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Conference on Dynamics, Equations and Applications (DEA); Location: Krakow, POLAND; Date: SEP 16-20, 2019; International audience; We study the regularity of the Green current for semi-extremal endomorphisms of P-2. Under suitable assumptions, we show that the point-wise lower Radon-Nikodym derivative of stable slices with respect to the one dimensional Lebesgue measure is bounded at almost every point for the equilibrium measure. This provides a weak amount of metric regularity for the Green current along holomorphic discs.

This thesis studies the dynamical properties of holomorphic endomorphisms of the complex projective plane. The first part introduces and proves lower bounds for the directional dimensions of the Green current. We give there a multifractal analysis of the slices of that current by local coordinates, with respect to dilating ergodic measures. A first application shows that, with respect to every measure of large entropy, every closed positive current has a directional dimension strictly larger than two, which answers a question by de Thélin and Vigny. A second application describes the directional dimensions of the Green current of Dujardin's semi-extremal endomorphisms, which have an equilibrium measure absolutely continuous with respect to the trace measure of the Green current. The second part provides upper bounds for the directional dimensions of the Green current by using Pluripotential Theory. Combining these results with those of the first part, we obtain a separation property of the directional dimensions of the Green current with respect to the equilibrium measure. In the last part, we focus on the regularity of one-dimensional slices of the Green current in two semi-extremal situations. We show that the Radon-Nikodym derivative of the stable slices is bounded almost everywhere. This property is close to the absolute continuity with respect to the Lebesgue measure, and specifies our previous results. Our methods also allow to prove an upper bound for the local dimension of dilating ergodic measures, which is a new step towards Binder-DeMarco's conjecture concerning the dimension of the equilibrium measure., Cette thèse concerne les propriétés dynamiques des endomorphismes holomorphes du plan projectif complexe. La première partie introduit et minore les dimensions directionnelles du courant de Green. Nos résultats mènent une analyse multifractale des tranches de ce courant par des coordonnées locales, relativement aux mesures ergodiques dilatantes. Une première application montre que, relativement à toute mesure ergodique de grande entropie, tout courant positif fermé possède une dimension directionnelle strictement plus grande que deux, ce qui répond à une question de de Thélin-Vigny. Comme deuxième application, nous décrivons les dimensions directionnelles du courant de Green des endomorphismes semi-extrémaux de Dujardin, c'est à dire ceux dont la mesure d'équilibre est absolument continue par rapport à la mesure trace du courant de Green. Dans la deuxième partie, nous majorons les dimensions directionnelles du courant de Green en utilisant des techniques de Théorie du pluripotentiel. En combinant ces résultats à ceux de la première partie, nous montrons une propriété de séparation des dimensions directionnelles du courant de Green relativement à la mesure d'équilibre. Dans la dernière partie, nous étudions la régularité des tranches du courant de Green dans deux situations semi-extrémales. Nous montrons que la dérivée de Radon-Nikodym des tranches stables est bornée presque partout. Cette propriété, proche de l'absolue continuité par rapport à la mesure de Lebesgue, apporte une précision à nos résultats précédents. Les techniques utilisées ont également permis d'obtenir une nouvelle majoration de la dimension locale des mesures ergodiques dilatantes. Cette majoration nous rapproche de la conjecture de Binder-DeMarco concernant la dimension de la mesure d'équilibre.