Search

ÖZET Bu çalışmada değişken kalınlıklı halka plakların, radyal doğrultuda etkiyen uniform düzlem içi yükler altında, statik ve dinamik stabilitesi incelenmiştir. Bu 3maçla sonlu elemanlar metodu kullanılmıştır. Plağın sonlu eleman modeli kurulurken dairesel simetri özelliği dikkâte alınmış ve plağın sektör tipi eşparametrik elemanlardan oluşan, daire dilimi şeklindeki simetrik bir parçası modellenerek dalga yayılım tekniği ile plağın bütünü için analiz gerçekleştirilmiştir. Bu yaklaşım bilgisayar kullanımında gerek en az düzeyde hafıza gereksinimi göstermesi, gerekse hızlı sonuç alınması bakımından önemli üstünlüklere sahiptir. Eleman kalın ve ince plaklar için kullanıma uygundur. Halka plağın kalınlığı, yarıçap doğrultusunda h=hm3X(r/r0)+5 bağıntısına göre dış kenara doğru kalınlığı artarak veya h=hmax(r/ri)-*' bağıntısına göre kalınlığı azalarak değişmektedir. Yapılan çalışmada değişken kalınlıklı halka plakların statik stabilitesi incelenirken, kalınlık değişi miride ki bu iki farklı durumun, katsayısı ndaki artışın, sınır şartlarının ve delik büyüklüğünün, kritik burkulma yüküne ve burkulma modlarına etkisi araştırılmıştır. Dinamik stabilite analizinde bu faktörlerin ve sabit yükün dinamik kararsızlık bölgelerine etkisi incelenmiştir. Kullanılan modelin doğruluğunun kanıtlanabil mesi için elemanın geometrisi değiştirilerek kalınlığı lineer olarak değişen halka plakların serbest titreşimleri ve statik stabilitesi ile ilgili elde edilen sonuçlar, diğer araştı rmacıların çalışmalarıyla mukayese edilmiş ve bulunan değerlerin birbirine yakın olduğu görülmüştür. Geliştirilen bilgisayar programıyla karmaşık kalınlık geometrisine sahip dairesel plakların statik ve dinamik stabilite karakteristiklerini incelemek mümkündür. 3d STATIC AND DYNAMIC STABILITY OF VARIABLE THICKNESS ANNULAR PLATES SUMMARY Recenty, lightweight stuctures have been extensively used as fundamental structural elements in various industrial fields. Therefore the buckling and parametric resonance analysis of plates have increased in practical importance. In this study the static and dynamic stability of annular plates subject to in- plane loads is investigated. It is a well known fact that when in- plane load reaches to a critical value, the plate looses its orijinal shape and out-of- plane deformations take place. This is called static stability. The load at which buckling occurs is thus a desing criterion for the plate. The other well known fact is that a plate subject to in- plane forces generally experience forced in- plane vibrations and when exciting frequencies overlap with the natural frequencies of the plate, resonance will occur. Apart from this phenomena, for certain values of exciting frequencies an entirely different type resonance will occur in transverse direction and annular plate is said to be dynamically unstable. This type of resonance is also called parametric resonance. In the dynamic stability problem the spectrum of values or the parameters causing this unstable motion is investigated and the regions of the dynamic instability is determined. Constructions of the light structures in the present day technology makes it essential to predict these dynamically unstable regions for different structural elements In the present study variable thickness sector type isoparametric annular plate element is employed to investigate the static and dynamic stability problem. All the applications presented in this study are analyzed using the wave propagation tecniques. The advantage of this method is that only a single sub-structure is represented by a finite element model. The thickness is either increased or decreased in outward radial direction by the equations h=hmax( r/r0)+x or h=nmax(r/n)-* respectively. The