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The purpose of this research study was to understand how linear algebra students in a university in the United States make sense of the orthogonal Legendre polynomials as vectors of the inner product space ℙn in a DGS (Dynamic Geometry Software)-MATLAB facilitated learning environment. Math majors came up with a diversity of innovative and creative ways in which they coordinated semiotic registers (Duval, 1993, 2006) for understanding inner products of Legendre polynomials along with other notions inherent in the inner product space, such as Triangle Inequality, Pythagorean Theorem, Parallelogram Law, Orthogonality and Orthonormality, Coordinates Relative to an Orthonormal Basis. Research participants not only produced such creative inner product space visualizations of the Legendre polynomials with the associated integral inner product 〈f,g〉 = ∫1-1 f(x)g(x)dx on the DGS, but they also verified their findings both analytically and visually in coordination. The paper concludes by offering pedagogical implications along with implications for mathematics teaching profession and recommendations for future research. Coordonner des registres de représentation : compréhension par les étudiants des polynômes orthogonaux de Legendre dans l'espace euclidien ℙn au sein d'un environnement technologique. Le but de cette étude était de comprendre comment les étudiants en algèbre linéaire d'une université américaine donnent un sens aux polynômes de Legendre orthogonaux en tant que vecteurs de l'espace euclidien ℙn dans un environnement d'apprentissage facilité par DGS (Dynamic Geometry Software)-MATLAB. Les étudiants en mathématiques ont trouvé une variété de moyens novateurs et créatifs dans lesquels ils ont coordonné des registres sémiotiques (Duval, 1993, 2006) pour comprendre les produits scalaires des polynômes de Legendre ainsi que d'autres notions inhérentes à l'espace euclidien, telles que l’inégalité triangulaire, le théorème de Pythagore, la loi des parallélogrammes, l’orthogonalité et l’orthonormalité, les coordonnées dans une base orthonormée. Les participants à la recherche ont non seulement produit de telles visualisations créatives de l'espace euclidien des polynômes de Legendre pour le produit scalaire intégral associé 〈f,g〉 = ∫1-1 f(x)g(x)dx sur le DGS, mais ils ont également vérifié leurs résultats à la fois analytiquement et visuellement en coordination. L'article conclut en offrant des implications pédagogiques ainsi que des implications pour la profession d'enseignant en mathématiques et des recommandations pour de futures recherches.

