Search

Bu tezin amacı carbon fiber silicon carbide matrisli kompozitlerde laminalar arası hasarları ve delaminasyonu incelemek, sonlu elemanlar yöntemiyle (sonlu elemanlar programı içinde de birçok varyasyonu değerlendirerek) delaminasyon başlangıç parametrelerini belirlemek, tahmin etmektir. Carbon fiber silicon carbide malzeme özelliğine sahip çift dirsekli kirişin mode I yüklemesi altında yapışkan elemanla kullanarak sayısal analizleri yapılmıştır. Composite materials are commonly used different industries. The usage of composite is gradually increased due to their great properties in strength to weight, modulus to weight and to be lightweight. At the same time, the ceramic carbon fiber reinforced composites are gained great importance for use in high temperature application such as aerospace engine components. It is durable at high service temperatures. Even researches are investigating to enhance its high temperature service conditions.But one of the most important disadvantages of composites is damage sensitiveness. Composite materials which have brittle matrices are susceptible to interfacial delamination failure under different failure modes. Therefore the modeling of composite material damage has played a major role in the design of composite structures. Damage case is highly important to pay attention to the failure modes. Because these failures tend to loss of strength and stiffness. Although numerical models for the progressive damage in laminated composites such as delamination, there is still a lot of need for further improvement, especially in composites of ceramic matrix. The properties of different ceramic matrix composite require a lot of laboratory experiments and then these results should be validated by doing finite element analysis.This thesis aimed at examined various damage models predicting intralaminar failures and interface delamination damage behavior in CMC materials. Failure theoris of composites have been a subject of concern for nearly fifty years. Several approaches have been adopted for damage mechanics, such as fracture mechanics and continuum damage mechanics. Cohesive zone model is being handled in this studies. The cohesive zone model is used to predict both the onset and propagation of delamination. So in the finite element model, cohesive elements were placed to simulate delamination initiation in C/C-SiC composite DCB model. Hofmann's article that deal with experimental proporties of C/C-SiC is taken into account. The experimental properties was used from here and the numerical analysis results were compared with these article's results.When analysing the delamination damage onset of DCB model, Ansys is used. It is deliberated with this work that a high temperature composite material is viewed of damages and delamination failure via numerical analysis and finally gain favor. 100

Bu tezde çatlak benzeri hasar bulunan eğri eksenli çubukların statik ve dinamik problemleri ele alınmıştır. Bir boyutlu sürekli ortam olarak modellenen çubukta eksenel deformasyon, kayma deformasyonu ve dönme eylemsizliği etkileri hesaba dahil edilmiştir. Çatlağın, yapının genel davranışına etkisi lineer elastik kırılma mekaniğinin temel tanımları ve Castigliano Teoremi yardımıyla ortaya konulan yay modeli ile hesaplanmıştır. Çatlak varlığı neticesinde oluşacak tüm esneklik bileşenleri hesaplara dahil edilmiştir. Buna ek olarak, literatürde daha önce göz önüne alınmayan çatlağın kesit üzerindeki konumu da esneklik matrisinin köşegen üzerinde olmayan elemanlarının işaretleri yardımıyla hesaba katılmıştır. İnce çubuk kabulü ile incelenen statik ve dinamik problemlerde, çatlağın kesit üzerindeki konumunun eksenel kuvvetin eğilme momenti ile karşılaştırılabilir olduğu problemlerde oldukça etkili olduğu görülmüştür. Açık çatlak kabulü ile yapılan hesaplamalarda özellikle iki ucunun hareketi engellenmiş sığ çubukların simetrik modlarına ait frekansların, çatlağın kesit üzerindeki konumuna oldukça hassas olduğu görülmüştür. Statik problemlerde ise, azalan narinlik ile çatlağın kesit üzerindeki konumunun daha etkili olduğu saptanmıştır. Ayrıca eş frekans eğrileri kullanılarak yapılan basit analizde, literatürde yapıldığı gibi çatlağın kesit üzerindeki konumunun hesaplara dahil edilmemesi halinde çatlağın eksen üzerindeki konumunun yanlış öngörüleceği sonucuna varılmıştır. Diferansiyel Evrim Algoritması'ndan yararlanılarak çatlak tespiti problemi çözülmüştür. Literatürden farklı olarak çatlağın kesit üzerindeki konumu da tespit edilmiştir. Literatürde yer alan deneysel sonuçlar ve tez kapsamında yapılan deneylerin sonuçları kullanılarak çatlağın konumunu ve derinliğini tarif eden değişkenler pek çok farklı senaryo için başarılı bir şekilde tahmin edilmiştir.Eğri eksenli çubuğun kalın olması halinde lineer olmayan gerilme dağılımı neticesinde gerilme şiddeti çarpanlarının hem eğriliğe hem de çatlağın kesit üzerindeki konumuna bağlı olacağı açıktır. Buradan hareketle, ilk defa bu tezde, kalın eğri eksenli çubuklar için gerilme şiddeti faktörleri elde edilmiştir. Lineer elastik kırılma mekaniğinin öngördüğü çatlak ucu civarındaki gerilme dağılımı ve kesitlerin dengesi kullanılarak oldukça basit bir yaklaşımla elde edilen bu yeni gerilme şiddeti çarpanlarının gerçekten de hem eğriliğe hem de çatlağın kesit üzerindeki konumuna bağlı olduğu görülmüştür. Eğilme momentinin ile eksenel kuvvetin açılma moduna ve kesme kuvetinin kayma moduna etkilerini tarif eden bu fonksiyonların, çatlağın kesit üzerindeki konumuna eğrilikten daha çok bağımlı oldukları gösterilmiştir. Bu fonksiyonlar ve kalın çubuk modeli kullanılarak çatlak bulunan eğri eksenli çubukların dinamik analizi yapılmış ve deneysel çalışmalar ile oldukça yakın sonuçlar elde edilmiştir. Structural damage has many causes, e.g., cyclic loading, collisions, corrosive environment, imperfect technological operations, material defects. Whatever the reason might be, the physical-mathematical model of damage and the investigation of its effects on the structural mechanical behaviour is of major importance, since it may lead to early damage identification and structural maintenance. The aim of this study is to examine thoroughly the mechanical behavior of curved rods, which are fundamental structural elements being used extensively in many engineering applications, with crack-like defects and their identification by means of dynamic behavior. First chapter is devoted to the historical background of solid mechanics, focusing on the development of one-dimensional beam models and initiation of fracture mechanics. Starting from the initiation of mechanics, major works of the important contributors, such as Galilei, Young, Coulomb, Navier, Possion and Cauchy, are mentioned. In addition, studies on examination of beam-type structures with cracks by using diferent one-dimensional structural models are reviewed. Briefly, survey of modern literature justifies using one-dimensional structural models along with spring anology for crack-type damages as far as the global behavior of the structure is of interest. Moreover, it is evident that using relatively new optimization techniques for the crack identification problem instead of utilizing iso-frequency curves as it is done in the early works on crack identification provides sufficient accuracy.Second chapter deals with the construction of one-dimensional continua reduced from three-dimensional elasticity. Equations of motion of a slender body are derived in finite form; then, the governing equations for linear static and dynamic problems of planar curved rods are obtained by a perturbation approach. The effects of axial extension, shearing deformation and rotatory inertia are taken into account. The conditions for the existence of an exact solution, and a novel approximate solution technique using Peano's Series and Volterra's Multiplicative Integral are presented. Treatment of concentrated loads by suitable continuity and balance equations are given.In the third chapter, foundations of spring anology for the crack modelling are re-visited. Stress field around the vicinity of the crack is obtained by eigenfunction expansion initially performed by Williams. All possible compliances caused by the crack are derived based on the concepts of linear elastic fracture mechanics, and Castigliano's Theorem. As a difference from the studies existing in the literature, effect of crack location on the cross-section is considered by the sign of off-diagonal terms in compliance matrix of crack which represent the coupling between axial and bending deformations due to existence of a crack. The jump conditions and balance equations for two sub-rods divided by the crack are presented. Fourth chapter focuses on numerical results of many example problems. Static problem of a parabolic arch with line load and parabolic arch with a point load are examined. It has been demonstrated that the effect of crack location on the section becomes more pronounced as the arch gets thicker. Also, very good agreement with the experimental results provided in the literature is observerd. As for dynamic problems, circular beams of different opening angles and boundary conditions, and parabolic arches of different shallownesses are examined. In addition, a perturbation approach to the modelling of crack is also presented to look for the possibility of obtaining rather simple closed-form solutions for static problems. Indeed, very simple and accurate closed-form solutions are obtained for a ring with a crack. Overall, even in slender curved rods for which the Navier's assumption of stress distribution is reasonable, the effects of crack position turn out to be non-negligible, especially when the axial force is dominant. For dynamic problems, it has been shown that wrong estimation of or ignoring the crack position on the section may lead to erronous identification of the crack along the axis. In the light of numerical evidences given in the fourth chapter, the fifth chapter, deals with crack identification problem by using Differential Evolution Algorithm. As the first step, the Differential Evolution Algorithm is introduced by explaining each step explicitly. Then, two different objective function are presented, one of which does not require the calculation of natural frequencies and the other uses the frequency differences. Advantages and drawbacks of those objective functions are discussed. Using the results of numerical experiments, the validation of in-house optimization code is performed. Once exactly same crack variables as the inputs are obtained, results of actual experimental studies existing in the literature are used as inputs. Identification of crack position along the rod axis, its severity and position on the cross-section are performed for circular and parabolic beams with pinned ends with a very good accuracy. Even if for the considered structure geometries the crack position on the section was not found to be very effective in the previous chapter, it is also identified with a very good accuracy. Moreover, an experimental modal analysis on fixed-free circular beams with a single crack are performed. The structural model of cracked curved rod is found to perform quite accurately. The inverse problem is also tackled by using the experimental results as inputs for the optimization procedure. A very accurate estimation of crack variables in case of fixed-free boundary condition is achieved.As there are no complete set of stress intensity factors from which the local compliances due to crack are calculated, the sixth chapter is devoted to the introduction of a simple and effective approach for the calculation of stress intensity factors for thick curved rods. Closed-form expressions for stress intensity factors are derived by ensuring the balance of cross-sections. These new results are validated by re-examination of dynamic behavior of curved rods with cracks of different severities. Both direct and inverse problem by using these new expressions for stress intensity factors, which account for the ratio of height of cross section to the curvature and the position of the crack on the section, and very promising numerical results are obtained. Furthermore, stress intensity factor for C-shaped specimen existing in the literature is calculated by the new approach of this study and very good agreement is observed. The main novelties introduced herein are: an approximate solution strategy for linear differential equation systems of variable coefficients, introduction of a non-material parameter to take into account the crack position on the cross-section of the beam and stress intensity factors for thick curved beams including the effect of initial curvature and crack position on the section through the non-symmetric stress distribution in case of no crack. The approximate solution strategy is very effective and accurate. Mechanics of beams with varying cross-section, made of axially functionally graded materials and many different mechanical problems of beam-type structures may well be examined with it. The effect of crack position on the section plays a very important role especially for arches where the axial deformations are comparable with bending deformations. Its importance is not only pronounced for the direct problem but also for the inverse problem of crack identification. It has been proved numerically that ignoring the effects of crack position on the section may lead to erronous estimation of crack position along the rod axis. As the stress intensity factors provided in the literature for straight beams may well be used with a sufficient accuracy for slender curved rods, the effect of initial curvature definetely plays an important role as the rod gets thicker. To improve the performance of spring anology for thick curved beams, the complete set of stress intensity factors derived herein turns out to be a very effective tool. 146

Nano boyuttaki malzemelerin, gelişmiş fiziksel, kimyasal ve elektriksel özelliklere sahip olduğunun farkedilmesiyle daha üstün özelliklere sahip nano boyutta yapıların üretilmesi, günümüzde nanoteknolojiyi ilgi odağı haline getirmektedir. Kuvvet ve yerdeğiştirme ilişkileri kullanılarak, nano boyuttaki sistemlerin fonksiyonel ve elastik karakteristiklerini inceleyen nanomekanik, nanoteknolojinin en önemli çalışma alanlarından biridir. Nano ölçekteki cihaz ve makinalarda yaygın olarak kullanılan yapı elemanlarından biri nanoçubuklardır. Bu çubuk elemanların mekanik davranışlarının tam olarak bilinmesi, nano boyuttaki makinaların geliştirilmesi için önemlidir. Nanoçubukların modellenmesinde, klasik elastisite teorisi yerine, yerel olmayan elastisite teorisi kullanılmaktadır. Klasik elastisite teorisinin tanımının boyuttan bağımsız olması nedeniyle, mikro yapılarla birlikte nano yapıların davranışlarının incelenmesinde sorunlar ortaya çıkmaktadır. Boyutlar küçülmeye başladıkça, malzeme içindeki boşlukların etkisi, cismin boyutları yanında ihmal edilemez seviyeye gelmektedir. Bu durumda, moleküller arasındaki boşluklar önem kazanmakta ve klasik elastisite teorisi ile elde edilen sonuçlar gerçekten uzaklaşmaktadır. Bu nedenle, mikro/nano boyutlardaki yapılarda boyut etkisini göz önünde bulunduran yerel olmayan elastisite teorisi kullanılmaktadır. Ayrıca, yerel olmayan elastisite teorisinin üstünlüğü, sadece nano malzemelerin statik, dinamik ve burkulma davranışları üzerinde boyut etkisini göz önüne alması değil, diğer yöntemlerle karşılaştırıldığında analizlere uygulanmasının da kolay ve ucuz olmasıdır.Bu çalışmada, yerel olmayan elastisite teorisi ile eğri eksenli nano çubukların düzlem dışı statik ve dinamik davranışlarını ifade eden ve kayma deformasyonu ile eğilme ve burulma dönme eylemsizliklerini de göz önüne alan denklemlerin kesin analitik çözümüne dayanan bir sonlu eleman formülasyonu geliştirilmiştir. Eğri eksenli düzlemsel çubukların düzlem dışı statik ve dinamik problemlerin çözümünde kesin analitik çözümden elde edilen değerler, şekil değiştirme büyüklükleri olarak kullanılmakta, rijitlik ve kütle matrisleri oluşturulmaktadır. Geliştirilen formülasyonun sonuçları, literatürdeki statik örneklerle karşılaştırılmıştır.Birinci bölümde, nanoteknolojinin önemine ve nanoyapıların tasarım yaklaşımlarına değinilmiştir. Ayrıca, yapılan çalışmanın literatürdeki mevcut çalışmalardan hangi nitelikler bakımından farklı ve üstün olduğu da vurgulanmıştır. İkinci bölümde, nanoçubukların statik ve dinamik problemlerinin incelenmesi konusunda yapılan çalışmalar verilmiştir. Yapılan literatür taramasında, genellikle yerel elastisite teorisi kullanılarak yapılan çalışmalar yer alırken, yerel olmayan elastisite teorisi kullanılarak yapılan az sayıda çalışma bulunmaktadır. Bu çalışmaların çoğunda eğilme etkisi, kayma deformasyonu, eksenel ve kesme kuvvetleri gibi bir veya birkaç etki göz ardı edilmiştir. Ayrıca, bu konudaki çalışmaların çok azında eğri eksenli nanoçubuklar ele alınmıştır. Düzlemsel eğri eksenli çubukların düzlem dışı davranışlarının incelendiği çalışma ise yok denecek kadar azdır. Literatürde, nanoçubuklar için sonlu eleman formülasyonu ile ilgili çok az sayıda çalışma mevcuttur. Bunların da neredeyse tamamı doğru eksenli çubuklarla ilgilidir. Bu çalışmalarda, yer değiştirmeler için çeşitli yaklaşık fonksiyonların kullanıldığı görülmüştür. Üçüncü bölümde, Eringen tarafından sunulan yerel olmayan elastisite teorisinin bünye denklemleri, silindirik koordinatlarda yazılarak klasik çubuk teorisine uygulanmış ve değişken eğrilik yarıçapına ve değişken kesit alanına sahip çubuklar için elde edilmiş denklemler verilmiştir. Çubuk kesitinin çift simetrik olduğu varsayılmakta, böylece, düzlem içi ve düzlem dışı davranışı ifade eden büyüklükler ayrı denklemlerde bulunmaktadır. Denklemlerde, kuvvet ve momentlerin yerel olmayan etkileri dikkate alınmıştır. Başlangıç değerleri yöntemi kullanılarak, düzlemsel eğri eksenli çubukların düzlem dışı statik davranışlarını ifade eden denklemlerin kesin analitik çözümü verilmiştir.Dördüncü bölümde, değişken eğrilik ve değişken kesit kabulü yapılarak düzlemsel eğri eksenli çubuğun, düzlem dışı statik ve dinamik davranışlarını ifade eden, yerel olmayan elastisite teorisi ve tüm yerel olmayan etkilerin dahil edilmesi ile elde edilen denklemlerin kesin analitik çözümleri kullanılmış, sonlu eleman formülasyonu yapılmıştır. Düzlem dışı statik problemler için sonlu eleman formülasyonunda rijitlik matrisi oluşturulmuştur. Elemana ait rijitlik matrisi elde edilmiş ve birleştirilerek global rijitlik matrisi oluşturulmuştur. Düzlem dışı titreşim problemleri için sonlu eleman formülasyonunda rijitlik matrisinin yanı sıra kütle matrisine de ihtiyaç duyulmaktadır. Bu bölümde, elemana ait kütle matrisi elde edilmiş ve birleştirilerek global kütle matrisi oluşturulmuştur. Ayrıca, Hamilton prensibi kullanılarak da rijitlik ve kütle matrisleri elde edilmiştir.Beşinci bölümde, eğri eksenli nano çubukların düzlem dışı statik ve dinamik problemleri için geliştirilen sonlu eleman yöntemi ile çeşitli örneklerin çözümlerine yer verilmiştir. Hesaplamalarda, kayma deformasyonu ile eğilme ve burulma dönme eylemsizlik etkileri dahil edilmiştir. Elde edilen sonuçlar analitik çalışmalar ile karşılaştırılmıştır.Altıncı bölümde, bu çalışmada elde edilen sonuçlar ve sonuç bölümü tartışılmıştır. Nowadays, manufacturing less error including, lighter and better nanotechnological materials with the help of the nanotechnology which enables people to produce advanced structures in terms of physical, chemical and electrical characteristics is considered as one of primary reasons of being centre of attention of nanotechnology. Nanomechanics that examine functional and elastic characteristics of nanoscale systems by making use of force-displacement relations is one of the most important fields of nanotechnology.In nano-devices and nano-machines, one of the structural elements that is used as widespread is nanobeams. Knowing mechanical behavior of these nano-sized beam elements is important for the improvement of nano-sized machines. In the modelling of nanobeams, nonlocal theory of elasticity is used instead of classical theory of elasticity. Because of the fact that definition of classical theory of elasticity is independent of the size effect, there can be some problems in investigations which are related material behaviors of nanostructures. As the dimensions become smaller, the size of granular distance or lattice parameter will have a significant effect on the material behavior. In this situation, intermoleculer gap between molecules becomes crucial and the results obtained with local theory of elasticity are not acceptable. Thus, in micro-scaled and nano-scaled structures, nonlocal theory of elasticity that takes into consideration the small-scale effect is used. In addition, superiority of the nonlocal theory of elasticity does not only consider the small scale-effect in the static, dynamic and buckling behaviours of nanomaterials but also it is easier and cheaper than other methods.In the literature survey, it is observed that while most of studies are usually made by using local theory of elasticity, there are a few studies are benefited from nonlocal theory of elasticity. In most of these studies, one or several effects such as shear deformation, axial and shear forces were ruled out. Most of these studies are dealt with solutions of static problems of straight nanobeams. In the problems, nonlocal effect of bending moments are taken into account and shear deformation effect has been excluded. The studies that are used nonlocal elasticity theory have included nonlocal effect of bending moments and excluded shear force. In the most of studies that are investigated dynamic problems of straight nanobeams .shear deformation and rotatory inertia effects are neglected. The studies that are used nonlocal elasticity theory have included nonlocal effect of bending moments and excluded rotary inertia. In the literature, there are a few studies related to curved beam. A few articles on nonlocal beam theory were dealt with curved nanobeams and there are no studies related with out of plane behaviors of curved planar beams. In the literature, very few studies on the finite element formulation of nanobeams is available. Almost all of these studies are coupled with straight nanobeams. In these studies, it is observed that approximate functions are put account for displacement.In this research, a finite element formulation based on the exact analytical solution of governing equations for out of plane static and dynamic behaviour of curved nanobeams with varying curvature and cross-section. The effects of shear deformation, bending and torsional rotary inertias are taken into account. In the formulation of the stiffness and mass matrices, the exact displacement functions are used. The results of this study are compared with those given in the literature.In the first chapter, the importance of the nanotechnology and design approaches of nanostructures in modern engineering applications are discussed. The originality of this study is emphasized.In the second chapter, studies dealing with the static and dynamic problems of nanobeams are given. In the literature survey, it is observed that while most of the studies investigates the subject by using local theory of elasticity, there are a few studies using the nonlocal theory of elasticity. In most of these studies, one or more several effects such as axial extension, shear deformation, and the nonlocal effects of these forces are not considered. There is only a few articles studying the curved nanobeams. There are scarcely studies about the out of plane behaviors of curved planar nanobeams. In the literature, very few studies on the finite element formulation of nanobeams are available. Almost all of them deal with straight nanobeams. In these studies, it is observed that some approximate functions are used as the displacement functions.In the third chapter, constitutive equations of Eringen's nonlocal theory of elasticity are rewritten in cylindrical coordinates and applied into the classical beam equations. These equations are written for the beams with varying curvature and cross-section. In the equations, nonlocal effects of forces and moments were taken into consideration. The exact analytical solution of equations governing the out of plane behavior of curved planar beams are obtained by using the initial value method. The main advantage of this method is obtaining the solution easily even in the presence of high static indeterminancy.In the fourth chapter, the exact analytical solution of governing equations of out of plane static behavior of curved nano beams are used for obtaining the stiffness matrix. The beam with varying curvature and cross-section is considered and the effect of shear deformation is included in the equations. The stiffness matrix is obtained for each element and global stiffness matrix is obtained by assembling the joint nodes of adjacent elements. For out of plane dynamic problems, the mass matrix is also formulated by considering the effects of bending and torsional inertia moments. Moreover, both the stiffness and the mass matrices are also obtained by using Hamilton's principle, and it is shown that the results are the same with those obtained by the direct method. To acquire natural frequencies of curved nanobeam, using both stiffness and mass matrices eigenvalue problem is solved. Thanks to developed finite element formulation, problems that have different loading and boundary conditions can be easily solved.In the fifth chapter, some out of plane static and dynamic problems of curved nanobeams are solved by using the developed finite element formulation. In the calculations, the effects of bending and torsional rotary inertia with shear deformation are included. Obtained results are compared with analytical studies. In the static analysis, under clamped-free boundary conditions, a circular nanobeam having uniform cross-section and constant curvature is examined as an example. In examples, force and moments, in normal and tangential directions, are applied from the free end of the nanobeam, respectively. Transverse displacements and rotation angles are calculated. Obtained results are compared with analytical results. In the finite element modeling of problems, one element is used. It is shown that obtained results from both analytical and finite element formulation are identical.In the dynamic analysis, a clamped - clamped circular beam with uniform cross-section and curvature is examined. Dimensionless natural frequency values are acquired with the changing of small scale parameterand the number of elements. In the first example, changing of first natural frequency value with small scale parameter is studied. It is shown that nondimensional natural frequency values are converged to the values that are acquired with local theory of elasticity for increasing small scale parameter values. In the next example, small scale parameter is taken as 2 nm. Changing of the first nondimensional natural frequency with the number of elements which is used in the analysis is examined. It is shown that the value does not change after ten elements. In addition, the effect of nonlocal parameter on nondimensional natural frequency values is investigated for the slenderness ratio of the beam is 10 and 150 and opening angle of the beam (θ_t) is taken as 60°, 120° and 180°. The nonlocal parameter is changed from 0 to 2. Nondimensional natural frequency values regarding first and second mode are examined. It is shown that nonlocal parameter is gone up, nondimensional natural frequency values are decreased. If the slenderness ratio of the beam is gone up, dimensionless natural frequencies are increased for the nanobeams that have same opening angle of the beam. There is no study to compare the obtained results in the literature.In the sixth chapter, the results and conclusions obtained in this study is discussed.In this research, a new finite element formulation has been improved for out of plane static and dynamic behaviours of curved planar nanobeams by taking advantage of nonlocal theory of elasticity. In equations which take account of effects of small scale, shear deformation and torsional rotatory inertia, besides nonlocal effects of bending, torsional moments and shear force. In the formulation, stiffness and mass matrices have made up. Displacements that are acquired from exact analytical solution is utilized in stiffness and mass matrices. Besides, stiffness and mass matrices have constituted by using Hamilton principle that is variational approach. Stiffness and mass matrices obtained with direct method and Hamilton principle are same. Velocity gradient theory as kinetic energy formulation is used. The theory includes micro and macro structure effects is used the first time. The formulation which comprise of exact analytical solution as shape function in the literature is the first. In addition, this is the first study that is investigated out of plane static and dynamic behaviours of planar curved nanobeam with finite element formulation. It is obvious that this new finite element formulation has made a contribution to be done studies with respect to out of plane static and dynamic behaviours of curved nanobeams. It is thought that close results by using less number of finite elements have been acquired inasmuch as displacement fields are procured from exact analytical solution. In addition, it is expected that analysis of complicated nanobeam structures can be simplified with that solution. Thus, it will be possible that complicated nanosystem designs can be truer, more confidential and achieved in shorter time. 87

