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O problemado escoamentobifásico em reservatórios de petróleo, heterogêneos e anisotrópicos, pode ser descrito por um sistema de equações diferenciais parciais nãolineares. A modelagem deste problema representa um grande desafio, devido à complexidade dos ambientes deposicionais, incluindo camadas inclinadas e fraturas, que dificultam a construção de malhas estruturadas adequadas. No presente artigo, utilizou-se o Método de Volume Finitos com Aproximação do Fluxo por Múltiplos Pontos (MPFA-O) centrado na célula, o qual é capaz de lidar com tensores de permeabilidade completos e malhas poligonais arbitrárias, acoplado com um Modelo de Fraturas com Dimensão Reduzida (Lower-Dimensional Fracture Model - LDFM). O LDFM utiliza uma equação adicional associada à fratura que é tratada como uma entidade geométrica com dimensão inferior à do problema original, ou seja, para problemas em 2-D, a fratura tem apenas uma dimensão no espaço. Isso reduz consideravelmente o número de graus de liberdade do sistema. É importante observar que o campo de velocidades nas superfícies de controle que coincidem com as fraturas é dependente, tanto das pressões nas fraturas, quanto das pressões nos volumes de controle que representam a rocha matriz. A acurácia da formulação proposta foi verificada através da resolução de alguns problemas envolvendo uma matriz fraturada.Palavras-chave: Escoamento Bifásico de Água e Óleo, Rochas Naturalmente Fraturadas, Modelo de Fraturas com Dimensão Reduzida (LDFM), MPFA-O.

Submitted by Fatima Fonseca (fatima.fonseca@sibi.ufrj.br) on 2018-04-25T15:15:40Z No. of bitstreams: 1 167041.pdf: 1648091 bytes, checksum: e7811359287712997720d304e32198f3 (MD5) Made available in DSpace on 2018-04-25T15:15:40Z (GMT). No. of bitstreams: 1 167041.pdf: 1648091 bytes, checksum: e7811359287712997720d304e32198f3 (MD5) Previous issue date: 1988-09 Este trabalho tem como propósito o estudo da estratégia de refinamento auto-adaptativo versão h do Método dos Elementos Finitos (MEF) na análise de problemas bi-dimensionais lineares regidos pela equação de campo em regime permanente. Para tanto, é apresentada a estratégia de refinamento de malhas, bem como, a análise de erros a-posteriori envolvida no processo. Utiliza-se a formulação de Galerkin do MEF, com elementos isoparamétricos bilineares, e na solução do sistema de equações emprega-se o Método dos Gradientes Conjugados Precondicionado. Problemas representativos são analisados sendo os resultados obtidos comparados com soluções analíticas ou numéricas encontradas na literatura. In this work a self-adaptive refinement procedure (h-version) for the Finite Element Method (FEM) solution of two dimensional potential problems is studied. The mesh refinement strategy and the a-posteriori error analysis are also discussed. The Galerkin formulation for FEM is utilized and the resulting system of equations is solved by Preconditiohed Conjugate Gradients. Several problems are analysed and results compared with the available analytical and numerical solutions.

Orientador: Philippe Remy Bernard Devloo lDissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo Resumo: Simulações de escoamento em de meios porosos é um tópico central de engenharia. Uma técnica (em popularidade crescente) para simular escoamento em meios porosos fraturados é usar os Métodos de Fraturas Discretas (DFMs). Estes idealizam meios fraturados usando elementos de menor dimensão para representar fraturas em uma malha híbrida. DFMs carregam, no entanto, o desafiador requisito de malhas de elementos finitos para domínios crescentemente mais complexos. Tais complexidades rapidamente se intensificam ao passo que o número de intersecções de fraturas se multiplica, e são ainda mais amplificados quando as restrições de duas escalas de discretização de Métodos de Elementos Finitos Multi-escala (MSFEMs) são introduzidas. Nesse contexto, esse trabalho propõe uma nova solução para o estágio pré-processamento de tal classe de problemas, e apresenta uma abordagem para geração de malha de elementos finitos para Redes de Fraturas Discretas (DFNs) em meios porosos, adaptada para MSFEMs. O código, de fonte aberta, que a acompanha foi escrito em C++ moderno e largamente dependente em duas bibliotecas de elementos finitos: NeoPZ e Gmsh. Começando de uma malha-macro definida pelo usuário, lê-se fraturas como polígonos convexos das coordenadas de seus vértices, uma por vez. Os principais passos envolvem: Classificar todos os nós da malha pela sua posição em um dos dois lados da fratura; intersectar arestas checando por nós em lados opostos do plano da fratura; extender interseções de arestas para faces através de conexão de vizinhança; coalescer interseções para o nó existente mais próximo (dada uma tolerância); refinar elementos de interface para se conformar à fratura; identificar subconjuntos complementares da superfície da fratura de acordo com o volume poliedral que os contém; gerar malha de superfície através de triangulações de Delaunay restringidas de cada subconjunto; e seguir repetindo para cada fratura. Com todas as fraturas, localizar contornos e interseções onde elas surgirem. Ao final, o espaço ao redor das fraturas é preenchido com a malha de escala fina não-estruturada, para discretizar o volume da matriz porosa, naturalmente mantida conforme. A implementação, completamente automática, constrói sua confiabilidade e eficiência de uma fundamentação consistente de premissas matematicamente coerentes, como convexidade e conexão de elementos. Resultados mostram que a técnica proposta pode construir malhas tridimensionais adequadas para DFNs, e ainda dar ao usuário a liberdade de ajustar entre fidelidade geométrica e qualidade de malha como for preferível Abstract: Simulations of flow through porous media is a core topic in engineering. A growingly popular technique to simulate flow through fractured porous media is to use Discrete Fracture Models (DFMs). These idealize fractured media using lower-dimensional elements to discretely represent fractures within a hybrid mesh. However, DFMs carry the challenging requisite of Finite Element (FE) meshes for increasingly complex domains. Such complexities quickly intensify as the number of fracture intersections multiplies, and are further amplified as the restrictions of two-scale discretizations of Multi-scale Finite Element Methods (MSFEMs) are introduced. In such a context, this work proposes a novel solution for the pre-processing stage of these problems, and presents an approach for FE meshing of Discrete Fracture Networks (DFNs) within porous media, suited to MSFEMs. The accompanying open-source code is written in modern C++ and largely relies on two state-of-the-art FE libraries: NeoPZ and Gmsh. Starting from a user-defined coarse mesh, we read fractures as convex polygons from the coordinates of their corners, one at a time. The main steps involve: Classify every mesh node as being on either side of the fracture; Intersect edges by checking for nodes on opposite sides of fracture plane; Extend intersections from edges to faces through neighbourhood connection; Coalesce intersections to closest existing nodes (given a tolerance); Refine interface elements to conform to fracture; Identify non-overlapping subsets of fracture surface by the polyhedral volume that contains them; Mesh the surface through a restricted Delaunay triangulation of each subset and repeat on to the next fracture. With all fractures, locate boundaries and intersections where they arise. Finally, the space around fractures is filled with the fine-scale unstructured mesh, to discretize the volumetric porous matrix, naturally kept conformal. The implementation pulls its reliability and efficiency from the consistent background of mathematically coherent premises like convexity and element connectivity. Results show that the proposed technique can construct adequate 3D DFN meshes, while still giving users freedom to adjust between geometrical fidelity and mesh quality as they prefer Mestrado Estruturas e Geotécnica Mestre em Engenharia Civil CAPES 88882.435161/2019-01

CAPES A termoterapia transpupilar a laser (TTT) é um tratamento utilizado em melanomas de coroide – tumores oculares malignos. Os dados relativos às propriedades termofísicas dos tecidos oculares são limitados e incertos, e não foram encontrados na literatura estudos na área que incluam uma análise de incertezas em seu resultado. Neste trabalho, um modelo computacional tridimensional do olho humano foi utilizado para analisar três diferentes melanomas de coroide. O objetivo foi calcular as temperaturas e o dano térmico durante a TTT, reconhecendo as incertezas inerentes ao problema. Os modelos incluíram as equações de Navier-Stokes para considerar convecção natural dentro do Humor Vítreo (HV). Uma estratégia numérica simplificada foi utilizada para representar a destruição do tumor devida ao dano térmico. Estudou-se a influência: da viscosidade do Humor Vítreo; da potência do laser; e do tempo de aplicação do tratamento; relacionados ao tamanho do tumor. Os estudos mostraram que o HV liquefeito apresentou convecção natural, resultando em danos térmicos significativamente menores quando comparado aos casos com HV modelado como sólido. Entretanto, tumores grandes não respondem bem à TTT apresentando menos de 1% de volume danificado do tumor depois de 60 s de exposição a um laser de diodo contínuo com potência de 400mW a 600mW, mesmo com o HV considerado sólido. Os resultados sugerem que a TTT aplicada a pacientes com idade avançada deve ser estudada mais profundamente, necessitando que o protocolo seja reavaliado para compensar a perda de eficiência devida à convecção natural induzida pelo laser no HV. Utilizando o tumor pequeno (Modelo 2), com todas as regiões consideradas sólidas, foi realizada uma otimização através de Algoritmo Genético. A otimização não foi realizada com o Modelo 1, uma vez que tumores grandes normalmente não são tratados por TTT. O objetivo foi verificar o par: potência e tempo de aplicação do laser; que maximiza o percentual de tumor danificado enquanto garante que não exista dano irreversível na córnea ou na coroide. O melhor resultado foi encontrado para 550 mW de potência e 40 s de tempo de aplicação do laser, valores não muito distantes do padrão utilizado na medicina atualmente (60 s e 400 mW). Também foi estudado o efeito da atenuação pelo ar e da convergência da lente sobre o feixe de laser que atinge a superfície da córnea, que se mostraram fundamentais para evitar superestimar, nas simulações, o dano sofrido pela córnea. Foi realizada uma análise de sensibilidade, com planejamento de experimentos fatorial fracionado e aplicação da técnica de análise de variância (ANOVA) para verificar quais propriedades influenciam mais significativamente os resultados das simulações da aplicação de TTT sobre um melanoma de coroide. A propriedade que influencia mais significativamente os resultados é o coeficiente de absorção do laser no tumor, independentemente do tamanho do tumor. No caso do tumor pequeno (Modelo 2), o coeficiente de absorção do laser na coroide também tem influência significativa sobre o volume de tumor danificado. A variação dos outros fatores analisados não teve importância significativa sobre os resultados das simulações, de acordo com nossos estudos. Transpupillary thermotherapy (TTT) is a treatment used in choroidal melanomas - malignant eye tumors. The data regarding the thermophysical properties of ocular tissues are limited and uncertain, and studies in the area that include an analysis of uncertainties in their result have not been found in the literature. In the present work, a three-dimensional computational model of the human eye was used to analyze three different choroidal melanomas. The objective was to calculate temperatures and thermal damage during TTT, recognizing the uncertainties inherent to the problem. The models included the Navier-Stokes equations to consider natural convection within the Vitreous Humor (HV). A simplified numerical strategy was used to represent the destruction of the tumor due to thermal damage. The influence of: the vitreous humor viscosity; the laser power; and the time of application f the treatment; related to the size of the tumor, were studied. Studies have shown that liquefied HV exhibited natural convection, resulting in significantly less thermal damage when compared to cases with HV modeled as solid. In a small tumor (Model 2), the tumor volume damaged after 60 s of TTT application was 26.15% with solid HV and only 1.40% with liquefied HV. The large tumor (Model 1) was also less damaged when the HV was considered liquefied. However, large tumors do not respond well to TTT in any way, presenting less than 1% of damaged tumor volume after 60 s of exposure to a continuous diode laser with power from 400mW to 600mW, even with HV considered solid. The results suggest that TTT applied to patients with advanced age should be studied more deeply, requiring the protocol to be reevaluated to compensate for the loss of efficiency due to the natural laser-induced convection in HV. Using Model 2, with all regions considered solid, an optimization was performed through Genetic Algorithm. Optimization was not performed with Model 1, due to the fact that large tumors are usually not treated by TTT. The objective was to verify the pair: laser power and application time; which maximizes the percentage of damaged tumor while ensuring that there is no irreversible damage to the cornea or choroid. The best result was found for 550 mW of power and 40 s of laser application time, values not far from the standard used in medicine today (60 s and 400 mW). The effect of attenuation by air and the convergence of the lens on the laser beam that reaches the surface of the cornea was also studied, which proved to be fundamental to avoid overestimating, in the simulations, the damage suffered by the cornea. Finally, a sensitivity analysis was performed, with fractional factorial design of experiments and application of the variance analysis technique (ANOVA) to verify which properties most significantly influence the results of the simulations of the application of TTT on a choroidal melanoma. The property that most significantly influences the results is the laser absorption coefficient in the tumor, regardless of the tumor size. In the case of a small tumor (Model 2), the coefficient of absorption of the laser in the choroid also has a significant influence on the volume of the damaged tumor. The variation of the other factors analyzed did not have significant importance on the results of the simulations, according to our studies.

