Search

We investigate the structure of solutions of the matrix linear polynomial equation $A(\lambda)X(\lambda)+B(\lambda)Y(\lambda)=C(\lambda),$ in particular, possible degrees of the solutions. The solving of this equation is reduced to the solving of the equivalent matrix polynomial equation with matrix coefficients in triangular forms with invariant factors on the main diagonals, to which the matrices $A (\lambda), B(\lambda)$ \ and \ $C(\lambda)$ are reduced by means of semiscalar equivalent transformations. On the basis of it, we have pointed out the bounds of the degrees of the matrix polynomial equation solutions. Necessary and sufficient conditions for the uniqueness of a solution with a minimal degree are established. An effective method for constructing minimal degree solutions of the equations is suggested. In this article, unlike well-known results about the estimations of the degrees of the solutions of the matrix polynomial equations in which both matrix coefficients are regular or at least one of them is regular, we have considered the case when the matrix polynomial equation has arbitrary matrix coefficients $A(\lambda)$ and $B(\lambda).$, Досліджується структура розв'язків матричного лінійного поліноміального рівняння $A(\lambda)X(\lambda)+B(\lambda)Y(\lambda)=C(\lambda),$ зокрема можливі степені цих розв'язків. Розв'язування цього матричного поліноміального рівняння зводиться до розв'язування еквівалетного матричного поліноміального рівняння з матрицями-коефіцієнтами у трикутних формах з інваріантними множниками на головних діагоналях, до яких зводяться поліноміальні матриці $A (\lambda), B(\lambda)$ і $C(\lambda)$ напівскалярними еквівалентними перетвореннями. На основі цього вказано межі для степенів розв'язків матричних поліноміальних рівнянь. Встановлено необхідні і достатні умови єдиності розв'язку мінімального степеня. Запропоновано ефективний метод побудови розв'язків мінімальних степенів цих рівнянь. На відміну від відомих результатів про оцінки степенів розв'язків матричних поліноміальних рівнянь, в яких обидва або принаймні один із коефіцієнтів є регулярною матрицею, у цій статті розглянуто випадок матричного поліноміального рівняння з довільними коефіцієнтами $A(\lambda)$ і $B(\lambda).$

A method of constructing of solutions of matrix Diophantine equations $AX + BY = C$ over commutative domains of finitely generated principal ideals is suggested. The formulas of general solutions of such equations in some cases is proposed. The criterion of uniqueness in the proper sense of their solutions is established., Предложен способ построения решений матричных диофантовых уравнений $AX +BY = C$ над коммутативными областями конечно порождённых главных идеалов. Приведены в некоторых случаях формулы общих решений таких уравнений и установлен критерий однозначности в надлежащем смысле их решений., Запропоновано спосiб побудови розв’язкiв матричних дiофантових рiвнянь $AX+BY =C$ над комутативними областями скiнченно породжених головних iдеалiв. Наведено упевних випадках формули загальних розв’язкiв таких рiвнянь та встановлено критерiй однозначностi в належному сенсi їх розв’язкiв.