Bu çalışmada, ağır ticari çekici araçların ön süspansiyonunda kullanılan yaprak yayın tasarımınının beklenen konfor ve dayanım parametrelerine göre doğrulanması anlatılmaktadır. Yaprak yaylar araçların süspansiyon sistemlerini oluşturan en temel elemanların başında gelir. Ağır ticari çekici araç için tasarlanan yayın konfor beklentisi objektif ve subjektif araç dinamiği değerlendirilmeleri sonucu belli bir yay katsayısı belirlenerek, aracın dinamik özellikleri istenen seviyeye getirilmiştir. Araç dinamiği özelliklerinin yanısıra parçanın dayanım beklentisi için parçanın dayanım testleri gerçekleştirilmiştir. Bu çalışmalara ek olarak parçanın seri imalat ve kullanım koşullarında en büyük ömrü sağlaması için gerekli malzeme yapısı, alt parça dayanım testleri, ölçümsel kontroller, korozyon testi, paketleme testi, üretim kabiliyeti parametreleri de kontrol edilerek mühendislik onayı verilmiştir. Buradaki temel amaç maliyet ve ağırlık azaltma çalşmalarının yanında tasarımı yapılarak kullanıcıya sunulan ürünün en fazla ömür ve en az kalite hatası ile müşteri memnuniyetini artırmaktır. Parçanın dayanım beklentisi için bilgisayar destekli analizler ve fiziksel saha testleri gerçekleştirilmiştir. Bilgisayar destekli sonlu elemanlar analizinde, kullanımı süresince parçaya gelebilecek çeşitli yükler ile sınır koşulları verilerek farklı koşullarda analizler yapılmıştır. Analizler esnasında parçanın malzeme özellikleri girilerek ve gerçeğe en yakın şekilde modellenerek gerçeğe en yakın sonuçlar elde edilmeye çalışılmıştır. Parçanın fiziksel test onayları kapsamında yaprak yayın çalışma prensibi gereği laboratuvarda hazırlanan deney düzeneğinde çekme-basma yönünde test uygulanmıştır. Aynı test, sonlu elemanlar analizinde gerçekleştirilmiş olup sonuçlar karşılaştırılarak gelecek çalışmalar için bağıntı yapılmıştır. Parçanın tasarım onayında en önemli yer tutan bir diğer çalışma da müşterilerin kullanım profilinden ortaya çıkarılmış olan araç dayanım testleridir. Bu testte aracın öngörülen kullanım ömrü belli parkurlar ve yollar ile kısa sürede araç test edilmektedir. Bu sayede aracın ve alt parçalarının test sonunda sorunsuz şekilde testten geçtiğinde aracın kullanım ömründe istisnai durumlar dışında problem yaşamayacağı doğrulanmış olmaktadır. Buradan toplanan 6 eksenli yük ve moment değerleri sonlu elemanlar analizi için kullanılmıştır. Toplanan yük verileri rainflow yöntemi ile çevrimlere çevrilerek analiz programına girdi olarak verilmeye hazır hale getirilmiştir. Araç üzerinden toplanan yük verileri ile parça araç üzerindeki haline uyumlu modellenerek yaprak yay gözünden toplanan veriler analiz programında kullanılarak koşturulmuştur. Analiz programına parçaların malzeme özellikleri ve uygun mesh tipleri girilerek sonucu gerçeğe en yakın hale getirilmesi amaçlanmıştır. Analizin koşması döngüsü sırasında analiz programı birim yüklü analiz yöntemiyle sonuçları ayrı ayrı adımlarla alarak gelen yükleri vektörel çıktıları ile çarparak hesaplamaktadır. Yaprak yayın bilgisayar destekli analizleri, laboratuvar deneyleri, araç dayanım parkur testleri ile dayanım doğrulanması gerçekleştirilmiştir. Fiziki testler ile bilgisayar destekli sonlu elemanlar sonuçları karşılaştırılarak bağıntılar yapılmıştır. Bu sayede gelecek çalışmalardaki doğruluk oranı artırılmıştır. Bu yöntemlerle kalite iyileştirilmesi, yeni proje tasarımı, maliyet azaltma ve ağırlık azaltması amaçlı yapılacak dizaynlarda izlenmesi gereken adımlar net bir şekilde ortaya koyulmuştur. Tüm bu çalışmalar sonucunda tasarımı yapılan ağır ticari araçların ön süspansiyonunda kullanılan yaprak yayın belirlenen kontrol ve doğrulanma evrelerinden geçerek seri imalata giriş onayı verilmiştir. Competition in the automotive industry is increasing dy by day. Increasing customer expectations and technology cause to push companies to make better vehicles. Companies work hard to provide an advantage in this rivalry. To be competitive in the industry, companies must make cost reduction, weight reduction, quality increase, generate new models, provide new technologies and to be ensure customer satisfaction. Automotive industry has different vehicle segments like sport cars, passenger cars, off-road vehicles, commercial vehicles, heavy commercial vehicles that causes variety of expectations of each customers. Heavy commercial vehicles are generally used for carrying heavy loads. However, homologation rules, vehicle own weight and strength of vehicle are roadblocks of loading vehicles. These roadblocks and fuel consumption depending weight lead to make weight reduction on vehicles. Total vehicle heavy equals vehicle own weight and goods weight what called payload. In heavy commercial vehicles, as long as payload is higher it is better for customer. Therefore companies need to have good design capabilities for lighter vehicle to survive in the industry. Design and validation are most important topics for new products generating. This study is aimed to explain how new front leaf spring of heavy duty tractor vehicle front suspension system is designed and validated.Suspension system, what provides safety and comfort drive of vehicle, is one of the important system of vehicle due to heavy duty tractor suspension system carry driver, passenger, goods and driveline system. Suspension system has different parts such as spring, shock absorber, axles, antiroll bar, mounting brackets, bump stopper. Spring is main part of suspension system that store and release energy while articulation of road forces to vehicle. Shock absorber absorbes instantaneous loads, axles carry the system and connect vehicle to the wheels thanks to knuckle-hub-bearing system, antirollbar provides stability of vehicle thanks to torsion of bar, mounting brackets are used for mounting suspension parts to vehicle body, bump stoppers are used to stop suspension movement to prevent damage other systems. Springs have different types like coil spring and leaf spring. Coil spring is generally used for passenger and light commercial vehicles. Leaf spring is generally used for medium commercial and heavy commercial vehicles. In heavy duty tractor front suspension leaf springs are used due to package and strength requirement. Most of heavy duty tractor companies use mono leaf spring on front suspension due to weight concern. In this study, mono leaf spring is developed. Leaf springs carry the load and provide comfort. Vehicle dynamics foundations are depend on suspension system thereby leaf springs for heavy commercial vehicles. Leaf springs are produced from high strength spring steels due to exposing high stress. Heavy commercial vehicles are used different zones such as off road construction areas, normal roads, highways hence there are different requirements for different areas. Leaf springs have two types what are conventional springs and parabolic springs. Conventional springs are used for off road usage and parabolic springs are used for comfort and high stress. Production of leaf spring is very hard due to heating, forming, complexity process and heavy weight. Designing new part is very hard, time-consuming and expensive process. Know-how and design capabilities specify part quality. Designing new parts starts from theoritical calculations, solid model shaping, prototype production, computer aided analyzing, testing and production controls. Mono leaf spring study is started from package of parts and dynamics expectations. Leaf springs have spring rate like other springs, it has unique package and design need to put it into this package. Dynamic expectations are determined by objective calculations and subjective drivings by expert team. After determining package and dynamic expectations, leaf spring shape has been decided to provide dynamic and strength requirements. Solid model shaped leaf springs put the suspension system on virtual platform and starts validation process. Leaf springs are generally failed by not static loads by dynamics load hence leaf spring design, material selection and validation need to be for dynamic loads.Validation is one of the most critical aspect of designing new parts. Providing part and vehicle expectations, not to get quality problem after serial production and customer satisfaction up to validation. Validation is started generally from computer aided analyzing programs. Computer aided engineering analysis program use their own calculation method to estimate part stiffness, strength, life and status on vehicle condition. Generally computer analysis results and real results become different. Know-how and experiment on parts lead to close gap between computer analysis and real life. Therefore, modelling and inputs are really importants to get truer results from the analysis program. Road load data and collection load data are really important to estimate forces and displacements of leaf spring. After computer analysis, laboratory bench fatigue test is other step. Simulating leaf spring working conditions on laboratory fatigue test and see the cycle life tells us the parts real life. Other validation method is vehicle durability test. Vehicle durability test can be described as it represents vehicle life averagely. Every customer has different usage habits and heavy commercial vehicles are designed for 1.000.000 km. It is not possible to test them 1.000.000 km in terms of time and cost. Therefore, special roads and tracks are designed for only vehicle validation. Collecting usage area data and converting them to vehicle run cycles lead to validate vehicles fast and more easily. Collecting road load data from vehicle durability areas and customer usage areas is important to use it on computer analysis. Collected time based load data are generated by data processing method like rainflow, level-crossing and range pair. Rainflow is generally used for converting time based load data to fatigue cycle. These cycles are also used for semi-vehicle test model for part validation and vehicle validation. In this study, road load data is collected from Lommel proving ground, where vehicle runs durability tests, and put the computer analysis. Also, vehicle data are generating laboratory bench test cycles to estimate part life. After dynamic and strength validation, other tests such as corrosion, dimensional checks, assembly checks, supplier production capabilities, logistic package check with other parts that affect leaf spring life.In this study, firstly package control is checked. After that, objective calculations and dynamics evaluation drivings are performed. In this step, 25 kgf/mm, 28 kgf/mm, 30 kgf/mm and 32 kgf/mm 4 springs are produced and all are fitted the vehicle. After vehicle dynamics evaluation 32kgf/mm is selected as mono loaf spring rate. Parabolic thickness are determined for strength of parts to provide strength and less weight. Determining dimensions by package and determining spring rate are performed. Theoritical calculations are performed.For analysing loads, from previous tests road load data is collected from leaf spring eyes and applying computer aided engineering analysis program and laboratory bench fatigue test. 6 axis and channels road load data is converted to cycles for computer analysis. For computer aided analysing abaqus, hypermesh and ncode programs are used. Loads, boundary conditions, system and dimensions are determined. Modelling are performed by the most appropriate mesh types and size to get the best results. System and part inputs are chosen from supplier reports, real materials specifications and calculation by analysis program. Firstly, static analysis, secondly laboratory bench test and thirdly vehicle durability test analysis are performed. Leaf springs are loaded and establish boundary conditions as real vehicle condition. Loads are generated from road load data and vehicle working condition. After that laboratory bench fatigue test is performed and then vehicle run durability test. To compare real life and analysis reports see the results. Firstly, static analysis report is 1434 Mpa and real life result is1171 MPa and that means 17% error. Secondly, laboratory bench test, analysis report is minimum 82.950 cycles and real test minimum result is 73.634 cycles that means 11% error. Thirdly, vehicle durability test, real durability test is ended at 150% without leaf spring failure so there is unknown leaf spring durability life. Computer analysis durability result is 1,907 vehicle that means under 16% error. These results that are under 17% is good for FE and real comparison. In addition, other good way is computer analysis results and real life results varify each other in terms of breakage area and red zones in analysis.In brief, thanks to this study designing and validation steps of heavy duty tractor vehicles front suspension system mono leaf spring development steps are decribed clearly. In addition, correlated FE models, describing test models contribute the literature for future design works. 78

Nanoteknoloji, özellikle son yıllarda hayatımızın her alanında kendine yer bulmaktadır. Bu araştırma alanının gelişmesi sayesinde, geleneksel malzemelere kıyasla fiziksel, kimyasal ve elektriksel yönlerden daha üstün davranış gösteren malzemeler geliştirilmiştir. En iyi bilinen örnekleri karbon nanotüp ve grafen levha olan bu üstün nitelikli malzemelerin mekanik özelliklerinin tespitine ve bu malzemelerden yapılan mühendislik yapılarının tasarımına günümüzde sıklıkla ihtiyaç duyulmaktadır. Bu sebeple, malzemelerin ve yapıların nano ölçekte davranışlarını inceleyen nanomekanik adı verilen bir çalışma alanı ortaya çıkmıştır. Mühendislik yapılarının tasarımında ve modellenmesinde sıklıkla kullanılan yapısal elemanlardan olan çubuklar, nano ölçekteki yapılarda da kullanılmaktadır ve nanomekaniğin ana inceleme konularından birini oluşturmaktadırlar. Ana olarak makina mühendisliğinin uygulama sahasına giren bu yapıların mühendisler tarafından statik ve dinamik analizinin yapılması önem arz etmektedir. Genellikle klasik (yerel) elastisite teorisinin kullanıldığı çalışmalarda, atomlar arasındaki boşlukların etkilerinin ihmal edilebilecek kadar az olduğu kabul edilmektedir. Ancak, çalışma ölçeğinin nanometre mertebelerine inmesiyle, bu boşlukların etkisi artık göz ardı edilemeyecek seviyelere çıkmaktadır. Böyle durumlarda, boşlukların etkisini ihmal eden klasik (yerel) elastisite teorisinin yerine yerel olmayan elastisite teorisinin kullanılması daha doğru sonuçlar vermektedir. Bu çalışmada, eksenel uzama, kayma deformasyonu ve dönme eylemsizliği etkilerini dikkate alan eğri eksenli Timoshenko nanoçubuklarının, düzlem içi statik ve dinamik davranışlarının analizi için yerel olmayan elastisite teorisi kullanılarak elde edilmiş kesin analitik çözümlere dayalı bir sonlu eleman formülasyonu geliştirilmiştir. Yukarıda değinilen kapsamıyla bir ilk olma özelliği taşıyan bu formülasyonda, yerel olmayan elastisite teorisi ile elde edilmiş kesin analitik çözümlerinden hareketle katılık (rijitlik) ve kütle matrisleri elde edilmiştir. Geliştirilen sonlu eleman formülasyonundan elde edilen sonuçlar, literatürdeki çalışmalarla karşılaştırılmıştır. Bu bağlamda, birinci bölüm, nanoçubukların günümüz mühendislik bilimi içerisindeki yerine ve uygulama alanlarına dair bilgileri, gerçekleştirilen tezin amacını ve kapsamını içermektedir. İkinci bölümde, nispeten yakın bir geçmişe sahip olan nanoçubuklar hakkında bir literatür araştırması sunmaktadır. Literatür araştırması, nanoçubukların statik ve dinamik davranışlarını yerel olmayan elastisite teorisi ile inceleyen çalışmalar kapsamıyla sınırlı tutulmuştur. Gerçekteştirilen literatür araştırması, analitik ve sonlu eleman yaklaşımları olmak üzere iki alt grup olarak sunulmuştur. Üçüncü bölümde, bu çalışmaya temel teşkil eden, nanoçubukları yerel olmayan elastisite teorisi perspektifiyle inceleyen analitik yaklaşıma yer verilmiştir. Bu bölümde, yerel ve yerel olmayan elastisite teorileri arasındaki ilişkilere, varsayımlara ve kesin analitik çözümü elde etmek için başlangıç değerleri yönteminin kullanımına değinilmiştir. Bu bölümde açık ifadeleri verilen yer değiştirme alanları, bir sonraki bölümde şekil fonksiyonları olarak kullanılmıştır. Dördüncü bölüm, şekil fonksiyonu olarak kesin analitik çözümleri kullanan bir sonlu eleman formülasyonu sunmaktadır. Bu bölümde, rijitlik matrisi, ilk olarak literatürde `direkt metot (direct method)` olarak geçen yöntemle formüle edilmiştir. Ardından, kütle matrisi, dönme eylemsizliğinin göz önünde bulundurulduğu durum için formüle edilmiştir. Son olarak, elde edilmiş rijitlik ve kütle matrislerinin, Hamilton Prensibi olarak adlandırılan varyasyonel yaklaşımla da elde edilebileceği gösterilmiştir. Beşinci bölümde, geliştirilen sonlu eleman formülasyonu, sayısal örneklerle doğrulanmıştır. Literatürdeki statik ve dinamik örnekleri içeren bu bölümde, sonlu eleman yaklaşımıyla elde edilen sonuçlar, analitik ve sayısal çalışmalarla karşılaştırılmıştır. Altıncı bölümde genel bir değerlendirme yapılmış ve gelecek çalışmalar için çeşitli önerilerde bulunulmuştur. Yapılan bu çalışmanın, eğri eksenli nanoçubuklar ile ilgili yapılacak çalışmaların gelişmesine katkı sağlayacağına ve önerdiği formülasyon sayesinde bu çubukların statik ve dinamik davranışının incelenmesini içeren tasarım süresinin kısaltılmasına önemli ölçüde yardımcı olacağı düşünülmektedir. Nanotechnology takes wider place in our life especially in recent years. Thanks to development of that research field, better materials were developed in terms of physical, chemical and electrical aspects when compared to conventional ones. Most well-known examples of these advanced materials are carbon nanotubes and graphene sheets and determining mechanical properties of these new materials and designing engineering structures which are made of them is frequently needed. Therefore, nanomechanics, a new research area which studies behaviours of materials and structures in nano-scale, is emerged. Beams, which are frequently used in designing and modelling of engineering structures, are also used in nano-scale structures and they are considered as one of the fundamental research topics of nanomechanics. Mainly, these structures belong to mechanical engineering application field and static and dynamic analyses of them are essential. It is observed that most of studies in the literature are related with nanobeams which have curved axis. However, due to design purposes and having some difficulties in manufacturing processes to produce an exact straight beam, investigating static and dynamic properties of curved beams is significant. In the literature, there are three main approaches to investigate mechanical behaviours of nanobeams: molecular dynamics simulations, hybrid and continuum mechanics approaches. The first one uses potential energies between atoms and integrates them into equations of motion. However, due to dealing with large-scale matrices, this approach is considered computationally expensive. Hybrid approach is an approach that combines molecular dynamic simulations and continuum mechanics approaches. Nonetheless, this approach is directly linked to advances in computational chemistry research field. Unlike previous approaches, continuum mechanics approach requires less computational effort and is considered as more independent field. Also, it can present more analytical models. This approach separates into two subareas for nanobeams: local and nonlocal theories of elasticity. It is generally accepted that in the classical (local) theory of elasticity, effects of gaps between atoms are negligible. However, by narrowing our working scale into nanometer levels, effects of these gaps can not be ignored anymore. In that case, using the nonlocal theory of elasticity provides more accurate results rather than classical theory of elasticity which neglects effects of gaps between atoms.In this study, developing a new finite element formulation based on exact analytical solutions obtained from nonlocal theory of elasticity for in-plane static and dynamic analyses of curved nanobeams which take into consideration of axial extension, shear deformation and rotatory inertia effects is aimed. Within the scope of mentioned content, this formulation is considered as the first study in that area in the literature and stiffness and mass matrices are obtained from exact analytical solutions based on nonlocal theory of elasticity. Accomplished results from developed finite element formulation are compared with those given in the literature. In this sense, in the first chapter, informations about the place of nanobeams in current engineering sciences and their application fields, aim and content of this thesis are presented. The second chapter includes a literature survey about nanobeams in order to give relatively short history. The content of survey is limited to studies which investigate statics and dynamics of nanobeams by using nonlocal theory of elasticity. Presented survey consists of two subgroups; analytical and finite element approaches. In addition to studies which investigate only static and dynamic behaviours of nanobeams, other studies which are also contain buckling behaviour, nonlinear vibrations, cracked beams and mixed approach are also examined. It is observed that there are relatively small number of studies which deal with finite element formulation of nanobeams in the literature than analytical studies. Moreover, it can be also stated that there are very few studies which investigate mechanical behaviours of curved nanobeams. In the third chapter, theoretical basis of this study, the analytical approach which investigates in-plane behaviour of nanobeams by using nonlocal theory of elasticity is presented. This chapter includes relations between local and nonlocal theories of elasticity, assumptions and usage of initial values method which is used to obtain the exact analytical solutions. Explicit displacement fields, which are obtained in that chapter, are used as shape functions in following chapter. The fourth chapter presents a finite element formulation which uses exact analytical solutions as shape functions. In that chapter, stiffness matrix is formulated by using direct method, a well-known method in the literature. Then, the mass matrix is obtained also by considering rotatory inertia. Finally, it is shown that these stiffness and mass matrices can also be obtained by using Hamilton's Principle, a variational approach. In the formulation of mass matrix, Mindlin's kinetic energy formulation is utilized. This formulation expresses kinetic energy as a summation of macrostructure and microstructre effects. The first term, which corresponds to macrostructure effect, is the classical kinetic energy formulation which uses time derivatives of local nodal displacements. However, the second term, which corresponds to microstructure effect, uses time derivatives of gradients of local nodal displacements. After formulation of element stiffness and mass matrices, under harmonic vibrations assumption, eigenvalue problem can be built.In the fifth chapter, developed finite element formulation is validated with numerical examples. This chapter contains both static and vibration problems from the literature, and obtained results by using presented finite element approach are compared with those given in the literature. In static problems, there are three examples. The first and the second ones investigate static behaviours of circular clamped-free nanobeams under a tip force with 90° and 180° opening angles, respectively. Due to having only one region, both problems are solved by using one element. In these examples, curvature value is taken 5? and aspect ratio values are taken as 20 and 30, respectively. In the third static example, a nanoring under two normal forces is analyzed. It is solved by using two elements because of having two region and the model is built as a half model. In that example, curvature and aspect ratio values are taken 5? and 50. All static examples are compared with the literature and results are discussed. In dynamic problems, there are two examples. In the first dynamic example, under clamped-clamped boundary conditions, the curvature of a nanobeam which has 60° opening angle is changed for a constant nonlocal parameter value and dimensionless frequencies are calculated. A mesh convergence study is performed and minimum number of elements is determined as 10 in order to be able to perform a reliable analysis. Then, the analysis is performed and results which are obtained by using developed finite element formulation are compared with analytical results. It is observed that for increasing values of small scale parameter, ??⁄, dimensionless frequencies, which are obtained by using nonlocal theory of elasticity, converges to a constant value asymptotically. That constant value is the dimensionless frequency value which is obtained by using local theory of elasticity. In the second dynamic example, nonlocal parameter values are changed for a nanobeam which has clamped-clamped boundary conditions. For 30° and 120° opening angle values, variations of first and second dimensionless frequencies are investigated for different nonlocal parameter values. In that example, aspect ratio values are taken as 5 and 50. Obtained results are compared with the literature and effects of aspect ratio and nonlocal parameter values on dimensionless frequencies are also discussed. It is observed that for increasing values of nonlocal parameter, dimensionless frequencies are decreasing. Obtained results are in well agreement with SIN shear deformation theory based beam model in the literature for both first and second dimensionless frequencies. In the last chapter, a general evaluation is performed and some recommendations are discussed for the future studies. It is believed that the presented study will be instructive for the future studies about curved nanobeams and thanks to recommended formulation, design processes of nanobeams which include static and dynamic analyses can be shortened significantly. 85