FACEPE A simulação do escoamento em reservatórios de petróleo carbonáticos naturalmente fraturados, com características “vugulares” têm despertado grande interesse na indústria do petróleo. Em consequência do processo de dissolução química, estes reservatórios acabam desenvolvendo estruturas bastante irregulares com diferentes escalas de tamanho, indo de centímetros a metros. Neste sentido, diferentes abordagens podem ser adotadas para a modelagem do escoamento no interior destes reservatórios. Alguns desses métodos incluem conceitos de “múltiplos contínuos” em que fraturas e vugs são tratados como meios porosos com valores elevados de permeabilidade. Outra abordagem é baseada na formulação de Darcy-Stokes, onde considera-se que o sistema consiste no escoamento livre nas cavidades e fraturas sendo modelado pelas equações de Stokes e pelo escoamento no interior do meio poroso que é descrito de maneira usual pela Lei de Darcy. O modelo proposto por este trabalho vem por meio das equações de Stokes-Brinkman (S-B), que fornece uma abordagem unificada evitando certas dificuldades encontradas nos modelos já citados. No modelo S-B utilizamos uma única equação para descrever o escoamento no reservatório carbonático, evitando a modelagem explícita da interface por meio da transição automática do escoamento nos vugs e no meio poroso através de parâmetros apropriados, o que facilita em muito o processo de modelagem matemática e numérica. Neste trabalho buscou-se estudar, desenvolver e implementar métodos localmente conservativos para a simulação numérica de escoamentos monofásicos em reservatórios carbonáticos, utilizando o modelo matemático de Stokes-Brinkman por meio de malhas estruturadas. Para resolução do problema numérico utilizou-se do Método das Diferenças Finitas (MDF), sendo implementado na Plataforma MATLAB. Duas abordagens foram consideradas para resolver os sistemas de equações: na primeira, não linearidades foram desconsideradas, enquanto na segunda, elas foram incluídas e o sistema resolvido iterativamente pelo método de Newton-Raphson. Foram obtidos resultados dos campos de pressão e velocidade para diversas configurações de escoamento levando em conta as heterogeneidades atribuídas à presença dos carsts. A formulação proposta apresentou bons resultados, principalmente no que diz respeito a representação física dos modelos de Stokes e Darcy nos domínios ditos de fluxo livre e meio poroso, respectivamente, demonstrando proximidade com dados disponíveis na literatura, considerando as mesmas condições de escoamento. The flow simulation in naturally fractured carbonate oil reservoirs with the presence of vugs has aroused great interest in the oil industry. As a result of the chemical dissolution process, these reservoirs develop quite irregular structures with different size scales, ranging from centimeters to meters. In this sense, different approaches can be adopted for the modeling of the flow inside these reservoirs. Some of these methods include multiple continuous concepts in which fractures and vugs are treated as porous media with high permeability values. Another approach is based on the Darcy-Stokes formulation, where it is considered that the system consists of free flow in cavities and fractures that is modeled by Stokes equations and the flow inside the porous environment that is described in the usual way by the Darcy’s Law. The model proposed by this work comes through the Stokes-Brinkman equations (S-B), which provides a unified approach avoiding certain difficulties found in the models already mentioned. In the S-B model we use a single equation to describe the flow in the carbonate reservoir, avoiding explicit modeling of the interface by automatically transitioning the flow in vugs and porous media through appropriate parameters, which greatly facilitates the mathematical and numeric modeling process. This work aimed to study, develop and implement locally conservative methods for the numerical simulation of monophasic flows in carbonate reservoirs, using the Stokes-Brinkman mathematical model using structured meshes. To solve the numerical problem, we used the Finite Differences Method (MDF), being implemented in the MATLAB Platform. Two approaches were considered to solve the systems of equations: in the first, nonlinearities were disregarded, while in the second, they were included, and the system was iteratively solved by the Newton-Raphson method. Pressure and velocity field results were obtained for several flow configurations considering the heterogeneities attributed to the presence of carsts. The proposed formulation presented good results, especially regarding the physical representation of the Stokes and Darcy models in the so-called free-flow and porous medium domains, respectively, demonstrating proximity to data available in the literature, considering the same flow conditions.

FACEPE A simulação numérica do fluxo de fluidos em reservatórios de petróleo naturalmente fraturados é uma ferramenta importante e com grande aplicabilidade na indústria petrolífera para o planejamento e gerenciamento da produção do reservatório. De maneira geral, a modelagem do escoamento de fluidos em meios porosos envolve a solução de um sistema de equações diferenciais parciais não-lineares que pode ser expressa por uma equação elíptica de pressão e uma equação hiperbólica de saturação, acopladas através do campo de velocidade total. Considerando que soluções semi-analíticas são possíveis apenas para casos específicos e muito simplificados, para resolver essas equações, são necessários métodos numéricos apropriados, capazes de lidar com ambientes deposicionais que apresentem grande complexidade estrutural e geométrica, o que dificulta a utilização de malhas estruturadas para representar adequadamente esses sistemas. Neste trabalho, apresentamos uma formulação numérica para simular, em domínios bidimensionais, o escoamento bifásico de óleo e água em reservatórios de petróleo naturalmente fraturados, utilizando malhas quadrilaterais não estruturadas. Para a resolução do problema difusivo da pressão, utilizou-se um Método de Volumes Finitos com Aproximação de Fluxo por Múltiplos Pontos com um estêncil de Diamante (MPFA-D), que representa uma formulação robusta e flexível, capaz de lidar com domínios fraturados altamente heterogêneos e anisotrópicos em malhas poligonais quaisquer. Para a aproximação do problema advectivo de saturação, utilizou-se o Método das Linhas de Fluxo, que é bastante eficiente devido ao desacoplamento das equações de transporte de 2-D em múltiplos problemas 1-D que são resolvidos ao longo de cada linha de corrente, reduzindo consideravelmente o custo computacional. Esses métodos foram implementados no contexto do Modelo de Fratura com Malha Híbrida (HyG), no qual, para a modelagem do escoamento bidimensional, a matriz é representada por volumes de controle de uma malha 2-D cujas arestas são alinhadas com as fraturas, que são representadas geometricamente por entidades de dimensão inferior (1-D), mas que são, posteriormente, expandidos para 2-D no espaço computacional. A formulação com o Modelo de Malha Híbrida apresentou bons resultados quando comparada com formulações similares que utilizam métodos clássicos da literatura. Numerical simulation of fluid flows in naturally fractured petroleum reservoirs is a important tool with great applicability in the oil industry for reservoir production planning and management. Modeling fluid flow can be described by a system of nonlinear partial differential equations that comprises an elliptic pressure equation and a hyperbolic saturation equation coupled through the total velocity field. Considering that semi-analytical solutions are possible only for specific and very simplified cases, to solve these equations, appropriate numerical methods are required, capable of dealing with depositional environments that present great structural and geometric complexity, which makes it difficult to use structured meshes to adequately represent these systems. In this work, we present a numerical formulation to simulate, in two-dimensional domains, the biphasic oil and water flow in naturally fractured oil reservoirs using unstructured quadrilateral meshes. For the resolution of the diffusive pressure problem, we have used a Finite-Volume Method with a Multipoint Flux Approximation with a Diamond stencil (MPFA-D), which represents a very robust and flexible formulation that is capable to deal with highly heterogeneous and anisotropic fractured domains in any polygonal grid. For the approximation of the advective saturation problem, we used the streamline-based method, which is very efficient due to the decoupling of the transport equations from 2-D into multiple 1-D problems that are solved along each streamline, considerably reducing the computational cost. These methods were implemented in the context of the Hybrid Grid Model (HyG), in which, to model the two dimensional fluid flow, the rock matrix is represented by 2- D control volumes whose edges are aligned with the fractures which are geometrically represented by entities of reduced dimension (1-D), that are later expanded to 2-D in the computational space. The formulation with the Hybrid Grid model presents very good results whenever compared with other formulations found in literature.

FACEPE Atualmente, os modelos geocelulares de reservatórios de petróleo podem ter tamanhos da ordem de até 10⁹ volumes de controle e, em geral, a simulação dinâmica desses modelos na escala fina apresenta custo computacional impeditivo. De forma geral, são aplicadas técnicas de upscaling para definir modelos menos refinados, que podem ser tratados com os recursos disponíveis. Essas técnicas consistem em algum tipo de homogeneização dos parâmetros de escala fina, o que implica em perda de informação, levando à baixa acurácia (em relação à simulação direta), particularmente em meios altamente heterogêneos. Recentemente, os métodos Multiescala de Volumes Finitos Multiescala (MsFVM) foram desenvolvidos para minimizar essas perdas. Essas técnicas, nas quais operadores algébricos (restrição e prolongamento) são responsáveis pela transferência de informações entre as escalas, fornecem soluções mais precisas do que técnicas de upscaling com custo computacional reduzido, em comparação com a solução obtida diretamente na escala fina. Neste trabalho, é apresentado um método Multiescala e Multinível Algébrico Dinâmico (Algebraic Dynamic Multilevel - ADM). A fim de melhor capturar os fenômenos envolvidos, na definição da malha ADM usamos um método algébrico iterativo para a seleção da malha inicial (usada para começar a simulação bifásica), numa etapa de pré-simulação. Essa malha é posteriormente adaptada dinamicamente para que atenda a requisitos de acurácia pré-estabelecios pelo usuário. Para a solução das equações que modelam o escoamento de água e óleo em reservatórios de petróleo, foi utilizada a estratégia segregada IMPES (Implicit Pressure Explicit Saturation) onde o problema da pressão foi discretizado através do método multiescala e multinível ADM com o método dos volumes finitos com fluxos nas faces aproximadas por TPFA (Two Point Flux Approximation) e uma formulação upwind de primeira ordem no problema de saturação. Diversos problemas modelo foram estudados com bons resultados alcançados, como exemplo, uma norma de erro L2 de 0,014 na pressão com 20% de volumes ativos para um caso de teste proveniente do SPE-10 benchmark, com aceleração do processamento da ordem de 4. Nowadays, large reservoir fluid flow models may size up to 10⁹ control volumes and sometimes, the simulation of these fine scale models is impossible even using the most powerful parallel machines. In general, upscaling techniques are applied to define coarser, i.e., smaller, models that can be treated at reasonable computer resources and time. These techniques consist in homogenization of the fine scale models, in order to obtain representative static properties such as porosities and transmissibilities. This procedure naturally implies in loss of information, including small scale fractures, vugs and other details from the fine scale mesh. Recently, Multiscale Finite-Volume Methods (MsFVM) have been developed to handle highly heterogeneous reservoirs. These techniques, in which operators (restriction and prolongation) are responsible for transferring information between the fine and coarse scales, provide more accurate solutions than upscaled models with reduced CPU cost, compared to full fine scale simulations. In order to better capture the phenomena involved, in the definition of the ADM mesh we use an iterative algebraic method to select the initial mesh in a preprocessing step. This mesh is later dynamically adapted to meet pre-established accuracy requirements. For the solution of the equations that model the flow of water and oil in oil reservoirs, the Implicit Pressure Explicit Saturation (IMPES) strategy was used and the pressure problem was discretized through the multiscale and multilevel ADM method with the finite volume method with fluxes on the faces approximated with finite differences (Two Point Flux Approximation -TPFA) and a first-order upwind formulation in the saturation problem.

