events. The use of gas is legal; however, what is the case seen from the perspective human rights? The purpose of our study is to examine certain consequences of the use of gas in interventions in public events from the viewpoint human rights. In the first part of the thesis, the laws and regulations are examined which entitle police force to use gas in public events, as well as the legal dimension of the use of gas used for dispersion of demonstrators. In the second part, the limitation of rights is discussed, and the abuse of rights resulting from police force have been examined in detail considering decisims of the European Court of Human Rights and the Constitutional Court. İt was concluded that the use of gases and pepper spray, which the police force may use in certain cases, are legal but contrary to human rights.

In this paper,the first-order ODEs which have no systematic way to find their Lie pointsymmetries -unlike higher order ODEs which have systematic ways- arereconsidered. As a first step, we considered first order PDEs which correspondto these equations by introducing reduced characteristic Q that used in theLie’s theory. Following this step, we tried to obtain solutions of the PDEsusing their Lie point symmetries. But in this process, we met somedifficulties, so by taking into account some assumptions we obtained thesymmetries of ODEs which are in the special form, and also theirsolutions.

Bu tez çalışması altı bölümden oluşmuştur.Birinci bölümde, kesirli integral ve türevlerin Riemann-Liouville anlamındaki ifadelerine yer verilmiştir. Soldan ve sağdan Riemann-Liouville kesirli integralleri ve kesirli türevleri yarım eksen ve reel eksen de olmak üzere ayrı ayrı ifade edilmiştir. Kesirli analizle ilgili bazı tanım ve teoremlere de yer verilmiştir[42].İkinci bölümde, Caputo ve Grünwald-Letnikov kesirli türevleri ile ilgili genel tanım ve teoremler ifade edilmiştir[42].Üçüncü bölümde, adi kesirli diferansiyel denklemler için nümerik bir çözüm yolu olan varyasyonel iterasyon metodu verilmiştir. Göz önüne alınan örnek bir problem için metodun probleme uygulama esaslarına, lineer ve lineer olmayan yapıya sahip Lagrange çarpanları ele alınarak değinilmeye çalışılmıştır. Mertebesi ikiden daha küçük bir kesirli türevi ihtiva eden, ikinci mertebeden diferansiyel denklemin orijinal yapısı değiştirilmeksizin, çeşitli parametre değerleri için söz konusu denklemin nümerik çözümleri yapılmıştır.Dördüncü bölümde, kesirli integro-diferansiyel denklem sistemlerini çözmek için varyasyonel iterasyon metodunun çözüm algoritması verilmiştir. Bu metot kullanılarak örnek sistemlerin çözümleri kesirli mertebenin bir fonksiyonu olarak bulunmaya çalışılmıştır. Bunun yanında bilinen farklı çözüm metotları ile elde edilmiş çözümler, varyasyonel iterasyon metodunun kullanılmasıyla elde edilenler ile benzer sonuçları verdiği gözlenmiştir.Beşinci bölümde, dinamik sistemlere kısa bir giriş yapılmış ardından Lagrange dinamikleri kullanılarak jiroskobun literatürde yer alan denklem sistemi yapısı elde edilmiştir. Jiroskop sisteminin üçüncü konum bileşeni olarak zaman fonksiyonunun seçilmesiyle modifiye edilen üç boyutlu otonom denklem sistemi yapısı oluşturulmuştur. Modifiye sistemin yaklaşık çözümü için Lie serisi tekniği sunulmuş ve bu tekniğin kullanılmasıyla sistemin belirli parametre değerleri için Lyapunov üstelini hesap edebilen Java tabanlı bir algoritma yazılmıştır.Son bölüm olan altıncı bölümde ise, bir önceki bölümde oluşturulan modifiye sistemin kesirli mertebeden ifade edilmiş yapısı göz önüne alınmıştır. Son yıllarda yaygın olarak kullanılan Grünwald-Letnikov ve Adams-Bashforth-Moulton çözüm yaklaşımları ifade edilmiş ve bu metotlar modifiye sisteme adapte edilmiştir. Göz önüne alınan sistemin çeşitli mertebeden yapılarının kaotik davranışlarının inceleneceği dört farklı durum grubundan toplam onbeş farklı alt durum oluşturulmuştur. Bu alt durumlara ilişkin simülasyon sonuçlarını gösteren şekiller verilmiştir. Son olarakta sistemin yapısı üzerinden genel bir sonuca varılmıştır.Bu tez çalışmasının orijinal kısımları, üçüncü bölüm, dördüncü bölüm, beşinci bölümün dördüncü kesimi ile orijinal modifiye sistemin incelendiği altıncı bölümün beşinci, altıncı ve yedinci kesimleridir. This thesis consists of six chapters.In the first chapter, Riemann-Liouville fractional integrals and derivatives are