Helisel yaylar, mühendisliğin birçok alanında sıklıkla karşılaşılan mekanik yapılardır. Birçok bilim adamı ve mühendis helisel yayların statik ve dinamik özellikleri üzerine çeşitli çalışmalar yapmıştır. Bu çalışmalarda daha çok yaklaşık yöntemler kullanılmış, kimi zaman da sonlu elemanlar yöntemi uygulanmıştır. Bu tez çalışmasında başlangıç değerleri yöntemi kullanılarak silindirik helisel yayların titreşimi için bir kesin çözüm geliştirilmiştir. Helical springs are one of the most frequently used mechanical parts in automotive, aeronautical and mechanical engineering. Helical springs are typically used for storing energy and absorbing shocks. Coil springs, torsion springs and compression springs are other names given to helical springs. Static and dynamic behaviour of helical springs are investigated by many engineers and scientists because of its wide range of applications in a variety of engineering fields. Most of the time approximate solutions and finite element method are employed for these purposes. In this study, a method for obtaining exact solutions of natural frequencies of helical springs is presented. 77

Eğri eksenli çubuklar uzun yıllar boyunca araştırmacıların ilgisini çeken ve üzerine sayısız araştırma yapılmış en basit ve en yaygın yapı elemanlarıdır. Günümüzde makina, inşaat, havacılık gibi alanlarda kullanım örnekleri bulunmaktadır. Bu nedenle önemi hala yerini korumakta ve en doğru çözüm ile analiz yöntemleri için üzerine yapılan araştırmalar devam etmektedir. Bu çalışmada düzlemsel eğri eksenli ve enine çatlaklı çubukların düzlem dışı statik ve dinamik davranışları sonlu eleman yöntemiyle farklı yükleme ve mesnetleme koşullarında incelenmiş ve sonlu eleman paket program sonuçları ile karşılaştırılmıştır.Kullanılan denklemler de basitleştirici bir kabul yapılmaksızın kayma deformasyonu ve eksenel uzama etkileri dahil edilmiş, esneklik matrisini oluşturan elemanlardan biri olan burulma momenti etkisi hesaba katılmıştır. Bu denklemler kullanılarak bir sonlu eleman yöntemi uygulanmış, narinlik derecesi, eksen açıklığı, çatlağın derinliği ve çatlağın kesit üzerindeki konumu gibi değişkenlerin etkileri analiz edilmiş ve sonuçlar değerlendirilmiştir.Birinci bölümde genel olarak çubuk teorisi hakkında bilgiler verilmiş, çalışmanın amacı ve kapsamı paylaşılmıştır.İkinci bölümde literatürde eğri eksenli çubuklar üzerine yapılan araştırmalar incelenmiş ve bu çalışmalarda statik ve dinamik problemlerin çözümleri için kullanılan yöntemler kısaca anlatılmıştır. Genelde Ritz, Galerkin ve sonlu elemanlar gibi yaklaşık yöntemlerin kullanıldığı çözümlemelerde kayma deformasyonu, eksenel uzama ve dönme eylemsizliği etkilerinin ihmal edildiği görülmüştür. Statik ve dinamik çalışmaların ardından çatlak etkisi üzerine yapılan araştırmalar paylaşılmış ve eğri eksenli çubuklarda çatlak etkisinin düzlem dışı analizi üzerine yeterli çalışma bulunamadığı görülmüştür.Üçüncü bölümde kısaca çubuk statiğinin düzlem dışı genel denklemleri verilmiş ve kullanılan sonlu eleman yöntemi paylaşılmıştır.Dördüncü bölümde kırılma mekaniğine girilmiş, çatlak tipleri ve etkileri paylaşılmıştır. Gerilme şiddeti faktörleri, enerji salınım oranı ve esneklik matrisi denklemleri ve ilişkileri incelenmiş, bu çalışma kapsamında ele alınmış olan dairesel kesitli çubuğun yüzeysel enine çatlak durumu modellenmiştir. Bu modelleme ile esneklik matrisi hesaplanarak mevcut eleman için çatlağın etkisini de içeren rijitlik matrisine geçiş yapılmış ve sonlu eleman formülasyonuna eklenmiştir.Beşinci bölümde çatlağın etkisi de dahil edilerek oluşturulmuş olan sonlu eleman formülasyonu kullanılarak düzlemsel eğri eksenli enine çatlaklı çubukların çeşitli mesnetleme durumları için dairesel profilde örnekler çözülmüştür. Bu çözümlemelerde narinlik derecesi, kirişin eksen açıklığı çatlağın konumu ve derinliği gibi parametrelerin etkisi incelenmiş ve sonuçlar grafikler-çizelgeler yardımıyla paylaşılmıştır.Altıncı bölümde çalışmanın kapsamı kısaca ele alınmış ve elde edilen sonuçlar tartışılmıştır. Curved beam elements are one of the common used structural elements in different field of engineering such as mechanical, aerospace and civil engineering. As being critical part of these areas, the behaviour of the design is important for static and dynamic characteristics and the potential effects to the system. Due to that fact, there are a lot of studies in literature which is related to curved beam elements and still engineers and scientists are interested in those to enlight more facts about their characteristics and potential effects.This study focus on out of plane analysis of curved beams with transverse crack by a finite element formulation which is based on an exact solution equations in literature. First of all, curved beams, which is dealing with in this study, has symmetric axes on cross section with respect to circular arches section. This gives a chance to evaluate the analysis in two type: in-plane and out of plane. Equations are shared for a beam element, stiffness matrix is obtained. Mass matrix is derived with expressions of kinetic energy including rotatory inertias. Supporting examples are shared with a literature and an engineering analysis program – ABAQUS result comparison done before crack location and depth effects to natural frequencies.There are a lot of study aims curved beam elements, characteristics and the potential effects in literature. It is obtained that despite there are several works concerning the analysis of curved beams, most of them consider a curved beam without a crack or having an analysis on curved beam with a crack for in-plane results. In addition to this, there are simplified approaches to have abbreviated equations in lots of the studies. Axial deformation, shear deformation and rotatory inertia are neglected due to this fact. Simplified solutions are easy to manage however results have to be accurate as well. This is why it is important to have a finite element formulation from exact solution to have accurate results.In first chapter, a general view of curved beams and the aim of the study is given with importance. Concept and the differences to literature studies are presented.In second chapter, studies in literature are given including the summaries. As this study contains two important subjects-curved beams and crack effects, literature studies are explained under 3 title; 2 are related to curved beams static and dynamic analysis and third one is the effect of crack existence.In third chapter, curved beam equations are given briefly for out-of plane format and the proposed finite element formulation approach is shared. Stiffness matrix of an element and mass matrix are presented.In fourth chapter, introduction of fracture mechanics are summarized to have a general view of crack existence and the effects. Also limited criterias and two basic approach are explained. Afterwards, stress intensity factors, energy release rate and compliance matrix equations are presented with all relations to each other. These crack existence is modelled on an circular section curved beam. At the end of the chapter, the finite element formulation which is presented in third chapter, is updated with the effect of compliance matrix in order to include the effects of crack.In fifth chapter, this proposed finite element formulation is tested for a circular section curved beam problem which was analized on one of the previous study in literature. Results are compared and presented to demonstrate the accuracy level for clamped-clamped condition. After a certain confidence, same analysis done for same curved beam for clamped-free condition including crack effect. Afterwards, a curved beam analysis done and same results taken from an engineering program – ABAQUS to have the comparison with CAE and results are evaluated with error percentages. Moreover, new analysis performed for different curved beams to evaluate the effects of the crack against curvature radius, axial span, crack depth ratio and crack location. In first section, a curved beam is analysed for clamped-free boundary condition and analysis results are shared by graphics for first to fifth natural frequency changes based on the location change of the crack. Results are shared in frequency ratio to have dimensionless comparison. Secondly, same analysis is repeated for clamped-clamped condition and evaluations done. In next analysis, crack depth ratio range defined and curved beam analysed for defined crack depth ratio to monitor the changes in frequency ratio from first to fifth natural frequency with graphs. To evaluate the vibrational behavioural change of curvature beam with an existence crack, different location of cracks are analysed and results shared.In sixth chapter, study importance and aim presented again and the analysis of curved beams in fifth chapter shared. The effects of curvature radius, axial span, crack depth ratio and crack locations are discussed based on the analysis results in graphs. Recommendations for next steps are shared and the opportunities defined.As a conclusion, curved beams which is used as a basic structural elements in many of engineering field such as mechanical engineering, aerospace engineering and civil engineering, are basis of lots of the studies in literature and still keep the importance in engineering science. Additionally, crack existence is important due to static and dynamic effects to the system. Sometimes, this existence is critical due to strength risks and sometimes, this existence cause the dynamic behaviour changes and a potential root cause of a failure mode. In such cases, it is important to prevent a failure due to crack existence and growth if there is any strength risks obtained or it is important to evaluate the vibrational effects to system if dynamic behaviour changes become critical. For instance, crack effect to a curved beam structure for any of the engineering fields which has the lower tolerance targets for natural frequencies become significantly important due to potential effects to dynamic responses in the system and cause a deviation from the target. With this deviation, a failure mode can be obtained due to dynamic behaviour changes and frequency conflict to other structural parts in the system. This is a main risk for an engineering system and its functionality. Due to that fact, it is important to evaluate the behaviour of curved beam elements with crack existence and share the results to increase the know-how in order to understand the potential effects of each parameter. For in-plane analysis, there are studies which focus on defining the location of the crack based on measured natural frequencies of curved beam. The results in this study also can be used to define the crack location for an analysed curved beam with known frequencies. Additionally, these results and the outcome can be supported with real testing results to increase the confidence level. In next studies, these can be part of the main focus. 71

Çubuklar, diğer yapı elemanlarına göre, basitliklerinin getirdiği kullanım yaygınlığı sebebiyle mühendislik alanında oldukça önemli bir yere sahiptir. Geniş kullanım alanları sebebiyle çubuklar, yıllar boyunca araştırmacılar arasında önemli ve popüler bir konu olmuş ve olmaya da devam etmektedir. Çubuklar düz veya eğri gibi farklı formlara sahip olabilmekle birlikte, bu tez çalışmasında ele alınan eğri eksenli çubuklardır.Bu çalışmada, ekseni üzerindeki herhangi bir konumda ve derinlikte çatlağa sahip olan sabit eğrilikli ve sabit kesitli eğri eksenli çubuklar için, yeni bir çatlaklı çubuk sonlu eleman formülasyonu geliştirilmiş ve kesin çözümden uyarlanmış sonlu eleman yöntemi uygulanmıştır. Ardından bu yeni geliştirilmiş çatlaklı çubuk eleman ile kurgulanmış sonlu eleman yöntemi, ters problem için kullanılmış ve doğal frekans değerleri bilinen çatlaklı bir çubuk için, çatlağın eksen üzerindeki konumu ve derinliği tespit edilmiştir. Ters problemin çözümünde bir optimizasyon yöntemi olan genetik algoritma kullanılmıştırBirinci bölümde, çubuk teorisi hakkında kısaca bilgi verilmiş, çalışmanın amacı ve kapsamı belirtilmiştir. Çubuk üzerindeki çatlağa yönelik yapılan çalışmalar incelenmiş. Ardından çubuk üzerindeki çatlağın tespiti için kullanılan ters problemin çözümü için, literatürde kullanılan yöntemler hakkında bilgi verilmiştir.İkinci bölümde, değişken eğrilikli ve değişken kesitli eğri eksenli çubukların düzlem içi genel denklemleri verilmiştir. Ardından çember eksenli ve sabit kesitli eğri eksenli çubuklar için düzlem içi statik denklemlerin başlangıç değerleri problemi yoluyla çözümü verilmiştir. Asal matrisin terimleri elde edilmiştir.Üçüncü bölümde, bir önceki bölümde elde edilen eğri eksenli çubukların statik denkleminin analitik çözümü kullanılarak, sonlu eleman formülasyonu uyarlanmıştır. Çember eksenli ve sabit kesitli, üzerinde çatlak ve benzeri herhangi bir hata bulunmayan bir çubuk elemanının rijitlik ve kütle matrisleri elde edilmiştir.Dördüncü bölümde, kırılma mekaniği hakkında kısaca bilgi verilmiş, çatlağın çubuk üzerindeki etkisinden bahsedilmiş ve çatlağın yarattığı yerel esneklik matrisi elde edilmiştir. Ardından çubuk ekseni üzerindeki herhangi bir konumda ve derinlikteki çatlağa sahip bir çubuk için, yeni bir çatlaklı çubuk eleman geliştirilmiştir. Bu yeni çatlaklı çubuk eleman için rijitlik matrisi elde edilmiştir.Beşinci bölümde, daha önceki bölümlerde elde edilen çatlaksız ve çatlaklı çubuk elemanların rijitlik ve kütle matrisleri kullanılarak modellenmiş çember eksenli ve sabit kesitli eğri eksenli çubukların özdeğer problemleri çözdürülmüş ve hem çatlaksız hem de çatlaklı eğri eksenli çubuklar için doğal frekans değerleri elde edilmiştir. Elde edilen doğal frekanslar, hem literatürdeki çalışmalar ile karşılaştırılmış; hem de İstanbul Teknik Üniversitesi Makina Fakültesi'ndeki Mukavemet Birimi Laboratuvarı'nda yapılan deneylerden elde edilen sonuçlar ile karşılaştırılmıştır.Altıncı bölümde, ters problem hakkında kısaca bilgi verilmiş, bir optimizasyon yöntemi olan genetik algoritma (GA) tanıtılmıştır. Ardından bir önceki bölümde verilen çatlaksız ve çatlaklı çubukların doğal frekansları kullanılarak, GA yardımıyla çatlağın eksen üzerindeki konumu ve derinliği tespit edilmiştir. Yedinci bölümde, çalışmanın kapsamı kısaca ele alınmış, elde edilen sonuçlar yorumlanmış ve yeni önerilerde bulunulmuştur. Beams, comparing with any other structural elements, have a very important role in engineering field considering their common usage due to their simplicity. This makes them a very hot topic for researchers from past to present throughout the centuries. Beams have a variety of forms according to their geometry such as straight, curved, tapered. However, only the curved beams are considered in this study.A structure has a design aim to fulfil during service. Beams are the main elements to build the structure and every one of them is very important for that structure to meet the design criteria. However, a notch or crack in the beam, dramatically reduces the life span of the beam and this might create a catastrophic failure if it's not detected on time. There are some methods to detect the crack in the beam, however they can be very expensive or very time consuming. This study aims to create a faster, easier way to detect the crack by using finite element method.In this study, a finite element formulation is derived from analytically solved static problem considering a cracked beam with constant curvature and constant cross-section. Since the basis of the formulation derived from the exact solution, it has no simplification. This means that, shear deformation, axial deformation and rotatory inertia is not neglected. Then, a new curved cracked beam element is introduced. This new cracked curved beam element contains a crack on an arbitrary location and arbitrary depth which can be defined by the user. Using this new cracked curved beam element's and also the intact beam element's stiffness and mass matrices, intact and cracked curved beams are modelled with the finite element formulation which is derived from exact solution. Those modelled intact and cracked curved beams are then used to solve the inverse problem in order to find the crack parameters such as location and depth. During the inverse problem, genetic algorithm (GA) is implemented as an optimization method. Main aim of this study is to detect the crack's location and depth with using a new cracked curved beam element. A crack on the beam creates a local flexibility. In the light of this phenomena, a local flexibility matrix is constructed and transfer matrices are used to define this local flexibility on the intact curved beam element. By doing so, a new cracked curved beam element that contains a crack is then ready to be used to formulate the finite element method. Since this new cracked curved beam element contains an inherent crack, it can be used to model any number of crack in the beam. In this study, only one crack is considered since the main focus is to prove that the new cracked curved beam element is sufficient enough to model the curved cracked beam.In the first chapter, a general view for curved beams, where they are used and their importance is presented. After that, the presence of the crack and its effect on the beam is given. A detailed review for the studies in the literature about cracks in the beam is stated. These studies contain the effect of the crack to the beam considering vibration properties such as natural frequency and mod shapes. It is stated that the crack induces a local flexibility and diminishes the natural frequencies of the beam. It is seen from these studies that, there are many ways to model the crack, but generally the crack is modeled as link or spring. After generic information about the crack, the studies in the literature about inverse problem is given. It is declared that, the inverse problem needs to be solved in order to detect the cracks in the beam. Main idea of the inverse problem is the find the crack parameters such as location and depth of the crack. The inverse problem is approached from many different ways by researchers. Conventional hard computing methods are very time consuming considering an inverse problem. It is observed that the overall consensus if to use an optimization method to solve the inverse problem. That's why, it is mainly solved by the optimization methods such as genetic algorithm, neural networks, fuzzy logic. Papers which uses those different optimization methods for the inverse problem to detect the crack are documented. In this study, an optimization method called genetic algorithm is used in order to perform inverse problem.In the second chapter, in-plane governing equations of a curved beam are presented for the static problem. After that, initial value boundary problem is used to solve those in-plane equations. The resultant equations are given. These exact solutions are valid for any curved beam, including those curved beams which have variable curvature and variable cross-section. The solution also does not depend on the loading and boundary condition. Then, considering a curved beam with a circular curvature and constant cross section, analytical expressions of the fundamental matrix is derived.In the third chapter, finite element method is derived from the exact solution. Two-node six degree of freedom beam element is presented for the flawless curved beam. Using the fundamental matrix which was obtained in the previous chapter, the stiffness matrix for the intact beam element is constructed. Also the generic kinetic energy expression is used to obtain the mass matrix of the beam element. Considering those matrices, the classic finite element assembly is sufficient to model the flawless curved beam.In the fourth chapter, a brief review about the fracture mechanics is given. Stress intensity factors and the fracture modes are presented. Using the energy method approach, the local flexibility induced by the crack is found. A local flexibility matrix is constructed. With the help of the transfer matrices, a new cracked curved beam element which has a crack on an arbitrary location and depth is obtained. Using this new beam element, a curved beam with a crack can be easily modelled.In the fifth chapter, previously found stiffness and mass matrices of intact and cracked beam element are used to assemble the beam and then eigenvalue problem is solved to obtain the natural frequencies. It needs to be stated that the mass matrix for the intact and the cracked beam is the same. After that, studies in the literature which calculates the natural frequencies analytically and experimentally are presented. A comparison is made between the results of this study and the studies in the literature. It is stated that the results of the studies in the literature and this thesis study are well met.In the sixth chapter, the importance of the detection of the crack is given. The inverse problem is defined. It is stated that the any hard computing method is inadequate when the problem is very complex and hard to solve. It would require a lot of time to solve those problems with hard computing methods. It is described that, the inverse problem in this thesis study is the detecting the crack's location and depth on a curved beam with a circular curvature and constant cross-section. In order to detect the crack, previously found natural frequencies are used. Those frequencies are the product of a beam that is modeled with the new cracked beam element. Methods to solve the inverse problem is then defined. Although there are many ways to solve the inverse problem, an optimization method which is called genetic algorithm is chosen. General review of the genetic algorithm is presented. The cost function of the optimization problem is given. Relative error is used as the cost function. The difference between intact and cracked beam regarding experimentally determined natural frequencies is presented. After that, the difference between intact and cracked beam, which are constructed with the method of finite element, considering natural frequencies is found. These two sets of differences are then used on the cost function. By doing so, it is wanted to diminish the errors of the experiment. Also the weighting factor is determined. This factor is used to reduce the effect of the measurement noise. Moreover, using the natural frequencies of an intact and the cracked beams as an input, inverse problem is solved to detect the crack's location and depth. At first, arbitrary chosen crack parameters are tried to be found. Secondly, the natural frequencies, which is presented in the study in the literature, is used to see the efficiency of the new cracked beam element. Thirdly, an experiment in the laboratory of Istanbul Technical University is made and the natural frequencies from that experiment is used to solve the inverse problem to find the crack's location and depth. It is stated that the finite element formulation with a new cracked beam element which is presented in this thesis study is giving coherent results with an acceptable absolute error.In the seventh chapter, the scope of the study is given with results and discussions. Also some suggestions are made for the further studies. 75