FACEPE Two-phase flows of oil and water in naturally fractured petroleum reservoirs can be described by a system of nonlinear partial differential equations that comprises an elliptic pressure equation and a hyperbolic saturation equation coupled through the total velocity field. Modeling this problem is a great challenge, due to the complexity of the depositional environments, which can include fractures (channels or barriers). In such cases, it is particularly complex to construct structured meshes which are capable of properly modeling the reservoir. In this work, a locally conservative approach to model the oil and water displacements in naturally fractured reservoirs using general unstructured meshes was developed. A cell-centered Finite-Volume Method with a Multi-Point Flux Approximation that uses the so called “diamond stencil” (MPFA-D) was used to solve the pressure equation, coupled with a Hybrid-Grid Method (HyG) to deal with the fractures. The classical First Order Upwind Method (FOUM) was used to solve the saturation equation. The FOUM was applied in two different segregated schemes, in its explicit and implicit versions, respectively the IMPES (IMplicit Pressure and Explicit Saturation) and the SEQ (SEQuential implicit pressure and saturation). The MPFA-D is a very robust and flexible formulation that is capable of handling highly heterogeneous and anisotropic domains using general polygonal meshes. In the HyG, the mesh that discretizes the domain must fit the spatial positions of the fractures, so that they are associated to edges - as 1-D cells in a 2-D mesh -, therefore, the calculation of the fluxes in these edges is dependent on the pressures on fractures and on the adjacent volumes, but, in this strategy, the fractures are expanded, in the computational domain, to the same dimension of the mesh. In this way, it is possible to get, for example, 2-D fracture cells in a 2-D mesh, but avoiding excessive refinement in the fractured regions, in the original mesh. The proposed formulation presented quite remarkable results when compared with similar formulations using classical full pressure support and triangle pressure support methods, or even the with MPFA-D itself when using an equidimensional approach. Escoamentos bifásicos de óleo e água em reservatórios de petróleo naturalmente fraturados podem ser descritos por um sistema de equações diferenciais parciais não-lineares que compreende uma equação elíptica de pressão e uma equação hiperbólica de saturação acopladas através do campo de velocidade total. Modelar este tipo de problema é um grande desafio, devido à complexidade dos ambientes deposicionais, que pode incluir fraturas (canais ou barreiras). Em tais casos, é particularmente complexo construir malhas estruturadas capazes de modelar adequadamente o reservatório. Neste trabalho, foi desenvolvida uma formulação localmente conservativa para modelar os escoamentos de óleo e água em reservatórios naturalmente fraturados usando malhas não-estruturadas. Para resolver a equação da pressão, foi adaptado um método de volumes finitos centrado na célula com uma aproximação de fluxo por múltiplos pontos que usa o chamado "estêncil de diamante" (MPFA-D) acoplado a um método de malha híbrida (HyG) para lidar com as fraturas. O clássico método de ponderação à montante de primeira ordem (FOUM) foi usado para resolver a equação de saturação. O FOUM foi aplicado em dois esquemas segregados diferentes, em suas versões explícita e implícita, respectivamente o IMPES (solução Implícita para a Pressão e Explícita para a Saturação) e o SEQ (solução SEQuencialmente implícita para pressão e saturação). O MPFA-D é uma formulação muito robusta e flexível que é capaz de lidar com domínios altamente heterogêneos e anisotrópicos usando malhas poligonais quaisquer. No HyG, a malha que discretiza o domínio deve ajustar-se às posições espaciais das fraturas, de forma que elas estejam associadas a arestas - como células 1-D em uma malha 2-D -, portanto, o cálculo dos fluxos nessas arestas é dependente das pressões nas fraturas e nos volumes adjacentes, mas, nessa estratégia, as fraturas são expandidas, no domínio computacional, para a mesma dimensão da malha. Dessa forma, é possível obter, por exemplo, células de fratura 2-D em uma malha 2-D, mas evitando-se refinamentos excessivos nas regiões das fraturas, na malha original. A formulação proposta apresentou bons resultados quando comparada com formulações similares utilizando métodos clássicos com suporte total e suporte triangular para a pressão, ou mesmo com o próprio MPFA-D, numa abordagem equidimensional.

FACEPE The study and development of high resolution numerical approximations for the modeling and simulation of multiphase flows in petroleum reservoirs is still a challenge, from the computational viewpoint, due to the difficulties posed by some physical features such as heterogeneity and anisotropy of the medium, that are of paramount importance in this class of applications. Several methods have been proposed in the past that are based on FD (Finite-Difference), FV (Finite-Volume) or FE (Finite-Element). These methods, in their classical formulations, are of low order of approximation and suffer excessive smearing at saturation front introducing error into the numerical solution. These deficiencies can be mitigated or suppressed using highresolution methods such as the k-exact or ENO (Essentially non-Oscillatory) FV methods, which require large stencils to reconstruct high order polynomial within a control volume, resulting in an increase of the storage requirements and computational cost. On the other hand, over the last decades DG (Discontinuous Galerkin), SV (Spectral Volume), SD (Spectral Difference) and FR (Flux Reconstruction)/CPR (Correction Procedure via Reconstruction) methods were developed, which can achieve high order accuracy via a compact stencil consisting of the current cell and its immediate neighbors. In addition, the FR/CPR recovery simplified versions of nodal DG, SV and SD methods by choosing an adequate polynomial reconstruction function, whose coefficients are preprocessed and stored. The focus of this work is to investigate and to apply a very high resolution CPR method for the discretization of the saturation equation, which is generally advection-dominated and that results from the modeling of the 2-D Oil-Water displacement through porous formations. In order to suppress numerical oscillations (under/over shoots) near shocks that are typical in higher order schemes, and handing the high accuracy in smooth regions of the solution a hierarchical multi-dimensional limiting strategy (MLP) is used in the reconstruction stage. The integration in time is carried out using a third-order Runge-Kutta method. To solve the pressure equation a non-orthodox cell centered MPFA-D (Multipoint Flux Approximation-Diamond type) finite volume method is employed. In order to properly couple the MPFA-D method with the CPR formulation, it is necessary to obtain an adequate velocity reconstruction throughout the control volumes of the mesh. Because the cell-centered finite volume method naturally delivers fluxes across cell faces that belong to the primal grid, a reconstruction operator based on the lowest Raviart-Thomas interpolation functions and the Piola transformation is built, to get the complete knowledge of conservative velocity field throughout the domain. The reconstruction operator receives, as input, the density fluxes across control volume faces and returns the point-wise values of velocity anywhere within the cell. Finally, the coupling of the pressure-saturation system of equations is carried out using a classical IMPES (IMplicit Pressure Explicit Saturation) procedure. Some two-phase flow benchmark problems in one and two dimensions were analyzed and numerical and/or analytical comparisons have been used to verify the accuracy, efficiency and shock-capturing capability of the proposed methodology. O estudo e desenvolvimento de aproximações numéricas de alta resolução para o modelagem e simulação de fluxos multifásicos em reservatórios de petróleo ainda é um desafio do ponto de vista computacional, devido às dificuldades colocadas por algumas características físicas tais como heterogeneidade e anisotropia do meio, que são de suma importância nesta classe de aplicações. Vários métodos foram propostos no passado, baseados em FD (diferenças finitas), FV (volumes finitos) ou FE (elementos finitos). Esses métodos, nas suas formulações clássicas, são de baixa ordem de aproximação e sofrem excessiva suavização na frente de saturação, introduzindo erro na solução numérica. Estas deficiências podem ser mitigadas ou suprimidas usando os métodos de alta resolução, como os métodos FV k-exact ou ENO (Essentially non- Oscillatory), que requerem estênceis grandes para reconstruir polinômios de alta ordem dentro de um volume de controle, resultando em um aumento da necessidade de armazenamento e custo computacional. Por outro lado, nas últimas décadas, métodos como DG (Discontinuous Galerkin), SV (Spectral Volume), SD (Spectral Difference) e FR (Flux Reconstruction)/CPR (Correction Procedure via Reconstruction) foram desenvolvidos, podendo alcançar alta precisão com um estêncil compacto que consiste na célula alvo e seus vizinhos imediatos. Além disso, FR/CPR recupera versões simplifixadas dos métodos nodais DG, SV e SD usando uma função de reconstrução polinomial adequada, cujos coeficientes são pré-processados e armazenados. O foco deste trabalho é investigar e aplicar o método de alta resolução CPR para a discretização da equação de saturação, que geralmente é de adveção dominante, e que resulta da modelagem do escoamento bidimensional de óleo-água em formações porosas. A fim de suprimir oscilações numéricas (under/ over shoots) perto de choques que são típicos em esquemas de alta ordem e entregar a alta precisão em regiões suaves da solução, uma estratégia limitadora multidimensional hierárquica (MLP) é usada em o estágio de reconstrução. A integração no tempo é realizada usando um método Runge-Kutta de terceira ordem. Para resolver a equação de pressão, um método dos volumes finitos não-ortodoxo o MPFA-D (Aproximação do Fluxo por Multiplos pontos-tipo Diamante) centrado na célula é empregado. Para acoplar adequadamente o método MPFA-D com a formulação do CPR é necessário obter uma reconstrução de velocidade adequada através dos volumes de controle da malha. Como o método de volumes finitos centrado na célula fornece naturalmente fluxos através das faces da célula que pertencem à malha primal, um operador de reconstrução baseado nas funções de interpolação de Raviart-Thomas de ordem mais baixa e na transformação de Piola é construído para obter o conhecimento completo do campo de velocidade conservativo em todo o domínio. O operador de reconstrução recebe, como entrada, as vazões nas faces dos volumes de controle e retorna os valores de velocidade em qualquer ponto da célula. Finalmente, o acoplamento do sistema das equações de saturação e pressão é realizado usando um procedimento clássico IMPES (IMplicit Pressure Explicit Saturation). Alguns problemas benchmark de fluxo bifásico em uma e duas dimensões são analizados e comparações numéricas e / ou analíticas foram usadas para verificar a precisão, a eficiência e a capacidade de captura de choque da metodologia proposta. El estudio y desarrollo de aproximaciones numéricas de alta resolución para el modelado y simulación de flujos multifásicos en yacimientos de petróleo sigue siendo un desafío, desde el punto de vista computacional, debido a las dificultades que presentan algunas características físicas tales como la heterogeneidad y la anisotropía del medio, que son de suma importância en esta clase de aplicaciones. Varios métodos han sido propuestos en el pasado, los cuales están basados en FD (Diferencias finitas), FV (Volumenes finitos) o FE (Elementos finitos). Estos métodos, en sus formulaciones clásicas, son de bajo orden de aproximación y sufren de excesiva dispersión en el frente de saturación introduciendo un error en la solución numérica. Esta deficiencia puede ser mitigada o suprimida usando los métodos de alta resolución como los métodos de FV k-exact o ENO (Essentially non-Oscillatory), que requieren grandes conjuntos de celdas para reconstruir polinomios de alto orden dentro de un volumen de control, lo que resulta en un aumento de la necesidad de almacenamiento y de costo computacional. Por outro lado, en las últimas décadas fueron desarrollados métodos, como, DG (Galerkin discontinuo), SV (Volumen espectral), SD (Diferencia espectral) y FR (Reconstrucción de Flujo) / CPR (Procedimiento de Corrección vía Reconstrucción), que puede lograr una precisión de alto orden a través de un conjunto de celdas compacto que consiste en la celda actual y sus vecinos inmediatos. Además, el FR / CPR recupera versiones simplificadas de los métodos nodales DG, SV y SD eligiendo una función adecuada de reconstrucción polinómica, cuyos coeficientes son preprocesados y almacenados. El objetivo de este trabajo es investigar y aplicar un método CPR de muy alta resolución para la discretización de la ecuación de saturación, que generalmente es de advección-dominante y que resulta del modelado del desplazamiento 2-D de petróleo-agua a través de formaciones porosas. Para suprimir las oscilaciones numéricas (under/ over shoots) cerca de choques que son típicos en esquemas de orden superior, y para entregar alta precisión em regiones suaves de la solución, se utiliza una estrategia de limitación multidimensional jerárquica (MLP) en la etapa de reconstrucción. La integración en el tiempo se lleva a cabo utilizando un Método de Runge-Kutta de tercer orden. Para resolver la ecuación de presión, un método de volumenes finitos no ortodoxo MPFA-D (Aproximación de flujo por multiples puntos-tipo diamante) centrado en la celda es empleado. Para poder combinar el método MPFA-D con la formulación de CPR, es necesario obtener una reconstrucción adecuada de la velocidad a través de los volúmenes de control de la malla. Devido a que el método de volumenes finitos centrado en la celda proporciona naturalmente flujos a través de las caras de las celdas que pertenecen a la malla primaria, se construye un operador de reconstrucción basado en las funciones de interpolación de Raviart-Thomas de mas bajo orden y la transformación Piola, para obtener el conocimiento completo del campo de velocidad conservativo en todo el dominio. El operador de reconstrucción recibe, como entrada, la densidad de flujos a través del volumen de control y devuelve los valores puntuales de velocidad en cualquier lugar dentro de la celda. Finalmente, el acoplamiento del sistema de ecuaciones de saturación y de presión se lleva a cabo utilizando un procedimiento clásico IMPES (IMplicit Pressure Explicit Saturation). Algunos problemas modelo para el flujo bidimensional en una y dos dimensiones se llevaron a cabo y se usaron comparaciones numéricas y / o semi-analíticas para verificar la precisión, eficiencia y capacidade de captura de discontinuidades de la metodología propuesta.