effect of thickness variation, boundary conditions, hole size on the critical buckling load and buckling mode is investigated. The instability regions of annular plates with parobolic thickness are determined for wide range of exciting frequencies using Bolotin Method's with effect of static forces taken into account. The choice of the element in sector form enables the structural analysis to solve dynamic stability of annular plates with sectoral cut-outs. The sector element developed İ3 based on the Mirdlin plate theory. The element, which is shown in Figure 1, has 8 nodes, 24 degress of freedom and has variable thickness. The degress of freedom per node are the transverse displacement, and the radial and angular slopes. Numerical integration is used to evaluate the kinetic and potential energies of the element. The element yields good results for both thin and thick plate. The sector element is referred to a set of cyli ndrical coordi nates, r, 8 and z, and a set of non-dimensional curvilinear coordinates tj, Ç, Ç with the following relationship between the two spaces [26]: Xu! = 0.5q0.5(-iî+ıj2)h1 +(l-r2)]i2 +0.5(r+r2)li3 r=0.5(r3-r1)+r1+0.5(r3-r1)n 8 = -6% 6T 5- T] O: Displacerr^nt rı«te o : Geometric node (D Figure 1. Isoparametric sector element. Let Ni(^ rj), i=l, 2,, 8 be the tvo dimensional parabolic stepe functions of the isoparametric element. Also let Vj, §/, arid % be the transverse displacement, radial slope and angular slope of the element nodes, respectively. With reference to the Mindlin's plate theory, the displacement field within the element is approximated by [26] 0 sNiCtn) 0 O O -zNi&ri) Ni(tn) O O. ^i (2) where u, v, v are the deformations in the r, e, z directions respectively and shape functions of the isoparametric element are [25] Hi(tn) = /v +&»)fl +no)«o +no - *) i= 1,3,5,7 Ni(tn)=i(ı-^)(i+îio) Ni(tn)=;(i+^o)(ı-n2) i =2,6 i =4,8 (3) XillThe basic assumptions of thick plate theory as presented by Mindlin are 1 25]: 1: The deflection of the mid-surface of the plate is small in comparion with the plate thickness. 2: The transverse normal stress is negligible. 3: Normals to the mid-surface of the plate before deformation remain straight, but not necessarily normal to the midsurface, after deformation. With assumption 1 and 2, strain energy of the plate is given by [26] U=^Jv(e]T[D][c]dv (4) where V is the volume and, in cylindrical coordinates. [c]T = [err e* 2t# 2e` 2^] (5) and [D] = (6) The strain-displacement relations are Hz 2C T2 2e, 9zJ i « i-i n O 0 3_ 3r 12. r 36 J Using assumption 3, the displacement can be expressed in the form (7) (8) where y, $ are the rotations about the r and 8 axes and w is the normal displacement of the middle plain. Equations (4) to (8) together give the strain energy. XIVThe kinetic energy is given by [24] lf f'.2.2.2^ T=- pi +y +v dv (9) where u, v, w, are the velocities. The additional strain energy in bending due to in- plane stress trr, Tre, Tee is 126] lf f (b&f 3dl3d fl3df dv (10) Substituting equations (1) arid (2) into equations (4), (9) and (10) give the stiffnes, mass and stability (geometric stiffness) matrices respectively. Numerical integration using (2x2), (3x3), arid (2x2) Gaussian meshes is used. Figure 2. The in- plane loads acting on the annular plate. The in-plane loads are assumed to be acting on the annular plate along the inner and outer edges as shown in Figure 2. Under the uniform loads per unit length of P^ snd Pout respectively, the force distribution in the radial and angular directions are given by [27] XVr2r2 1 Pr2-Pjî n r2-r2(W ^r2 rg-r? Pf«=0 When a flat plate is subjected to periodic in- plane forces the governing matrix equation of motion is [MJ{Y)+[Kj{t}-[Kj{q} = 0 (12) where [M] = Mass matrices