Nano çubuklar, nano ölçekteki cihaz ve makinelerde yaygın olarak kullanılan yapı elemanlarıdır. Nano boyuttaki makinaların geliştirilebilmesi için bu çubuk elemanların mekanik davranışının tam olarak bilinmesi gerekmektedir. Sürekli ortam mekaniği uygulamalarında atomlar arasındaki kafes boşlukları, yüzey özellikleri, tane boyutu gibi küçük boyut etkileri göz önünde bulundurulmalıdır. Klasik (yerel) sürekli ortam mekaniğinin nano ölçekteki sistemlere uygulamasının kısıtlı olmasının temel sebebi, atomlar arasında bulunan kafes boşluklarının, yapının bütünlüğünü bozması ve sürekli ortam olarak modellenmesine engel teşkil etmesidir. Nanometre mertebesinde, bahsedilen küçük boyut etkisinin önemi artmaktadır. Bu sebeple, nano çubukların mekanik davranışı konusundaki çalışmalarda yerel olmayan sürekli ortam mekaniği kullanılmaktadır.Bu çalışmada, değişken eğrilikli ve değişken kesitli nano çubukların düzlem dışı statik ve dinamik davranışları incelenmiştir. Eringen tarafından verilen yerel olmayan elastisite teorisinin bünye denklemleri silindirik koordinatlarda yazılarak klasik çubuk teorisine uygulanmıştır. Böylece, yerel olmayan çubuk teorisi denklemleri, değişken yayılı yükleri taşıyan değişken eğrilikli ve değişken kesitli çubuklar için elde edilmiştir. Bu denklemler kullanılarak, düzlemsel eğri eksenli nano çubukların düzlem dışı statik ve dinamik problemleri incelenebilmektedir. Denklemlerde, kuvvet ve momentlerin yerel olmayan etkileri göz önüne alınmaktadır. Kayma etkilerinin yanında kayma kuvvetlerinin yerel olmayan etkilerinin de gözönüne alındığı literatürdeki ilk çalışma bu olmuştur. Eğri eksenli çubuğun düzlem dışı davranışını ifade eden denklemlerin analitik kesin çözümü, başlangıç değerleri yöntemiyle elde edilmiştir. Başlangıç değerleri yönteminin üstünlüğü; yüksek mertebe statik belirsizliklerin, problemin çözümüne ilave bir zorluk katmamasıdır. Herhangi bir bilinen sınır şartı ile kesin analitik çözüm elde etmek mümkündür. Farklı geometri ve kesite sahip çubukların asal matrislerinin analitik ifadeleri elde edilebilir. Böylece, yer değiştirme, kesit dönmesi ve kesit tesirleri değerleri eksen eğrisi boyunca analitik olarak belirlenebilmektedir. Boyut parametresi, çubuk açıklığı, narinlik oranı gibi bazı parametrelerin değişiminin çubuğun statik davranışına etkisini göstermek amacıyla farklı çubuk geometrileri, yükleme ve sınır şartları içeren problemler çözülmüştür. Eğri eksenli değişken kesitli çubuğun düzlem dışı serbest titreşimlerini ifade eden denklemler d'Alembert prensibi yardımıyla türetilmiştir. Kayma deformasyonu, eğilme ve burulma dönme eylemsizlikleri etkileri göz önünde bulundurulmuştur. Denklemlerin çözümünde başlangıç değerleri yöntemi kullanılmıştır. Kesin çözüm sadece sabit kesitli çember eksenli kirişler için mevcuttur. Değişken eğrilikli ve kesitli çubuklar, belirli sayıda sabit eğrilikli ve kesitli çubuk elemandan oluşacak şekilde modellenmiş ve aynı çözüm yöntemi kullanılarak sonuç elde edilmiştir. Titreşim ile ilgili çeşitli problemler çözülerek, doğal frekanslar elde edilmiştir. Boyut parametresi, çubuk açıklığı ve narinlik oranı gibi bazı parametrelerin değişiminin çubuğun dinamik davranışına etkisi gösterilmiştir.Bu çalışmada sunulan yerel olmayan elastisite teorisi, eğri eksenli nano çubukların düzlem dışı statik ve dinamik analizi için temel oluşturmaktadır. Klasik (yerel) elastisite teorisi yerine yerel olmayan elastisite teorisi kullanılarak, nano çubukların mekanik davranışının belirlenmesinde büyük önem arz eden yerel olmayan etkilerin ortaya çıkarılması sağlanmaktadır. Denge denklemlerinin kesin çözümünde boyut etkisi, kayma deformasyonu, dönme eylemsizliği etkilerinin dahil edildiği bu çalışmada elde edilen sonuçların eğri eksenli nano çubuklar ile ilgili yapılacak çalışmalar için önemli bir kaynak teşkil edeceği düşünülmektedir. Nanobeams are widely used as a structural element for nano-devices and nano- machines. The development of nano-sized machines depends on proper understanding of mechanical behavior of these nano-sized beam elements. The mechanical properties of nanobeams can be measured by conventional experimental methods, however, these techniques are expensive and should be improved correspond to nano scale. Considering the experimental limitations, researchers focused on better mathematical models that comprise the effects of small length scales such as lattice spacing between atoms, grain size etc. on material behavior in micro and nano scale. Computational strategies, such as molecular dynamics simulations are adopted to analyze mechanical behavior of nano-sized structures. These simulations enable comparable investigations of dynamics of nano materials to experiments, and introduce detailed information on interatomic interactions of nano materials and molecular complexes. However, it could become too complex to simulate nanostructures, and these simulations are bounded by the computational limits. On the other hand, high-order continuum modeling is less computationally expensive than the former approach and provides relatively simple formulations. The nonlocal theory of elasticity, initiated by Eringen and Edelen takes the small-scale effect into account. This theory states that the stress at a given reference point of a body is a function of the strain field at every point in the body; hence, the theory takes the long-range forces between atoms and the scale effect into account in the formulation. Small length scales such as lattice spacing between atoms, surface properties, grain size etc. need to be considered when applying any continuum model. The main reason of limited applicability of classical or local continuum theory to nano- scaled systems is that the assumption of continuous media is not appropriate for modeling the discrete structure of the material due to the lattice spacing between atoms. The small length scale becomes very important in the order of nanometers. Thus, nonlocal continuum mechanics approach is adopted for studying the mechanical behavior of nanobeams.In this study, the out-of-plane static and dynamic behavior of a curved planar nanobeam having variable curvature and cross-section is investigated. The nonlocal constitutive equations of Eringen are arranged in cylindrical coordinate and implemented into the classical beam equations. Therefore, governing differential equations of nonlocal beam theory is obtained for curved beams with non-uniform cross-section. Using these equations, out-of-plane static and dynamic problems of planar curved nanobeams can be studied. The nonlocal effects of both force and moments are considered in the equations. This is the first study in the literature that considers the nonlocal effects of shear force along with the effects of shear deformation in the formulations. The governing differential equations are obtained for curved beams and analytical exact solutions for out-of-plane static problems are obtained by using the initial value method. Superiority of the initial value method is that high order statically indeterminacy adds no extra difficulty to the solution. The exact solution can be obtained for any boundary condition. The fundamental matrix of beams with different geometries and cross-sections can be obtained analytically. Thus, the deformation, slope and stress resultants can be defined analytically along the beam axis. In order to understand the effects of different parameters such as small scale parameter, opening angle of the beam and slenderness ratio etc. on the mechanics of the beam, several examples with different geometries, loading and boundary conditions are solved.In the static analysis, a fully clamped circular beam with non-uniform cross-section and non-uniform distributed load is considered as an example. The effects of the small scale parameter and the other beam characteristics, i.e. opening angle of the beam, the slenderness ratio on the transverse displacements, rotation angle and force resultants are investigated. It is observed that the result of the nonlocal theory always larger than that by the classical model for small sized beams. The size of the beam is determined by small scale parameter which is the ratio of the nanobeam radius to the additional length scale parameter. Thus, the small scale parameter has a relevant importance in calculation of displacement. For smaller values of slenderness ratio, i.e. for thick beams, the effect of small scale parameter on the displacement ratio, i.e. the ratio of the displacement results obtained from nonlocal theory and local theory is more important. The difference between the solution of both theories increases considerably with lower values of small scale parameter for any value of slenderness ratio. A uniform change in displacement ratio is observed at larger values of small scale parameter for different values of slenderness ratio, i.e. the effect is almost the same for both theories. Displacement ratio at the midspan increases with the decreasing opening angle for different values of slenderness ratio. At larger values of opening angle, the displacement ratio remains almost the constant at unity for different values of slenderness ratio. By decreasing the beam length, i.e. for smaller opening angle, size effect is much more important. Consequently, the transverse displacement of the nonlocal beam changes more in comparison to the classic one. Therefore, the size effect must be taken into account for smaller beams. The effects of slenderness ratio - opening angle, small scale parameter - opening angle and small scale parameter - slenderness ratio on the rotation angles and force resultants are also studied. Ratio of rotation angle and also the ratio of moments are not affected by the slenderness ratio. The results for shear forces is equal to unity, meaning the both theories give the same results.The equations for out-of-plane free vibrations of a curved beam with non-uniform cross section are derived by means of d'Alembert principle. The effects of shear deformation, bending and torsional rotatory inertia are considered for the out-of-plane vibrations. In the solution process, initial value method is used. Exact solution is only available for uniform circular beams. The vibration of a curved beam with varying curvature and cross-section is investigated by dividing the beam into a number of circular uniform beam elements. Similar approach is taken in the solution process. Natural frequencies are obtained for different curved beams. The effect of small scale parameter, opening angle of the beam and slenderness ratio on the dynamic behavior of the beams are presented with these examples. It is observed that size effect is more significant when the small-scale parameter is small. It is observed that the ratio of the natural frequencies predicted by nonlocal and classical models becomes more noticeable for both lower values of slenderness ratio and opening angle of the nanobeam. It is expected that the valuable results obtained from the presented continuous model would be very useful for dynamic analyses of beam-like components such as nanosensors or nanoactuators whose discrete models have high computational and labor costs.The literature has shown that, almost all the studies on nonlocal beam theory has discussed the subject in the context of straight nanobeams. There are very limited number of papers on the curved nanobeams and most of them neglect the effect of shear deformation. Numerical and approximate solution methods are used in these studies. Numerical examples for nonlocal curved beam models are insufficient. The present work will be helpful in the analysis and design of curved nanobeams with various combinations of loadings, geometry and boundary conditions. The nonlocal theory and the equations presented in this study forms the basis for the study of out- of-plane static and dynamic analysis of curved nanobeams. Instead of using classical beam theory, using nonlocal elasticity theory reveals the nonlocal effects which is significant to understand the mechanical behavior of nanobeams. The results of the examples presented in this study will give insight to the interplay between the geometry of the beam and the stress distribution and the effect of the nonlocal behavior on static and dynamic behavior of curved nonlocal beams. Considering scale effect, shear deformation and rotatory inertia in the exact solutions of the governing equilibrium equations presented here, the results can be considered as a reference for nonlocal theories of curved nanobeams. 106

Tez (Doktora) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2016, Thesis (PhD) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 2016, Modern teknolojide, cihaz özellikleri büyük bir hızla artmakta, boyutlar ise aynı hızla küçülmektedir. Malzeme boyutları küçülmeye başladıkça, özellikle, nanometre mertebelerine inildiğinde, malzemelerin yeni ve mükemmel fiziksel özellikleri ortaya çıkmaktadır. Atomların ve moleküllerin dizilişi tasarlanarak olağanüstü özelliklere sahip yeni yapay malzemeler ortaya çıkarılmaktadır. Bu malzemelerle, nano boyutlarda cihazlar ve sistemler tasarlanmaktadır. Bu yeni teknolojiye nanoteknoloji denmektedir. Nanoteknolojinin en önemli temel alanlarından biri nanomekaniktir. Nanomekaniğin çalışma konusu, nano boyuttaki sistemlerin kuvvet ve yer değiştirme ilişkilerinin ve titreşim özelliklerinin analizi ile fonksiyonel ve elastik karakteristiklerinin incelenmesidir. Özellikle, karbon nanotüplerin keşfinden sonra, nanomekanik konusundaki çalışmalar yoğunlaşmıştır. Son zamanlarda, nano elektromekanik sistemlerin (NEMS) ortaya çıkması, bunlara olan ilgiyi oldukça arttırmıştır. Literatürde yapılan ve nanotüplerin ve nanoçubukların statik ve dinamik davranışları inceleyen çalışmalar, analizlerinde üç temel yöntem kullanmışlardır: Atom seviyesinde modelleme. Hibrid: Atom seviyesinde-sürekli ortamlar mekaniği ve Sürekli ortamlar mekaniği. Atom seviyesinde modelleme yönteminde, genel olarak, klasik moleküler dinamik ve yoğunluk fonksiyonu teorisi kullanılmaktadır. Hibrid yöntemde ise, atomlar arası potansiyel enerji, sürekli ortam analizine doğrudan uygulanmaktadır. Sürekli ortamlar mekaniği teorisi, karbon nanotüpleri ve nano çubukları, sürekli ve homojen makro yapılar olarak ele almaktadır. Atomlar arasındaki kafes boşlukları gibi, malzeme mikro yapılarına ait özellikler ihmal edilmektedir. Klasik veya yerel sürekli ortamlar teorisinin, nano boyuttaki sistemlere uygulanabilirliğinin kısıtlı olmasının esas nedeni, atomlar arası kafes boşluklarından dolayı oluşan malzemedeki ayrık yapının, sürekli ortam kabülü ile modellemeye uygun olmamasıdır. Diğer bir deyişle, nano ölçekte, malzeme özellikleri boyuta bağlı olarak değiştiği için, nano-malzemelerin mekanik davranışının belirlenmesinde, küçük ölçek etkisinin göz önünde bulundurulması gerekmektedir. Nanometre mertebesindeki sistemlerde, küçük ölçek etkisi oldukça önemli hale gelmektedir. Böylece, nano yapılarla ilgili çalışmalarda, boyut etkisinin hesaba katıldığı yerel olmayan sürekli ortam mekaniğinin uygulanmasına başlanmıştır. Yapılan literatür araştırmasında, çoğunlukla, doğru eksenli nano çubukların statik ve dinamik analizinin ele alındığı görülmektedir. Eğri eksenli nano çubuklarla ilgili sınırlı sayıda çalışma bulunmaktadır. Bunların bir çoğu, atom seviyesinde modelleme veya hibrid yöntemleri kullanmaktadır. Yerel olmayan elastisite teorisinin kullanıldığı az sayıdaki çalışmada ise, yerel olmayan etki olarak, sadece eğilme momenti göz önünde bulundurulmaktadır. Statik problemleri ele alan çalışmalar, sadece eğilme etkisini gözönüne almakta, kayma deformasyonu etkisini ihmal etmekte, kesme kuvvetinin yerel olmayan etkisini göz önüne almamaktadır. Titreşim problemlerini inceleyen çalışmalarda ise, hem kayma deformasyonu hem de dönme eylemsizliği etkileri genellikle ihmal edilmektedir. Ayrıca, çözümler, çeşitli sayısal ve yaklaşık yöntemlerle elde edilmektedir. Bu çalışmada, düzlemsel eğri eksenli nano çubukların statik ve dinamik davranışları, yerel olmayan elastisite teorisinin genel denklemleri kullanılarak incelenmiştir. Eringen tarafından verilen yerel olmayan elastisite teorisinin genel denklemleri, silindirik koordinatlarda yazılarak, çubuk teorisine uygulanmıştır. Böylece, yerel olmayan çubuk teorisi denklemleri, değişken yayılı yükleri taşıyan değişken eğrilikli ve değişken kesitli çubuklar için elde edilmiştir. Bu denklemler kullanılarak, düzlemsel eğri eksenli çubukların düzlem içi statik ve dinamik problemleri incelenebilmektedir. Denklemlerde, hem momentlerin ve hem de kuvvetlerin yerel olmayan etkileri gözönüne alınmaktadır. Eksenel uzama ve kayma etkilerinin yanında eksenel ve kayma kuvvetlerinin yerel olmayan etkilerinin de gözönüne alındığı literatürdeki ilk çalışma bu olmuştur. Eğri eksenli çubğun statik davranışını ifade eden denklemlerin analitik kesin çözümü, başlangıç değerleri yöntemiyle elde edilmiştir. Başlangıç değerleri yönteminin üstünlüğü; yüksek mertebe statik belirsizliklerin, problemin çözümüne ilave bir zorluk katmamasıdır. Herhangi bir bilinen sınır şartı ile kesin analitik çözüm elde etmek mümkündür. Farklı geometri ve kesite sahip çubukların asal matrislerinin analitik ifadeleri elde edilmiştir. Böylece, çubuk eksen eğrisi ve kesiti ne olursa olsun, yer değiştirme, kesit dönmesi ve kesit tesirleri değerleri eksen eğrisi boyunca analitik olarak belirlenebilmektedir. Ayrıca, teoride ortaya çıkan parametreler belirlenerek, bunların statik davranışa etkileri incelenmiştir. Boyut parametresi, çubuk açıklığı, narinlik oranı gibi bazı parametrelerin değişiminin çubuğun statik davranışına etkisini göstermek amacıyla çeşitli çubuk geometrileri, yükleme ve sınır şartları ile ilgili problemler çözülmüştür. Sonuçlar, eksenel uzama ve kayma deformasyonu etkilerini göz önüne alan ve almayan farklı durumlar için hesaplanmıştır. Çeşitli problemler çözülmüş ve yer değiştirme, dönme açısı ve gerilme bileşenlerinin kesin analitik denklemleri elde edilmiştir. Bu çalışmada önerilen yöntemle boyut parametresi ve çeşitli geometrik parametrelerin eğri eksenli nano çubukların statik davranışına etkileri incelenmiştir. Narinlik oranı λ=(R θ_t)⁄√(I⁄A) , 20 ile 150 arasında ve çubuk açıklığı (θ_t) 10° ve 180° arasında alınmıştır. Boyut parametresi (R⁄γ)' nin 1 ile 10 arasında değiştiği kabul edilerek yerel olmayan boyut faktörü γ 1,56 nm olarak alınmıştır. Poisson oranı ve Young modülü sırasıyla υ=0.3 ve E=1 TPa, alınmıştır. Ancak bu çalışmada, yerel ve yerel olmayan teorilerle elde edilen sonuçların oranları verildiğinden sonuçlar bu değerlere bağlı değildir. Çubuk statik davranışını ifade eden denklemlerden hareketle, D’Alembert prensibi yardımıyla, dinamik davranışları ifade eden denklemlere ulaşılabilmektedir. Eksenel uzama, kayma deformasyonu ve dönme eylemsizliği etkilerini göz önüne alan dinamik denklemlerin kesin çözümü, başlangıç değerleri yöntemiyle, düzlem içi titreşimler için elde edilmiştir. Kesin çözüm, sadece, sabit kesitli, çember eksenli çubuklar için söz konusu olmaktadır. Titreşim ile ilgili çeşitli problemler çözülerek, doğal frekanslar elde edilmiştir. Ayrıca, elde edilen frekanslar yardımıyla mod şekilleri de çizilmiştir. Boyut parametresi, çubuk açıklığı, narinlik oranı gibi bazı parametrelerin değişiminin çubuğun dinamik davranışına etkisini göstermek amacıyla çeşitli örnekler verilmiştir. Ayrıca, değişken eğrilikli ve kesitli çubuklar da, birçok sabit eğrilikli ve kesitli çubuk elemandan oluşuyormuş gibi modellenmiş ve aynı çözüm yöntemi kullanılarak sonuç elde edilmiştir. Sonuçlar, etkilerin göz önüne alındığı ve alınmadığı farklı durumlar için hesaplanmıştır. Bu çalışmanın temel amacı, nano boyutlardaki çubukların statik ve dinamik problemlerinde, yerel olmayan elastisitenin kullanılmasının klasik elastisiteye göre çok daha üstün olduğunu ve nanoyapıların mekanik davranışlarını anlamada yerel olmayan etkilerin önemli olduğunu göstermektir. Çalışmada, eğri eksenli nano çubukların statik davranışları için temeli Eringen’in yerel olmayan elastisite teorisine dayanan boyuta bağlı yeni bir çubuk teorisi sunulmuştur. Yerel olmayan bünye denklemleri klasik çubuk denklemlerine uygulanmıştır. Eksenel uzama ve kayma deformasyonu etkileri ve bunlar ile eğilme momentinin boyuta bağlı etkileri analitik modelde ele alınmıştır. Kesin çözüm için başlangıç değerleri yöntemi kullanılarak sonuçlar analitik olarak elde edilmiştir. Diğer modelleme yöntemleri bazı kusurlarından dolayı yetersiz kalmaktadır. Atomistik yaklaşımın karmaşık atomik yapıları modelleme kapasitesi yoktur ve hesaplama yönünden pahalı olmaktadır. Öte yandan, klasik sürekli ortam yaklaşımları daha basit formülasyonlar vermekte fakat boyuttan bağımsız olmaları nedeniyle yetersiz kalmaktadırlar. Çalışmaların çoğunda, nano çubuklar kusursuz şekilde düz kabul edilmektedir, fakat sensörler gibi nano teknoloji uygulamalarında kullanılmaları için eğri eksenli üretilebilmektedirler. Bu gerçekten hareketle, nano çubuk denklemleri elde edilerek kesin çözümler geliştirilmiştir. Ayrıca, mühendislik uygulamaları için yerel olmayan bir sonlu eleman geliştirmek bu çalışmayla mümkün olabilecektir. Nano bilim ve nano teknolojideki ilerlemeler son on yılda modern dünyayı şekillendirmiştir. Teori, modelleme ve simülasyon bu ilerlemelerde kritik bir rol oynamıştır. Burada önerilen çözüm yöntemi, MEMS ve NEMS uygulamalarındaki eğri eksenli çubuk komponentlerin tasarım ve üretimine yardımcı olacaktır. Bu çalışmadan elde edilen sonuçların nano aygıtların mühendislik tasarımına yol göstereceği ümit edilmektedir., Today, the device features develop at a great pace, while shrinking the dimensions with the same speed. At nanometer scale, materials have new and excellent physical properties. By designing sequence of atoms and molecules to reveal artificial materials with exceptional properties, and design nano-scale devices and systems with them is a new technology called nanotechnology. One of the most important fundamental areas of nanotechnology is nanomechanics. Subjects of the study are the relations between force and displacement analysis of nano scale systems and to examine the functional and elastic characteristics of these systems. After the discovery of carbon nanotubes, extensive researches have been conducted in nanomechanics. Recently, the interest for the nano-electromechanical systems (NEMS) has increased considerably. In these studies, static and dynamic behavior of nanotubes and nanobeams has been investigated. In the analysis, three main methods have been developed and used: Atomistic modelling. Hybrid atomistic-continuum mechanics and Continuum mechanics. In the atomistic modeling method, in general, conventional molecular dynamics and the density functional theory are used. Interatomic potential energy is directly applied into the continuum analysis in the hybrid atomistic-continuum mechanics. Carbon nanotubes are considered as continuous and homogeneous macro-structures in the theory of continuum mechanics. The material properties of the micro-structures, as the lattice spaces between carbon atoms are neglected. The main reason of limited applicability of classical or local continuum theory to nano-scaled systems is that the assumption of continuous media is not appropriate for modeling the discrete structure of the material due to the lattice spacing between atoms. In other words, the material properties are size dependent at nanoscale and so that the small length scale effect should be taken into consideration while determining the mechanical behavior of a nano-material. The small scale effect becomes very important at the order of nanometers. Thus, in the studies of nano structures, the scale effects in these materials started to be taken into account at the implementation of nonlocal continuum mechanics. Literature survey shows that most of the studies are mainly focused on static and dynamic analysis of nanobeams. A few of these studies have used the nonlocal elasticity theory, and only the bending moment is considered as a nonlocal effect. The studies dealing with the static problems have taken only the effect of bending into account, and the shear deformation effect has been neglected. Rotatory inertia and shear deformation effects are often neglected in the studies investigating the problems of vibration. Also, the solutions are obtained approximately by using various numerical methods. In this study, a curved planar nanobeam having variable curvature and a variable cross-section will be discussed by using the equations of the nonlocal elasticity theory. The nonlocal constitutive equations of Eringen are arranged in cylindrical coordinate and implemented into the classical beam equations. Thus, the equations for nonlocal beams with varying curvature under varying loads are obtained. Using these equations, both static and dynamic problems of planar curved nanobeams are solved. The nonlocal effects of the three forces as well as the three moments are considered while deriving the equations. The governing equations for in-plane static problems of a nanobeam with varying curvature and cross-section bearing distributed loads are presented. The nonlocal effects of moments and forces are considered in the equations. In addition, the axial extension and shear deformation effects are considered in the analysis. This is the first study which includes the nonlocal effects of axial and shear forces in the formulation. The resulting differential equations are solved analytically using the method of initial values. Superiority of the initial value method is that high order statical indeterminacy adds no extra difficulty to the solution. The solution can be obtained for any boundary condition. The fundamental matrix of beams with different geometries and cross-sections are obtained analytically. Thus, in any case of beam axis and cross-sections, the deformation, slope and stress resultants can be defined analytically along the beam axis. The effects of the parameters such as small scale parameter, opening angle, slenderness ratio on the static behavior of the beam are also studied. In order to assess the versatility of the method, several examples with different geometries, loading and boundary conditions are solved. The results are obtained for different cases considering or neglecting the effects of axial extension, shear deformation and rotatory inertia. Various problems are solved and the exact analytical equations of the displacements, rotation and the stress resultants are obtained. The effects of nanoscale parameter and variation of geometric parameters on the static behavior of a circular nanobeam analyzed and discussed through the proposed method. The slenderness ratio of the beam λ=(R θ_t)⁄√(I⁄A) is changed from 20 to 150 and opening angle of the beam (θ_t) is taken as between 10° and 180°. Small scale parameter (R⁄γ) is considered to change from 1 to 10 and γ is taken as 1.56 nm. Poisson’s ratio and Young’s modulus is taken as υ=0.3 and E=1 TPa, respectively. However, in this study the results do not depend on these values, since they are given as ratio of the results of local and nonlocal theories. The equations of motion are derived by means of d’Alembert principle. The solutions of dynamic problems of in-plane vibrations considering axial extension, shear deformation and rotatory inertia effects are presented. In the solution process, initial value method is used. Exact solution are only available for constant cross section, circular curvature nanobeams. Natural frequencies are obtained for different vibration problems. In addition, using these natural frequencies mode shapes are obtained and shown in figures. The effects of parameters such as small scale parameter, opening angle and slenderness ratio to the dynamic behaviour of beams are investigated and examples are presented. Additionally, curved beams with varying curvature and cross-section are modelled as if they consist of a lot of beams with constant cross section and circular curvature. And using same solution method the result are obtained. The results are obtained for different cases considering or neglecting the effects of axial extension, shear deformation and rotatory inertia. The objective of this study is to show that the nonlocal elasticity is a better approach for static and dynamic analysis of nanobeams. Instead of using classical beam theory, using nonlocal elasticity theory reveals the nonlocal effects which is significant to understand the mechanical behavior of nanobeams. A new size-dependent general beam theory is presented within the framework of Eringen’s nonlocal elasticity theory for static behavior of curved nanobeams. Nonlocal constitutive equations are implemented in the classical beam equations. Axial extension and shear deformation effects and their size-dependent effects along with the size-dependent effects of bending moment are incorporated in the analytical model. Initial value method is used for the exact solution and the results are obtained analytically. Other modeling techniques are suffering from some shortcomings. Atomistic approach is incapable of modeling complex atomic structures and computationally expensive. On the other hand, classical continuum approach gives relatively simple formulations but it is inadequate for modeling because of the size-free deficiency. In most of the studies, nanobeams are assumed to be perfectly straight beams, but they may also be fabricated curved to be used as sensors, resonators for nanotechnology applications. Motivated by this fact, the nonlocal beam equations are obtained and an exact solution is developed for the static problems of planar curved nanobeams. Also, for engineering applications, it may be possible to develop an exact nonlocal beam finite element. Advances in nanoscience and nanotechnology shaped the modern world in the last decade. Theory, modeling and simulation have played a critical role in these advances. With the solution method proposed herein, it would be very helpful in design and fabrication of curved beam components in MEMS and NEMS applications, particularly those whose main duties are to transfer securely the applied forces. It is expected that the results obtained from the present study are got to instruct the engineering design of nano devices., Doktora, PhD