Les outils technologiques sont omniprésents dans la société et leur utilisation est de plus en plus grande dans les salles de classe. Du côté de l'enseignement et de l'apprentissage des mathématiques, ces outils se sont vu attribuer des rôles qui ont évolué avec les années. Les rôles de soutien, de visualisation et d'enrichissement des contenus en sont des exemples. Une utilisation des outils technologiques dans l'enseignement s'accompagne d'apports pragmatiques et épistémiques potentiels, mais comporte également des limites et des risques. Il s’avère important d’examiner le rôle accordé à l’outil technologique dans les activités qui le mobilisent. Puisque le raisonnement mathématique fait partie d'une des compétences visées à l’école (MELS, 2006) et que les futurs enseignants semblent accorder moins d'importance à la validation et la preuve comme composantes de ce raisonnement (Mary, 1999), nous émettons l'hypothèse qu'une séquence d'activités montrant la complémentarité de la preuve et des explorations tirant parti de la technologie pourrait aider les futurs enseignants à mieux saisir ces enjeux. La présente recherche s’appuie sur l'ingénierie didactique pour développer et valider une séquence d'activités intégrant le logiciel GeoGebra. Cette séquence d'activités a été conçue dans les buts suivants : initier les futurs enseignants en mathématiques au secondaire à un logiciel de géométrie dynamique et leur donner l'occasion de voir des activités mathématiques utilisant la technologie et visant le développement du raisonnement, par l’articulation de l’exploration et de la preuve. Le cadre théorique sur lequel repose cette recherche intègre des éléments de l'approche anthropologique (Chevallard, 1992, 1998, 2003) et de l'approche instrumentale (Vérillon et Rabardel, 1995; Trouche, 2000, 2003, 2007; Guin et Trouche, 2002). Certaines idées sur les constructions robustes et molles (Soury-Lavergne, 2011), la distinction figure/dessin (Laborde et Capponi, 1994) et le réseau déductif (Tanguay, 2006) ont servi de repères dans la construction de la séquence d'activités. Cette recherche s'est déroulée au cours de l'hiver 2016 dans une université québécoise, dans le cadre d’un cours de didactique de la géométrie auprès de futurs enseignants au secondaire en mathématiques. Un questionnaire pré-expérimentation a été rempli par les participants afin de voir leurs connaissances préalables sur les programmes, les outils technologiques ainsi que leurs conceptions au sujet de l'enseignement et de l'apprentissage des mathématiques. Par la suite, les étudiants ont expérimenté la séquence d'activités et ont eu à se prononcer sur les connaissances mises en jeu dans chacune des activités, l’opportunité de son utilisation avec des élèves du secondaire, et les adaptations perçues nécessaires pour sa réalisation (s'il y a lieu). Des traces écrites de leur travail ont été conservées ainsi qu'un journal de bord au fur et à mesure du déroulement de la séquence. En triangulant les diverses données recueillies, il a été constaté que la séquence, tout en contribuant à l’instrumentation des participants au regard du logiciel utilisé, a eu chez certains d’entre eux un impact sur leur vision du développement du raisonnement mathématique dans l’enseignement des mathématiques au secondaire. L’analyse des données a mis en lumière la place accordée au raisonnement par les futurs enseignants, les raisonnements mobilisés par les étudiants dans les diverses activités ainsi que des indices sur les genèses instrumentales accompagnant ces raisonnements ou les induisant. Suite à l’analyse de ces données et aux constats qui en découlent, des modifications sont proposées pour améliorer la séquence d’activités., Technological tools are ubiquitous in society and their use is growing in the classroom. In mathematics education, these tools have been assigned roles that have evolved over the years: support, visualization, content enrichment. The use of technological tools in education comes with potential pragmatic and epistemic contributions, but also has limitations and risks. We must therefore examine at the activity level the role technology should play. Mathematical reasoning is one of the competencies aimed by school (MELS, 2006) and future teachers seem to place less emphasis on validation and proving processes as components of this reasoning (Mary, 1999). We hypothesize that a sequence of activities showing the complementarity of the proving processes with explorations leveraging technology could help future teachers better understand these issues. This research is based on didactical engineering to develop and validate a sequence of activities with GeoGebra software. The sequence of activities has been designed to: introduce pre-service secondary mathematics teachers to dynamic geometry software and give them the opportunity to see mathematical activities using technology that aim at developing mathematical reasoning and proof. The theoretical framework on which this research is based integrates elements of the anthropological theory of the didactic (Chevallard, 1992, 1998, 2003) and of the instrumental approach (Vérillon and Rabardel, 1995; Trouche, 2000, 2003, 2007; Guin and Trouche, 2002). Some ideas on robust and soft constructions (Soury-Lavergne, 2011), the distinction between figure and drawing (Laborde and Capponi, 1994) and the deductive network (Tanguay, 2006) served as benchmarks in the construction of the sequence of activities. This research took place at a Quebec university during the winter of 2016, in a geometry didactics course for pre-service secondary mathematics teachers. A preliminary questionnaire was given to the participants to capture their prior knowledge of programs, technological tools and conceptions about mathematics teaching and learning. Subsequently, the students experienced the sequence of activities and had to decide on the knowledge involved in each activity, the relevance of its use with high school students, and the perceived adaptations necessary for its realization (if considered). Written traces of their work have been kept as well as a diary as the sequence unfolds. By triangulating the various data collected, it was found that the sequence, while contributing to the instrumentation of the participants with regard to the software used, had, for some of them, an impact on their vision of the development of mathematical reasoning in mathematics education at secondary level. The analysis of the data highlighted the place given to the reasoning by the future teachers, the reasonings mobilized by the students in the various activities and also signs of the instrumental geneses inducing these reasonings and accompanying them. Following the analysis of these data and the findings that follow, modifications are proposed to improve the sequence of activities.

