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Ce mémoire étudie deux familles de fonctions orthogonales, soit les fonctions d'orbite de Weyl et les fonctions d'orbite de Hartley. Chacune de ces familles est associée à une algèbre de Lie simple et cette recherche se limite aux algèbres A₂, C₂ et G₂ de rang 2. Les fonctions d'orbite de Weyl ont été largement étudiées depuis des années en raison de leurs propriétés exceptionnelles. Nouvellement, elles ont été utilisées pour générer des polynômes de Chebyshev généralisés et calculer les fonctions génératrices de ces polynômes pour les algèbres de Lie simples de rang 2. Les fonctions d'orbite de Hartley, quant à elles, ont été récemment introduites par Hrivnák et Juránek et l'étude de ces dernières ne fait que débuter. L'objectif de ce mémoire est de définir des polynômes de Chebyshev généralisés associés aux fonctions de Hartley et de calculer les fonctions génératrices de ceux-ci pour les algèbres A₂, C₂ et G₂. Le premier chapitre introduit les systèmes de racines et le groupe de Weyl, original et affine, ainsi que leurs domaines fondamentaux, afin que le lecteur ait les notations et définitions pour comprendre les chapitres suivants. Le deuxième chapitre présente et étudie les fonctions de Weyl. Il définit également leurs polynômes de Chebyshev généralisés et se termine en présentant les différentes fonctions génératrices de ces polynômes pour les algèbres de Lie simples de rang 2. Finalement, le troisième chapitre contient les résultats originaux; il expose les fonctions de Hartley et certaines de leurs propriétés. Il définit les polynômes de Chebyshev généralisés de celles-ci et énonce également leurs relations d'orthogonalité discrète. Il conclut en calculant les fonctions génératrices de ces polynômes pour les algèbres A₂, C₂ et G₂., This master's thesis studies two families of orthogonal functions, the Weyl orbit functions and the Hartley orbit functions. Each of these families is associated to a simple Lie algebra and the present work is limited to the algebras A₂, C₂ and G₂ of rank 2. Weyl orbit functions have been widely studied for years because of their exceptional properties. Recently, these properties have been used to generate generalized Chebyshev polynomials and to compute the generating functions of these polynomials for the simple Lie algebras of rank 2. Hartley orbit functions, on the other hand, were recently introduced by Hrivnák and Juránek and the study of the latter has only begun. The objective of this thesis is to define the generalized Chebyshev polynomials of Hartley orbit functions and to compute their generating functions for the algebras A₂, C₂ and G₂. The first chapter introduces root systems and the Weyl group, original and affine, and their fundamental domains, so that the reader has the notations and definitions at hand to read the following chapters. The second chapter introduces and studies Weyl orbit functions. It also defines their generalized Chebyshev polynomials and ends by presenting the different generating functions of these polynomials for simple Lie algebras of rank 2. Finally, the third chapter contains the original contribution; it presents the Hartley functions and some of their properties. It defines the generalized Chebyshev polynomials of these and also states their discrete orthogonality relations. It concludes by computing the generating functions of these polynomials for the algebras A₂, C₂ and G₂.