FACEPE Modern geocellular models may contain up to hundreds million cells, while practical petroleum reservoir models handle at most a fraction of this quantity turning the direct numerical simulation of multiphase flow in heterogeneous and anisotropic medium infeasible. To overcome these problems Multiscale Finite Volume Methods (MsFVM) uses restriction algorithm to transfer information onto a lower-resolution grid, solve the resulting coarse system and by using a set of basis function, project back the solution onto the higher-resolution grid. Nonetheless, the MsFVM basis function fail to deal with high-resolution geological properties on general grids as they often rely on TPFA, which is only consistent for k-orthogonal grids. Furthermore, MsFVM possess no framework capable of generating the geometric entities needed for simulation on unstructured coarse-scale meshes. The Multiscale Restricted Smoothed Basis (MsRSB) method creates this framework and expands the multiscale approach to unstructured coarse meshes. However, it fails to produce consistent solutions on fine-scale unstructured meshes and for arbitrary permeability tensors as it also uses TPFA. In this thesis, we couple a Multi- Point Flux Approximation (MPFAD) with a Diamond stencil to the MsRSB to extend its use to general unstructured grids. The resulting framework showed prominent results producing accurate solutions for two-phase flow simulation in heterogeneous and mildly anisotropic medium with unstructured grids on a coarse and a fine scale. Hoje em dia, os modelos geo-celulares podem conter até centenas de milhares de células, enquanto os modelos de reservatórios de petróleo trabalham no máximo com uma pequena fração desta quantidade. Isto torna a simulação numérica de escoamento multifásico em meios heterogêneos e anisotrópicos nestas malhas inviáveis. Para superar estas limitações, o Método dos Volumes Finitos Multiescala (MsFVM) usa algoritmos de restrição para transferir informação da escala de malha de alta-resolução para uma malha de menor resolução onde o sistema de equações é resolvido para então, utilizando um conjunto de funções de base, projetar a solução de volta na malha de maior resolução. No entanto, as funções de base do MsFVM são incapazes de capturar informações geológicas em alta-definição em malhas não estruturadas uma vez que o método depende de uma aproximação do fluxo do tipo por dois pontos (TPFA) que é consistente apenas com malhas k-ortogonais. Além disso, o MsFVM não possui um framework capaz de gerar as entidades necessárias para a simulação em malhas não estruturadas na escala de baixa resolução. O Métodos Multiescala das Funções de Base Restritamente Suavizadas (MsRSB) criar este metodologia e expande os conceitos do método clássico para permitir a simulação em malhas de baixa resolução não estruturadas. Contudo, este método falha em produzir soluções consistentes para malhas de alta resolução não estruturadas, uma vez que ele também depende de uma aproximação do tipo TPFA. Nesse trabalho, nós acoplamos o MsRSB com uma aproximação do fluxo do tipo multipontos com estêncil diamante para estender o seu uso para malhais não estruturadas em geral.

Os métodos multiescala são capazes de fornecer soluções numéricas acuradas para as equações de fluxos em reservatórios de petróleo altamente heterogêneos, com custos computacionais consideravelmente baixos quando comparados ao custo da simulação diretamente na escala mais fina. Um desafio as metodologias multiescala, em particular ao Método de Volumes Finitos Multiescala (MsFVM), consiste na simulação do escoamento em meios muito anisotrópicos, ou em meios que apresentem regiões com elevados gradientes de permeabilidade (exemplo: meios fraturados e com barreiras), isto acontece devido à necessidade do desacoplamento nas fronteiras dos sub-domínios, ou seja, o uso das condições de contorno reduzidas para calcular os operadore multiescalas. Essas condições de contorno configuram-se no núcleo das metodologias multiescala, pois desacoplam os subproblemas, possibilitando a obtenção de soluções na escala mais fina, porém, por não considerarem os fluxos normais às fronteiras, geram problemas de conservação nestas regiões. No presente trabalho, apresentamos uma variante do método multiescala, denominado Método Iterativo Multiescala Modificado para Volume de Controle (I-MMVCM). O I-MMVCM elimina a necessidade de uso dos volumes fantasmas, melhorando a acurácia dos operadores multiescala, e consequentemente aumenta a eficiência do método. A pressão é calculada em cada volume da malha grossa primal, utilizando as pressões anteriormente calculadas pelo MsFVM como condições de contorno de Dirichlet. Para garantir conservação em todo o domínio utilizamos dois métodos de correção, que visam corrigir o fluxo na malha grossa primal. Adicionalmente, comparamos os resultados obtidos por dois Métodos de Volumes Finitos com Aproximação de Fluxo por Múltiplos Pontos (MPFA), o MPFA-O ou MPFA-TPS (Triangle Pressure Support) e o MPFA-FPS (Full Pressure Support). Para a solução do problema de saturação utilizamos o Método de Ponderação à Montante de Primeira Ordem (First Order Upwind Method - FOUM), método dos volumes finitos de alta ordem (Higher Order Finite Volume –HOFV) e um método de linhas de fluxos (Streamlines). Finalmente, o sistema de equações governantes é resolvido seguindo a estratégia IMPES (Implicit Pressure, Explicit Saturation). The multiscale methods are cable to provide accurate numerical solutions for the flow equations in highly heterogeneous petroleum reservoirs, with considerably lower computational costs when compared to the computational cost of simulating directly on the fine scale. A challenge for multiscale methods, in particular for the Multiscale Finite Volume Method (MSFVM), consist in modeling flow in highly anisotropic oil reservoir, or in medium with high permeability gradients (eg fractured media and barriers), it happens due to necessity of the decoupling at the frontier of the sub-domains, thais is, the use of reduced boundary conditions for calculate the multiscale operator. These boundary conditions are the core of all multiscale methodologies, they uncouple the problem into smaller subproblems, making it possible to obtain solutions on the fine scale, but since they do not consider the flows normal to the boundaries, they break the mass conservation law in these regions. In the present work, we present a variant of the multiscale method called the Iterative Modified Multiscale Control Volume Method (I-MMVCM). The I-MMVCM eliminates the need to use ghost volumes, improving the accuracy of multiscale operators, therefore increasing the efficiency of the method. The pressure is calculated on each volume of the primal coarse mesh, using the pressures previously calculated by the MsFVM as Dirichlet boundary conditions. In order to reimpose conservation in the domain we use two correction methods, which are designed to correct the upscaling flow of the primal coarse mesh. In addition, we compared the results obtained by two Finite Volume Methods with Multi-Point Flow Approximation (MPFA), the MPFA-O or MPFA-TPS (Triangle Pressure Support) and MPFA-FPS (Full Pressure Support). To solve the transport problem we use the First Order Upwind Method (FOUM), high order finite volume method (HOFV) and the method of the streamlines. Finally, the system of governing equations is solved using the Implicit Pressure Explicit Saturation (IMPES) strategy.

CNPQ O problema do escoamento bifásico de água e óleo em reservatórios de petróleo heterogêneos e anisotrópicos pode ser descrito utilizando certas hipóteses simplificadoras, por um sistema de equações diferenciais parciais não-lineares, composto por uma equação elíptica da pressão e uma equação hiperbólica de saturação. A modelagem deste problema representa um grande desafio, devido à complexidade dos ambientes deposicionais, incluindo camadas inclinadas, canais, fraturas e a possível existência de poços direcionais. Nesses casos, é particularmente complexo construir malhas estruturadas capazes de modelar o problema físico adequadamente. Esta dissertação tem como objetivo a modelagem numérica do escoamento bifásico em reser-vatórios naturalmente fraturados (RNF). Para isso, são apresentadas duas formulações pelo Método de Volumes Finitos (MVF) centrado na célula para a solução da equação de pressão: a primeira utiliza uma Aproximação de Fluxo por Dois Pontos (TPFA) em conjunto com multi-plicadores de transmissibilidade, e a segunda, capaz de lidar com tensores de permeabilidade completos e malhas poligonais, utiliza uma Aproximação do Fluxo por Múltiplos Pontos (MPFA-O) acoplada ao Modelo de Fraturas com Dimensão Reduzida (Lower-Dimensional Fracture Model - LDFM). O problema hiperbólico da saturação é resolvido pelo método de ponderação a montante de primeira ordem (First Order Upwind Method - FOUM) com duas formulações, uma explícita e outra implícita. A abordagem LDFM é eficiente quando compa-rada a outras estratégias apresentadas na literatura, e faz uso de uma equação adicional associ-ada à fratura que é tratada como uma entidade geométrica com dimensão inferior à do problema original, ou seja, para problemas em 3-D uma fratura é representada por superfícies (2-D) e para problemas em 2-D a fratura tem apenas uma dimensão no espaço. Isso reduz considera-velmente o número de graus de liberdade do sistema. Para isso, a malha deve ser ajustada à distribuição das fraturas no domínio computacional, de modo que essas fraturas são associadas às superfícies de controle, representadas pelas arestas dos volumes finitos em 2-D. É importante observar, que o campo de velocidades nas superfícies de controle que coincidem com as fraturas é dependente, tanto das pressões nas fraturas, quando das pressões nos volumes de controle que representam a rocha matriz e que compartilham os mesmos vértices da respectiva superfície de controle. A acurácia da formulação proposta foi verificada através da resolução de alguns pro-blemas envolvendo meio fraturado, incluindo barreiras e canais. The problem of two phase flow of oil and water in heterogeneous and anisotropic oil reservoirs can be described using certain simplifying hypotheses by a system of nonlinear partial differential equations, composed by an elliptic equation of pressure and a hyperbolic equation of saturation. The modeling of this problem represents a major challenge due to the complexity of the depositional environments, including inclined layers, channels, fractures and the possible existence of directional wells. In such cases, it is particularly complex to construct structured meshes capable of properly modeling the physical problem. This dissertation aims to model one of these complex structures, naturally fractured reservoirs (NFR). For this, are presented two formulations with Finite Volume Method (FVM), cell-centered, for the solution of the pressure equation: the first one using a Two-Point Flux Aproximation (TPFA) in conjunction with transmissibility multipliers; and the second formulation using the Multi-Point Flux Aproximation (MPFA-O), which can deal with full permeability tensors and arbitrary polygonal meshes, coupled with a Lower-Dimensional Fracture Model (LDFM). The hyperbolic problem of saturation is solved with First Order Upwind Method (FOUM) with two formulations, one explicit and another implicit. The LDFM approach is effective when compared to other strategies in the literature, and makes use of an additional equation associated to the fracture, that is treated as a geometric entity with a smaller dimension than the original problem, in other words, for 3-D problems a fracture is represented by surfaces (2-D) and for 2-D problems the fracture has only one dimension in space. This considerably reduces the number of degrees of freedom of the system. For this, the mesh must be adjusted to the distribution of fractures in the computational domain, when these fractures are associated to the control surfaces, represented by the edges of the finite volumes in 2-D. It is important to note that the velocity field on the control surfaces that coincide with the fractures is dependent, both pressures in the fractures and in the control volumes, which represent the matrix rock and which share the same vertices of the respective control surface. The accuracy of the proposed formulation was verified by solving some problems involving a fractured matrix, including barriers and channels.