International audience; eaching geometry to dyspraxic pupils with the use of Dynamic Geometry Software: study of conditions conductive to learning Abstract Teaching situations of plane geometry to fifth and sixth-grade students are based on different types of task, which require actions with instruments in order to produce geometric concepts. Learning geometry may hence appear to be inaccessible to dyspraxic pupils because their motor manipulation and organizational difficulties lead them to fail in the implementation of their actions. In this paper, we present an analysis framework elaborated to study the process of accessing geometrical concepts through construction with instruments with the use of Dynamic Geometry Software. Thanks to this framework and thanks to a comparison of instrumented constructions in a digital environment and in a paper pencil environment, we highlight obstacles and we establish right conditions that allow dyspraxic pupils to learn geometry.; Les situations d'enseignement de la géométrie plane au cycle 3 font appel à différents types de tâches nécessitant la réalisation d'actions instrumentées afin de faire émerger des concepts géométriques. Les apprentissages géométriques peuvent alors sembler inaccessibles aux élèves dyspraxiques, leurs difficultés manipulatoires et organisationnelles les conduisant à l'échec dans l'exécution de leurs actions. Nous présentons un cadre d'analyse du processus d'accès à la géométrie par la construction instrumentée avec l'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique. À l'aide de ce cadre et en appui sur une comparaison de constructions instrumentées dans un environnement technologique et dans l'environnement papier-crayon, nous mettons en évidence des obstacles et identifions des conditions favorables aux apprentissages géométriques pour les élèves dyspraxiques.

Cet article présente les résultats d'une recherche autour de l'introduction d'un logiciel de géométrie dynamique dans une classe de 6P Harmos. Un des effets portant sur l'évolution de la vision est présenté.

Cet atelier a visé une analyse, par les participants, d'une séquence d'enseignement des propriétés géométriques au cycle 3. Pour cela, les participants ont eu l'occasion de mettre en pratique des éléments théoriques présentés : paradigmes géométriques ( Kuzniak 2006), genèse instrumentale (Rabardel 1995), Médiation sémiotique (Vygotsky 1978, Bartolini Bussi, Mariotti 2008) afin d'identifier comment l'interaction entre l'environnement dynamique et l'environnement statique pouvait influer sur les connaissances des élèves. Cela a abouti à identifier en quoi le rôle de l'enseignant a été central, voire très délicat, dans cette interaction.

Synthetic geometry, sometimes also called axiomatic geometry, deals purely with geometric objects. Relying on axioms and theorems relating the basic concepts of geometry makes it possible to highlight the geometrical properties during the proofs.This thesis concentrates on geometrical properties and their description in the Coq proof assistant. The two main results of this thesis are a library of formal descriptions and a proof system extension to interact directly with geometrical objects during proofs.The first part presents our formalization of Euclidean geometry based on affine geometry. We approach notions, properties, and theorems in a style similar to what is taught in high school. This development improves on the library developed by F. Guilhot by eliminating needless axioms, giving more appropriate definitions for some geometric notions and re-formalizing their properties.The second part deals with the notion of orientation in the plane. It allows us to remove ambiguities in the presentation of geometric objects and state and solve ordered geometry problems.The third part deals with foundations. In particular, we show that the axiom systems of Hilbert and Tarski can be described on top of ours. We also show that automatic proof methods like the area method and Gr\"obner bases can be integrated. The work on the area method was performed jointly with J. Narboux.The fourth part presents a combination of the Coq formal proof tool and the Geogebra dynamic geometry tool. This is based on the java-based user-interface for Coq named Pcoq. This combination allows users to easily perform geometry reasoning as taught in high school and in a interactive manner with the support of a graphic interface. This shows how a proof system could be used in education.; La géométrie synthétique, aussi parfois appelée géométrie axiomatique, s'intéresse purement aux objets géométriques. En reposant sur des axiomes et des théorèmes qui mettent en relation les concepts de base de la géométrie, elle permet de mettre en valeur les propriétés géométriques pendant les preuves mathématiques.Cette thèse se concentre sur les propriétés géométrique et leur description dans le système de preuve Coq. Les deux résultats principaux sont une bibliothèque de descriptions formelles et une extension du système de preuve pour permettre une interaction directe avec les objets géométriques pendant les preuves.La première partie présente notre formalisation de la géométrie euclidienne basée sur la géométrie affine. Nous approchons les notions, les propriétés, et les théorèmes dans un style similaire à celui utilisé dans l'enseignement au lycée. Notre développement améliore le développement fourni précédemment par F. Guilhot en éliminant les axiomes inutiles, en fournissant des définition mieux appropriées pour certains objets géométriques, et en re-formalisant leurs propriétés.La deuxième partie s'intéresse à la question de l'orientation dans le plan. Cela permet d'enlever certaines ambiguïtés dans la présentation des objets géométriques et d'énoncer des problèmes de géométrie "ordonnée" et de les prouver.La troisième partie s'intéresse à des questions de fondement. En particulier, nous montrons que les systèmes d'axiomes de Hilbert et Tarski peuvent être modélisés dans notre système. Nous montrons également que notre système d'axiome peut supporter les outils de preuve automatique basés sur la méthode des aires ou sur les bases de Gröbner. Le travail sur les bases de Gröbner a été effectué en collaboration avec J. Narboux.La quatrième partie présente une combinaison de l'outil de preuve formel Coq avec l'outil de géométrie dynamique GeoGebra, en se reposant sur l'interface d'utilisation pour Coq développée en Java et appelée Pcoq. Le résultat de cette combinaison permet aux utilisateurs d'effectuer facilement des raisonnements géométriques dans le style de la géométrie du lycée, interactivement et avec le support d'une interface graphique. Ceci montre comment un système de preuve pourrait être utilisé en éducation.Mots-clefs: Formalisation de la géométrie, Preuve interactive, Coq, logiciel de géométrie dynamique.