given. Left-sided and right-sided Riemann-Liouville integrals and fractional derivatives, of order arbitrary number, on a finite interval of real line, on the half-axis and also on the real axis are given. Some basic definitions and theorems are expressed for understanding how a fractional integral and derivative are calculated42].In the second chapter, Caputo and Grünwald-Letnikov fractional derivatives and their related basic theorems are expressed [42].In the third chapter, a numerical approach for ordinary fractional differential equations, variational iteration method, is given. Considering an ordinary fractional differential equation, the principles of applying this method to the equation are expressed by taking into account the linear and nonlinear forms of Lagrange multiplier. Without changing the original form of the second order differential equation including one fractional derivative term of order less then two, the numerical solutions are obtained for varius parameter values.In the fourth chapter, using variational iteration method, the solution algorithm of system of fractional integro-differential equation is given. The solutions of representative systems, as a function of the fractional order, were obtained using this algorithm. Calculated solutions using variational iteration method gave similar results with those of obtained by using other known methods.In the fifth chapter, a brief introduction to dynamical systems is given. Using the Lagrangian dynamics, the structure of gyro ordinary differential equation is obtained analogously as in the literature. Then gyro ordinary differential equation is modified into an autonomous three dimensional system by choosing a new variable that is the third position component of the gyro system as the function of time. Lie series technique for the solution of the modified system was expressed and a Java-based algorithm that can count the Lyapunov exponent of the modified system for the specific parameter values is written.In the final chapter, a fractional-order system is formed as in the modified structure generated in the previous chapter and that system is taken into account through the whole chapter. Adams-Bashforth-Moulton and Grünwald-Letnikov approaches for the numerical solutions of fractional differential equations which are widely used in recent years are expressed and these methods are adapted to modified system. In order to examine the behavior of a chaotic system, it is considered a variety of a total of fifteen different sub-circumstances from four different circumstances groups. It is also given the figures which show the resulting graphs of the simulation of given these sub-circumstances.The original sections of this thesis are third chapter, forth chapter, forth section of the fifth chapter and fifth, sixth and seventh sections of sixth chapter in which the modified gyro systems are investigated. 116

ÖZETBifurkasyon Teorisinin yararlı konularından birisi olan, 1892 yıllarında Poincaré'inçalışmalarından kökenini alan Hopf bifurkasyonu olarak adlandırılan bu konu üç boyutluuzaydaki adi diferansiyel denklem sistemlerinin ve dinamik sistemlerin geniş bir yelpazesineuygulamak için genişletilmiştir. Hopf bifurkasyon teorisinin iki ve üç boyutlu yapısını temel alanbu tez çalışması üç bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde, Bifurkasyon Analizi teorisi ile ilgili teoremler ve kararlılık analizinintemelini teşkil eden Bifurkasyon, Kararlı Durağan Çözüm, Kararsız Durağan Çözüm, DissipativeSistem, Hopf bifurkasyonu tanımları ifade edilmiştir.İkinci bölümde iki boyutlu diferansiyel denklem sisteminde halihazırda literatürdeincelenen Hopf bifurkasyonu ele alınmış olup burada ise sabit nokta civarında iki boyutlu birsistemin davranışları şekiller ile gösterilerek bulunmaya çalışılmıştır.