of total sturucture, [K*] = Elastic stiffness matrix of the total stucture, [Kg] = Stability (geometric stiffness) matrix of the total stucture which is a function of the axial load P. It is customary to express the periodic radial force as follows PW = Po+ptCOSCDt }o+ I {a^sin- +{^003 - (17) where {a^} arid {ft^} are the vectors independent of time. Substitution of equations ( 1 6) and ( 1 7) into equation ( 1 5) leads to eigenvalue system for the dynamic stability boundary. For the solutions with period 2T ^]-^*[K«s]±pP*[K«t]-TtMl = 0 for the solutions period T [ig-c1 {q}` ^- T~- ^ (q>. Wn-i Figure 3. Rotationary periodic structure and an identical substructure XViilThe symmetry of the problem makes it possible to apply the wave propagation technique ifa repetitive section of the plate as shown in Figure 4. is considered then it is possible to classify three groups of degrees of freedom {qi_}, {qi} and {qR} respectively. If the static and dynamic components of the in- plane force P acts in the same manner, the stability boundaries can be written as follows for repetitive structure [M]{q'} +[[K]- (oP*+pP*cos wt)[S]]{q} = {F} (27) The first approximation of the dynamic unstabity regions for the repetitive structure can be determined from [[K]-^±ipjp*[Sl-^[M]j{ii}= {F} (28) 1 Element R/4 Element Figure 4. Repetitive structure of the annular plate with 4 along the radial and 1 element along the annular direction For a repetitive structure degress of freedom and the forces acting will be expressed in vector form as follows. {«} = Ql «E (F} = 1*. A. (29) I n a fi nite cyclic structure duri rig a conti nuous wave propagation { F}=0. Also the relation between the two repetitive substructures is such that [37] {fcl-^Cfc} (30) ow- mi (31) xixwhere >ı is complex wave propagation constant. If the equations (28) and (30) are used together with the {F}=0 constraint then the dynamic stability equation for a repetitive structure becomes. [Kr* 3-?g si}M m the submatriees [Kr] and [K1] in their explicit form are as follows. 1X00] = Kll +krr +Ia3 Figure 5. Thickness variation of the annular plate for positive A S'alues

Sonlu elemanlar yöntemi, matematikte sınır koşulu problemlerinin çözümünde kullanılan yaygın bir yöntemdir. Yaygınlığı ve uygulamalarda göstermiş olduğu esneklikler nedeniyle ticari yazılım geliştiriciler sonlu elemanlar paket programları geliştirmişler ve farklı disiplinler için kullanılma sunmuşlardır. Mekanik titreşim problemleride bu paket programlar sayesinde çözülebilmektedir. Ancak yapısı itibariyle titreşim özel bir alandır. Bu nedenle bazı noktaların dikkate alınması gereklidir. Bu çalışmada endüstriyel bir makinenin analizi yapılırken çalışma frekansları üzerinden nelere dikkat edilmesi gerektiği ve ayrıca makinenin karşılaşacağı harmonik titreşimlerin nasıl analiz edileceği incelenmiştir. Sistemlerin doğal frekansları ile yüklemenin frekansları çakıştığı zaman rezonans denen durum ortaya çıkmaktadır ve sistemleri zarara uğratmaktadır. Çalışmanın ilk kısımlarında sonlu elemanlar teorisinin temelleri ve tarihçesi işlenmiş ve ayrıca neden diğer nümerik yöntemlere göre tecih edildiği güvenilir kaynaklarla ifade edilmiştir. Daha sonra Teorinin titreşim problemlerine nasıl çözüm sağladığı hem ayrık sistem hem de sürekli sistemler için irdelenmiştir. Elastik bir çubuğun boyuna titreşimleri irdelenerek titreşim kavramları sürekli sistemler için ifade edilmeye çalışılmıştır. Sonrasında endüstriyel bir makinenin nasıl ticari paket program vasıtası ile analiz yapılabileceği ifade edilmiştir. Bu kısımda modelin hazırlanması, tanımlamalar ve sınırlamalar anlatılmıştır. Son olarak ise bu makinenin harmonik titreşimleri modellenmeye çalışılmıştır. Sonuç olarak elde edilen rezonans frekanslarının