Bu çalışmada, ağır ticari araçların havalı süspansiyon sistemlerinde kullanılan boru denge çubuğunun tasarımı, imalatı, yorulma ömür tespiti ve parça dayanım özelliklerinin belirlenmesi hedeflenmiştir. Boru denge çubuğunun burulma direnci mevcut tasarım olan dolu denge çubuğuna göre belirlenmiştir. Süspansiyon paket alanı ve denge çubuğunun diğer komponentlerle bağlantıları göz önünde bulundurularak boru denge çubuğunun tasarım kriterleri belirlenmiştir. Tasarım kriterleri belirlenen çubuğun ilk numuneleri imal edilerekz deney düzeneğinde test edilmiştir. Elde edilen test sonuçlarına göre yeni tasarımda iyileştirmelerin yapılmasına karar verilmiştir. Tüm bu hesaplar ve deneyler sonucunda yeni tasarım boru denge çubuğunun imalat kısıtları belirlenmiştir.Taşıtın ömrüne karşılık gelen test parkuru seçilmiş, teker merkezinden kuvvet-moment ölçümleri ve denge çubuğu linki üzerinden gerinim ölçümü yapılmıştır. Süspansiyon kinematiği ve deplasman-yük değerleri araç üzerinden özel bir platformda ölçülmüş ve hızlandırılmış yol testinde toplanan datalar bu veriler ile birleştirilerek denge çubuğu linkine gelen yüklere dönüştürülmüştür. Denge çubuğunu şasiye bağlayan rigde kalibre edilmiş link üzerinden kuvvet datası toplamıştır. Parçaların ömür testlerini yapmak ve gerinim datası toplamak amacıyla laboratuvar ortamında parça için test düzeneği kuruluştur. Laboratuvar test düzeneğinde ise denge çubuğunda çeşitli lokasyonlara bağlanan strain gage ile gerinim datası toplanmıştır.Sonlu elemanlar analizi rig ile aynı koşulda yerdeğiştirme bazlı yapılmış olup, gerinim dataları analizin korelasyonu için kullanılmıştır. Test düzeneğinde denge çubukları araçta yapacağı en büyük yerdeğiştirme miktarına göre test edilmiştir. Test sonucunda elde edilen parça bazlı kırılma çevrim sayıları sonucunda malzemenin gerinim-ömür grafiğinden parçanın gerinim– ömür grafiği elde edilmiştir. Kurulan sonlu elemanlar modelinde toplanan ve araç süspansiyon kinematiğine göre dağıtılan yükler denge çubuğunun yük alma bölgesi olan göz bölgesine gelen yüklere dönüştürülmüş ve yükleme dataları uygun şekilde ayıklanmıştır. Denge çubuğunun gözüne gelen altı eksenli kuvvetlerin etkin olan yükleme yönleri tespit edilmiş ve sonlu elemanlar modelinde denge çubuğu gözünden birim yük olarak uyglanmıştır. Birim yüklü sonlu elemanlar analizi, yorulma analizi programında aynı yöne karşılık gelen yol data yükleri ile eşleştirilerek hasar bulunmuştur. Hasar analiz döngüsünde birim yüklü sonlu eleman modeli ve altı eksenli yol datası gerinim-çevrim eğrisine girdi olarak verilmiş ve karşılık olarak hasar sonuçlu sonlu eleman modeli çıktı olarak alınmıştır. Bu döngü sürecinde kullanılan yazılım öncelikle birim yüklü analiz sonuçlarını ayrı adımlarda almakta ve gelen yüklemeler ile eşleştirip vektörel çıktıları hesaplamaktadır. Hesaplama işlemi sonrasında rainflow çevrim sayma metodu ile sınıflandırıp tanımladığınız SN eğrisi üzerinden hesaplamalar yapmaktadır. Taşıtın ömrüne karşılık gelen hızlandırılmış yol parkurundan toplanan datalar ile parça dayanım testlerinde uygulanan datalar ömür olarak karşılaştırılmış ve parçaların komponent test çevrim sayıları hesaplanabilmiştir. Sonuç olarak, her iki tasarımın ömür karşılaştırılması yapılmış olup laboratuvar ortamında yapılan parça dayanım testi, araçtan toplanan datalar ve sonlu elemanlar metodu ile parça tasarımı tamamlanmıştır. Denge çubuklarının rig test ömrü belirlenmiş, yorulma ömür hesap metodolojisi tespit edilmiş ve parçanın dayanım kriterleri ortaya konulmuştur. Fuel consumption is an important aspect for customer and vehicle manufacturers accordingly; therefore weight reduction plays a significant role in fuel economy to be competitive in heavy commercial vehicle market. Weight reduction can be achieved primarily by the introduction of better material, design optimization and better manufacturing processes. Anti-roll bar is a suspension part which transmits the loads from the outside to the inside wheel to minimize the body roll. ARB also reduces body roll which in result, enhances ride comfort and increases driving confidence. In this study, tubular type stabilizer bar designed for rear suspension on heavy-duty vehicles. Using hollow ARB has many advantages; the most important advantage is the weight reduction.Surface defects such as roughness, penetration, decarburization, has negative impact on fatigue life of the components. Decarburization is a change in the structure and content of steel that some surface layers of steel and carbon are lost. Loss of carbon can make structural steel less stable. Decarburization normally takes place when steel goes through the heating process it was done in electrical resistance or natural gas heated furnaces where contain Oxygen resulting in loss of carbon and oxidation. ARB is generally manufactured with using hot bending or cold bending method.Decarburization occurs during hot bending process as a source of heating. This study investigates effects of decarburization on the heavy commercial vehicle hollow ARB fatigue life. Surface decarburization is reduces the durability fatigue of the anti-roll bars, so it is important that surface decarburization be at minimum level. Occurrence of decarburization primarily starts in the course of manufacturing raw material, rod or tube, surfaces produced with hot rolled method before heat treatment in the production of ARB.Anti-roll bar is a crucial component in vehicle suspension; and it was chosen to perform the current study. Surface defects such as decarburization resulted in a reduction hardness in decarburization area. Experimental designs were performed to understand the relation between fatigue life and decarburization. In initial experiment, tubular black bars used on hot bending production oprations. Because of the high decarburization level on between shoulders and descaling on shoulder zones, observed breakage location of the fatigue test results of ARB was different from expected. Peeling operation was performed to decrease surface decarburization to improve fatigue behaviour of the part. According to statistical B10 life, 3,2 times life improvement has been obtained by peeling process. This study also proves that decarburization level and fatigue life has negative strong correlation. According to the test results, Hollow ARB was broken from shoulder, expected portion, and fatigue life increased. Hollow ARB was produced with peeling mehod and tested on rig test.Hollow and solid ARB's fatigue life will be compared. In order to achieve this, at first a finite element model is constructed iteratively with using strain gauge measurements on rig test bench. This model and component S-N that will be found with performed tensile test, are used as an input for quasi-static fatigue analysis. Fatigue analysis will be correlated with rig test results. That correlated analysis is modified with multiaxial loading scenarios of proving ground. Stress combination methods are examined and the most suitable ones are selected for critical areas.In the automotive industry, fatigue testing in a laboratory is defined as an accelerated test that is specifically designed to replicate fatigue damage and failure modes from proving grounds. The aim using proving ground is to increase the damage gathering by adding extreme events that would match the target usage mileage in short periods. To understand if the vehicle life cycle is equivalent or not, a customer clinic is performed that shows the customer usage and loading statistics. According to customer clinic results, the road load acquisition event is done on selected areas. For the same purpose, RLD collection is performed with the same instrumented vehicle in different proving ground events. Force and moment measurement, totally six different channels for every axle, are done from the wheel center from proving ground. After the comparison of damages, an equivalent event is produced for the vehicle. The total event has different loading paths and vehicle condition. During data acquisition phase, the wheels are equipped with wheel force transducers and critical parts are equipped with strain gauges. Strain gauge is implemented on anti-roll bar link and strain is collected from all different loads. Suspension geometry and displacement-load values are measured via a special platform that the vehicle mounted and the data acquired from durability test are converted to anti-roll bar link load after combining with the data gathered at the accelerated road test. Strain gages also implemented ARB that tested on test bench. Displacement is determined as maximum displacement that ARB exposes at the vehicle.At first, in order to correlate the model, finite element model is constructed that simulates boundary condition of the vehicle and test rig for solid and hollow ARB. Boundary conditions of finite elements are simplified suitably and implemented to the model. ARB is modelled with hexahedral elements and the element size is decreased until get enough convergency. Finite element model is optimized with respect to the requested strains and measured strains. The other finite element model, which is constructed as an input for quasi-static fatigue analysis with proving ground data is `unit load analysis`. This analysis consists of unit magnitude loads at each degree of freedom (DOF) and is used to determine the stress state of ARB for each DOF. At this type of analysis, unit loads are applied at all DOFs one by one and as a result, the stress state of the part is obtained at every DOF. Each step of analysis has to contain only one stress state as they will be matched with time dependent characteristics on post process. Empty analysis steps, where all the loads are deactivated, are constructed to be able to obtain a more stabilized analysis. For both designs, as hollow and solid ARB, these two finite element models are created.Cyclic properties of materials are obtained from Ford material database. It should be noted that these material properties do not contain manufacturing effects as surface roughness, shot peening, cold or hot rolled. Therefore, at first these properties must be manipulated with respect to rig test results. This is achieved at rig test fatigue analysis and a component level S-N curve is obtained.Proving ground data consist of different events with specific repeat numbers. By using these time series, a duty cycle schedule is built. During fatigue analyses, critical plane approach and absolute maximum principle methods are applied. At critical plane approach stress tensor is defined by the calculation of the most damaging plane simply by rotating the plane at each step and finding the most critical plane. Absolute maximum principle stress could be defined as the principle stress with the largest magnitude. Nonproportionality factor and biaxiality ratio is calculated and in the light these values the multiaxiality condition is checked. It is observed that non-proportionality factor, biaxiality ratio is between the thresholds, and therefore selected absolute maximum principle stress combination method is valid. While running whole model with relevant data, critical hot spot nodes are selected and compared. The results of most critical area presented as pseudo-damage.As a result, two designs are compared with respect to pseudo-damage results and new design is assessed. Finite element correlation is performed with strain-gauge and vehicle durability test. FE models are optimized and verified for the future works. Correlated finite element model and damage analysis methodology is determined and used for test specifications of anti-roll bar. 107

