Search

Nichtlineare Eigenwertprobleme entstehen in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften. Obwohl sie seit mehreren Jahrzehnten Gegenstand der mathematischen Forschung sind, ist die Lösung oftmals schwierig und benötigt besonderen Aufwand, insbesondere durch die Vielfalt und unterschiedlichen Anforderungen der einzelnen Problemstellungen. In der Literatur finden sich verstreute Beiträge zur Analysis und verschiedene Algorithmen zur Lösung, oft angepasst an die Struktur einer speziellen Klasse von Problemen oder eines einzelnen Problems. Diese Arbeit beschäftigt sich mit dem nichtlinearen Eigenwertproblem in seiner allgemeinsten Form unter möglichst wenigen Annahmen. Es werden zuerst Darstellungen für die Konditionszahl eines einfachen Eigenwertes und den inversen Operator entwickelt. Der Hauptteil der Arbeit befasst sich mit Newton-Verfahren in Zusammenhang mit nichtlinearen Rayleigh-Funktionalen, das bedeutet, die Eigenvektoren werden durch Newtonschritte verbessert und die Eigenwertnäherungen als Rayleigh-Funktionale neu bestimmt. Das einseitige und das zweiseitige, auch verallgemeinerte, Rayleigh-Funktional werden eingeführt auf einer komplexen Menge - im Gegensatz zum in der Literatur gebräuchlichen einseitigen reellen Funktional. Die so definierten Funktionale sind die natürliche Erweiterung der Rayleigh-Quotienten für Matrizen auf nichtlineare Eigenwertprobleme. Lokale Eindeutigkeit und Schranken für den Abstand von Funktional und exaktem Eigenwert in Termen der Winkel zwischen Eigenvektoren und Eigenvektorapproximationen werden bewiesen. Eine Störungsschranke erster Ordnung wird hergeleitet, mit deren Hilfe Stationarität unter bestimmten Voraussetzungen sowie die Lipschitz-Stetigkeit des Funktionals gezeigt werden. Mit dem Wissen über Rayleigh-Funktionale werden neue Verfahren für die Berechnung von Eigenwerten und -vektoren entwickelt und deren Konvergenz bewiesen. Diese Verfahren sind essentiell für Unterraum-erweiternde Verfahren wie das Jacobi-Davidson-Verfahren oder das nichtlineare Arnoldi Verfahren, da diese niedrig dimensionierte projizierte nichtlineare Eigenwertprobleme im Inneren der Algorithmen lösen müssen. Es wird bewiesen, dass die zweiseitige Rayleigh-Funktional-Iteration lokal kubisch konvergiert. Die neuen Verfahren werden bezüglich Aufwand und Voraussetzungen wie auch anhand numerischer Beispiele mit bekannten verglichen. Eine Technik, die die R-Ordnung der Konvergenz von den Verfahren, die Links- und Rechtseigenvektoren berechnen, erhöht, wird aufgezeigt und analysiert. Die so entstandenen neuen Verfahren erhalten das zusätzliche Attribut halb-Schritt. Die halb-Schritt zweiseitige Rayleigh-Funktional-Iteration konvergiert mit R-Ordnung 4. Aufbauend auf den Aussagen über Rayleigh-Funktionale und ein- und zwei-Vektor Methoden werden verschiedene Varianten des nichtlinearen Jacobi-Davidson Verfahrens vorgeschlagen und analysiert, und zwar unter anderem von theoretischer Seite bezüglich asymptotischer Konditionszahlen, als auch anhand von diversen numerischen Beispielen. Der Spezialfall des nichtlinearen komplex symmetrischen Eigenwertproblems wird diskutiert und ein entsprechendes komplex symmetrisches Rayleigh-Funktional definiert. Störungsabschätzungen erster Ordnung und die Stationarität des Funktionals werden gezeigt, lokal kubische Konvergenz für die komplex symmetrische Rayleigh-Funktional-Iteration bewiesen. Diese bildet die Grundlage für das komplex symmetrische Jacobi-Davidson-Verfahren, das formuliert und getestet wird. Gedruckte Version im Verlag erschienen: ISBN 978-3639062519 im Vdm Verlag Dr. Müller Nonlinear eigenvalue problems arise in many fields of natural and engineering sciences. Theoretical and practical results are scattered in the literature and in most cases they have been developed for a certain type of problem. In this thesis we consider the most general nonlinear eigenvalue problem without assumptions on the structure or spectrum. We start by providing basic facts on the conditioning of a simple eigenvalue and an inverse operator representation in terms of the singular value decomposition. The main part of the thesis connects Newton-type methods for nonlinear eigenvalue problems and nonlinear Rayleigh functionals. The one-sided and the two-sided/generalized Rayleigh functional are introduced with complex range, in contrast to the one-sided functional of the literature. Such functionals are the generalizations of Rayleigh quotients for matrices. Local uniqueness and bounds for the distance to the exact eigenvalue in terms of the angles of eigenvectors and approximations to eigenvectors are derived. We obtain a first order perturbation bound which is used to show stationarity, and which implies the Lipschitz continuity of the functionals. With the so gained knowledge on Rayleigh functionals, we design new basic methods for the computation of eigenvalues and -vectors: The two--sided Rayleigh functional iteration is the analogon to the two-sided Rayleigh quotient iteration for nonnormal matrices, and is shown to converge locally cubically as well. These methods are important for subspace extension methods like Jacobi--Davidson and nonlinear Arnoldi, that need to solve small dimensional projected nonlinear problems. We compare the methods regarding computational costs and initial assumptions, and show numerical results. A technique to accelerate convergence for methods computing left and right eigenvector is introduced and the convergence improvement is shown in terms of the R-order. The new methods are called half-step methods. The half-step two-sided Rayleigh functional iteration is shown to converge with R-order 4. Using the previous results, we discuss various nonlinear Jacobi--Davidson methods. The proposed methods are compared theoretically regarding asymptotic condition numbers, and in practice with examples. The special case of nonlinear complex symmetric eigenvalue problems is examined. We show the appropriate definition of a complex symmetric Rayleigh functional, which is used to derive a complex symmetric Rayleigh functional iteration which converges locally cubically, and the complex symmetric residual inverse iteration method. A complex symmetric Jacobi--Davidson algorithm is formulated and tested numerically.