This thesis studies the problem of optimizing a trigonometric polynomial with crystallographic symmetry. Optimization of trigonometric polynomials has been subject to many recent works, but a theory for exploiting symmetries has hardly been developed or generalized. We consider the action of a crystallographic group, also known as a Weyl group, on the exponents. This action admits a definition of generalized Chebyshev polynomials. If a trigonometric polynomial is invariant under the action, then it can be written as a sum of generalized Chebyshev polynomial in fundamental invariants.By rewriting an invariant trigonometric polynomial as a classical polynomial, the region of optimization is transformed into the orbit space of the multiplicative Weyl group action. This orbit space is the image of fundamental invariants and we show that, for the Weyl groups of types A, B, C, D and G, it is a compact basic semi-algebraic set. Furthermore, we give the describing polynomial inequalities through a positive semi-definite Hermite matrix polynomial.Concerning the optimization problem, our rewriting approach transforms the trigonometric optimization problem into a classical polynomial optimization problem on a basic semi-algebraic set. To solve such problems, one can apply Lasserre's hierarchy of moment and sum of squares relaxations. We adapt and implement this hierarchy in the basis of generalized Chebyshev polynomials with a new notion of degree. The optimal value of the original trigonometric optimization problem is then approximated through solutions of semi-definite programs, which are solved numerically.In classical polynomial optimization and other applications, symmetry adaptation has been studied and implemented, but crystallographic symmetries have not been exploited in trigonometric optimization before. With our approach, we provide an alternative to known strategies for trigonometric optimization. Where other techniques utilize sums of Hermitian squares or generalizations of Lasserre's hierarchy to the complex setting, we exploit symmetry first and then apply techniques from classical polynomial optimization. This reduces the size of arising semi-definite relaxations and can also improve the quality of the approximation.As an application, we study the problem of computing lower bounds for the chromatic number of geometric distance graphs. Given a norm and a set of vertices, this problem asks to find the minimal number of colors needed to paint the vertices, so that no two of those of distance 1 between them have the same color. The spectral bound was generalized from finite to infinite graphs to deal with such problems. This bound involves the optimization of a trigonometric polynomial. We focus on norms which are given by polytopes with crystallographic symmetry. Then the problem can be tackled with the techniques developed in this thesis. We give several bounds through analytical and numerical computations., Cette thèse étudie le problème de l'optimisation d'un polynôme trigonométrique avec symétrie cristallographique. L'optimisation des polynômes trigonométriques était l'objet de nombreux travaux récents, mais une théorie permettant d'exploiter les symétries n'a pas été développée ou généralisée. Nous considérons l'action d'un groupe cristallographique, également connu sous le nom de groupe de Weyl, sur les exposants. Cette action admet une définition des polynômes de Chebychev généralisés. Si un polynôme trigonométrique est invariant sous l'action, il peut être écrit comme une somme de polynômes de Chebyshev généralisés dans les invariants fondamentaux.En réécrivant un polynôme trigonométrique invariant comme un polynôme classique, la région d'optimisation est transformée en l'espace d'orbite de l'action du groupe de Weyl multiplicatif. Cet espace d'orbite est l'image des invariants fondamentaux et nous montrons que, pour les groupes de Weyl de types A, B, C, D et G, il s'agit d'un ensemble compact basique semi-algébrique. En plus, nous donnons les inégalités polynomiales descriptives à par un matrix polynomial positif de Hermite.En ce qui concerne l'optimisation, notre approche de réécriture transforme le problème d'optimisation trigonométrique dans un problème d'optimisation polynomiale sur un ensemble basique semi-algébrique. Pour résoudre de tels problèmes, on peut appliquer la hiérarchie des relaxations de moment et de somme de carrés de Lasserre. Nous adaptons et implémentons cette hiérarchie sur la base de polynômes de Chebyshev généralisés avec une nouvelle notion de degré. La valeur optimale du problème d'optimisation trigonométrique original est alors approximée par des solutions de programmes semi-définis, qui sont résolus numériquement.Dans l'optimisation polynomiale classique et d'autres applications, l'adaptation des symétries a été étudiée et implémenté, mais les symétries cristallographiques n'ont pas été exploitées en optimisation trigonométrique auparavant. Avec notre approche, nous fournissons une alternative aux stratégies connues pour l'optimisation trigonométrique. Alors que d'autres techniques utilisent des sommes de carrés Hermitiens ou en généralisant l'hiérarchie de Lasserre au cadre complexe, nous exploitons d'abord la symétrie et appliquons ensuite des techniques d'optimisation polynomiale classique. Cela réduit la taille des relaxations semi-définies qui en découlent et peut également améliorer la qualité de l'approximation.En guise d'application, nous étudions le problème de calcul des bornes inférieurs pour le nombre chromatique des graphes géométriques. Étant donné une norme et un ensemble de sommets, ce problème demande de trouver le nombre minimal de couleurs nécessaires pour peindre les sommets, de sorte que deux de ceux de distance 1 entre eux n'aient pas la même couleur. La borne spectrale a été généralisée des graphes finis aux graphes infinis pour traiter de tels problèmes. Cette limite implique l'optimisation d'un polynôme trigonométrique. Nous nous concentrons sur les normes qui sont données par des polytopes avec une symétrie cristallographique. Le problème peut alors être abordé avec les techniques développées dans cette thèse. Nous donnons plusieurs bornes à travers des calculs analytiques et numériques.