This chapter draws on largely separate traditions of research on educational technologies, curriculum materials and teaching practices to develop a conceptual framework that identifies key structuring features of classroom practice, showing how they relate to the constitution of digital tools and materials as classroom resources: - the concept of working environment focuses on the physical surroundings in which lessons are conducted, and the associated infrastructure and organisation; - the concept of resource system focuses on the combined operation of the mathematical tools and curriculum materials in classroom use, particularly on their compatibility and coherence of use, and on factors influencing this; - the concept of activity format focuses on the templates for action and interaction which frame the contributions of teacher and students to a particular type of lesson segment; - the concept of curriculum script focuses on the loosely ordered model of relevant goals and actions which serves to guide a teachers' teaching of a particular topic; - the concept of time economy focuses on how teachers seek to manage the ‘rate' at which the physical time available for classroom activity is converted into a ‘didactic time' measured in terms of the advance of knowledge.. This conceptual framework is used to analyse the practitioner thinking and professional learning surrounding a lesson incorporating the use of dynamic geometry., Faisant appel aux traditions nettement distinctes de la recherche sur les technologies éducatives, les supports curriculaires, et les pratiques d'enseignement, ce chapitre développe un cadre conceptuel qui identifie les caractéristiques structurantes essentielles de la pratique enseignante, et montre comment elles contribuent à constituer les outils et les supports numériques en ressources pour l'enseignement en classe. On examine cinq caractéristiques structurantes essentielles de la pratique enseignante, et on montre comment elles contribuent à constituer les outils et les supports numériques en ressources pour l'enseignement en classe : - le concept d'environnement de travail permet la prise en compte de l'environnement matériel où se déroulent les leçons, et l'infrastructure et l'organisation qui lui sont associées ; - le concept de système de ressources concerne de manière articulée les outils mathématiques et les supports curriculaires, prenant particulièrement en compte leur compatibilité et leur cohérence pour l'utilisation en classe, et les facteurs qui influencent ces propriétés ; - le concept de format d'activité concerne les modes d'action et d'interaction qui conditionnent les contributions de l'enseignant et des élèves dans un type particulier de fragment de leçon ; - le concept de script curriculaire concerne le modèle de buts et d'actions appropriés, chronologiquement souple, qui sert à guider l'enseignement d'un thème particulier ; - le concept d'économie temporelle concerne la gestion du temps par les enseignants. Ce cadre conceptuel sert à analyser la pensée pratique qui s'associe à une leçon qui incorpore l'utilisation de la géométrie dynamique.

National audience; L'article propose une analyse du potentiel et des contraintes, pour l'enseignement des mathématiques, de l'intégration dans la classe de calculatrices disposant de logiciels de calcul formel et de logiciels de géométrie dynamique. Des exemples sont donnés de nouvelles activités mathématiques, et l'attention est attirée sur les conditions institutionnelles et didactiques d'une intégration au profit des apprentissages mathématiques