Günümüzde karbon fiber malzemelerin önemi giderek artmaktadır. Bu malzemeler yüksek mukavemet gereken veya düşük yoğunlukları sayesinde hafiflik istenilen uygulamalarda tercih edilmektedirler.Karbon fiber malzemelerin bazı avantaj ve dezavantajları bulunmaktadır. Hafiflik, yüksek mukavemet ve rijitlik, yüzey pürüzlülüğünün az olması avantajları arasında sayılabilir. Dezavantajları ise yüksek maliyet, üretim zorluğu ve boyut toleranslarının üretim metoduna bağlı olmasıdır.Mühendislik tasarımlarında burkulma üzerinde dikkatle durulması gereken konulardan biridir. Malzemelerin burkulma mukavemetleri; çekme, basma, eğilme veya burulma gibi diğer mukavemetlerinden farklıdır. Çekme, basma, eğilme ve burulma mukavemetleri için malzemenin uygulanan kuvvete dayanıp dayanamayacağına bakılır. Bunun için malzemenin gerilme şekil değiştirme eğrisindeki akma mukavemetinin bilinmesi gerekmektedir. Malzemeye etkiyen kuvvete bağlı olarak mukavemet denklemlerinden oluşan gerilme değeri bulunmaktadır. Bu değer akma mukavemetiyle karşılaştırılıp malzemenin hasar alıp almadığı bulunur.Malzemenin burkulma mukavemeti ise üzerinde oluşan gerilmeden bağımsızdır. Kritik burkulma kuvveti, malzeme geometrisine bağlı olarak değişmektedir. Çekme, basma, eğilme ve burulma mukavemetleri için limit değeri olan akma mukavemeti bir malzeme özelliğidir fakat burkulma mukavemeti için limit değeri olan kritik burkulma yükü, burkulma denklemleriyle hesaplanabilmektedir.Ayrıca burkulma için önemli olan bir diğer durum ise burkulma hasarının malzemenin gerilme şekil değiştirme eğrisinde belirtilen elastik bölge içerisinde gerçekleşmesidir.Çekme, basma, eğilme ve burulma mukavemeti problemlerinde malzeme kırılması, şekil değiştirme aşaması tamamlandıktan sonra gerçekleşmektedir. Bu nedenle malzeme kırılma belirtileri görülebilmektedir. İlk aşamada, uygulanan kuvvet arttıkça malzeme elastik olarak şekil değiştirmektedir, yani uygulanan kuvvetin kaldırılması sonucu malzeme ilk haline dönebilmektedir.Eğer uygulanan kuvvet yeteri arttırılmaya devam edilirse, malzeme akma sınırına ulaşacaktır. Bu noktadan sonra malzemenin üzerindeki kuvvet kaldırılsa bile ilk boyutuna geri dönemeyecektir.Akma sınırından sonra kuvvet arttırılmaya devam edilirse malzeme şekil değiştirmesi de artar ve çekme durumu için boyun verme durumu gözlenebilir. Bu durum malzeme kırılmasının da boyun veren bölgede oluşacağı göstermektedir. Eğer uygulanan kuvvet arttırılmaya devam edilirse malzeme boyun veren bölgeden kırılıp hasar görecektir.Çekme, basma, eğilme ve burulma durumları için kırılma belirtileri görülebilmesine rağmen burkulma problemlerinde hasar elastik bölgede oluştuğu için bu tarz belirtiler görülmemektedir ve kırılma bir anda gerçekleşmektedir. Bu yüzden burkulma problemlerine önem gösterilmesi gereklidir.Burkulma çeşitlerine örnek olarak eksenel basma kuvveti, hidrostatik basınç, eğilme kuvveti veya burulma momenti altında burkulma verilebilir. Yani burkulma durumu sadece basma kuvveti altında gerçekleşmemektedir, diğer kuvvetler altında da gerçekleşebilmektedir.Yapılan bu çalışma kompozit silindirik kabuk yapıların burkulmasıyla ilgilidir. Kabuk yapılar uygulamada birçok yerde kullanılmaktadırlar. Bu durum kabuk yapıların mukavemet analizlerini önemli kılmaktadır. Kabuk yapı teorileri, kiriş teorilerine kıyasla kullanılan diferansiyel denklemler ve çözümleri bakımından çok daha karmaşıklardır. Ayrıca karbon fiber gibi izotropik olmayan kompozit malzemelerin teorileri de daha karmaşık olmaktadır.Karbon fiber lamina bir ortotropik malzemedir ve 6x6 rijitlik matrisi içerisinde 9 adet bağımsız malzeme sabiti bulunmaktadır. Yüzey gerilme yaklaşımı yapılarak bu durum basitleştirilebilir. Böylece malzeme rijitlik matrisi 3x3 boyutuna indirgenmektedir. Bu yaklaşım lamina kalınlığı çok az ve kalınlık doğrultusundaki gerilme değişimi ihmal edilebilecek düzeyde olduğu için uygulanabilmektedir.Çalışmanın amacı aynı geometrik ve malzeme özellikleri için maksimum burkulma kuvvetini taşıyabilecek en uygun fiber açılarını analitik ve sonlu eleman yöntemleri yardımıyla bulmaktır.Fiberlerin açı düzeni, bütün kuvvet koşullarında karbon fiber yapıların mukavemeti için önemli bir rol oynamaktadır. Eğer kuvvet doğrultusu ve lamina sayısı biliniyorsa, fiberlerin açı düzeni her lamina için bulunabilmektedir.Burkulma durumunda, kuvvet koşulları önem kazanmaktadır. Çünkü fiber açıları kuvvet doğrultusu ile değişmektedirler. Bu durum burkulma modunun ve burkulma deformasyon şeklinin de değişmesine yol açmaktadır.Bu çalışmada önemli bir diğer nokta ise yapının burkulmaya bağlı ya da akmaya bağlı olarak hasar aldığının belirlenebilmesidir.Bu amaçla öncelikle maksimum burkulma kuvvetini taşıyabilen fiber açı düzeni hesaplanmıştır. Daha sonra Tsai - Hill hasar teorisi kullanılarak yapının akma sınırına bağlı hasar alıp almadığı araştırılmıştır. Bu şekilde yapının akmaya bağlı hasar almadığı, sadece burkularak hasar aldığı durumlar belirlenmiştir.Analitik çözüm süreci için MATLAB sayısal hesaplama programından yararlanılmıştır. Programda kritik burkulma kuvvetinin hesaplanması için burkulma teorisindeki denklemler kullanılmıştır.Fiber açı optimizasyonunu sağlamak için lamina sayısına bağlı olarak ve programda tanımlanan bir hassasiyetle rastgele bir açı matrisi oluşturulmuştur. Oluşturulan bu açı matrisi hassasiyet oranına bağlı olarak 0° ile 90° arasında bütün açı kombinasyonlarını içermektedir. Açı matrisinin kolon sayısı oluşturulan açı düzenlerinin sayısı kadar olmaktadır. Bu açı düzenlerinin hepsi için ayrı olarak rijitlik matrisi ve burkulma kuvvetleri program tarafından hesaplanmıştır. Daha önce belirlenmiş olan malzeme geometrisi için maksimum burkulma kuvvetini veren açı düzeni belirlenmiştir. Bu açı düzeni malzemenin optimum açı düzeni olmaktadır.Daha sonra malzemenin Tsai – Hill hasar teorisi kullanılarak akmaya bağlı olarak hasar alıp almadığı kontrol edilmiştir. Böylece akmaya bağlı hasar alan durumlar elenmiş ve optimum açı düzeni sadece burkulmaya bağlı olan durumlar için bulunmuştur.Bundan sonra analitik çözümü kıyaslamak için sonlu elemanlar analizi gerçekleştirilmiştir. Bu analiz için ABAQUS sonlu elemanlar analiz programı kullanılmıştır. Malzeme kabuk yapı olarak tanımlanmış ve malzeme özellikleri MATLAB programındaki optimizasyon çalışmasından çıkan duruma göre yazılmıştır. Daha sonra ABAQUS sonlu eleman çözümü ve MATLAB analitik çözümleri kıyaslanmıştır.Sonuç olarak ince cidarlı silindirik kompozit yapıların tasarımında kullanılabilecek bir optimizasyon yöntemi elde edilmiştir. Nowadays, carbon fiber materials are increasingly important. These materials are used not only for strength applications but also for low density, which means that low mass applications.Carbon fiber materials have some advantages and some disadvantages. The advantages can be listed as; low mass, high strength, which means that high strength/weight ratio, high stiffness, good surface finish and so on. The disadvantages can be listed as; high cost, difficult to manufacture, the dimensional tolerances are dependent to the manufacturing method.Buckling strength of a material is different when compared with other kinds of strength properties such as axial loading, bending and torsion. As known, every material has a stress strain curve.For axial loading, bending and torsion strength, the applied force is known and the problem is to find whether or not the material resist that force. To do that, the yield strength of the material is known from the stress strain curve of that specific material. First of all, the stress occurred because of the force exerted on the material, is calculated from the strength equations. Then, the calculated stress value is compared with the yield strength of the material to see if the material is strong enough.The buckling strength of the material is independent from the stress occurred on the material. The yield strength of the material is compared with the stress occurred on the material whereas in buckling point of view the critical buckling load is different from one geometry to the other geometry and it cannot be generalized. The important thing in buckling is the limit value (the critical buckling load) is calculated by using the buckling equations but for axial loading, bending and torsion; the limit value (yield strength) is known and it is a material property.Another difficult and critical thing for buckling is the buckling failure is seen in the elastic region of the material's stress strain curve. As it is known, for the axial loading, bending and torsional strength problems, the material fractures after the permanent deformation occurs. For that reason, the material gives signals for fracture. In the first stage, by increasing the applied force, the material elongates elastically which means that if the force is reduced, the material saves its original shape. After that, again by increasing the force, the material reaches its yield point. Beyond that point, the original dimensions of the material has changed permanently even if the applied force is reduced to zero. By increasing the force after the yield point, the material deforms more and the necking situation is seen. This situation gives a brief signal for the fracture region because the necking situations occurs where the fracture occurs. If the force is increased more the material fractures from the necking point.For the compression, bending and torsional strength problems, as it is seen the fracture region is seen before the fracture. However; for buckling problems, since the buckling occurs in the elastic region, there is no sign when or where the fracture occurs. This makes the buckling problem is very important.There are also some types of buckling such as, buckling under compression load, buckling due to the hydrostatic pressure, buckling due to bending and buckling due to torsion. This means that buckling not only occurs because of compression but also occurs because of torsion or bending.Fraction due to buckling is an immediate fracture that is because it occurs in the elastic region. This shows the importance of buckling problem.The other thing that this thesis studies is shell theories. Many structures are made of shells. Therefore, the strength analysis of shells is important.The shell theories are much more complex when they are compared to the beam theories. The differential equations become more complex.This study is about the buckling of composite shells. The purpose of this study is to find the optimum fiber angles that carry the maximum buckling load in different loading conditions for the same geometrical propertied by analytically and Finite Element Method. The fiber angle orientation plays a very crucial role for strength of the carbon fiber structures in every loading condition.If the loading direction and sequence is known, the fiber angle orientation can be calculated for plies.For buckling point of view, the loading conditions are important because, the fiber angle orientation differs from the load direction. This also makes the buckling modes different. The shape that occurs from buckling deformation differs due to loading condition and the fiber angle orientation.Another crucial thing in this study is to see if the part is fractured due to yield or buckling.To see that first, the optimum fiber angles that carries the maximum load is calculated iteratively. Then, Tsai – Hill failure theory is applied to the structure to see if the structure is yielded or buckled. If the structure is yielded, the maximum load that makes the structure was not to yield but buckled is found out.In this study, MATLAB is used for the analytical solution procedure. The buckling equations for composite shell structures are used for calculating the critical buckling load.As mentioned before, the shell theories are harder than other strength equations. In addition, the composite equations are complex because the carbon fiber material is not isotropic material.A carbon fiber lamina is an orthotropic material, which means that, it must have 9 independent material constants and the stiffness matrix is 6x6. A simplification can be performed by using plane stress assumption. This reduces the material's stiffness matrix from 6x6 to 3x3. This assumption can be performed because the stress distribution along the layer thickness axis is negligible when compared the longitudinal and lateral axes. Since a shell type of material is very thin this assumption does not make a big change.Moreover, as mentioned before, the crucial thing in this thesis is to make angle optimization. This is also performed by MATLAB.To do that, an angle matrix is created randomly depending on the precision of the program, and the layer amount. The precision of the MATLAB program can be defined in the MATLAB code. This is the angle increments from 0° to 90° such as, 0-30-60-90 or 0-15-30-45-..-90 or 0-1-2-3-…-90.This angle matrix consists of all angle configurations. The column number of this matrix gives the angle configurations. The stiffness matrix must be computed for all angle configurations and at the end of the program, the buckling load must be calculated for all angle configurations. The angle configuration that gives the maximum buckling load for the specified geometry (diameter, length, and layer thicknesses) is the optimum angle configuration for that geometry.In addition, one more thing must be checked. That is the yielding or buckling. To check that Tsai – Hill failure theory is used. If the structure is yielded before it is buckled, the load that makes the structure is buckled but not yielded is found. After all, a finite element analysis is performed to verify the analytical solution. To do that, ABAQUS CAE is used. The structure is defined as shell and all of the properties are written from the results of MATLAB analytical solution. At the end, the results are compared for MATLAB analytical solution and ABAQUS finite element solution. 145

Günümüzde karbon fiber malzemelerin önemi giderek artmaktadır. Bu malzemeler yüksek mukavemet gereken veya düşük yoğunlukları sayesinde hafiflik istenilen uygulamalarda tercih edilmektedirler.Karbon fiber malzemelerin bazı avantaj ve dezavantajları bulunmaktadır. Hafiflik, yüksek mukavemet ve rijitlik, yüzey pürüzlülüğünün az olması avantajları arasında sayılabilir. Dezavantajları ise yüksek maliyet, üretim zorluğu ve boyut toleranslarının üretim metoduna bağlı olmasıdır.Mühendislik tasarımlarında burkulma üzerinde dikkatle durulması gereken konulardan biridir. Malzemelerin burkulma mukavemetleri; çekme, basma, eğilme veya burulma gibi diğer mukavemetlerinden farklıdır. Çekme, basma, eğilme ve burulma mukavemetleri için malzemenin uygulanan kuvvete dayanıp dayanamayacağına bakılır. Bunun için malzemenin gerilme şekil değiştirme eğrisindeki akma mukavemetinin bilinmesi gerekmektedir. Malzemeye etkiyen kuvvete bağlı olarak mukavemet denklemlerinden oluşan gerilme değeri bulunmaktadır. Bu değer akma mukavemetiyle karşılaştırılıp malzemenin hasar alıp almadığı bulunur.Malzemenin burkulma mukavemeti ise üzerinde oluşan gerilmeden bağımsızdır. Kritik burkulma kuvveti, malzeme geometrisine bağlı olarak değişmektedir. Çekme, basma, eğilme ve burulma mukavemetleri için limit değeri olan akma mukavemeti bir malzeme özelliğidir fakat burkulma mukavemeti için limit değeri olan kritik burkulma yükü, burkulma denklemleriyle hesaplanabilmektedir.Ayrıca burkulma için önemli olan bir diğer durum ise burkulma hasarının malzemenin gerilme şekil değiştirme eğrisinde belirtilen elastik bölge içerisinde gerçekleşmesidir.Çekme, basma, eğilme ve burulma mukavemeti problemlerinde malzeme kırılması, şekil değiştirme aşaması tamamlandıktan sonra gerçekleşmektedir. Bu nedenle malzeme kırılma belirtileri görülebilmektedir. İlk aşamada, uygulanan kuvvet arttıkça malzeme elastik olarak şekil değiştirmektedir, yani uygulanan kuvvetin kaldırılması sonucu malzeme ilk haline dönebilmektedir.Eğer uygulanan kuvvet yeteri arttırılmaya devam edilirse, malzeme akma sınırına ulaşacaktır. Bu noktadan sonra malzemenin üzerindeki kuvvet kaldırılsa bile ilk boyutuna geri dönemeyecektir.Akma sınırından sonra kuvvet arttırılmaya devam edilirse malzeme şekil değiştirmesi de artar ve çekme durumu için boyun verme durumu gözlenebilir. Bu durum malzeme kırılmasının da boyun veren bölgede oluşacağı göstermektedir. Eğer uygulanan kuvvet arttırılmaya devam edilirse malzeme boyun veren bölgeden kırılıp hasar görecektir.Çekme, basma, eğilme ve burulma durumları için kırılma belirtileri görülebilmesine rağmen burkulma problemlerinde hasar elastik bölgede oluştuğu için bu tarz belirtiler görülmemektedir ve kırılma bir anda gerçekleşmektedir. Bu yüzden burkulma problemlerine önem gösterilmesi gereklidir.Burkulma çeşitlerine örnek olarak eksenel basma kuvveti, hidrostatik basınç, eğilme kuvveti veya burulma momenti altında burkulma verilebilir. Yani burkulma durumu sadece basma kuvveti altında gerçekleşmemektedir, diğer kuvvetler altında da gerçekleşebilmektedir.Yapılan bu çalışma kompozit silindirik kabuk yapıların burkulmasıyla ilgilidir. Kabuk yapılar uygulamada birçok yerde kullanılmaktadırlar. Bu durum kabuk yapıların mukavemet analizlerini önemli kılmaktadır. Kabuk yapı teorileri, kiriş teorilerine kıyasla kullanılan diferansiyel denklemler ve çözümleri bakımından çok daha karmaşıklardır. Ayrıca karbon fiber gibi izotropik olmayan kompozit malzemelerin teorileri de daha karmaşık olmaktadır.Karbon fiber lamina bir ortotropik malzemedir ve 6x6 rijitlik matrisi içerisinde 9 adet bağımsız malzeme sabiti bulunmaktadır. Yüzey gerilme yaklaşımı yapılarak bu durum basitleştirilebilir. Böylece malzeme rijitlik matrisi 3x3 boyutuna indirgenmektedir. Bu yaklaşım lamina kalınlığı çok az ve kalınlık doğrultusundaki gerilme değişimi ihmal edilebilecek düzeyde olduğu için uygulanabilmektedir.Çalışmanın amacı aynı geometrik ve malzeme özellikleri için maksimum burkulma kuvvetini taşıyabilecek en uygun fiber açılarını analitik ve sonlu eleman yöntemleri yardımıyla bulmaktır.Fiberlerin açı düzeni, bütün kuvvet koşullarında karbon fiber yapıların mukavemeti için önemli bir rol oynamaktadır. Eğer kuvvet doğrultusu ve lamina sayısı biliniyorsa, fiberlerin açı düzeni her lamina için bulunabilmektedir.Burkulma durumunda, kuvvet koşulları önem kazanmaktadır. Çünkü fiber açıları kuvvet doğrultusu ile değişmektedirler. Bu durum burkulma modunun ve burkulma deformasyon şeklinin de değişmesine yol açmaktadır.Bu çalışmada önemli bir diğer nokta ise yapının burkulmaya bağlı ya da akmaya bağlı olarak hasar aldığının belirlenebilmesidir.Bu amaçla öncelikle maksimum burkulma kuvvetini taşıyabilen fiber açı düzeni hesaplanmıştır. Daha sonra Tsai - Hill hasar teorisi kullanılarak yapının akma sınırına bağlı hasar alıp almadığı araştırılmıştır. Bu şekilde yapının akmaya bağlı hasar almadığı, sadece burkularak hasar aldığı durumlar belirlenmiştir.Analitik çözüm süreci için MATLAB sayısal hesaplama programından yararlanılmıştır. Programda kritik burkulma kuvvetinin hesaplanması için burkulma teorisindeki denklemler kullanılmıştır.Fiber açı optimizasyonunu sağlamak için lamina sayısına bağlı olarak ve programda tanımlanan bir hassasiyetle rastgele bir açı matrisi oluşturulmuştur. Oluşturulan bu açı matrisi hassasiyet oranına bağlı olarak 0° ile 90° arasında bütün açı kombinasyonlarını içermektedir. Açı matrisinin kolon sayısı oluşturulan açı düzenlerinin sayısı kadar olmaktadır. Bu açı düzenlerinin hepsi için ayrı olarak rijitlik matrisi ve burkulma kuvvetleri program tarafından hesaplanmıştır. Daha öncebelirlenmiş olan malzeme geometrisi için maksimum burkulma kuvvetini veren açı düzeni belirlenmiştir. Bu açı düzeni malzemenin optimum açı düzeni olmaktadır.Daha sonra malzemenin Tsai – Hill hasar teorisi kullanılarak akmaya bağlı olarak hasar alıp almadığı kontrol edilmiştir. Böylece akmaya bağlı hasar alan durumlar elenmiş ve optimum açı düzeni sadece burkulmaya bağlı olan durumlar için bulunmuştur.Bundan sonra analitik çözümü kıyaslamak için sonlu elemanlar analizi gerçekleştirilmiştir. Bu analiz için ABAQUS sonlu elemanlar analiz programı kullanılmıştır. Malzeme kabuk yapı olarak tanımlanmış ve malzeme özellikleri MATLAB programındaki optimizasyon çalışmasından çıkan duruma göre yazılmıştır. Daha sonra ABAQUS sonlu eleman çözümü ve MATLAB analitik çözümleri kıyaslanmıştır.Sonuç olarak ince cidarlı silindirik kompozit yapıların tasarımında kullanılabilecek bir optimizasyon yöntemi elde edilmiştir. Nowadays, carbon fiber materials are increasingly important. These materials are used not only for strength applications but also for low density, which means that low mass applications.Carbon fiber materials have some advantages and some disadvantages. The advantages can be listed as; low mass, high strength, which means that high strength/weight ratio, high stiffness, good surface finish and so on. The disadvantages can be listed as; high cost, difficult to manufacture, the dimensional tolerances are dependent to the manufacturing method.Buckling strength of a material is different when compared with other kinds of strength properties suck as axial loading, bending and torsion. As known, every material has a stress strain curve.For axial loading, bending and torsion strength, the applied force is known and the problem is to find whether or not the material resist that force. To do that, the yield strength of the material is known from the stress strain curve of that specific material. First of all, the stress occurred because of the force exerted on the material, is calculated from the strength equations. Then, the calculated stress value is compared with the yield strength of the material to see if the material is strong enough.The buckling strength of the material is independent from the stress occurred on the material. The yield strength of the material is compared with the stress occurred on the material whereas in buckling point of view the critical buckling load is different from one geometry to the other geometry and it cannot be generalized.The important thing in buckling is the limit value (the critical buckling load) is calculated by using the buckling equations but for axial loading, bending and torsion; the limit value (yield strength) is known and it is a material property.Another difficult and critical thing for buckling is the buckling failure is seen in the elastic region of the material's stress strain curve.As it is known, for the axial loading, bending and torsional strength problems, the material fractures after the permanent deformation occurs. For that reason, the material gives signals for fracture. In the first stage, by increasing the applied force, the material elongates elastically which means that if the force is reduced, the material saves its original shape.After that, again by increasing the force, the material reaches its yield point. Beyond that point, the original dimensions of the material has changed permanently even if the applied force is reduced to zero.By increasing the force after the yield point, the material deforms more and the necking situation is seen. This situation gives a brief signal for the fracture region because the necking situations occurs where the fracture occurs. If the force is increased more the material fractures from the necking point.For the compression, bending and torsional strength problems, as it is seen the fracture region is seen before the fracture.However; for buckling problems, since the buckling occurs in the elastic region, there is no sign when or where the fracture occurs. This makes the buckling problem is very important.There are also some types of buckling such as, buckling under compression load, buckling due to the hydrostatic pressure, buckling due to bending and buckling due to torsion. This means that buckling not only occurs because of compression but also occurs because of torsion or bending.Fraction due to buckling is an immediate fracture that is because it occurs in the elastic region. This shows the importance of buckling problem.The other thing that this thesis studies is shell theories. Many structures are made of shells. Therefore, the strength analysis of shells is important.The shell theories are much more complex when they are compared to the beam theories. The differential equations become more complex.This study is about the buckling of composite shells. The purpose of this study is to find the optimum fiber angles that carry the maximum buckling load in different loading conditions for the same geometrical propertied by analytically and Finite Element Method.The fiber angle orientation plays a very crucial role for strength of the carbon fiber structures in every loading condition.If the loading direction and sequence is known, the fiber angle orientation can be calculated for plies.For buckling point of view, the loading conditions are important because, the fiber angle orientation differs from the load direction. This also makes the buckling modes different. The shape that occurs from buckling deformation differs due to loading condition and the fiber angle orientation.Another crucial thing in this study is to see if the part is fractured due to yield or buckling.To see that first, the optimum fiber angles that carries the maximum load is calculated iteratively. Then, Tsai – Hill failure theory is applied to the structure to see if the structure is yielded or buckled. If the structure is yielded, the maximum load that makes the structure was not to yield but buckled is found out.In this study, MATLAB is used for the analytical solution procedure. The buckling equations for composite shell structures are used for calculating the critical buckling load.As mentioned before, the shell theories are harder than other strength equations. In addition, the composite equations are complex because the carbon fiber material is not isotropic material.A carbon fiber lamina is an orthotropic material, which means that, it must have 9 independent material constants and the stiffness matrix is 6x6. A simplification can be performed by using plane stress assumption. This reduces the material's stiffness matrix from 6x6 to 3x3. This assumption can be performed because the stress distribution along the layer thickness axis is negligible when compared the longitudinal and lateral axes. Sine a shell type of material is very thin this assumption does not make a big change.Moreover, as mentioned before, the crucial thing in this thesis is to make angle optimization. This is also performed by MATLAB.To do that, an angle matrix is created randomly depending on the precision of the program, and the layer amount. The precision of the MATLAB program can be defined in the MATLAB code. This is the angle increments from 0° to 90° such as, 0-30-60-90 or 0-15-30-45-..-90 or 0-1-2-3-…-90.This angle matrix consists of all angle configurations. The column number of this matrix gives the angle configurations. The stiffness matrix must be computed for all angle configurations and at the end of the program, the buckling load must be calculated for all angle configurations. The angle configuration that gives the maximum buckling load for the specified geometry (diameter, length, and layer thicknesses) is the optimum angle configuration for that geometry.In addition, one more thing must be checked. That is the yielding or buckling. To check that Tsai – Hill failure theory is used. If the structure is yielded before it is buckled, the load that makes the structure is buckled but not yielded is found.After all, a finite element analysis is performed to verify the analytical solution. To do that, ABAQUS CAE is used. The structure is defined as shell and all of the properties are written from the results of MATLAB analytical solution. At the end, the results are compared for MATLAB analytical solution and ABAQUS finite element solution. 139

