Search

Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Florianópolis, 2020. Nesta dissertação descreve-se sobre os quadrados mágicos, citando exemplos de alguns tipos e dando enfoque a regra de formação do \"Quadrado Mágico Tradicional ou Puro\", que possui além das características básicas, outros aspectos, como os números usados para o seu preenchimento são consecutivos e começa a partir do número 1 até o número n². Não é possível ter uma única regra para a construção dos mesmos. Dependendo do número de linhas/colunas que possuem, tem-se três maneiras de preenchê-los: o primeiro para os quadrados mágicos com o número de linhas/colunas ser ímpar (3x3; 5x5; 7x7; ...), para os quadrados mágicos com o número de linhas/colunas par, múltiplo do número 2 e não ser múltiplo do número 4 (6x6; 10x10; 14x14; ...) e os quadrados mágicos com o número de linhas/colunas ser um número par e múltiplo de 4 (4x4; 8x8; 12x12; ...). Na sequência apresenta-se alguns exercícios resolvidos interessantes, envolvendo quadrado mágico onde, você professor pode utilizar com seus alunos em sala de aula. Abstract: This dissertation describes the magic squares, citing examples of some types and focusing on the rule of formation of the \"Traditional or Pure Magic Square\", which has, besides the basic characteristics, other aspects, such as the numbers used to fill it. consecutive and starts from 1 to n². It is not possible to have a single rule for their construction. Depending on the number of rows/columns they have, there are three ways to fill them: the first for the magic squares with the number of rows / columns being odd (3x3; 5x5; 7x7; ...), for magic squares with the number of rows / columns even, a multiple of the number 2 and not a multiple of the 4 (6x6; 10x10; 14x14; ...) and magic squares with the number of rows / columns being an even and multiple number of 4 (4x4; 8x8; 12x12; ...). Following are some interesting solving exercises involving magic square where you teacher can use with your students in the classroom.

In this work we study the Latin Squares and the Magic Squares. We explore the mathematical teory and, above all, we study the link between theses objects. We bring the necessary information to support the teacher in the usage of Latin Squares and Magic Squares as content. Our goal is to discuss the usage of games and challenges like didatic tools, and to find a proposal to applicate him in the classroom. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES Neste trabalho fizemos uma pesquisa bibliográfica sobre os Quadrados Latinos e os Quadrados Magicos. Mostramos a teoria matematica envolvida e, sobretudo, estudamos a ligação entre esses objetos. Trouxemos as informações necessárias para subsidiar o professor a usar Quadrados Mágicos e Quadrados Latinos como con- teúdos. Nosso objetivo é discutir o uso de jogos e passatempos como ferramenta didática e chegar a uma proposta para utilização desses objetos em sala de aula.

Clifford Alan Pickover nasceu a 15 de agosto de 1957. Este americano é um reconhecido divulgador da Ciência e da Matemática, tendo publicado até ao momento mais de quarenta livros em mais de uma dúzia de línguas. (...) O principal interesse de Pickover está em encontrar novas maneiras de expandir a criatividade, estabelecendo conexões entre áreas aparentemente díspares do esforço humano, como a Arte, a Ciência e a Matemática. (...) Em 1994, Pickover introduziu uma nova classe de números, de certa forma peculiar: os números vampiros. (...) Um número vampiro é um número natural, v, com um número par de algarismos (n), que pode ser escrito como um produto de dois números naturais, x e y, cada um com metade do número de algarismos (n/2) e de forma a que os algarismos utilizados sejam os mesmos (eventualmente escritos por ordem diferente). (...) Na fatorização de um número vampiro, apenas um dos fatores pode ser múltiplo de 10 (ou seja, apenas um dos fatores pode ter o 0 como algarismo das unidades). Assim, 1260 é um número vampiro uma vez que 1260 = 21x60, mas 126 000 já não é um número vampiro apesar de 126 000 = 210x600. Isto porque, no segundo caso, ambos os fatores são múltiplos de 10. (...) Pickover também é adepto de quadrados mágicos. (...)

Benjamin Franklin (1706-1790) foi jornalista, cientista, inventor, homem de estado e diplomata. (...) Benjamin Franklin era um entusiasta de quadrados mágicos. Chegou mesmo a criar os seus próprios quadrados. O mais conhecido é o quadrado 8 por 8 apresentado na imagem. Numa carta publicada em 1769, Franklin refere: "Na minha juventude, divertia-me a construir quadrados mágicos, de modo a que a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada uma das duas diagonais principais fosse sempre a mesma; com o passar do tempo, conseguia criar quadrados mágicos, de tamanho razoável, tão depressa quanto conseguia escrever os números nas suas linhas e colunas; mas, por não estar totalmente satisfeito com estes quadrados, que eram demasiado fáceis, impus a mim mesmo o desafio de construir outro tipo de quadrados mágicos, que apresentassem propriedades mais ricas e que constituíssem, assim, um maior estímulo à curiosidade." Em relação ao quadrado mágico da imagem, são utilizados todos os números naturais, do 1 ao 8x8=64, uma e uma só vez. Além disso, a soma dos números de cada linha e de cada coluna é sempre igual a 260, a constante mágica. Existem muitas outras formas de obter o valor 260 (...)