Üçüncü bölümde Hopf bifurkasyonunun meydana geldiği çeşitli kaotik davranışlarasahip olan sistemlerin içerisinden seçilen özel bir sistem üzerinde çalışılmıştır. Bunun içinserbestlik derecesi 3 olan orijinal olarak ortaya konan bir sistem tanımlanmıştır. Buradaöncelikle, Hopf bifurkasyonunun meydana gelmesi için kendi tanım kümesi içerisinde bulunanbir sistem parametresi kendi ekseni boyunca değiştirilmiş, bunun sunucunda sistemindavranışını gösteren kritik nokta civarındaki bazı şekiller çizilmeye çalışılmıştır.Buna ilaveten, iki sistem parametresi değiştirilerek ve diğer parametre ise sabit alınarakgöz önüne alınan sistem incelenmeye devam edilmiştir. Son olarak ise üç boyutlu sistemin ikiboyutlu bir sisteme indirgenmesi için gerekli dönüşümler bulunmuştur.vTeorik olarak yapılan bu çalışmanın ardından tercih edilen bilgisayar programınınkullanışlı olduğu kadar çok yararlı, hassaslık derecesinin istenilen doğruluğa sahip olması vedaha çok zaman kazandırması dolayısıyla, yapılan işlemler ve sonuçları hatanın sonsuz küçükdeğerleri için hesaplanmıştır. Yazılan orijinal algoritmaların iki veya üç boyutlu sistemlerin Hopfbifurkasyonuna ilgi duyan ve bu konuda inceleme yapacak olan araştırmacılara da ışık tutacağıkaçınılmaz bir gerçektir.vi ABSTRACTOne of the useful subjects of bifurcation theory named Hopf bifurcation which had itsorigins in the works of Poincaré around 1892, is expanded to apply a wide spectrum ofdynamical systems and the systems of ordinary differential equations in three dimensionalspace. This thesis consists of three chapters in which two and three dimensional structure ofHopf bifurcation theory was yielded.In the first chapter, basic theorems concerning about Bifurcation analysis theory anddefinitions as bifurcation, stable stationary solution, unstable stationary solution, dissipativesystem, Hopf bifurcation are given in the sense of stability analysis.In the second chapter, the Hopf bifurcation is already known in literature in a twodimensional system of differential equations is investigated. In here the behaviors of twodimensional system starting near the fixed point are pointed out and also the figures are tried toshow related with the subject.In the third chapter, the three dimensional system that is newly described according todynamical systems designing properties, is solved by means of Hopf bifurcation while thesystem parameter or parameters are being changed (i.e., the values of the parameter increaseor decrease in their domains). Here the original system is defined having 3 degree of freedom.Firstly, one of the system parameter in its domain is changed along its axes in order to occurHopf bifurcation. At the and of this, it has shown some figures of the system near the criticalpoint which shows the behavior of the system.It is continued to investigate the system by changing two system parameters and theother remained fixed. At last the necessary transformations are obtained in order to reduce theviithree dimensional system to a two dimensional system. The transforms and their coefficientsare found.At the end of the theoretical work, the operations and their results are calculated withsmall errors by means of the computer program is functional as well as it has a high accuracyand causes to earn much more time. Furthermore giving the original algorithm is clarified to theresearcher who are interested in investigating Hopf bifurcation either in a two dimensional orthree dimensional systems.viii 43

Hızlı salınımlı integraller, kuantum kimyası, elektrodinamik, görüntü analizi ve bilgisayarlı tomografiden akışkanlar mekaniğine kadar birçok disiplinde önemli bir zorluk olarak kabul edilir. Bu integraller, integrantında eşzamanlı olarak frekans yüksek olduğunda ve integrasyon aralığının uç noktasında tekillikler içerdiğinde hesaplamak için daha fazla zorluk çıkarmaktadır. Bu tezde, yüksek salınımlı çekirdekli tekil integral denklemlerin verimli bir şekilde hesaplanması için dikkat çekici özellikleri ile algoritmalar geliştiriyoruz öyle ki bu algoritmalar yüksek frekansta bile yüksek doğruluğa sahip olmaktadır. Burada, integrallerin ortogonal polinomlar ve/veya terim terim özel fonksiyon serileri ile kesildiği Clenshaw-Curtis algoritmaları incelenmiştir. Daha sonra farklı tekillik çeşidine sahip integraller rekürans bağlantıları ile kompleks düzlem tabanlı yöntem kullanılarak hesaplanır. Bu rekürans bağlantılarının kararlılığı ve kuadratür kurallarının hata analizi verilir. Ayrıca, sunulan algoritmaların etkinliğini göstermek için sayısal örnekler de verilmiştir. Bu tez aynı zamanda logaritmik, Cauchy-logaritmik ve Hipersingüler-logaritmik tip tekilliklere sahip integrallerin hesaplanması için çizgi integrallerinin toplamına dayanan bir yöntem sunar. Orijinal integrali pozitif yarı sonsuz bir aralıkta çizgi integrallerinin toplamına dönüştürdükten sonra, Gauss-bağlantılı kuadratür kuralları oluşturulur. Burada