FACEPE No presente trabalho apresentamos formulações numéricas para a discretização de um modelo matemático que descreve o escoamento bifásico de água e óleo em reservatórios de petróleo heterogêneos e anisotrópicos. Estas equações são resolvidas através da metodologia IMPES (Implicit Pressure Explicit Saturation) que é, em particular, um método segregado para tratar escoamento bifásico (água-óleo) em que, o campo de pressão é obtida implicitamente e o campo de saturação é obtida explicitamente. Para resolver a equação de pressão propormos formulações numéricas baseadas no método de volumes finitos lineares (a saber: MPFA-HD e MPFA-H) e no método de volumes finitos não lineares (a saber: NLFV-PP e NLFV-DMP), estas formulações em geral lidam com meios altamente heterogêneos e anisotrópicos sobre malhas poligonais em geral. De outra parte, neste trabalho são estudadas as varias propriedades numéricas que satisfazem as formulações numéricas propostas. Além disso, no caso do método não linear que satisfaz o principio do máximo discreto (DMP), mostramos que este possui um estêncil pequeno desde que os pontos de interpolação sejam calculados a partir dos pontos harmônicos. Para resolver a equação de saturação, utilizamos um método multidimensional nomeada MOOD (Multi-dimensional Optimal Order Detection), esta método é baseada numa discretização espacial de alta ordem com procedimento de limitação a posteriori das variáveis de estado (i. e. saturação) não físicos. Em cada volume de controle o grau polinomial ótimo é determinado para construir uma aproximação das soluções respeitando o principio do máximo discreto. Mediante um processo iterativo o grau polinomial é reduzido quando o volume de controle em questão não satisfaz as condições de estabilidade. Neste método, uma estratégia baseada na Técnica de Mínimos Quadrados é usada para a reconstrução polinomial. Todos métodos propostos são localmente conservativos, e todas as incógnitas são completamente centradas nos volumes de controle, e possuem a habilidade de representar reservatórios com propriedades geológicas complexas utilizando malhas poligonais quaisquer. O desempenho dessas foi avaliado a partir da solução de problemas relevantes encontrados na literatura. In the present work we present numerical formulations for the discretization of a mathematical models that describes the two-phase flow of water and oil in heterogenous and anisotropic oil reservoirs. These equations are solved through Implicit Pressure Explicit Saturation (IMPES) methodology which is in particular a segregated method to treat two-phase (water-oil) flow in which the pressure field is implicitly obtained and the saturation field is obtained explicitly. In order to solve the pressure equation we propose numerical formulations based on the finite linear volume method (MPFA-HD and MPFA-H) and non-linear finite volume method (NLFV-PP and NLFV-DMP). Formulations generally deal with highly heterogeneous and anisotropic media over polygonal meshes in general. On the other hand, in this work the numerical properties that satisfy the proposed numerical formulations are studied. In addition, in the case of the non-linear method that satisfies the discrete maximum principle (DMP), we show that it has a small stencil since the interpolation points are calculated from the harmonic points. To solve the saturation equation, we use a multidimensional method named MOOD (Multidimensional Optimal Order Detection), this method is based on a high order spatial discretization with a posteriori limitation procedure of the non-physical state variables (saturation). In each control volume the optimum polynomial degree is determined to construct an approximation of the solutions respecting the discrete maximum principle. By means of an iterative process the polynomial degree is reduced when the control volume in question does not satisfy the stability conditions. In this method, a strategy based on the Least Squares technique is used for polynomial reconstruction. All proposed methods are locally conservative, and all unknowns are completely centered on control volumes, and have the ability to represent reservoirs with complex geological properties using any polygonal meshes. The performance of these was evaluated from the solution of relevant problems found in the literature.

Esta tese apresenta uma metodologia de paralelização híbrida aplicada ao Método dos Elementos Discretos (DEM - Discrete Element Method) que combina MPI e OpenMP com o intuito de melhoria de desempenho computacional. A metodologia utiliza estratégias de decomposição de domínio visando a distribuição do cálculo de modelos de larga escala em um cluster. A técnica proposta também particiona a carga de trabalho de cada subdomínio entre threads. Este procedimento adicional visa obter maiores desempenhos computacionais através do ajuste de utilização de mecanismos de troca de mensagens entre processos e paralelização por threads. O objetivo principal da técnica é reduzir os elevados tempos de comunicação entre processos em ambientes computacionais de memória compartilhada tais como os processadores modernos. A divisão de trabalho por threads emprega a curva de preenchimento de espaço de Hilbert (HSFC) visando a melhoria de localidade dos dados e evitando custos computacionais (overheads) resultantes de ordenações constantes para o vetor de partículas. As simulações numéricas apresentadas permitem avaliar os métodos de decomposição de domínio, técnicas de particionamento, mecanismos de controle de acesso à memória, dentre outros. Algoritmos distintos de particionamento e diferentes estratégias de solução paralela são abordados para ambientes computacionais de memória distribuída, compartilhada ou para um modelo híbrido que envolve os dois ambientes. A metodologia desenvolvida e a ferramenta computacional utilizada nas implementações realizadas, o software DEMOOP, fornecem recursos que podem ser aplicados em diversos problemas de engenharia envolvendo modelos de partículas em larga escala. Nesta tese alguns destes problemas são abordados, em especial aqueles relacionados com fluxo de partículas em rampas, em funis de descarga e em cenários reais de deslizamento de terra. Os resultados mostram que as estratégias de execução híbridas atingem, em geral, melhores desempenhos computacionais que aqueles que se baseiam unicamente em troca de mensagens. A técnica de paralelização híbrida desenvolvida também obtém um bom controle de balanço de carga entre threads. Os estudos de caso apresentados apresentam boa escalabilidade e eficiências paralelas. O método proposto permite uma execução configurável de modelos numéricos do DEM e introduz uma estratégia combinada que melhora localidade dos dados e um balanceamento de carga iterativo. This thesis introduces a methodology of hybrid parallelization applied to the Discrete Element Method (DEM) that combines MPI and OpenMP to improve computational performance. The methodology uses domain decomposition strategies to distribute the computation of large-scale models in a cluster. It also partitions the workload of each subdomain among threads. This additional procedure aims to reach higher computational performance by adjusting the usage of message passing artifacts and threads. The main objective is to reduce the expensive communications between processes in computer resources of shared memory such as modern processors. The work division by threads employs Hilbert Space Filling Curves (HSFC) in order to improve data-locality and to avoid the overhead caused by the dynamical sorting of the particles array. Presented numerical simulations allow to evaluate several domain decomposition schemes, partitioning methods, mechanisms of memory access control, among others. The work investigate distinct schemes of parallel solution for both distributed and shared memory environments. The method and the computational tool employed, the software DEMOOP, provide applied resources for several engineering problems involving large scale particle models. Some of these problems are presented on this thesis, such as the particle flows that happen on inclined ramps, discharge hoppers and real scenarios of landslides. The results shows that the hybrid executions reach better computational performance than those based on message passing only, including a good control of load balancing among threads. Case studies present good scalability and parallel efficiencies. The proposed approach allows a configurable execution of numerical models and introduces a combined scheme that improves data-locality and an iterative workload balancing.

Ao esgotar as reservas de hidrocarbonetos em terra e águas rasas, a indústria vem explorando e produzindo petróleo em águas profundas e ultraprofundas. No entanto, a verificação hidrodinâmica de novos sistemas flutuantes de produção continua usando as metodologias consagradas, especialmente os ensaios em tanques oceânicos de laboratório. A utilização de modelos em escala reduzida vem sendo adotada desde os primeiros projetos em águas rasas e continua até hoje nos projetos em águas ultraprofundas. No entanto, os ensaios em profundidades superiores a 1.500m necessitam de um fator de escala muito elevado, com diversos problemas associados, dentre eles as dificuldades de acomodar as linhas de ancoragem e as incertezas relacionadas a modelos muito pequenos. Dentre as soluções possíveis, os ensaios híbridos (numérico-experimental) se apresentam como a solução mais viável para verificação experimental em águas ultraprofundas, em especial o ensaio híbrido passivo. Esse tipo de ensaio é organizado em etapas, sendo a primeira delas responsável pela definição do sistema truncado. Se essa etapa não for executada de forma satisfatória, o sucesso do ensaio pode ser comprometido. Assim, a fim de minimizar essa questão, propõe-se nesta tese de doutorado uma forma sistemática para encontrar sistemas truncado equivalentes, considerando os efeitos estáticos e dinâmicos, através da utilização de ferramentas de otimização. Nesse sentido, a abordagem adotada utiliza um simulador para análise estática e dinâmica de estruturas offshore denominado Dynasim e um algoritmo de otimização baseado em gradiente através do sistema Dakota. Também é utilizada a metodologia de planejamento de experimentos para identificar os fatores que influenciam as respostas estática e dinâmica do problema, evitando o uso de variáveis de projeto irrelevantes no estudo da otimização. Ressalta-se que essa metodologia não foi aplicada em outros trabalhos no contexto de sistemas de ancoragem truncado, segundo nosso conhecimento. Além disso, analisa-se o projeto ótimo do sistema truncado em várias condições ambientais, cujo interesse é verificar a concordância dele com o sistema de ancoragem na profundidade completa. Devido ao elevado custo computacional envolvido nessa verificação, utiliza-se a computação de alto desempenho, com processamento paralelo, para viabilizar a realização dessas análises. Como é demonstrado neste trabalho, a metodologia proposta facilita a busca de sistemas de ancoragem truncado equivalente preservando as características estáticas e dinâmicas do sistema de ancoragem completo. São apresentados e discutidos quatro casos, os dois primeiros se referem a casos simplificados, o terceiro é baseado na literatura e o quarto é baseado em um cenário real. Os resultados obtidos nos casos estudados mostram que os sistemas truncados equivalentes encontrados conseguem reproduzir o comportamento dos sistemas completos para as condições verificadas. With the depletion of onshore and offshore shallow-water reserves, the industry has exploited and produced oil in deep water and ultra-deepwater. However, the hydrodynamic verification of new floating production systems continues using the established methodologies, especially by carrying out tests on ocean basin laboratories. Small-scale model tests have been used since the first projects in shallow water and continue today in the projects in ultra-deepwater. However, tests in depths above 1,500m require a very high scale factor, which poses several complications, among them the difficulties to accommodate the mooring lines and the small models related uncertainties. Among the possible solutions, the hybrid testing (numerical and experimental) are the most feasible solution to experimental verification in ultra-deepwater, especially the hybrid passive systems test. Such test is divided into steps, the first one responsible for the definition of the truncated system. If this step is not performed satisfactorily, the success of the test may be compromised. Thus, in order to minimize this issue, a systematic way to find equivalent truncated systems, considering the static and dynamic effects through the use of the optimization tools is proposed in this doctoral thesis. Accordingly, the approach adopted uses a numerical simulator, called Dynasim, for static and dynamic analysis of offshore structures, and a gradient based optimization algorithm, given in Dakota computational system. Additionally, the design of experiments methodology is used to identify the factors that influence the static and dynamic responses of the problem, avoiding the use of irrelevant design variables in the optimization process. It has to be emphasized that this methodology has not been used in other works in the context of truncated mooring systems, to our knowledge. Furthermore, the optimal design of the truncated system is analyzed for several environmental conditions. The aim is to verify the agreement of the truncated mooring system with system in the full-depth. Due to the high computational cost involved in the verification, we use the high-performance computing, with parallel computation, to perform the analyzes. As shown in this work, the proposed methodology easy the search for equivalent truncated mooring systems preserving the static and dynamic characteristics of full-depth mooring systems. Four case studies are presented and discussed. The first two refer to simplified cases; the third is based on the literature and the fourth is based on a real scenario. The results in each case show that the truncated equivalent system found can reproduce the behavior of full-depth system for the verified conditions.

