Bu tezde Hermite polinomları ve ayrık q-Hermite I polinomlarının bazı önemli özellikleri sunulmaktadır. Bu polinomların özellikleri aynı tarzda ele alınacaktır. Ayrık q-Hermite I polinomları, Hermite polinomlarının q-analoğudur. Bu tip polinomlar klasik ortogonal polinomlar ve q-analoğunun önemli bir sınıfıdır. Bu tezdeki temel düşünce, Hermite polinomları ve bunların ayrık versiyonlarının sahip oldukları hipergeometrik tipte diferansiyel ve q-fark denklemleri, üç terimli yineleme bağıntısı, Rodrigues formülü, ortogonal ilişkileri, üreteç fonksiyon özellikleri üzerine çalışmaktır. Hermite polinomları, q -> 1 limit durumunda ayrık q-Hermite I polinomlarından elde edilmektedir. Bu tezde sunulan her bir özellik için Hermite polinomları ve ayrık q-Hermite I polinomları arasındaki limit ilişkisi ayrıntılı olarak ele alınacaktır. In this thesis, some important properties of the Hermite polynomials and discrete q-Hermite I polynomials are presented. Their properties will be considered in the samemanner. The discrete q-Hermite I polynomials are the q-analogues of the Hermitepolynomials. Such polynomials are an important class of the classical orthogonalpolynomials and their q-analogues. The central idea in this thesis is to study the differential and q-difference equation of hypergeometric type, three terms recurrencerelations, Rodrigues formulas, orthogonalities and generating functions that the Hermitepolynomials and its discrete version have. Hermite polynomials are obtainedfrom the discrete q-Hermite I polynomials in the limiting case as q->1. Such limitrelation between the Hermite polynomials and the discrete q-Hermite I polynomialson each properties that is introduced in the thesis are considered in detailed. 69