Let Γ be a finite subgroup of SU2(ℂ). Then the quotient ℂ2/Γ can be embedded in ℂ3 as a surface with an isolated singularity. The quotient ℂ2/Γ is called a Kleinian singularity, after F. Klein who studied them first in 1884. Through their minimal resolutions, these singularities have a deep connection with simply-laced Dynkin diagrams of types Ar, Dr and Er. In the 1970's E. Brieskorn and P. Slodowy took advantage of this connection to describe the resolutions and deformations of these singularities in terms of Lie theory. In 1998 P. Slodowy and H. Cassens constructed the semiuniversal deformations of the Kleinian singularities using quiver theory and work from 1989 by P.B. Kronheimer on symplectic geometry. In Lie theory, the classification of simple Lie algebras allows for a separation in two classes: those simply-laced of types Ar, Dr and Er, and those of types Br, Cr, F4 and G2 called inhomogeneous. With the use of a second finite subgroup Γ’ of SU2(ℂ) such that Γ ⊲ Γ’, P. Slodowy extended in 1978 the definition of a Kleinian singularity to the inhomogeneous types by adding to ℂ2/Γ the group of automorphisms Ω= Γ’/Γ of the Dynkin diagram associated to the singularity. The purpose of this thesis is to generalize H. Cassens' and P. Slodowy's construction to the singularities of types Br, Cr, F4 and G2. It will lead to explicit semiuniversal deformations of inhomogeneous types on the fibers of which the group Ω acts. By quotienting such a map we obtain a deformation of a singularity ℂ2/Γ’, Soit Γ un sous-groupe fini de SU2(ℂ). Alors le quotient ℂ2/Γ peut être plongé dans ℂ3 sous la forme d'une surface munie d'une singularité isolée. Le quotient ℂ2/Γ est appelé singularité de Klein, d'après F. Klein qui fut le premier à les décrire en 1884. A travers leurs résolutions minimales, ces singularités ont un lien étroit avec les diagrammes de Dynkin simplement lacés de types Ar, Dr et Er. Dans les années 1970, E. Brieskorn et P. Slodowy ont tiré profit de cette connection pour décrire les résolutions et les déformations de ces singularités à l'aide de la théorie de Lie. En 1998 P. Slodowy et H. Cassens ont construit les déformations semiuniverselles des ℂ2/Γ à l'aide de la théorie des carquois ainsi que des travaux de P.B. Kronheimer en géométrie symplectique datant de 1989. En théorie de Lie, la classification des algèbres de Lie simples divisent ces dernières en deux classes: les algèbres de Lie de types Ar, Dr et Er qui sont simplement lacées, et celles de types Br, Cr, F4 et G2 appelées non-homogènes. A l'aide d'un second sous-groupe fini Γ' de SU2(ℂ) tel que Γ ⊲ Γ', P. Slodowy a étendu en 1978 la notion de singularité de Klein aux algèbres de Lie non-homogènes en ajoutant à ℂ2/Γ le groupe d'automorphismes Ω= Γ'/Γ du diagramme de Dynkin associé à la singularité. L'objectif de cette thèse est de généraliser la construction de H. Cassens et P. Slodowy à ces singularités de types Br, Cr, F4 et G2. Il en résultera des constructions explicites des déformations semiuniverselles de types inhomogènes sur les fibres desquelles le groupe Ω agit. Le passage au quotient d'une telle application révèle alors une déformation d'une singularité de type ℂ2/Γ'

In this thesis, we show that, for any root system $\mathcal{R}$ in the Euclidean space $\R^d$ and for any nonnegative multiplicity function $k$ on $\mathcal{R}$, we can develop in this geometric framework a Newtonian type or more generally a Riesz type potential theory which coincide with the classical theories when $k$ is the zero function.; Dans cette th\`{e}se, nous montrons que pour tout syst\`{e}me de racines $\mathcal{R}$ de l'espace euclidien $\R^d$ et pour toute fonction de multiplicit\'{e} positive $k$ sur $\mathcal{R}$, on peut d\'{e}velopper dans ce cadre g\'{e}om\'{e}trique une th\'{e}orie du potentiel de type newtonien et plus g\'{e}n\'{e}ralement de type Riesz qui co\"{\i}ncident avec les th\'{e}ories classiques lorsque la fonction $k$ est identiquement nulle.