nasıl tehlike arz edebileceği ve çalışma frekansları ile birlikte çakışmaları durumunda nasıl bir durumun ortaya çıkabileceği ve bunu engellemek için kullanılabilecek yöntemler sonuçları değerlendirilirken ifade edilmiştir. The finite element method is a method to solve boundary value problems in mathematic. As of its prevalence software vendors developed finite element commerical package programs and offer for different diciplines. Also, mechanical vibrations can be solved by these packages. However, based on its unique situation mechanical vibrations is a special area. Therefore, some of points need to clarify and examined. This study shows how an industrial machinery can be examined for its resonance frequencies and harmonic vibrations during operation. If systems natural frequencies instersect with excitation frequencies that occurs resonance and resonance leads to failuer of systems. The first phase of study explains finite element method fundementals and history. Also it explains why FEM has advantage comparing to other numerical methods based on trusted sources. On the other hand, how FEM contribute to solve vibration problems is examined. Bar compoanent examined via FEM to solve its longitudional vibrations. After that a real project studied by a commerical FEM software. This topic includes preparation of model, definitions and boundaries. Lastly, harmonic vibration examined. Finally, how resonance frequencies can be dangerous and intersection with operation frequencies situation explained and offered a solution to solve such kind of cases. 129

Tez (Yüksek Lisans) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2007, Thesis (M.Sc.) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 2007, Düzlemsel mekanizmalarda atalet kuvvet ve momentlerinin dengelenmesi amacıyla mekanizmaya ilave edilecek olan noktasal kütle ve kütlesel atalet momentleri, indirgeme metoduyla uzun formülasyonlara gerek kalmadan elde edilebilmektedir. Atalet kuvvet ve momentlerinin dengelenmesi mekanizmanın kütle merkezinin hareketsiz kalması ve keyfi bir noktaya göre açısal momentumun zamana göre türevinin sıfıra eşit olması koşulları altında çözümlenir. Çözüm, fiziksel olarak mekanizmanın belirli noktalarına kütle ve dişli sistemleri ilave edilerek gerçekleştirilmektedir. Formülasyonlar, döner ve prizmatik eleman çifti içeren mekanizmalara uygulanarak sayısal sonuçlar elde edilmiştir. Dengeleme için kullanılması gereken kütle ve dişlilerin kütlesel atalet momenti değerleri tablolar halinde verilmiş, mekanik sistem simülasyonu programı ADAMS ile bulunan dengeleme öncesi ve sonrası zemine aktarılanlar atalet kuvvet ve momentlerinin KOD değerleri elde edilmiştir., The point mass and moment of inertia added to the mechanism for the shaking force and shaking moment balancing can be found by an equivalance method avoiding the need for any lengthy derivation in planar linkages. In this method, masses and moment of inertias of moving links dinamically replaced according to equivalence method. Shaking force and shaking moment is completely balanced when the location of centroid is unaltered and the time rate of change of total angular momentum of all the moving links is equal to zero. This is physically possible by using point masses and gears in the mechanisms. After this method is applied to mechanisms which had revolute and prismatic joints, numerical results are presented. The values of point masses and moment of inertias which must be used for complete balancing and by the help of mechanical system simulation software package ADAMS, the numerical results of shaking forces and the shaking moments applied to ground before balancing and after balancing are calculated and given in tables., Yüksek Lisans, M.Sc.