temel matematiksel araç moment bilgilerinin kullanılmasıdır. Gautschi logaritmik ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal polinomu sağlayan üç-terimli rekürans bağlantılarının katsayılarını üretmek için algoritmalar incelenmiştir. Ayrıca, teorik analizimizi doğrulamak için sayısal örneklerin sonuçları verilmiştir., Integrals with rapid oscillation are considered a significant challenge in many disciplines, ranging from quantum chemistry, electrodynamics, image analysis, and computerized tomography to fluid mechanics. These integrals exhibit more difficulties to compute when concurrently in the integrand, the frequency becomes high and contains singularities at the endpoint of the integration interval. In this thesis, we develop algorithms for efficient computation of singular integral equations with highly oscillatory kernels that share astonishing characteristics; that is, the larger the frequency, the higher the accuracy. Herein, Clenshaw-Curtis algorithms are studied in which integrands are truncated by orthogonal polynomials and/or special function series term by term. Then their singularity types are computed using either recurrence relations or the complex-based method. Stability of those recurrences relations and error analysis of the rules are obtained. Besides, numerical examples are given to show the effectiveness of the presented algorithms. This thesis also presents a method based on the sum of line integrals for the first computation of logarithmic, Cauchy-logarithmic, and Hypersingular-logarithmic type singularities. After transforming the original integral into a sum of line integrals over a positive semi-infinite interval, Gauss-related quadrature rules are constructed. The vehicle utilized is the moment’s information. Algorithms to produce the three-term recurrence relation coefficients that satisfy orthogonal polynomial with respect to Gautschi logarithmic weight function are investigated. Moreover, the results of numerical experiments are given to substantiate our theoretical analysis.

Bu tezde, ikinci ve üçüncü dereceden lineer olmayan terimlere sahip diferansiyel denklemlerin q-Homotopi analiz dönüşüm metodu (q-HATM) yöntemi ile sayısal çözümleri yapılmıştır. q-Homotopi analiz metodu ile Laplace dönüşüm metodunun birleştirilmesiyle oluşan q-Homotopi analiz dönüşüm metodu kısmi ve adi diferansiyel denklemlerin geniş bir sınıfına uygulanabilir. Çalışmada öncelikle q-Homotopi analiz dönüşüm metodunun kullanım alanları ve tarihsel sürecinden bahsedilmiştir. Ayrıca q-Homotopi analiz dönüşüm metodunun, homotopi analiz metodu, q-Homotopi analiz metodu ve Laplace dönüşüm metodu ile arasındaki bağlantılar açıklanmıştır. Ardından, q-Homotopi analiz dönüşüm metodu ile ilgili temel kavramlardan, Ricatti diferansiyel denklemlerinden, Fisher denklemlerinden, Burgers-Fisher denklemlerinden, Van der Pol-Duffing denklemlerinden ve Klein Gordon denklemlerinden bahsedilmiştir. Daha sonra q-Homotopi analiz dönüşüm metodunun ikinci ve üçüncü dereceden lineer olmayan terimlere sahip diferansiyel denklemlere uygulanma metodu açıklanmıştır. Uygulanan bu metot aracılığıyla ikinci dereceden lineer olmayan terimlere sahip Ricatti diferansiyel denklemler ile Fisher denklemlerinin yakınsak seri çözümleri elde edilmiş ve üçüncü dereceden lineer olmayan terimlere sahip Burgers-Fisher denklemleri, Van der Pol-Duffing denklemleri ve Klein Gordon denklemlerinin de çözümleri bulunmuştur. Son olarak önerilen metodun güvenilirliğini göstermek için hata analizi yapılarak bulunan sonuçlar grafikler ile gösterilmiş ve yorumlanmıştır. In this thesis deals with the solutions of differential equations having quadratic and cubic nonlinearity obtained by the q-homotopy analysis transform method (q-HATM). The q-HATM, combined by the q-homotopy analysis method and Laplace transform method, can be applied to a wide class of the partial and ordinary differential equations. In study, firstly, the usage areas and the historical process of q-HATM are examined. In addition, the connections between q-HATM, homotopy analysis method, q-Homotopy analysis method and Laplace transformation method are explained. Thereafter, the basic concepts of q-HATM, Ricatti differential equations, Fisher equations, Burgers-Fisher equations, Van der Pol-Duffing equations and Klein Gordon equations are mentioned. Then the method of applying the q-HATM for differential equations with having quadratic and cubic nonlinearity terms is explained. Through this method, convergent series solutions of Ricatti differential equations and Fisher equations having quadratic nonlinearity and numerical solutions of Burgers-Fisher equation and Van der Pol-Duffing equation having cubic nonlinearity are obtained. Finally, in order to reliability of the q-HATM, error analysis are performed and the results are shown and interpreted with graphs. 53