CNPQ A modelagem e a simulação numérica do transporte de solutos, como por exemplo traçadores, em meios porosos heterogêneos e anisotrópicos, tais como aquíferos e reservatórios de petróleo constituem-se num grande desafio de natureza matemática e numérica. A modelagem de falhas selantes, canais, poços inclinados, pinchouts e outras características complexas demanda o uso de malhas não-estruturadas e não-ortogonais, capazes de se adaptar naturalmente ao domínio em estudo. Os pacotes computacionais utilizados comumente na indústria do petróleo, na sua grande maioria, se baseiam no Método das Diferenças Finitas com Aproximação de Fluxo por Dois Pontos (Two-Point Flux Approximation - TPFA) e no Método de Ponderação à Montante de Primeira Ordem (First Order Upwind Method - FOU), devido a sua facilidade de implementação e sua eficiência computacional. Infelizmente, os métodos TPFA são incapazes de produzir soluções convergentes em malhas não-ortogonais ou para tensores de dispersão ou permeabilidades completos e os métodos FOU produzem soluções com difusão numérica excessiva, exigindo malhas demasiadamente refinadas para obtermos soluções confiáveis. Uma alternativa ao TPFA, e que permite o uso de tensores completos e malhas não-ortogonais, é o Método dos Elementos Finitos de Galerkin (MEF), porém este método não produz soluções localmente conservativas, o que pode ser um problema sério para a modelagem de problemas envolvendo leis de conservação, como no escoamento em meios porosos. Outra alternativa são os Métodos de Volumes Finitos (MVF). Nas suas variantes mais robustas, estes métodos são capazes de lidar com malhas poligonais quaisquer e tensores de dispersão e permeabilidades completos e com razão de anisotropia arbitrária, além de produzir aproximações discretas de alta ordem e localmente conservativas. Neste contexto, no presente trabalho, apresentamos uma formulação MVF centrado na célula para a modelagem do transporte de um traçador não-reativo num escoamento monofásico em meios porosos heterogêneos e anisotrópicos. Para a discretização dos termos elípticos, tanto da equação de pressão quanto da equação de Advecção-Dispersão-Reação (ADRE), utilizou-se um MVF com aproximação de fluxo por múltiplos pontos que faz uso do estêncil diamante (MPFA-D) e para a discretização dos termos hiperbólicos, usamos o método FOU e um MVF do tipo MUSCL (Monotone Upstream Centered Scheme for Conservation Laws). A fim de testar nossa formulação, resolvemos alguns problemas benchmark encontrados na literatura. Modeling and numerical simulation of solutes (e.g. Tracers) in heterogeneous and anisotropic porous media such as aquifers and oil reservoirs, constitute a bigger challenge of mathematics and numerical nature. Modeling sealants faults, channels, inclined wells, pinch outs and other complex features of these geological formations demand the use of unstructured and not orthogonal meshes, able to adapt naturally to the domain under study. The computational packages used commonly in the oil industry, mostly, are based on the Finite Difference Method with Two Point Flow Approximation (TPFA) and the Amount First Order Upwind method (FOU), due to its ease of implementation and its computational efficiency. Unfortunately, TPFA methods are unable to produce conver-gent solutions in non-orthogonal meshes or in permeability or dispersion full Tensor and FOU methods produce solutions with excessive numerical diffusion, requiring excessively refined mesh to obtain reliable solutions. An interesting alternative to TPFA, which allows the use of full tensor and not orthogonal meshes, is the Galerkin Finite Element Method (FEM), but this method does not produce solutions locally conservative, which can be a serious problem for modeling problems involving conservation laws as the flow in porous media. An interesting alternative is the Finite Volume Methods (MVF). In its most robust embodiments, these methods are able to cope with any polygonal mesh and full permeability or dispersion tensors and with an arbitrary anisotropy ratio, beyond producing discrete approximations of high order and locally conservative. In this context, the present study, we present one MVF formulation cell centered to modeling the transport of a non-reactive tracer in single-phase flow in heterogeneous and anisotropic porous media. For the elliptical discretization terms, both, the pressure equation as the equation advection-dispersion-reaction (ADRE), we used The FVMF multipoint flow approximation that uses the diamond stencil (MPPA-D) and for the discretization of hyperbolic terms, we use the FOU method and an MVF type MUSCL (Monotone Upstream Centered Scheme for Conservation Laws). In order to test our formulation, we solve some benchmark problems in the literature.

Anp Sob certas hipóteses simplificadoras, o modelo matemático que descreve o escoamento de água e óleo em reservatórios de petróleo pode ser representado por um sistema não linear de Equações Diferenciais Parciais composto por uma equação elíptica de pressão (fluxo) e uma equação hiperbólica de saturação (transporte). Devido a complexidades na modelagem de ambientes deposicionais, nos quais são incluídos camadas inclinadas, canais, falhas e poços inclinados, há uma dificuldade de se construir um modelo que represente adequadamente certas características dos reservatórios, especialmente quando malhas estruturadas são usadas (cartesianas ou corner point). Além disso, a modelagem do escoamento multifásico nessas estruturas geológicas incluem descontinuidades na variável e instabilidades no escoamento, associadas à elevadas razões de mobilidade e efeitos de orientação de malha. Isso representa um grande desafio do ponto de vista numérico. No presente trabalho, uma formulação fundamentada no Método de Volumes Finitos é estudada e proposta para discretizar as equações elíptica de pressão e hiperbólica de saturação. Para resolver a equação de pressão três formulações robustas, com aproximação dos fluxos por múltiplos pontos são estudadas. Essas formulações são abeis para lidar com tensores de permeabilidade completos e malhas poligonais arbitrárias, sendo portanto uma generalização de métodos mais tradicionais com aproximação do fluxo por apenas dois pontos. A discretização da equação de saturação é feita com duas abordagens com característica multidimensional. Em uma abordagem mais convencional, os fluxos numéricos são extrapolados diretamente nas superfícies de controle por uma aproximação de alta resolução no espaço (2ª a 4ª ordem) usando uma estratégia do tipo MUSCL. Uma estratégia baseada na Técnica de Mínimos Quadrados é usada para a reconstrução polinomial. Em uma segunda abordagem, uma variação de uma esquema numérico Verdadeiramente Multidimensional é proposto. Esse esquema diminui o efeito de orientação de malha, especialmente para malhas ortogonais, mesmo embora alguma falta de robustez possa ser observada pra malhas excessivamente distorcidas. Nesse tipo de formulação, os fluxos numéricos são calculados de uma forma multidimensional. Consiste em uma combinação convexa de valores de saturação ou fluxo fracionário, seguindo a orientação do escoamento através do domínio computacional. No entanto, a maioria dos esquemas numéricos achados na literatura tem aproximação apenas de primeira ordem no espaço e requer uma solução implícita de sistemas algébricos locais. Adicionalmente, no presente texto, uma forma modificada desses esquemas “Verdadeiramente” Multidimensionais é proposta em um contexto centrado na célula. Nesse caso, os fluxos numéricos multidimensionais são calculados explicitamente usando aproximações de alta ordem no espaço. Para o esquema proposto, a robustez e o caráter multidimensional também leva em conta a distorção da malha por meio de uma ponderação adaptativa. Essa ponderação regula a característica multidimensional da formulação de acordo com a distorção da malha. Claramente, os efeitos de orientação de malha são reduzidos. A supressão de oscilações espúrias, típicas de aproximações de alta ordem, são obtidas usando, pela primeira vez no contexto de simulação de reservatórios, uma estratégia de limitação multidimensional ou Multidimensional Limiting Process (MLP). Essa estratégia garante soluções monótonas e podem ser usadas em qualquer malha poligonal, sendo naturalmente aplicada em aproximações de ordem arbitrária. Por fim, de modo a garantir soluções convergentes, mesmo para problemas tipicamente não convexos, associados ao modelo de Buckley-Leverett, uma estratégia robusta de correção de entropia é empregada. O desempenho dessas formulações é verificado com a solução de problemas relevantes achados na literatura. Under certain simplifying assumptions, the problem that describes the fluid flow of oil and water in heterogeneous and anisotropic petroleum reservoir can be described by a system of non-linear partial differential equations that comprises an elliptic pressure equation (flow) and a hyperbolic saturation equation (transport). Due to the modeling of complex depositional environments, including inclined laminated layers, channels, fractures, faults and the geometrical modeling of deviated wells, it is difficult to properly build and handle the Reservoir Characterization Process (RCM), particularly by using structured meshes (cartesian or corner point), which is the current standard in petroleum reservoir simulators. Besides, the multiphase flow in such geological structures includes the proper modeling of water saturation shocks and flow instabilities associated to high mobility ratios and Grid Orientation Effects (GOE), posing a great challenge from a numerical point of view. In this work, a Full Finite Volume Formulation is studied and proposed to discretize both, the elliptic pressure and the hyperbolic saturation equations. To solve the pressure equation, we study and use three robust Multipoint Flux Approximation Methods (MPFA) that are able to deal with full permeability tensors and arbitrary polygonal meshes, making it relatively easy to handle complex geological structures, inclined wells and mesh adaptivity in a natural way. To discretize the saturation equation, two different multidimensional approaches are employed. In a more conventional approach, the numerical fluxes are extrapolated directly on the control surfaces for a higher resolution approximation in space (2nd to 4th order) by a MUSCL (Monotone Upstream Centered Scheme for Conservation Laws) procedure. A least squares based strategy is employed for the polynomial reconstruction. In a second approach, a variation of a “Truly” Multidimensional Finite Volume method is proposed. This scheme diminishes GOE, especially for orthogonal grids, even though some lack of robustness can be observed for extremely distorted meshes. In this type of scheme, the numerical flux is computed in each control surface in a multidimensional way, by a convex combination of the saturation or the fractional flow values, following the approximate wave orientation throughout the computational domain. However, the majority of the schemes found in literature is only first order accurate in space and demand the implicit solution of local conservation problems. In the present text, a Modified Truly Multidimensional Finite Volume Method (MTM-FVM) is proposed in a cell centered context. The truly multidimensional numerical fluxes are explicitly computed using higher order accuracy in space. For the proposed scheme, the robustness and the multidimensional character of the aforementioned MTM-FVM explicitly takes into account the angular distortion of the computational mesh by means of an adaptive weight, that tunes the multidimensional character of the formulation according to the grid distortion, clearly diminishing GOE. The suppression of the spurious oscillations, typical from higher order schemes, is achieved by using for the first time in the context of reservoir simulation a Multidimensional Limiting Process (MLP). The MLP strategy formally guarantees monotone solutions and can be used with any polygonal mesh and arbitrary orders of approximation. Finally, in order to guarantee physically meaningful solutions, a robust “entropy fix” strategy is employed. This produces convergent solutions even for the typical non-convex flux functions that are associated to the Buckley-Leverett problem. The performance of the proposed full finite volume formulation is verified by solving some relevant benchmark problems.

The present work proposes to extend the IMERSPEC methodology to solve two-phase flows. This methodology based on the coupling of Fourier psedospectral method (FPSM) and immersed boundary method (IBM). The main features of the FPSM are the high rate of numerical convergence, high numerical accuracy combined with high computational efficiency because it uses the Fast Fourier Transform algorithm, and beside that, in order to solve the Navier-Stokes equations, solving linear system for pressure-velocity coupling is not necessary. To deal with two-phase flows with moving and deformable geometry, two methods were coupled the IMERSPEC methodology: the Front-Tracking method (FT) and Volume of Fluid method (VOF). The FT method works with two domains, the Eulerian, where the equations for the fluid are evaluated and the Lagrangian for modeling the interfaces. In the FT, both domains are coupled by using interpolation and distribution process, with no restriction on the movement and deformation of the dispersed phase of the Lagrangian mesh over Eulerian domain. The disadvantages of the FT method are a possible mass loss and the need of a fragmentation and coalescence bubble model. The VOF method defines the surface by the volume fractions which allows the fragmentation and coalescence of bubbles without the requirement of implementing a specific model, however it may present numerical instabilities. The results obtained by evaluating the spurious currents, mass conservation and analysis through numerical experimentation of bubbles rise show that IMERSPEC-FT can be considered validated and promising, while the IMERSPEC-VOF presents promising results for cylindrical bubble regime. No presente trabalho propõe-se a extensão da metodologia IMERSPEC para resolver problemas de escoamentos bifásicos. Esta metodologia é baseada no acoplamento do método pseudoespectral de Fourier (MPEF) com o método da fronteira-imersa (MFI). As principais características desta metodologia são a alta taxa de convergência numérica e a alta acurácia aliadas a um baixo custo computacional devido ao algoritmo denominado Fast Fourier Transform (FFT) e, além disso, na resolução das equações de Navier-Stokes não é necessário resolver o sistema linear proveniente do acoplamento pressão-velocidade. Para tratar escoamentos bifásicos com geometria móvel e deformável, dois métodos foram acoplados á metodologia IMERSPEC: Front-Tracking(FT) e Volume of fluid (VOF). O método FT trabalha com dois domínios, sendo um euleriano, onde se resolvem as equações para o fluido e o outro, móvel, lagrangiano, utilizado para as interfaces entre dois fluidos. Para este método, ambos os domínios são acoplados pelo processo de interpolação e distribuição do campo de força lagrangiano e não apresentam restrição quanto ao movimento da malha lagrangiana sobre o domínio euleriano e quanto à deformação da mesma. As principais desvantagens do método Front-Tracking estão na possível perda de massa e na necessidade de implementar modelos para fragmentação e coalescência. O método VOF define a superfície através de frações de volume, o que permite fragmentação e coalescência de bolhas não requerendo modelos específicos. Entretanto apresenta instabilidades numéricas no cálculo da curvatura. Os resultados obtidos através da avaliação das correntes espúrias, conservação de massa e análise através de experimentação numérica de ascensão de bolhas mostram que a metodologia IMERSPEC-FT pode ser considerada validada, enquanto que a metodologia IMERSPEC-VOF apresentou resultados promissores para regime de bolha cilíndrica. Doutor em Engenharia Mecânica