Eğri eksenli çubuklar, günümüzde makina, inşaat, uçak gibi mühendislik alanlarında ve endüstri kollarında yapısal eleman olarak kullanılmaktadır. Kullanım alanı bu kadar geniş olan bu yapıların statik ve dinamik problemleri birçok araştırmacı tarafından incelenmekte ve doğru çözüm yöntemleri elde edilmeye çalışılmaktadır.Bu çalışmada, düzlemsel eğri eksenli çubukların düzlem iç ve düzlem dışı statik ve dinamik problemlerini çözmek üzere yeni bir sonlu eleman formülasyonu geliştirilmiştir. Bu formülasyon, çember eksenli ve sabit kesitli çubukların statik problemlerinin kesin çözümünden yola çıkılarak elde edilmiştir. Elde edilen rijitlik matrisi, yer değiştirme ve dönme ifadelerinin kesin çözümü kullanılarak elde edildiği için, bu yöntemin geleneksel sonlu eleman yöntemlerine göre oldukça iyi sonuç verdiği görülmüştür. Sabit kesitli ve çember eksenli çubukların statik problemlerinde, problemdeki bölge sayısı kadar eleman kullanılması halinde dahi kesin çözümle aynı sonuçlar elde edilebilmektedir. Ayrıca bu rijitlik matrisi, değişken kesitli ve değişken eğrilikli çubukların statik problemlerini çözmek için kullanılabilir. Kesidi ve eğriliği sürekli değişen çubuklar, sabit kesitli ve eğrilikli sonlu elemanlara bölünerek çözüm yapılabilir. Eleman sayısının artması ile sonuçtaki yakınsama incelenerek gerekli minimum eleman sayısını belirlemek mümkündür. Bu sayede, eksenel uzama ve kayma deformasyonu etkileri ihmal edilmeksizin yaklaşık bir çözüm elde etmek mümkündür. Sonuçlar hem literatürdeki sonuçlarla hem de sonlu eleman paket programlarından elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Many structures in different fields of engineering such as mechanical engineering, civil engineering and aerospace engineering contains curved beam elements. Since they are essential for the design of such structures, static and dynamic analysis been an important subject in mechanics. In this study, a finite element approximation for static and free vibration problems of circular arches with continuously varying curvature and cross-section is presented. The governing differential equations of static problems of arches are solved exactly by using initial value method. The curvature and the cross-section of the arch are considered as variable. Also the cross-section of the beam is assumed to be doubly symmetric with respect to the axes describing the cross-section. With this assumption, it is possible to uncouple the in-plane and the- out-of-plane motion of a planar curved beam. The analytical expressions of the fundamental matrix are given for a circular arch with uniform cross-section. Using this fundamental matrix, a finite circular beam element formulation is obtained. The stiffness matrix and the load vector are obtained using force-displacement relatinos. To obtain the mass matrix, the kinetic energy equation including the rotatory inertias is used. Several examples are solved in order to validate the present method. 115

Günümüzde karbon fiber malzemelerin önemi giderek artmaktadır. Bu malzemeler yüksek mukavemet gereken veya düşük yoğunlukları sayesinde hafiflik istenilen uygulamalarda tercih edilmektedirler.Karbon fiber malzemelerin bazı avantaj ve dezavantajları bulunmaktadır. Hafiflik, yüksek mukavemet ve rijitlik, yüzey pürüzlülüğünün az olması avantajları arasında sayılabilir. Dezavantajları ise yüksek maliyet, üretim zorluğu ve boyut toleranslarının üretim metoduna bağlı olmasıdır.Mühendislik tasarımlarında burkulma üzerinde dikkatle durulması gereken konulardan biridir. Malzemelerin burkulma mukavemetleri; çekme, basma, eğilme veya burulma gibi diğer mukavemetlerinden farklıdır. Çekme, basma, eğilme ve burulma mukavemetleri için malzemenin uygulanan kuvvete dayanıp dayanamayacağına bakılır. Bunun için malzemenin gerilme şekil değiştirme eğrisindeki akma mukavemetinin bilinmesi gerekmektedir. Malzemeye etkiyen kuvvete bağlı olarak mukavemet denklemlerinden oluşan gerilme değeri bulunmaktadır. Bu değer akma mukavemetiyle karşılaştırılıp malzemenin hasar alıp almadığı bulunur.Malzemenin burkulma mukavemeti ise üzerinde oluşan gerilmeden bağımsızdır. Kritik burkulma kuvveti, malzeme geometrisine bağlı olarak değişmektedir. Çekme, basma, eğilme ve burulma mukavemetleri için limit değeri olan akma mukavemeti bir malzeme özelliğidir fakat burkulma mukavemeti için limit değeri olan kritik burkulma yükü, burkulma denklemleriyle hesaplanabilmektedir.Ayrıca burkulma için önemli olan bir diğer durum ise burkulma hasarının malzemenin gerilme şekil değiştirme eğrisinde belirtilen elastik bölge içerisinde gerçekleşmesidir.Çekme, basma, eğilme ve burulma mukavemeti problemlerinde malzeme kırılması, şekil değiştirme aşaması tamamlandıktan sonra gerçekleşmektedir. Bu nedenle malzeme kırılma belirtileri görülebilmektedir. İlk aşamada, uygulanan kuvvet arttıkça malzeme elastik olarak şekil değiştirmektedir, yani uygulanan kuvvetin kaldırılması sonucu malzeme ilk haline dönebilmektedir.Eğer uygulanan kuvvet yeteri arttırılmaya devam edilirse, malzeme akma sınırına ulaşacaktır. Bu noktadan sonra malzemenin üzerindeki kuvvet kaldırılsa bile ilk boyutuna geri dönemeyecektir.Akma sınırından sonra kuvvet arttırılmaya devam edilirse malzeme şekil değiştirmesi de artar ve çekme durumu için boyun verme durumu gözlenebilir. Bu durum malzeme kırılmasının da boyun veren bölgede oluşacağı göstermektedir. Eğer uygulanan kuvvet arttırılmaya devam edilirse malzeme boyun veren bölgeden kırılıp hasar görecektir.Çekme, basma, eğilme ve burulma durumları için kırılma belirtileri görülebilmesine rağmen burkulma problemlerinde hasar elastik bölgede oluştuğu için bu tarz belirtiler görülmemektedir ve kırılma bir anda gerçekleşmektedir. Bu yüzden burkulma problemlerine önem gösterilmesi gereklidir.Burkulma çeşitlerine örnek olarak eksenel basma kuvveti, hidrostatik basınç, eğilme kuvveti veya burulma momenti altında burkulma verilebilir. Yani burkulma durumu sadece basma kuvveti altında gerçekleşmemektedir, diğer kuvvetler altında da gerçekleşebilmektedir.Yapılan bu çalışma kompozit silindirik kabuk yapıların burkulmasıyla ilgilidir. Kabuk yapılar uygulamada birçok yerde kullanılmaktadırlar. Bu durum kabuk yapıların mukavemet analizlerini önemli kılmaktadır. Kabuk yapı teorileri, kiriş teorilerine kıyasla kullanılan diferansiyel denklemler ve çözümleri bakımından çok daha karmaşıklardır. Ayrıca karbon fiber gibi izotropik olmayan kompozit malzemelerin teorileri de daha karmaşık olmaktadır.Karbon fiber lamina bir ortotropik malzemedir ve 6x6 rijitlik matrisi içerisinde 9 adet bağımsız malzeme sabiti bulunmaktadır. Yüzey gerilme yaklaşımı yapılarak bu durum basitleştirilebilir. Böylece malzeme rijitlik matrisi 3x3 boyutuna indirgenmektedir. Bu yaklaşım lamina kalınlığı çok az ve kalınlık doğrultusundaki gerilme değişimi ihmal edilebilecek düzeyde olduğu için uygulanabilmektedir.Çalışmanın amacı aynı geometrik ve malzeme özellikleri için maksimum burkulma kuvvetini taşıyabilecek en uygun fiber açılarını analitik ve sonlu eleman yöntemleri yardımıyla bulmaktır.Fiberlerin açı düzeni, bütün kuvvet koşullarında karbon fiber yapıların mukavemeti için önemli bir rol oynamaktadır. Eğer kuvvet doğrultusu ve lamina sayısı biliniyorsa, fiberlerin açı düzeni her lamina için bulunabilmektedir.Burkulma durumunda, kuvvet koşulları önem kazanmaktadır. Çünkü fiber açıları kuvvet doğrultusu ile değişmektedirler. Bu durum burkulma modunun ve burkulma deformasyon şeklinin de değişmesine yol açmaktadır.Bu çalışmada önemli bir diğer nokta ise yapının burkulmaya bağlı ya da akmaya bağlı olarak hasar aldığının belirlenebilmesidir.Bu amaçla öncelikle maksimum burkulma kuvvetini taşıyabilen fiber açı düzeni hesaplanmıştır. Daha sonra Tsai - Hill hasar teorisi kullanılarak yapının akma sınırına bağlı hasar alıp almadığı araştırılmıştır. Bu şekilde yapının akmaya bağlı hasar almadığı, sadece burkularak hasar aldığı durumlar belirlenmiştir.Analitik çözüm süreci için MATLAB sayısal hesaplama programından yararlanılmıştır. Programda kritik burkulma kuvvetinin hesaplanması için burkulma teorisindeki denklemler kullanılmıştır.Fiber açı optimizasyonunu sağlamak için lamina sayısına bağlı olarak ve programda tanımlanan bir hassasiyetle rastgele bir açı matrisi oluşturulmuştur. Oluşturulan bu açı matrisi hassasiyet oranına bağlı olarak 0° ile 90° arasında bütün açı kombinasyonlarını içermektedir. Açı matrisinin kolon sayısı oluşturulan açı düzenlerinin sayısı kadar olmaktadır. Bu açı düzenlerinin hepsi için ayrı olarak rijitlik matrisi ve burkulma kuvvetleri program tarafından hesaplanmıştır. Daha önce belirlenmiş olan malzeme geometrisi için maksimum burkulma kuvvetini veren açı düzeni belirlenmiştir. Bu açı düzeni malzemenin optimum açı düzeni olmaktadır.Daha sonra malzemenin Tsai – Hill hasar teorisi kullanılarak akmaya bağlı olarak hasar alıp almadığı kontrol edilmiştir. Böylece akmaya bağlı hasar alan durumlar elenmiş ve optimum açı düzeni sadece burkulmaya bağlı olan durumlar için bulunmuştur.Bundan sonra analitik çözümü kıyaslamak için sonlu elemanlar analizi gerçekleştirilmiştir. Bu analiz için ABAQUS sonlu elemanlar analiz programı kullanılmıştır. Malzeme kabuk yapı olarak tanımlanmış ve malzeme özellikleri MATLAB programındaki optimizasyon çalışmasından çıkan duruma göre yazılmıştır. Daha sonra ABAQUS sonlu eleman çözümü ve MATLAB analitik çözümleri kıyaslanmıştır.Sonuç olarak ince cidarlı silindirik kompozit yapıların tasarımında kullanılabilecek bir optimizasyon yöntemi elde edilmiştir. Nowadays, carbon fiber materials are increasingly important. These materials are used not only for strength applications but also for low density, which means that low mass applications.Carbon fiber materials have some advantages and some disadvantages. The advantages can be listed as; low mass, high strength, which means that high strength/weight ratio, high stiffness, good surface finish and so on. The disadvantages can be listed as; high cost, difficult to manufacture, the dimensional tolerances are dependent to the manufacturing method.Buckling strength of a material is different when compared with other kinds of strength properties such as axial loading, bending and torsion. As known, every material has a stress strain curve.For axial loading, bending and torsion strength, the applied force is known and the problem is to find whether or not the material resist that force. To do that, the yield strength of the material is known from the stress strain curve of that specific material. First of all, the stress occurred because of the force exerted on the material, is calculated from the strength equations. Then, the calculated stress value is compared with the yield strength of the material to see if the material is strong enough.The buckling strength of the material is independent from the stress occurred on the material. The yield strength of the material is compared with the stress occurred on the material whereas in buckling point of view the critical buckling load is different from one geometry to the other geometry and it cannot be generalized. The important thing in buckling is the limit value (the critical buckling load) is calculated by using the buckling equations but for axial loading, bending and torsion; the limit value (yield strength) is known and it is a material property.Another difficult and critical thing for buckling is the buckling failure is seen in the elastic region of the material's stress strain curve. As it is known, for the axial loading, bending and torsional strength problems, the material fractures after the permanent deformation occurs. For that reason, the material gives signals for fracture. In the first stage, by increasing the applied force, the material elongates elastically which means that if the force is reduced, the material saves its original shape. After that, again by increasing the force, the material reaches its yield point. Beyond that point, the original dimensions of the material has changed permanently even if the applied force is reduced to zero. By increasing the force after the yield point, the material deforms more and the necking situation is seen. This situation gives a brief signal for the fracture region because the necking situations occurs where the fracture occurs. If the force is increased more the material fractures from the necking point.For the compression, bending and torsional strength problems, as it is seen the fracture region is seen before the fracture. However; for buckling problems, since the buckling occurs in the elastic region, there is no sign when or where the fracture occurs. This makes the buckling problem is very important.There are also some types of buckling such as, buckling under compression load, buckling due to the hydrostatic pressure, buckling due to bending and buckling due to torsion. This means that buckling not only occurs because of compression but also occurs because of torsion or bending.Fracture due to buckling is an immediate fracture that is because it occurs in the elastic region. This shows the importance of buckling problem.The other thing that this thesis studies is shell theories. Many structures are made of shells. Therefore, the strength analysis of shells is important.The shell theories are much more complex when they are compared to the beam theories. The differential equations become more complex.This study is about the buckling of composite shells. The purpose of this study is to find the optimum fiber angles that carry the maximum buckling load in different loading conditions for the same geometrical properties by analytically and Finite Element Method. The fiber angle orientation plays a very crucial role for strength of the carbon fiber structures in every loading condition.If the loading direction and sequence is known, the fiber angle orientation can be calculated for plies.For buckling point of view, the loading conditions are important because, the fiber angle orientation differs from the load direction. This also makes the buckling modes different. The shape that occurs from buckling deformation differs due to loading condition and the fiber angle orientation.Another crucial thing in this study is to see if the part is fractured due to yield or buckling.To see that first, the optimum fiber angles that carries the maximum load is calculated iteratively. Then, Tsai – Hill failure theory is applied to the structure to see if the structure is yielded or buckled. If the structure is yielded, the maximum load that makes the structure was not to yield but buckled is found out.In this study, MATLAB is used for the analytical solution procedure. The buckling equations for composite shell structures are used for calculating the critical buckling load.As mentioned before, the shell theories are harder than other strength equations. In addition, the composite equations are complex because the carbon fiber material is not isotropic material.A carbon fiber lamina is an orthotropic material, which means that, it must have 9 independent material constants and the stiffness matrix is 6x6. A simplification can be performed by using plane stress assumption. This reduces the material's stiffness matrix from 6x6 to 3x3. This assumption can be performed because the stress distribution along the layer thickness axis is negligible when compared the longitudinal and lateral axes. Since a shell type of material is very thin this assumption does not make a big change.Moreover, as mentioned before, the crucial thing in this thesis is to make angle optimization. This is also performed by MATLAB.To do that, an angle matrix is created randomly depending on the precision of the program, and the layer amount. The precision of the MATLAB program can be defined in the MATLAB code. This is the angle increments from 0° to 90° such as, 0-30-60-90 or 0-15-30-45-..-90 or 0-1-2-3-…-90.This angle matrix consists of all angle configurations. The column number of this matrix gives the angle configurations. The stiffness matrix must be computed for all angle configurations and at the end of the program, the buckling load must be calculated for all angle configurations. The angle configuration that gives the maximum buckling load for the specified geometry (diameter, length, and layer thicknesses) is the optimum angle configuration for that geometry.In addition, one more thing must be checked. That is the yielding or buckling. To check that Tsai – Hill failure theory is used. If the structure is yielded before it is buckled, the load that makes the structure is buckled but not yielded is found. After all, a finite element analysis is performed to verify the analytical solution. To do that, ABAQUS CAE is used. The structure is defined as shell and all of the properties are written from the results of MATLAB analytical solution. At the end, the results are compared for MATLAB analytical solution and ABAQUS finite element solution. 146

Tez (Yüksek Lisans) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2014, Thesis (M.Sc.) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 2014, Bu çalışmada eğri eksenli değişken kesitli düzlemsel çubukların düzlem dışı titreşim davranışları ele alınmaktadır. Çubukların statik davranışlarını ifade eden denklemlerden hareketle dinamik davranışlarını ifade eden denklemlere ulaşılmıştır. Çalışmanın amacı; eğri eksenli sürekli değişken kesitli düzlemsel çubukların düzlem dışı titreşim problemlerini, başlangıç değerleri yöntemi (matrikant) ile kayma deformasyonu ve hem eğilme hem de burulma dönme eylemsizliği etkilerini de dikkate alarak, analitik olarak çözmektir. Birinci bölümde, çubuk teorisi üzerine kısa bir giriş yapılmış ve çalışmanın amacı ve kapsamı belirtilmiştir. İkinci bölümde, eğri eksenli çubuklar ile ilgili literatürdeki çalışmalar incelenmiş ve bu çalışmalarda kullanılan yöntemler kısaca anlatılmıştır. Genelde sonlu elemanlar ve çeşitli enerji metotları kullanılarak yapılan çözümlerin birçoğunda eksenel uzama, kayma deformasyonu ve dönme eylemsizliği etkilerinin ihmal edilmekte olduğu gözlenmiştir. Üçüncü bölümde eğri eksenli çubukların genel denklemleri( yer değiştirme, denge ve bünye) ile bu denklemlere bağlı olarak düzlem içi ve düzlem dışı titreşim denklemlerine yer verilmiştir. Dördüncü bölümde değişken kesitli eğrisel çubukların düzlem dışı titreşimlerinin analitik çözümü matrikant yöntemi kullanılarak elde edilmiştir. Matrikant yöntemi hakkında bilgi verilip, basit bir sayısal örnekle açıklanmaya çalışılmış ve yöntemin titreşim problemlerine uygulanışı detaylı bir şekilde ele alınmıştır. Beşinci bölümde, literatürdeki çalışmalar incelenip, matrikant yöntemi kullanılarak bulunan sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Diferansiyel denklemleri çözerken Matlab paket programından faydalanılmış ve çözümü yaparken kullandığımız program ile ilgili çeşitli optimizasyonlar yapılarak en hızlı ve en yakın çözüm için hangi parametrelerin kullanılması gerektiği hesaplanmıştır. Altıncı bölümde, bazı sayısal örnekler sonlu elemanlar yöntemi ile çözülmüştür. Ansys ve Abaqus analiz programları kullanılarak elde edilen sonuçlar literatürdeki ve matrikant yöntemindeki sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Yedinci bölümde ise çalışmanın sonuçları tartışılmış ve bu konudaki çalışmaların nasıl geliştirilebileceği konusunda bazı öneriler sıralanmıştır., The purpose of the present study is to give the approximate solution to the governing equations of out-of-plane dynamic problems of a curved beam with varying cross-sections and to exhibit the advantages of the solution. These governing equations solved by using the optimizated matricant method and compared between the other studies results. In the vibration problems of this study, the effects of axial extension, shear deformation and rotatory inertia due to torsional vibrations are taken into account. The matricant method is used in order to solve the governing differential equations. In the first chapter, general concepts of the theory of beams and the aim of the present study are given.In the second chapter, the studies in the literature on dynamic problems of curved beams with varying cross-section are reviewed. Reviewing the literature has shown that although a few papers deal with the out of plane dynamic behavior of arches with varying cross-section, many excellent papers are present with in-plane dynamic behavior of arches with non-uniform cross-section and variable curvatures. With the advancement of computer technology, arch problems are solved widely by using finite element method and many finite elements were developed for this purpose. If the behavior of the arch is non-planar, then a usual finite element model of this arch becomes very complicated with many degrees of freedom. In these cases, it is evident that a model, which, with a relatively few degrees of freedom, offers a good description of the behavior of the arch, is needed. In the third chapter, the governing differential equations of curved beam are given for the static and dynamic problems. The beam is represented by a space curve whose every point is coupled with a rigid orthonormal vector diad. The vectors are chosen to be perpendicular to the tangent vector of the space curve in the initial state and they represent the cross-section of the beam. In the deformed configuration, these directors still remain unit and perpendicular each other because of the assumption of a rigid cross-section. The matricant (initial value) method explained and applied for the vibration problems of curved beams in the fourth chapter. In this method, the curvature and the cross-section of the arch are considered as variable. The axial extension, shear deformation and rotatory inertia effects are also considered in the governing differential equations of free vibrations. In the fifth chapter, the problems in the literature which interest of dynamic behavior of curved beams with continuous varying cross-section and variable curvature are solved by using the matricant method and the comparisons between the results are given in the tables and figures. Clamped-clamped, clamped-free and free-free boundary conditions are studied for different opening angles. The effects of step ratio, location of the step, boundary condition and opening angle on frequency coefficients are studied. Mostly use clamped-clamped boundary conditions, because the axial extension, shear deformation and rotatory inertia effects are more changeable than other beam types. The mode transition phenomenon is also investigated and the mode shapes are given in figures. The transformation phenomenon is characterized by the sharp increase in frequencies of modes that occurs at certain combinations of curvature and length of the beam. This increase in mode frequencies is accompanied by a significant change in the mode shapes. There is still no comprehensive analysis of the transformation phenomenon and there are no proper explanations and methods for prediction the frequencies of an arch. This is possibly due to the fact that numerical simulations, commonly employed for the analyses, provide little analytical insight into the vibrational problem. Also the Matlab code, which we use to solve matricant equations, is optimized. All results and parameters are observed. Best parameters for this program are chosen by solution time and accuracy. This process is never done in previous literature and it is a really good example for further studies. In the sixth chapter, general information about the finite element analysis and ABAQUS, which is a commercially available finite element program, are given. The experimental studies and numerical solutions of curved beams are given. The experimental results are compared with the theoretical solution for two different curved beams at different boundary conditions. Thanks to ABAQUS the natural frequencies and mode shapes of beams are also compare with the experimental results. The results show that experimental, analytical and finite element solutions are in good agreement with each other. Also the results show that the geometry of the archs are really important to get a healthy solutions. There were some differencies between circular and elliptic archs. The study results are discussioned and some suggestions are made to improve method in advance in the last chapter. According to that with the improvements of Matlab program code it is more easy to work on the other geometries like parabola or helical., Yüksek Lisans, M.Sc.

