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The Matrix E_{ϕ}^{9} is a tool that can be used for the solution of complex problems, taking its form of reducing numbers and classifying them, with these properties we can create groups and observe their properties to create tables, which allow us to see the behaviour of the operations in order to create predictions of results, through a special algebra that allows us to better understand what happens in the operations, La matrice E_{ϕ}^{9} est un outil qui peut être utilisé pour la résolution de problèmes complexes, en prenant sa forme de réduction des nombres et en les classant, avec ces propriétés nous pouvons créer des groupes et observer leurs propriétés pour créer des tableaux, qui nous permettent de voir le comportement des opérations afin de créer des prédictions de résultats, à travers une algèbre spéciale qui nous permet de mieux comprendre ce qui se passe dans les opérations

In this paper we propose a general formula for calculating the digital root of any non-positive integer, and express this formula in two forms including one related to the floor function. We also present some properties of congruences that manifest themselves when working with negative digital roots ahd its relation to modular arithmetic., Dans cet article, nous proposons une formule générale pour calculer la racine numérique de tout entier non positif, et exprimons cette formule sous deux formes, dont une liée à la fonction plancher. Nous présentons également certaines propriétés des congruences qui se manifestent lorsque l'on travaille avec des racines numériques négatives et leur relation avec l'arithmétique modulaire.

We propose a new sequence-based algorithm to track and find solutions to the Diophantine equation $X^3+Y^3+Z^3=k$, for a fixed integer $k > 0$. &nbsp