Existem muitos exemplos interessantes de quadrados mágicos com histórias curiosas. Desde logo, se recuarmos no tempo e viajarmos até à antiga China. Segundo reza a lenda, por volta de 2200 a.C., o imperador Yu terá avistado uma tartaruga a sair do Rio Amarelo. Essa tartaruga apresentava um intrigante padrão formado por pontos pretos e brancos, que se assemelhava a uma grelha 3x3, preenchida com os primeiros 9 números naturais (1-9), dispostos de uma forma curiosa. (...) Outro aspeto curioso prende-se com o facto de os astrólogos da Renascença usarem quadrados mágicos associados aos diferentes planetas do Sistema Solar. (...) Outro aspeto que pode ser considerado nestes quadrados mágicos planetários é a soma de todos os números que compõem o quadrado, que se designa por soma mística (esta soma obtém-se multiplicando a constante mágica pelo número total de linhas do quadrado, isto porque ao adicionar os números de qualquer linha, obtém-se sempre a constante mágica). Por exemplo, o quadrado de Saturno tem soma mística igual a 15x3=45; o de Júpiter, 34x4=136; o de Marte, 65x5=325; e o do Sol, 111x6=666. Num quadrado planetário de ordem N, utilizam-se todos os números naturais, do 1 ao NxN, uma e uma só vez. Por este motivo, e tendo em conta as propriedades das progressões aritméticas, a soma mística de um quadrado planetário de ordem N pode ser obtida da fórmula NxN(NxN+1)/2, sendo a constante mágica igual a N(NxN+1)/2. (...)

Voltamos ao tema dos quadrados mágicos. (...) Vejamos alguns exemplos curiosos. Começamos pelo Quadrado Mágico do Aniversariante (figura A). Se o leitor fizer as contas, verificará que a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada uma das duas diagonais do quadrado é sempre 22 (figura B). Este é, portanto, um quadrado mágico ideal para quem tem 22 anos. Contudo, a sua utilização é muito mais flexível do que à primeira vista se possa pensar. Isto porque também é possível utilizar este quadrado mágico para felicitar qualquer amigo com mais de 22 anos. Se quisermos que o quadrado da figura A tenha constante mágica igual a x, com x>22, basta adicionar a cada um dos números das quatro casas brancas o valor x-22. (...) Na figura D, apresenta-se um Quadrado Mágico Reversível. Este quadrado aparece no livro "Self-working Number Magic", de Karl Fulves, publicado em 1983. Para começar, uma observação atenta a cada linha, coluna ou diagonal do quadrado permite concluir que, em cada uma dessas filas, são utilizados os mesmos algarismos: 1, 6, 8 e 9. Um olhar ainda mais atento permite detetar duas ocorrências de cada um desses algarismos por fila. (...)

Submitted by Boris Flegr (boris@uerj.br) on 2020-11-08T17:22:59Z No. of bitstreams: 1 JTravassos.pdf: 3620963 bytes, checksum: d68be0c32b35ee6ea5e89eeea6138c32 (MD5) Made available in DSpace on 2020-11-08T17:22:59Z (GMT). No. of bitstreams: 1 JTravassos.pdf: 3620963 bytes, checksum: d68be0c32b35ee6ea5e89eeea6138c32 (MD5) Previous issue date: 2014-11-27 Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Lehmer (1929) mathematically analyzes the uniform step method for constructing magic squares of odd order. He divides his analysis into several steps. In the first, involving a discussion of necessary and sufficient conditions for completing the square, the author states that if two numbers keep a certain relationship to each other, they will be designated to occupy the same cell of the square causing its non fulfillment. The analysis of the uniform step method involves solving a linear system module n. In this monograph, we discuss the behavior of solutions of this system when the method fails in fulfilling the square. Consequently, we conclude that numbers guarding the mentioned relationship never occupy the same cell. The analysis of necessary and sufficient conditions for obtaining magic square (as defined by Lehmer (1929)) involves solving linear congruences in two variables. In this work, we detail the results of Lehmer (1929). The analysis of the necessary and sufficient conditions for magic squares (as usually defined) also involves solving linear congruences in two variables. We discuss the behavior of solutions of these equations to obtain magic main diagonals. Then, we show that magic main diagonals are obtained if and only if the initial coordinates keep certain relationships Lehmer (1929) analisa matematicamente o método do passo uniforme para construção de quadrados mágicos de ordem impar. Ele divide sua análise em várias etapas. Na primeira delas, envolvendo a discussão de condições necessárias e suficientes para o preenchimento do quadrado pelo método, o autor afirma que se dois números guardarem entre si uma certa relação, eles serão designados a ocupar a mesma célula do quadrado causando seu não preenchimento. A análise do preenchimento pelo método do passo uniforme envolve a resolução de um sistema linear módulo n. Nesse trabalho, discutimos o comportamento das soluções desse sistema quando o método falha no preenchimento. Como consequência, concluímos que números que guardam a relação mencionada nunca ocupam a mesma célula. A análise das condições necessárias e suficientes para obter quadrados mágicos segundo a definição de Lehmer (1929) envolve a resolução de equações de congruências lineares a duas variáveis. Nesse trabalho, detalhamos os resultados de Lehmer (1929). A análise das condições necessárias e suficientes para obtenção de quadrados mágicos, como são reconhecidos usualmente, também envolve a resolução de equações de congruências lineares a duas variáveis. Discutimos o comportamento das soluções dessas equações para obter diagonais principais mágicas. Como consequência, mostramos que diagonais principais mágicas são obtidas se e somente se as coordenadas iniciais guardarem certas relações