O estudo da distribuição de temperaturas no olho humano é capaz de fornecer subsídios para tratamentos hipertérmicos e para o cálculo dos danos causados pela exposição à radiação de uma fonte de laser. Um exemplo é a termoterapia transpupilar a laser (TTT), aplicada no tratamento de um melanoma de coroide. Neste trabalho, foi desenvolvido, através do software comercial SolidWorks®, um modelo tridimensional do olho humano portador de um melanoma de coroide, utilizado para simular o tratamento por TTT, com uso do software comercial ANSYS-CFX®. Para as simulações computacionais, foi utilizado um laser de diodo (810 nm), com 3 mm de diâmetro do feixe e 400 mW a 1000W de potência, com tempo de aplicação de 60 s. A principal contribuição deste trabalho é que o humor vítreo foi considerado completamente liquefeito, o que é esperado à medida que a idade do paciente se torna mais avançada, e passível de movimento convectivo. Ao mesmo tempo, utilizou-se uma estratégia numérica para representar a frente móvel de destruição do tumor. Foram estudados os efeitos da convecção natural no humor vítreo sobre a temperatura e o dano térmico nos diversos tecidos do olho. Os resultados indicam que a presença de convecção no humor vítreo reduz os valores de temperatura e de dano térmico no tumor, embora não influencie significativamente a profundidade do dano térmico irreversível no melanoma de coroide. Tais efeitos aumentam gradualmente quando a viscosidade do humor vítreo diminui do seu valor normal até o valor da viscosidade da água. Também foram realizadas simulações para diversos valores de potência do laser, verificando que seu aumento provoca valores mais elevados de dano térmico, de profundidade do dano térmico e de temperatura na região do tumor. Para valores acima de 800 mW, o dano térmico na córnea foi maior do que o limite de dano térmico reversível, o que é indesejável. Por fim, ao comparar o modelo atual com um modelo 2D, os resultados indicam que este último pode subestimar a temperatura dos tecidos oculares.

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The system of partial differential equations governing miscible displacement consists of an elliptic subsystem stemming from conservation of mass, Darcy’s law and a transport equation expressing the conservation of the injected fluid (concentration). Although the concentration is the variable of greatest interest, the calculation of the velocity field requires special attention since it is responsible for transporting the mixture and, therefore, its production. Besides, it has a strong influence on the stability and accuracy of the transport equation when we are dealing with adverse mobility ratios, that is, the solvent is less viscous than the resident oil. These facts motivate us to seek for an efficient and accurate numerical method for the calculation of the velocity field (Darcy’s system) in order to reduce inaccuracies in calculating the concentration. In this thesis we propose a Stabilized Dual Hybrid Mixed (SDHM) method to approximate the Darcy subsystem. It is shown that this methodology is stable with usual finite element approximations, such as Lagrangian polynomial approximations, where all variables can be interpolated by equal-order functions. Furthermore, the SDHM method is conservative with appropriate parameters choices, and more accurate and robust when compared to the Galerkin method and postprocessing techniques. In order to verify the efficiency of the SDHM method, computer simulations are presented for the recovery processes of reservoirs for patterns flow problems in homogeneous and heterogeneous porous media, such as tracer injection and continuous injection. The SDHM method is employed together with a combination of the SUPG method in the spatial discretization, and an implicit finite difference scheme in the time for the concentration approximation of the transport equation. To verify the proposed methodology a semi-analytical approach is also employed which combines the SDHM approximation for velocity field with the concentration calculated analytically by the streamline method. The results obtained with the proposed formulation showed to be efficient, accurate and free of spurious oscillations even for highly heterogeneous scenarios, where we consider random permeability and adverse mobility ratios. A simulação numérica de deslocamentos miscíveis incompressíveis em meios porosos obteve avanços significativos nas últimas décadas, sendo uma ferramenta útil em várias áreas de interesse. Em particular, na indústria do petróleo, a utilização de simulação numérica permite obter dados qualitativos e quantitativos que podem proporcionar uma melhor compreensão dos processos físicos e químicos que ocorrem, por exemplo, em reservatórios de petróleo. O sistema de equações diferenciais parciais que regem o deslocamento miscível consiste em um subsistema elíptico, decorrente de conservação de massa, a lei Darcy, e uma equação de transporte, que expressa a conservação do fluido injetado(concentração). Embora a concentração é a variável de maior interesse, o cálculo do campo de velocidade requer uma atenção especial, uma vez que é responsável pelo transporte da mistura e, por conseguinte, a produção da mesma. Além disso,o campo de velocidades tem uma forte influência sobre a estabilidade e a precisão da equação de transporte quando estamos lidando com razões de mobilidade adversas. Esses fatos nos motivam a procurar um método numérico eficiente e preciso para o cálculo do campo de velocidade (subsistema de Darcy), a fim de reduzir as viii imprecisões no cálculo da concentração. Nesta tese propomos um método Misto Híbrido Dual Estabilizado (MHDE) para aproximar o subsistema de Darcy. Mostra-se que essa metodologia é estável com aproximações de elementos finitos usuais, tais como aproximações polinomiais de Lagrange, onde todas as variáveis podem ser interpoladas por funções de igual ordem. Além disso, o método MHDE é conservativo, para escolhas adequadas dos parâmetros de estabilização, e mais preciso e robusto em comparação ao método de Galerkin e técnicas de pós-processamento. Com o intuito de verificar a eficiência do método MHDE, são apresentadas simulações computacionais para os processos de recuperação de reservatórios, para problemas padrões de escoamentos em meios porosos homogêneos e heterogêneos, tais como: injeção de traçadores e injeção continua. É empregado o método MHDE juntamente com uma combinação do método SUPG, na discretização espacial, e um esquema implícito de diferenças finitas no tempo, para a aproximação da concentração da equação de transporte. Outra abordagem, denominada semianalítica,utilizada na validação da metodologia proposta, consiste na combinação do campo de velocidades obtidos pelo método MHDE com a concentração calculada analiticamente pelo método das linhas de fluxo. Os resultados obtidos com a formulação proposta mostram-se eficientes, acurados e livres de oscilações espúrias até para os cenários altamente heterogêneos, onde consideramos permeabilidades aleatórias e razões de mobilidades adversas.

CAPEs Neste trabalho, abordamos o processo de adaptação de malhas via “remeshing”, a adap-tação de malhas não estruturadas é usada aqui como uma ferramenta de alto desempe-nho que visa simultaneamente garantir a qualidade do resultado e reduzir o tempo com-putacional envolvido em toda a simulação. Usamos um simulador numérico de escoa-mento óleo-água em reservatório de petróleo em duas dimensões. Os fluidos e a rocha reservatório são tidos como incompressíveis e não se considera variações térmicas. Um método de volumes finitos centrado nos nós e baseado em uma estrutura de dados por arestas é empregado na discretização das equações de pressão e de saturação. Uma for-mulação agregada IMPES (Implicit Pressure Explicit Saturation) é utilizada para resol-ver as variáveis de saturação e de pressão. Aproximações de baixa e alta ordem na eq. de saturação e seus efeitos na propagação dos erros é calculada. A cada avanço no tem-po, novos campos de saturações e de pressões são avaliados e, em seguida, a qualidade destes resultados é estimada. Isto é realizado por meio de um estimador de erros basea-do na hessiana dos campos de pressão e de saturação, os quais são usados para calcular os erros local e global referentes a cada campo. Estes erros são comparados a uma tole-rância que irá definir se a malha deve ou não ser adaptada, onde e em que grau de refi-namento. O método de adaptação desenvolvido é o do “remeshing” ou redefinição de malhas, que se baseia na reconstrução total ou parcial da malha. A redefinição da malha é feita com o gerador open-source Gmsh que possibilita a criação da malha com contro-le do grau de refinamento local através da malha de “background”. Após a adaptação, os campos de pressão e de saturações são interpolados da malha anterior para a nova malha. Métodos lineares, quadráticos e adaptativos de interpolação são explorados e avaliados. Para um mesmo instante de tempo, o processo de adaptação se repete até que a qualidade dos resultados atinja a tolerância exigida. Para a integração e conformidade de todas estas etapas foi desenvolvido um software na linguagem C++ usando a biblio-teca para gerenciamento de malhas FMDB (Flexible Distributed Mesh Data Base). Foi efetuado um estudo da qualidade dos resultados obtidos e da eficiência da simulação quando da utilização do procedimento de adaptação de malhas desenvolvido em simula-ções de escoamento monofásico e bifásico óleo-água em meios porosos usando malhas não estruturadas 2D triangulares, considerando meios homogêneos e heterogêneos, iso-trópicos e anisotrópicos, comprovando a robustez da metodologia implementada nas simulações efetuadas. In this work, we address the mesh adaptation process using "remeshing" tehcnique. The adaptation of unstructured meshes is used here as a high performance tool intended both to ensure the quality of the result and to reduce the computational time involved in the whole simulation. The numerical simulation are performed using a two dimensional two phase flow numerical simulation of oil and water in porous media. Fluids and reservoir rock are considered incompressible and does not consider thermal variations are consid-ered. A cell centered finite volume method using an edge based data structure used for of the error the discretization of the pressure and saturation equations. The IMPES for-mulation (Implicit Pressure Explicit Saturation) composes the structure of the simula-tor.The hyperbollic saturation equation is discretized using either a first or higher order aproximation and the effect of such choice is analysed. After advancing the solution in time the obtained result is analysed using an a-posteriori erro indicator. At each time step a new field of saturation and pressure is evaluated, and then, the quality of results is assessed. This is accomplished by means of an estimator based on the Hessian of the fields of pressure and saturation, which are used to calculate both the local and global errors for each field. These errors are compared to a tolerance that will define whether or not the mesh must be adapted where the mesh density required. The adaptive method developed is refered to as "remeshing" and considers either total or partial reconstruc-tion of the mesh. The remeshing is done with the open-source mesh generator named Gmsh that enables to build mesh containing the level of refinement through the mesh refinement "background." mesh. After adaptation, the fields of pressure and saturations are interpolated from the previous mesh to the new mesh. Linear and quadratic interpo-lation methods are explored and evaluated. For the same level of time, the adaptation process is repeated until the quality of results reached the required tolerance. For the integration and accomplishement of all these steps a software was developed in C + + language and using the library for unstructured mesh management FMDB (Flexible Distributed Mesh Data Base) mesh. A study of the quality of the analysed results and of the efficiency of the simulation was performed when using the adaptive mesh procedure developed through the analysis of single-phase flow and two-phase oil-water in porous media using 2D models with triangular unstructured meshes. The analysed examples considers homogeneous and heterogeneous media, isotropic and anisotropic, demon-strating the robustness and efficiency of the methodology implemented for the cases analysed in the simulations performed.