Tez (Doktora) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2005, Thesis (PhD) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 2005, Bu çalışmada sabit kalınlıklı radyal ve çembersel çatlaklı halka plakların serbest titreşimleri sonlu elemanlar yöntemiyle incelenmiştir. Çatlağın açık ve ilerlemeyen bir yapıda olduğu kabul edilmiştir. Eleman içerisindeki çatlak, terimleri kırılma mekaniği yardımıyla hesaplanabilen bir ek esneklik matrisi ile modellenmiştir. Radyal ve çembersel çatlaklı sektör eleman, dört düğüm noktalı ve her bir düğüm noktasında üç yer değiştirmeye sahiptir. Küçük yarı sektör açısı seçilmesi durumunda, sektör ve yamuk elemanın geometrik yakınlığından dolayı, radyal ve çembersel çatlaklı sektör elemanın esneklik matrisleri yamuk plak elemanın formülasyonları kullanılarak elde edilmiştir. Hazırlanan bilgisayar programı ile çatlağın konumu, boyu, sayısı gibi parametreleri değiştirilerek çeşitli sınır şartları için halka plakların doğal frekansları ve mod şekilleri incelenmiştir. Geliştirilen elemanla elde edilen sonuçlar literatürdeki teorik ve deneysel sonuçlarla karşılaştırılmış, uyumlu sonuçlar elde edildiği görülmüştür. Çatlağın sayısının, boyunun ve konumunun, halka plağın doğal frekansları ve mod şekilleri üzerine değişik etkileri olmaktadır. Sunulan radyal ve çembersel çatlaklı sektör elemanların çatlaklı halka plakların dinamik analizlerinde kullanılabilirliği görülmüştür., In this study, free vibrations of annular plates with radial and circumferential cracks are investigated by means of finite element method. The thickness of the used plate is uniform along the whole body. The cracks occurring in the plate are non-propagating and open. The crack in the element was modeled by an additional flexibility matrix, the terms of which were calculated using fracture mechanics. The sector type element with radial through and circumferential crack of four nodes and three degrees of freedom at each node is considered. In the event of the selection of small half sector angle, taking into account the closeness of the geometries of the sector and trapezoidal type element, the flexibility matrices of the sector type element with radial and circumferential crack are derived by means of the flexibility matrix of the trapezoidal type element. With the present computer program, the natural frequencies and mode shapes of annular plates are examined for different length, number of cracks and locations of cracks. The theoretical results are also obtained with different boundary conditions. The obtained results of improved elements are compared with the theoretical and experimental results in the literature. The results are in good agreement with the results in the literature. It is observed that the changes of the length, location and number of cracks have various effects on the natural frequencies and mode shapes of plate. It has been shown that the present sector type element with radial and circumferential crack can be used for the dynamic analysis of annular plates with cracks., Doktora, PhD

108

Tez (Yüksek Lisans) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2003, Thesis (M.Sc.) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 2003, Bu çalışmada, Lagrange-Newton yöntemi ve Cholesky ayrıştırması tekniği ile dört-buçuk ve krank-biyel mekanizmaları için yörünge sentezi problemi çözülmüş ve optimum mekanizma boyutları elde edilmiştir. Optimizasyon probleminde amaç fonksiyonu olarak, verilen ve üretilen koordinatlar arasındaki hatanın kareleri toplamı kullanılmıştır. Optimum yörünge sentezi, hata fonksiyonunun mekanizmanın bağ şartları altında minimum yapılması problemi olarak ele alınmıştır. Yöntemin doğrulanması için, krank-biyel ve dört-buçuk mekanizmaları için, bir bölümü doğru parçası olan biyel eğrisi, simetrik biyel eğrisi, bir bölümü çember parçası olan biyel eğrisi, kesişen biyel eğrisi örnekleri çözülmüş ve elde edilen noktalarla istenen noktalar karşılaştırılmıştır. Elde edilen sonuçlarla, yöntemin farklı mekanizmalar ve farklı karakterdeki yörüngeler için uygulanabilir olduğu görülmüştür., In this study using the Lagrange-Newton method with Cholesky factorization, optimal lengths are obtained for path-generating four-bar and slider-crank mechanism. The objective function used in the optimization is the sum of the squares of differences between the given coordinates and the one generated by the obtained mechanism. Synthesis of path-generating mechanisms is considered as an optimization problem under equality constraints. The constraints used in the optimization are the loop closure equations. In order check the applicability and accuracy of the formulation, dwell period from straight line path, symmetrical motion path, dwell period from circular arc path, intersection path problems are solved and results are in good agreement with given points of desired path. It was found that the method is well suited for many different path generation problems is synthesis of mechanism., Yüksek Lisans, M.Sc.