Na sociedade atual, completamente dominada pela constante procura de informação, faz todo o sentido recorrer a formas organizadas de apresentar os dados recolhidos que permitam uma leitura rápida e acessível. As matrizes, pela sua estrutura, possibilitam este tipo de abordagem com vista ao tratamento de uma grande quantidade de informação. (...) Poucas áreas da Matemática sofreram nos últimos 30 anos uma evolução tão significativa como a Teoria de Matrizes. Isto deve-se ao desenvolvimento de computadores cada vez mais potentes do ponto de vista da capacidade computacional, bem como à introdução de métodos matriciais em diferentes áreas de aplicação. Atualmente, a Teoria de Matrizes é utilizada com frequência para modelar muitos fenómenos do mundo real. Mas quando é que surgiu este ramo da Matemática? (...) Embora este ramo da Matemática tenha sido desenvolvido a partir de meados do século XIX, conceitos elementares de matrizes remontam ao período anterior ao nascimento de Cristo, uma vez que os chineses aplicavam métodos matriciais para resolver certos sistemas de equações. Os quadrados mágicos constituem outro exemplo de aplicação rudimentar do conceito de matriz. As lendas sugerem que os quadrados mágicos são originários da China, tendo sido referidos pela primeira vez num manuscrito do tempo do imperador Yu, cerca de 2200 a. C. (...) Em 1514, Albrecht Dürer, conhecido artista da Renascença, pintou um quadro intitulado "Melancolia", onde figura um quadrado mágico, precisamente de ordem 4 (figura 2). De notar que os dois números centrais da última linha do quadrado permitem ler "1514", o ano em que o quadro foi pintado. O leitor pode comprovar que a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada uma das duas diagonais desse quadrado é sempre igual a 34, a constante mágica. Além disso, 34 é a soma dos números dos cantos (16+13+4+1=34) e do quadrado central 2x2 (10+11+6+7=34). (...)

Submitted by Helena Melo (hmelo@uac.pt) on 2013-12-23T21:43:46Z No. of bitstreams: 1 CA7.pdf: 2494492 bytes, checksum: 8d7208d23ada158e61b44794d5a669dd (MD5) Made available in DSpace on 2014-01-03T13:50:35Z (GMT). No. of bitstreams: 1 CA7.pdf: 2494492 bytes, checksum: 8d7208d23ada158e61b44794d5a669dd (MD5) Previous issue date: 2013-06-13

Submitted by Helena Melo (hmelo@uac.pt) on 2013-12-23T21:35:10Z No. of bitstreams: 1 CA6.pdf: 2154302 bytes, checksum: bc00273537848cbdb7fd9bc897d1e613 (MD5) Made available in DSpace on 2014-01-03T13:47:00Z (GMT). No. of bitstreams: 1 CA6.pdf: 2154302 bytes, checksum: bc00273537848cbdb7fd9bc897d1e613 (MD5) Previous issue date: 2013-06-06

In this paper, we will place the legendary form of magic squares appeared as well as its use by artists between the 15th and 18th centuries. Later defined magic squares and magic squares normal. Finally, we will establish the set of all magic squares of the same order as vector spaces, determining its basis and its dimension, illustrating the cases of order 3 and 4. Neste trabalho, colocaremos a forma lendária de como os quadrados mágicos surgiram bem como sua utilização por artistas entre os séculos 15 e 18. Posteriormente definimos os quadrados mágicos e quadrados mágicos normais. Por fim, estabeleceremos o conjunto de todos os quadrados mágicos de mesma ordem como espaços vetoriais, determinando sua base e sua dimensão, exemplificando para os casos de ordem 3 e 4.