FACEPE As técnicas de discretização de alta ordem podem ser vantajosas quando comparadas aos métodos upwind de primeira ordem (FOUM), para o modelamento do escoamento dos fluidos através dos reservatórios de petróleo, em que complexidades físicas, tais como heterogeneidade e anisotropia desempenham um papel importante, pois essas técnicas são capazes de produzir soluções muito menos difusivas. Este trabalho tem como objetivo aplicar o método espectral dos volumes finitos (SFVM), metodologia formulada por Z. J. Wang em 2002, para o modelamento 1D do escoamento de água e óleo em meios porosos. Este tipo de recuperação de óleo é conhecido como recuperação secundária. O modelo matemático, que caracteriza as equações de transporte em meios porosos, inclui os efeitos da gravidade e da pressão capilar, onde os fluidos são considerados imiscíveis. Neste modelo matemático, o termo advectivo é discretizado usando o SFVM de alta ordem, a capilaridade o termo difusivo é aproximada utilizando o método de diferenças finitas para os volumes de controle (CVFDM) de segunda ordem. A integração no tempo é feita utilizando o método de Runge-Kutta explícito de terceira ordem. Para satisfazer a condição tipo TVD (Total Variation Diminishing) e suprimir as oscilações perto das descontinuidades, um limitador de declividade é usado no estagio de reconstrução. Toda a formulação desenvolvida foi verificada numericamente através de uma variedade de problemas modelo. Sempre que possível, os resultados são comparados com a solução semi-analítica ou com outras soluções numéricas disponíveis na literatura. Os resultados obtidos no presente trabalho se comparam de maneira favorável com outras metodologias fornecidas por diferentes autores e apresentaram um bom desempenho, atingindo uma alta acurácia de forma eficiente. Os perfis de saturação para as ditas simulações mostram a correta captura da frente de saturação ou choque, e da onda de rarefação. Para o modelo simples analisado neste trabalho, o uso de métodos de alta ordem produz resultados acurados e eficientes, o que é ainda mais relevante se aplicações reais em grande escala são planejados. High order discretization techniques may offer advantages relative to standard FOUM (first order upwind methods) for the modeling of flows through petroleum reservoirs, in which physical complexities such as heterogeneity and anisotropy play an important role, because these techniques are capable of producing much less diffusive solutions. The purpose of this work is to apply a SFVM (spectral finite volume method) methodology formulated by Z. J. Wang in 2002, for the modeling 1D oil-water displacement through porous formations. This sort of oil recovery is known as secondary recovery. The mathematical model that characterizes the transport equations in porous media includes the effects of gravity and capillary pressure, where the fluids are considered immiscible. In this mathematical model the hyperbolic term is discretized using a high order SFVM, the capillary (diffusive term) is approximated using a second order CVFDM (control volume finite difference method). The integration in time is carried out using a third-order explicit Runge-Kutta method. In order to satisfy the TVD (total variation diminishing) condition and to suppress numerical oscillations near shocks, a slope limiter is used in the reconstruction stage. The entire formulation developed was checked numerically by a variety of problems model. Where it was possible the results are compared with the semi-analytical solution or other numerical solutions available in the literature. The results obtained in this study compare favorably with other methods provided by different authors and performed well achieving a high accuracy efficiently. Saturation profiles for said simulations show the correct capture of the saturation front (shock) wave and rarefaction. The simple model analyzed in this work shows that the use of high order methods yields accurate and efficient results, which is even more relevant if real large scale applications are devised.

Um esquema central em volumes finitos para a solução numérica de problemas hiperbólicos escalares bidimensionais, definido sobre domínios computacionais discretizados por malhas triangulares não estruturadas, é proposto. O método é bipartido (staggered), de modo que /e definida uma malha dual e auxiliar a malha de triângulos original para que se alternem a posição dos graus de liberdade numéricos entre duas iterações sucessivas. Neste sentido, o esquema proposto é híbrido, podendo ser encarado como um método centrado nas células triangulares da malha, a forma escolhida neste trabalho, ou centrado em seus n/os. O esquema é também conservativo, o que significa que deriva diretamente da lei de conservação da qual o problema diferencial provém, e assim está apto a aproximar satisfatoriamente soluções generalizadas. O método é inicialmente desenvolvido para lidar com leis de conservação convectivas não lineares e uniformes. Uma extensão, entretanto, é realizada para que ele seja também aplicável a problemas que envolvam a equação de transporte. São apresentadas tanto uma formulação de baixa ordem quanto Uma variação de alta resolução Essa /ultima criada a partir de reconstruções polinomiais Lineares por partes, célula a célula, limitadas geometricamente e não pelo uso de funções limitadoras. Por fim, esquemas derivados segundo o processo proposto são aplicados para solução de problemas hiperbólicos simples que possuam solução exata conhecida. A conformidade dos resultados obtidos sugere que a convergência desses esquemas não pode ser peremptoriamente refutada. Além disso, a ordem com que essa convergência é estabelecida é estimada através de testes.

Neste trabalho foi implementado um programa para simulação computacional de reservatórios de petróleo, baseado no ambiente OpenFOAM R , que é um sistema de desenvolvimento para programação científica orientado a objetos, paralelo, de alto nível e com alto desempenho. Esse ambiente de desenvolvimento oferece grande exibilidade quanto à escolha dos métodos de dicretização, interpolação e solução dos sistemas resultantes. O OpenFOAM R é uma biblioteca da linguagem C++ que, através de suas várias ferramentas, pode ser usada para a solução de problemas envolvendo equações diferenciais parciais. Para a solução o ambiente emprega o método dos volumes finitos, usando malhas estruturadas ou não estruturadas. Neste trabalho foram usadas apenas malhas estruturadas. O simulador desenvolvido trata problemas descritos pelo modelo de escoamento bifásico imiscível água-óleo que é descrito por um sistema de equações diferenciais parciais altamente não-lineares, obtidas através da conservação da massa para cada fase, e do uso da Lei de Darcy para relacionar fluxos de massa com gradientes de potencial fluido. Para a integração temporal das equações é empregado o método IMPES, no qual o sistema composto pela equação de conservação de massa e pela Lei de Darcy é reescrito em termos de uma equação para a pressão de óleo, que é resolvida implicitamente, e uma equação para a saturação de água, que é resolvida explicitamente.

A simulação de escoamentos multifásicos em meios porosos impõe vários desafios de ordem numérica devido a uma série de fatores, como os meios altamente anisotrópicos e heterogêneos tratados neste tipo de análise, as Equações Diferencias Parciais (EDP) de natureza acoplada elíptica-hiperbólica que descrevem o fenômeno, entre outros. Uma vez definidas as formulações matemáticas e numéricas a serem utilizadas para modelar adequadamente o escoamento, encontra-se outra dificuldade na codificação destes métodos, já que, usualmente, despende-se um tempo considerável para o desenvolvimento de programas de computador que implementem formulações para casos gerais ou complexos. Este trabalho apresenta a implementação de um software criado utilizando a linguagem Python e a ferramenta computacional FEniCS para a geração automática de código de baixo-nível em C++ aplicado na solução numérica de escoamentos mono- e bifásicos em meios porosos usando o Método dos Elementos Finitos (MEF). Foram testados o MEF de Galerkin e o Método dos Elementos Finitos Mistos (MEFM) para a solução da equação da pressão (pressão e velocidade no caso do MEFM) e o MEF com estabilização via Streamline Upwind Petrov Galerkin (SUPG) e operador de captura de choque para a equação da saturação. Para a solução do sistema de equações lineares provenientes do MEF de Galerkin foram utilizadas técnicas de aceleração de convergência via Método Multigrid Algébrico (AMG). Os métodos descritos neste trabalho são gerais o suficiente para lidar com problemas tridimensionais, heterogêneos e anisotrópicos. Exemplos são apresentados e resultados discutidos para problemas uni- e bidimensionais com domínios homogêneos e heterogêneos com tensores de permeabilidade iso- e anisotrópicos. A comparação favorável dos resultados obtidos com soluções analíticas e referências da literatura demonstra o potencial da ferramenta desenvolvida para a simulação de escoamentos em meios porosos.

CNPq Até o presente momento, o protocolo clínico para o tratamento de pacientes com melanoma de coroide ainda não foi totalmente estabelecido. Atualmente, existem alguns métodos de tratamento que variam de acordo com as características do tumor, tais como as dimensões, pigmentação, localização, além do envolvimento dos tecidos circundantes e outros órgãos que podem ser afetados. Entre as modalidades de tratamento, a termoterapia transpupilar (TTT) com laser infravermelho tem despertado grande interesse, principalmente porque é um tratamento não invasivo e pode ser facilmente aplicado. Durante o procedimento de TTT, a radiação laser atravessa o meio ocular anterior, praticamente sem absorção e atinge o melanoma de coroide causando aquecimento do tecido tumoral. O aumento da temperatura, com valor final variando entre 45 e 65 °C é responsável pelo dano térmico às células do tumor que ocorre devido à desnaturação das moléculas presentes nas células e no fluido extracelular. O dano térmico provoca alterações no tecido biológico conduzindo a uma coloração esbranquiçada. Este efeito é utilizado como um indicador para interromper a aplicação do laser. Como a TTT ainda não é um procedimento único para o tratamento de melanomas oculares, uma função dano térmico pode ser definida e utilizada para determinar a quantidade de energia da radiação laser necessária para o tratamento dos tumores. Este trabalho apresenta um modelo bidimensional do olho humano para investigação da evolução da temperatura e do dano térmico associado nas camadas do olho e no melanoma de coroide durante a TTT. Para determinar o campo de temperaturas, foi desenvolvido um modelo que utiliza a Equação da Biotransferência de Calor de Pennes (BHTE – Bioheat Transfer Equation), na qual o termo fonte inclui um termo de fonte/sumidouro que responde pelo calor transferido por meio da perfusão sanguínea além de outro atribuído ao calor metabólico. Os modelos de Birngruber e de Henriques e Moritz foram utilizados para determinar a função dano térmico durante a termoterapia transpupilar a laser (TTT). As dimensões do olho e do tumor, para o caso estudado, foram obtidas a partir de uma imagem de ultrassom de um paciente. Este tipo de exame forneceu as dimensões do olho e do tumor. O software comercial de CFD (Computational Fluid Dynamics) ANSYS-CFX®, que emprega o Método dos Volumes Finitos (MVF), foi utilizado nas análises do modelo. Foram utilizadas várias potências de saída do laser, dois valores para o diâmetro do feixe, duas condições de contorno sobre a superfície externa da esclera e vários tempos de exposição à radiação do laser. Foram analisadas as influências da condutividade térmica do cristalino e do coeficiente de absorção no tumor sobre o dano térmico. Para simular o encolhimento do tumor ao longo do tratamento, foi adotada uma estratégia que consistiu em trocar as propriedades do tumor pelas propriedades equivalentes do humor vítreo. Os resultados das temperaturas e da profundidade do dano térmico, no regime transitório, para o olho irradiado com o laser estão em acordo com os presentes na literatura disponível.

No presente trabalho apresentamos uma metodologia numérica para a discretização das equações que descrevem o escoamento bifásico de óleo-água em reservatórios de petróleo heterogêneos e anisotrópicos. Estas equações são resolvidas através da metodologia IMPES (Implicit Pressure Explicit Saturation) que é, em particular, um método segregado para tratar escoamento bifásico (água-óleo) descrito por um modelo matemático composto por uma equação elíptica para pressão e uma equação hiperbólica para saturação. A fim de resolver a equação de saturação explicitamente, utilizamos um método clássico do tipo Upwind (ponderação amontante) de primeira ordem. Para discretizar a equação de pressão, implementamos o Método de Volumes Finitos Centrados na Célula, Cell-Centered, proposto por Zhiming G. and Wu J., e projetado para lidar com meios altamente heterogêneos e anisotrópicos em malhas poligonais em geral. O método que apresentamos no presente trabalho é um tipo de método Multipoint Flux Approximation Method (MPFA) porque uti-liza múltiplos pontos para aproximar o fluxo na interface entre as células. Neste método, as pressões nos vértices (nós) são tratadas como uma combinação linear das pressões centradas nas células vizinhas, reduzindo, completamente, a formulação a um esquema cell-centered. A derivação dos pesos explícitos permite que o método se torne mais robusto. Além disso, os pesos explícitos não dependem da descontinuidade nem da topologia da malha. O método tem as seguintes características: satisfaz o critério de linearidade (linear por partes); apresenta a taxa de convergência de segunda ordem para a formulação implícita de pressão e de primeira ordem para o fluxo; e admite um tensor de permeabilidade arbitrário. Os resultados obtidos são promissores, indicando a potencialidade da formulação adotada para a simulação de escoamentos bifásicos em reservatórios de petróleo heterogêneos e anisotrópicos.