1. Theoretical and numerical analysis of GKS-stability for high order finite difference schemes with boundaries
- Author
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Le Barbenchon, Pierre, Institut de Recherche Mathématique de Rennes (IRMAR), Université de Rennes (UR)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes), Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Université de Rennes 2 (UR2)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Institut Agro Rennes Angers, Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro), Université de Rennes, Benjamin Boutin, Nicolas Seguin, and ANR-11-LABX-0020,LEBESGUE,Centre de Mathématiques Henri Lebesgue : fondements, interactions, applications et Formation(2011)
- Subjects
théorie GKS ,strong stability ,condition de bord ,GKS theory ,numerical scheme ,Kreiss– Lopatinskii determinant ,stabilité forte ,boundary condition ,[MATH.MATH-NA]Mathematics [math]/Numerical Analysis [math.NA] ,schémas numériques ,déterminant de Kreiss–Lopatinskii - Abstract
We study the strong stability of one- step explicit finite difference schemes set on the half-space with a left boundary condition. We work on schemes which are consistent with the scalar advection equation. Thanks to Kreiss theorem and GKS theory, the strong stability is equivalent to the absence of zero of the Kreiss–Lopatinskii determinant outside the open unit disk. Then we describe a numerical strategy to count the number of zeros of the Kreiss–Lopatinskii determinant in this domain.The first part deals with different ap- proaches to work on stability and introduce the tools needed to understand the contribu- tions. The second part presents the details of the theoritical results and the numerical strate- gies for the particular case of totally upwind scheme and for the general case.The goal is to introduce and to study a ro- bust and efficient numerical strategy to handle strong stability, thanks to numerical tools and the uniform Kreiss–Lopatinskii condition.; Dans ce manuscrit, nous étudions la stabilité forte des schémas numériques ex- plicites à un pas à coefficients constants, posés sur le demi-espace et possédant un bord à gauche. On suppose que ces sché- mas sont consistants avec l’équation de trans- port scalaire uni-dimensionnelle comportant une donnée de bord à gauche. Grâce au théo- rème de Kreiss et à la théorie développée par Gustafsson, Kreiss et Sundström, la stabi- lité forte est équivalente à l’absence de zéros du déterminant de Kreiss–Lopatinskii à l’exté- rieur du disque unité ouvert. On va alors dé- crire une stratégie numérique permettant de compter les zéros du déterminant de Kreiss– Lopatinskii afin de pouvoir conclure sur la sta- bilité forte du schéma.La première partie de ce manuscrit dé- crit plusieurs approches de la stabilité et in- troduit les objets nécessaires à la compréhen- sion des contributions, notamment la théorie de Gustafsson, Kreiss et Sundström et le dé- terminant de Kreiss–Lopatinskii. La deuxième partie est dédiée aux résultats théoriques et aux stratégies numériques pour le cas particu- lier des schémas totalement décentrés et pour le cas général.L’enjeu est de trouver des stratégies ef- ficaces et robustes pour étudier la stabilité de ces schémas, notamment au travers d’ou- tils numériques et de la condition de Kreiss– Lopatinskii uniforme représentée par le déter- minant de Kreiss–Lopatinskii.
- Published
- 2023