In this thesis, we focus on harmonic analysis and special functions associated with rational Dunkl operators which are deformations by reflections of directional derivatives. They provide an essential tool to extend, in the setting of root systems and associated reflection groups, Fourier analysis on Euclidean spaces and analysis on Riemannian symmetric spaces of Euclidean type. After a detailed survey on Dunkl theory, we study the maximal operator defined in this setting. We begin with some improvements on the behavior of the constants of the maximal theorem proved by Thangavelu and Xu for a general reflection group. We then extend their theorem to the vector-valued case by establishing Fefferman-Stein inequalities in the case Z_2^d. In order to prove this theorem, we construct an operator of Hardy-Littlewood type on which, contrary to the Dunkl maximal operator, we can apply the methods of real analysis. In particular, we give a sharp estimate of the generalised translation of the characteristic function of a ball. Afterwards, our study is devoted to some results on exponential integrability which completes the Fefferman-Stein inequalities, and to a vector-valued maximal theorem for Bessel-Kingman hypergroups. Finally, we develop the Dunkl analysis in the case of a positive subsystem of orthogonal roots. We give an explicit formula of the Dunkl kernel and a product formula which implies that the Dunkl translation is a bounded operator. We also focus on the particular case of a root system of A_1 type in odrer to give an equality which links normalized Bessel functions and Gegenbauer polynomials., Dans cette thèse, on s'intéresse à l'analyse harmonique et aux fonctions spéciales associées aux opérateurs de Dunkl rationnels qui sont des déformations des dérivées directionnelles par des réflexions. Ils fournissent un outil décisif pour étendre, dans le cadre des systèmes de racines et des groupes de réflexions associés, l'analyse de Fourier euclidienne et l'analyse sur les espaces symétriques riemanniens plats. Après avoir donné un panorama détaillé de la théorie de Dunkl, on étudie l'opérateur maximal défini dans ce contexte. On commence par apporter des améliorations sur le comportement des constantes du théorème maximal de Thangavelu et Xu pour un groupe de réflexions quelconque. On étend ensuite dans un cadre vectoriel leur théorème en établissant dans le cas Z_2^d des inégalités de Fefferman-Stein. Pour y parvenir et puisque les techniques d'analyse réelle ne se prêtent pas à cet opérateur maximal, on construit un opérateur de type Hardy-Littlewood plus commode à étudier. A cet effet, on donne une estimation fine de la translation généralisée de l'indicatrice d'une boule. Notre étude est ensuite consacrée à des résultats d'intégrabilité exponentielle qui complètent les inégalités de Fefferman-Stein, et à un théorème maximal vectoriel pour des hypergroupes de Bessel-Kingman. Enfin, on développe l'analyse de Dunkl dans le cas d'un sous-système positif de racines orthogonales. On y établit une formule explicite du noyau de Dunkl et une formule produit qui implique le caractère borné de la translation de Dunkl. Le cas particulier d'un système de type A_1 est étudié afin d'établir une égalité liant les fonctions de Bessel normalisées et les polynômes de Gegenbauer.

We compute the integral cohomology of the minimal non-trivial nilpotent orbit in a complex simple (or quasi-simple) Lie algebra. We find by a uniform approach that the middle cohomology group is isomorphic to the fundamental group of the sub-root system generated by the long simple roots. The modulo $\ell$ reduction of the Springer correspondent representation involves the sign representation exactly when $\ell$ divides the order of this cohomology group. The primes dividing the torsion of the rest of the cohomology are bad primes., 29 pages, v2 : Leray-Serre spectral sequence replaced by Gysin sequence only, corrected typos

We investigate some aspects of some matrix-valued diffusions and use Harmonic analysis tools to answer some probabilistic questions. We start with the Laguerre process then study the radial Dunkl process which generalizes the eigenvalues process of these diffusions. Next, we define and study the free Jacobi process, which is the infinite dimensional limiting process of the complex Jacobi-matrix. The last chapter deals with large deviations principle for statistics of one-dimensional Jacobi processes.; On étudie quelques aspects de certaines diffusions matricielles pour lesquelles on utilise des outils d'analyse harmonique pour répondre à des questions de nature probabiliste : on commence par le processus de Laguerre, puis on s'intéresse au processus de Dunkl radial qui généralise le processus des valeurs propres de ces diffusions. On regarde ensuite le processus de Jacobi dans le cas où la taille de la matrice tend vers l'infini, ceci nous plonge dans le monde des probabilités libres. Le dernier chapitre est consacré à la résolution d'un problème de grandes déviations pour des statistiques de processus de Jacobi univariés.

We investigate some aspects of some matrix-valued diffusions and use Harmonic analysis tools to answer some probabilistic questions. We start with the Laguerre process then study the radial Dunkl process which generalizes the eigenvalues process of these diffusions. Next, we define and study the free Jacobi process, which is the infinite dimensional limiting process of the complex Jacobi-matrix. The last chapter deals with large deviations principle for statistics of one-dimensional Jacobi processes.; On étudie quelques aspects de certaines diffusions matricielles pour lesquelles on utilise des outils d'analyse harmonique pour répondre à des questions de nature probabiliste : on commence par le processus de Laguerre, puis on s'intéresse au processus de Dunkl radial qui généralise le processus des valeurs propres de ces diffusions. On regarde ensuite le processus de Jacobi dans le cas où la taille de la matrice tend vers l'infini, ceci nous plonge dans le monde des probabilités libres. Le dernier chapitre est consacré à la résolution d'un problème de grandes déviations pour des statistiques de processus de Jacobi univariés.