Bu çalışmada, karışık koşullar altında çeşitli fonksiyonel integro diferansiyel denklemlerin Morgan-Voyce polinomlarının matris formülasyonları ile sayısal çözümlerini elde etmek için hızlı ve güvenilir sayısal bir yöntem önerilmektedir. Önerilen yöntemin verimliliğini ve uygulanabilirliğini göstermek için, bazı örneklere bu metot uygulanmış olup, bu örnekler için sayısal hesaplamalar tablolar ve grafiklerde verilmiştir.Giriş bölümü dışında bu tez esas olarak dört bölümden oluşmaktadır. Giriş bölümünde tezin amacı ve kapsamı açıklanmaktadır.İkinci bölümde, integro-diferansiyel denklemler ve Morgan-Voyce polinomları ile ilgili temel kavramlar verilmiştir.Üçüncü bölümde birinci mertebeden integro-diferansiyel denklemlerin ve yüksek mertebeden gecikmeli Fredholm ve Volterra integro-diferansiyel denklemlerin Morgan-Voyce polinomları ile çözümleri incelenmiştir.Dördüncü bölümde ele alınan farklı örnekler üzerinde yöntemle daha kısa zamanda düşük işlem hacmi ile iyileştirilmelerin olacağı gözlemlenmiştir. In this study, a fast and reliable numerical method is proposed in order to find numerical solutions of various functional integro differential equations subject to mixed conditions by using the matrix formulation of Morgan-Voyce polynomials. To show the applicability and productivity of the proposed method, we applied the Morgan-Voyce matrix method and their figures and tables are given with the obtained data. Except from the introduction part, this thesis consists mainly of four chapters. The aim and scope of the thesis are explained in the introduction.In the second chapter, basic concepts related to integro-differential equations and Morgan-Voyce polynomials are given.In the third chapter, Morgan-Voyce polynomials of first order integro-differential equations and high order delayed Fredholm and Volterra integro-differential equations are examined.It has been observed that there will be improvements with different process in a shorter time on different samples discussed in the fourth section. 70

Bu çalışmada, karışık koşullar altında çeşitli fonksiyonel integro-diferansiyel denklemlerin Euler-Taylor Polinomlarının matris formülasyonları ile sayısal çözümler elde etmek için hızlı ve güvenilir sayısal bir yöntem önerilmektedir. Verimliliği ve önerilen yöntemin uygulanabilirliğini göstermek için, bazı örnekler ve sayısal hesaplamalarının verileri verilmiştir.Giriş bölümü dışında bu tez esas olarak iki bölümden oluşmaktadır. Giriş bölümünde tezin amacı ve kapsamı açıklanmaktadır.İkinci bölümde, integro-diferansiyel denklemler, Volterra-Fredholm integral denklemler, Kesirli diferansiyel denklemler ve Euler-Taylor Polinomları ile ilgili temel kavramlar verilmiştir.Üçüncü bölümde integro-diferansiyel denklemler, Volterra-Fredholm integral denklemler, Kesirli diferansiyel denklemlerin Euler-Taylor Polinomları ile çözümleri incelenmiştir. Ele alınan farklı örnekler üzerinde yöntemle daha kısa zamanda düşük işlem sayıları ile iyileştirilmelerin olacağı gözlemlenmiştir. In this study, a fast and reliable numerical method is proposed to obtainnumerical solutions with matrix formulations of Euler-Taylor Polynomials of variousfunctional integro-differential equations under mixed conditions. To illustrate theefficiency and applicability of the proposed method, some examples and data ofnumerical calculations are given.In the second chapter, basic concepts of integro-differential equations,Volterra-Fredholm integral equations, Fractional differential equations and EulerTaylor Polynomials are given.In the third chapter, Euler-Taylor collocation method is proposed to find thesolutions of integro-differential equations, Volterra-Fredholm integral equations andfractional differential equations. It is observed that there would be improvements indifferent samples in a shorter time with low process numbers 66