Tez (Yüksek Lisans) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2013, Thesis (M.Sc.) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 2013, Kirişler, mühendislik tasarımları içerisinde en basit ve en sık kullanılan yapı elemanlarıdır. Bu yüzden birçok mühendislik yapısının temel elemanları kirişlerden oluşmaktadır. Kiriş analizleri, insanlık tarihinin başlangıcından itibaren en önemli araştırma konularından biri haline gelmiştir. Kiriş için kısaca eğilmeye çalışan yapı elemanı denilebilir. Diğer bir ifadeyle kirişler; eksenlerine dik doğrultudaki yüklerin etkisi altında eğilmeye çalışırlar. Yani kiriş, üzerine gelen yükü taşıyarak mesnetlere naklederken eğilmeye zorlanır. Bu durumda kirişin orta kısmında, kiriş yüksekliğinin yarısından geçtiği kabul edilen tarafsız eksenin üst kısmı basmaya, alt kısmı ise çekmeye zorlanır. Kirişler düz veya eğri gibi farklı formlarda veya değişken kesitlerde olabilirler. Eğri eksenli kiriş olarak adlandırılan kompozit yapı elemanları, mühendislik alanında önemli bir yere sahiptir ve birçok endüstri alanında kullanılmaktadır. Günümüzde havacılık ve uzay sektöründe, transport tekniği elemanlarında, köprülerde ve birçok makine elemanlarında eğri eksenli kompozit kiriş özelliğine sahip yapılara ihtiyaç duyulmaktadır. Bu yüzden pek çok araştırmacı bu yapılar üzerinde çalışmakta ve en doğru çözüm yöntemini aramaktadır. Çok çeşitli boyutlarda olabilen eğri eksenli kirişlerin bilhassa büyük gerilmelere, darbe yüklerine maruz olanlarının iyi etüt edilmesi gerekmektedir. Bu tez çalışması anlık basınç yükü etkisi altındaki katmanlı, kompozit, eğri eksenli bir kirişin dönel atalet etkilerini dikkate alarak lineer olmayan dinamik denklemlerinin türetilmesini ve farklı sınır koşullarında çözümünü içerir. Bu çalışmada virtüel iş prensibi kullanılarak eğri eksenli kompozit kirişlerin hareket denklemleri elde edilmiş ve farklı sınır şartları dikkate alınarak sonlu farklar metoduyla çözüm yapılmıştır. Ayrıca yapıya verilecek eğriliğin etkisini incelemek amacı ile aynı malzemeden yapılmış farklı eğrilik yarıçaplarına sahip kiriş yapılar için analizler tekrarlanmıştır. Böylece benzer yükleme durumları için bu yapıların dinamik cevapları karşılaştırılmıştır., Beams are the simplest and very frequently used construction members in engineering structures. So plenty of engineering constructions can be built up as beam elements. Beam analysis, from the beginning of human history, has become one of the most important research topics. Beam can shortly be defined as a bending structural member. In other words, beams bend under the effect of loads perpendicular to their axis. Namely, a beam is forced to bend while carrying a load on it and transferring that load to supports. In such a case, upper part of neutral axis assumed to pass through halfway of the beam height is forced to push down, and lower part is forced to pull down. The beams may be different forms, such as straight or curved or they may be variable cross-sections. Composite structural members named as curved beam have an important place in engineering and are used in a number of industries. Nowadays, structures having curved composite beam features are needed in aviation and space sector, elements of transport technique, bridges and various machinery elements. Therefore, many researchers study on these structures and seeking better solution methods. Curved beams, especially the ones exposed to high stresses and impact loads, which can be at various sizes, should be studied properly. This thesis contains derivation of nonlinear dynamic equations for a layered and composite curved beam under blast pressure load, and solutions for the equations at different boundary conditions. In this study, equations of motion for composite curved beams are obtained using virtual work principle and solved with finite differences method for different boundary conditions. Moreover, analyses were repeated for multiple beam structures made of the same material with different radii of curvature. So that dynamic responses of these structures in similar loading circumstances were compared., Yüksek Lisans, M.Sc.

Bu çalışmada, değişken kesitli, elastik, izotrop malzemeli çubukların genel statik problemleri eksen uzaması, kayma deformasyonu etkileri gözönüne alınarak incelenmiştir. Problem, altı adet diferansiyel denklem ile ifade edilmiş ve bu denklemlerin kesin çözümü, başlangıç değerleri yöntemiyle elde edilmiştir. Örnekler, sabit kesitli silindirik helisel çubuklar için çözülmüştür. Yapılan literatür araştırmasında, çalışmaların çoğunda yaklaşık yöntemlerle sonuca ulaşılmaya çalışıldığı görülmüştür.Birinci bölümde, çubuk teorisi ile ilgili genel bilgiler verilmiştir. Çalışmanın amacı belirtildikten sonra çubukların statik ve dinamik davranışları konusunda yapılan çalışmalar özetlenmiştir.İkinci bölümde, çubuğun statik davranışını veren genel diferansiyel denklemler verilmiş, ardından bu denklemler çubuk kesitinin asal eksenlerinin eksen eğrisinin normal ve binormal eksenleri ile çakışması durumu için özelleştirilmiştir. Daha sonra bu çalışmanın sayısal hesaplamalarında kullanılacak helis geometrisi incelenmiştir.Üçüncü bölümde, çubuğun statik davranışını ifade eden değişken katsayılı, homojen diferansiyel denklem takımının kesin çözümü, çubuk kesitinin çift simetrik olduğu, kesitin geometrik merkezi ile kayma merkezinin çakışmakta olduğu, normal ve binormal eksenleri kesitin asal eksenleri olduğu, çarpılma olmadığı, çubuğun elastik, homojen ve izotrop malzemeden yapıldığı varsayımıyla, başlangıç değerleri yöntemini kullanarak elde edilmiştir.Dördüncü bölümde, sabit kesitli silindirik helisel çubuklar için çeşitli örnekler çözülmüştür. Hesaplanan değerler, mevcut yayınlar ve sonlu eleman programlarından elde edilenlerle karşılaştırılmıştır.Yapılan çalışmada, değişken kesitli, elastik, izotrop malzemeli çubukların genel statik problemlerini ifade eden diferansiyel denklemlerin kesin çözümü eksen uzaması, kayma deformasyonu etkileri gözönüne alınarak, başlangıç değerleri yöntemiyle elde edilmiştir. İlgili çalışmalar incelenmiş ve sonuçlar karşılaştırılmıştır. Karşılaştırma sonlu eleman programlarıyla da yapılmış olup uyumlu sonuçlar elde edilmiştir. This study concerns with the static behaviour of a spatial bar, with variable cross section of an elastic and isotropic material, comprising the effects of axial and shear deformations. The problem is described by six differential equations and these equations are solved by using the method of initial values. Examples are given for cylindrical helical beams with constant cross section. In the literature, most of the studies solve these governing differential equations numerically. Also, a few of them neglect the axial and shear deformation effects. In this proposed method, the solutions are exact and axial and shear deformation effects are considered.In the first chapter, a general view of beam theory and the aim of the study are given. Relevant literature about static and dynamic behaviour of the beams are summarized.In the second chapter, six differential equations describing static behaviour of a spatial bar are given first, and then reduced assuming that the center of the cross section coincides with its shear center, and that the normal and binormal axes are principal axes of the cross section. At the end of the chapter, general geometry of a helix is reviewed.Third chapter deals with the exact solutions of the differential equations that describe the static behaviour of a spatial bar. Method of initial values is used and it is assumed that the centroid of the cross section coincides with its shear center, and that the normal and binormal axes are the principal axes. Warping is neglected; elastic, homogeneous and isotropic material is considered.In the last chapter, several examples are solved for cylindrical helical beams with constant cross section and compared to results from the relevant literature and finite element programs.Based on method of initial values, the differential equations describing static behaviour of a spatial bar are solved and compared to results from the relevant literature and finite element programs. The results are in close agreement with each other. It is assumed that center of the cross section coincides with its shear center, and that the normal and binormal axes are principal axes of the cross section. 71

Tez (Yüksek Lisans) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2011, Thesis (M.Sc.) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 2011, Bu çalışmada sabit kalınlıklı izotropik kiriş ve plakların diferansiyel kuadratur metodu kullanılarak doğal frekansları ve buna karşılık gelen mod şekilleri gibi önemli titreşim karakteristikleri incelenmiştir. Öncelikle plak problemine göre daha basit bir örnek olan kiriş problemi incelenmiş, kirişin çeşitli sınır şartlarında doğal frekansları bulunmuş ve mod şekilleri gösterilmiştir. Daha sonra çeşitli boyutlarda ve çeşitli sınır şartlarında plak titreşimleri hem diferansiyel kuadratur metodu hem de sonlu farklar metodu ile incelenmiş, iki durum için de doğal frekanslar hesaplanmış ve mod şekilleri çizdirilmiştir. Çeşitli parametrelerin değiştirilmesinin plak titreşimlerine olan etkisi incelenmiş ve bu etkiler yorumlanmıştır. Elde edilen sonuçlar her aşamada sonlu farklar metodu sonuçları ve bazı plaklar için literatürde bulunan sonuçlar ile karşılaştırılmıştır. Tüm analizler Matlab Programı kullanılarak yapılmıştır. Elde edilen sonuçların yeterli doğrulukta ve hassasiyette olduğu gözlenmiştir., In this study, free vibration analysis of isotropic beams and rectangular plates with constant thickness have been achieved using differential quadrature method. In the first analysis section, free vibration analysis of beams which is an easier process than a plate, has been achieved. The natural frequencies and mode shapes have been examined for any combination of the clamped and simply supported conditions. The free vibration of plates has been analyzed using both differential quadrature and finite difference method. The natural frequencies and mode shapes have been examined for any combination of the clamped and simply supported conditions and also for the various ratio of the edges and the number of grid points. The effects of changing various parameters to the natural frequencies and mode shapes have been explained. The obtained differential quadrature results have been compared to mainly finite difference method results, and for some plate configurations have been compared also with the literature results. In all analyses Matlab Program has been used. From the results presented, it can be concluded that differential quadrature method provides the results with adequate accuracy., Yüksek Lisans, M.Sc.

Tez (Yüksek Lisans) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2011, Thesis (M.Sc.) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 2011, Eğri eksenli çubuklar, en basit yapı elemanlarından biri olarak, çok sayıda modern mühendislik yapısında kullanılmaktadır.Günümüzde eğri eksenli çubuklar üzerinde yapılan çalışmalar devam etmektedir. Bu çalışmada, eğri eksenli kademeli çubukların düzlem içi titreşim davranışı ele alınmaktadır.Çubuk statik davranışını ifade eden denklemlerden hareketle, D’Alembert prensibiyle, dinamik davranışları ifade eden denklemlere ulaşılabilmektedir.Dinamik denklemlerin kesin çözümleri Matlab paket programı yardımıyla elde edilmiştir. Bu çalışmanın temel amacı, eğri eksenli çubukların dinamik denklemlerinden elde edilen kesin çözümü, nümerik ve deneysel olarak elde edilmiş sonuçlarla karşılaştırmak ve birbiriyle olan uyumunu incelemektir. Birinci bölümde, çubuk teorisi hakkında kısaca bilgi verilmiş, çalışmanın amacı ve kapsamı belirtilmiştir. İkinci bölümde, eğri eksenli çubuklarla ilgili literatürdeki mevcut çalışmalar incelenmiş, dinamik problemlerin çözümünde kullanılan yöntemler hakkında bilgi verilmiştir. Üçüncü bölümde, eğri eksenli çubukların düzlem iç ve düzlem dışı genel denklemleri verilmiştir.Çubuk statiğinin genel denklemlerine bağlı olarak titreşim denklemlerde verilmiştir. Dördüncü bölümde, çember eksenli kademeli kesitli çubukların titreşim denklemlerinin kesin çözümü Matlab paket programı yardımıyla elde edilen sonuçlar verilmiştir. Beşinci bölümde, çember eksenli kademeli kesitli çubukların doğal frekansları sonlu elemanlar paket programı olan Ansys ile çözülmüş ve sonuçların tutarlılığına bakılmıştır. Altıncı bölüm, deneysel modal analiz çalışmalarını içermektedir.Eğri eksenli kademeli kesitli çubukların analitik ve nümerik cevapları, deneysel olarak elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Yedinci bölümde, çalışmanın sonuçları tartışılmış ve yeni öneriler ele alınmıştır, Arch elements are the most simple and the most commonly used structures in engineering area.Considerable amount of attention has been devoted to the analysis of such elements in recent years. This study investigates the free in-plane and out-of-plane vibration of stepped circular arches.Equations of vibration of circular arches are obtained from static equations of circular arches by using D’Alembert’s principle.Exact solutions of dynamic equations are obtained by using MATLAB which is commercial software. The purpose of this study is to compare the analytical and numerical solutions with the experimental studies of stepped circular arches. In the first chapter, a general view for curved beams and the aim of the present study are given in summary. In the second chapter, a detailed review for the studies in the literature on dynamic problems is given.In additionally, some methods are examined. In the third chapter, the governing differantial equations of a curved beam are given for the dynamic problems. In the fourth chapter, exact solutions of stepped circular arches, which is obtainedby using a Matlab code, are given. In the fifth chapter, numerical solutions of stepped circular arches are obtained by using ANSYS commercial software. In the sixth chapter, the experimental studies and modal analysis are performed on different stepped circular beam specimens and the results are presented. Numerical, analytical and experimental solutions of stepped circular arches are compared. In the seventh chapter, the scope of the study is given with the results and discussions., Yüksek Lisans, M.Sc.

Lifli kompozit yapılar, helikopter palaları ve rüzgar türbini kanatları gibi mühendislik yapılarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Söz konusu yapıların, çoğunlukla dinamik yüklere maruz kaldığı düşünüldüğünde, lifli kompozit yapıların titreşimlerinin incelenmesi önem kazanmaktadır.Lifli kompozit yapıların analizlerinde, son yıllarda, varyasyonel asimptotik yöntem oldukça yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu yöntem, literatürde mevcut çalışmalarda, homojenleştirilmiş malzeme özelliklerinin belirlenmesinde kullanılmaktadır. Bu çalışmada, söz konusu yöntem titreşim problemine uygulanmıştır.Bu çalışmanın amacı, kompozit malzemeden yapılmış dikdörtgen kesitli kirişin doğal frekanslarını ve mod şekillerini teorik ve deneysel olarak elde etmektir. Bu amaçla, öncelikle 367 mm uzunluğunda, 20 mm x 20 mm kesit alanına sahip olan, her hücresi, 8.1 mm uzunluğunda plexiglas ve 7.2 mm uzunluğunda kontraplakdan oluşan, periyodik olarak değişen bir kompozit kiriş, laboratuvar şartlarında imal edilmiştir. Ardından, kiriş ANSYS sonlu elemanlar programında, bir boyutlu ve üç boyutlu elemanlar kullanılarak modellenmiştir.ANSYS programı kullanılarak modellenen kirişin, serbest titreşimine ve statik yük etkisindeki uzamasına ait çözümleri elde edildi. Varyasyonel asimptotik yöntemle, ANSYS sonlu eleman programında bir boyutlu ve üç boyutlu elemanlarla hazırlanan modellerden elde edilen teorik sonuçlar, imal edilen kirişle yapılan titreşim deneylerinden elde edilen sonuçlarla karşılaştırıldı. Hem doğal frekansların hem de statik uzama çözümlerinin deney ve teori ile oldukça uyumlu olduğu gözlendi. Üretilen kirişle aynı boyutlarda olan bir alüminyum kiriş için, ANSYS sonlu elemanlar programında tek ve üç boyutlu elemanlar kullanarak, iki farklı model oluşturuldu. Ardından, bu alüminyum kirişle de deneyler tekrarlanarak, sonuçları sonlu elemanlar programından elde edilen doğal frekans sonuçları ile karşılaştırılmış ve sonuçların oldukça uyumlu olduğu görülmüştür. Fibrous composite structures are widely used in engineering structures such as helicopter blades and wind turbine blades. When it is considered that these structures are mostly exposed to dynamic loads, it becomes essential to analyze vibrations of fibrous composite structures.Recently, variational asymptotic method is used quite prevalently in the analyses of fibrous composite structures. This method is used for determining homogenized material characteristics in the studies available within the literature. In this study, the related method was applied to vibration problem in the study.The purpose of the study is to obtain natural frequencies and mod shapes of rectangular section beam made of composite material theoretically and experimentally. For that purpose, first, a composite beam varying periodically was manufactured in laboratory conditions which had a length of 367 mm and 20 mm x 20 mm cross sectional area and of which each cell was made of plexiglas about 8.1 mm in thickness and plywood about 7.2 mm in thickness. Then, the beam was modeled by using one-dimensional and three-dimensional elements in ANSYS finite element program.Analyses of free vibration and elongation under the effect of static load were obtained for the beam modeled by using ANSYS program. Theoretical results obtained from models prepared by one-dimensional and three-dimensional elements in ANSYS finite element program were compared with those obtained from vibration tests made by manufactured beam by means of variational asymptotic method. It was observed that both natural frequencies and static elongation analyses were quite corresponding with test and theory. For an aluminum beam with same dimensions of manufactured beam, two different models were created by using one- and three-dimensional elements in ANSYS. Then, tests were repeated with this aluminum beam and their results were compared with natural frequency results obtained from finite element program; it was seen that results were quite corresponding with each other. 75

Eğri eksenli çubuklar, en basit yapı elemanlarından biri olarak, çok sayıda modernmühendislik yapısının temelini oluşturmaktadır. Seneler boyunca araştırmacılarınilgilendiği bir konu olmakla birlikte, eğri eksenli çubuklar üzerine yapılan çalışmalarhala devam etmektedir.Bu çalışmada, eğri eksenli çubukların düzlem içi statik ve dinamik davranışları elealınmaktadır. Çubukların düzlem içi statik davranışını veren denklemlerin, kaymadeformasyonu ve eksenel uzama etkileri dikkate alınarak, kesin analitik çözümü eldeedilebilmektedir. Böylece, çubuk eksen eğrisi ve kesiti ne olursa olsun, yerdeğiştirme, kesit dönmesi ve kesit tesirleri değerleri eksen eğrisi boyuncabelirlenebilmektedir.Çubuk statik davranışını ifade eden denklemlerden hareketle, D'Alembertprensibiyle, dinamik davranışları ifade eden denklemlere ulaşılabilmektedir. Kaymadeformasyonu, dönme eylemsizliği ve eksenel uzama etkilerini göz önüne alandinamik denklemlerin kesin çözümü, başlangıç değerleri yöntemiyle elde edilmiştir.Kesin çözüm, sadece, sabit kesitli, çember eksenli çubuklar için söz konusudur.Eğri eksenli düzlemsel çubukların düzlem içi statik ve dinamik problemlerinin, kaymadeformasyonu, dönme eylemsizliği ve eksenel uzama etkileri dahil edilen kesinçözümleri, literatürdeki mevcut çalışmalarda verilmektedir. Bu çalışmanın temelamacı, çubuk statik ve dinamik davranışı için elde edilen kesin çözüm yönteminisunmak, daha sonra, elde edilen bu çözüm yönteminden yola çıkarak, eğri eksenliçubukların, düzlem içine ait statik ve dinamik problemlerinin çözümündekullanılabilecek farklı çözüm yöntemleri oluşturmaktır. Literatürdeki benzer örneklerçözülerek sonuçlar karşılaştırılmakta ve bazı problemler detayları ile verilmektedir.Birinci bölümde, çubuk teorisi hakkında kısaca bilgi verilmiş, çalışmanın amacı vekapsamı belirtilmiştir.İkinci bölümde, eğri eksenli çubuklarla ilgili literatürdeki mevcut çalışmalarincelenmiş, hem statik hem de dinamik problemlerin çözümünde kullanılanyöntemler hakkında bilgi verilmiştir. Literatürde, eğri eksenli kirişler hakkında çoksayıda araştırma bulunmakla birlikte, çalışmaların birçoğunda çubuğa aitdiferansiyel denklemler basitleştirerek kullanılmakta, kayma deformasyonu, dönmeeylemsizliği ve eksenel uzama etkileri ihmal edilmektedir. Bu sadeleştirilmişdiferansiyel denklemler, enerji metotları veya sonlu eleman gibi sayısal yöntemlerkullanılarak çözülmektedir.Üçüncü bölümde, eğri eksenli çubukların düzlem içi ve düzlem dışı geneldenklemleri verilmektedir. Eksen eğrisi herhangi bir uzaysal eğri olarak elealınmaktadır. Çubuk statiğinin genel denklemlerine bağlı olarak, çubuk titreşimleriningenel denklemleri elde edilmektedir.Dördüncü bölümde, eğri eksenli çubukların düzlem içi statik ve dinamikproblemlerinin kesin çözümü başlangıç değerler yöntemi ile verilmektedir. Başlangıçxvideğerleri yönteminin üstünlüğü; yüksek mertebe statik belirsizliklerin, probleminçözümüne ilave bir zorluk katmayışıdır. Herhangi bir bilinen sınır şartı ile çözümlerelde etmek mümkündür.Beşinci bölümde, sabit eğrilik yarıçapı ve sabit kesit alanına sahip çubuk için öncekibölümde elde edilen kesin çözüm yöntemi, değişken eğrilik yarıçapı ve değişkenkesit alanına sahip çubukların düzlem içi titreşim problemlerinin çözümü içinuygulanmaktadır. Sürekli değişken kesitli çubuk için yaklaşık çözüm yöntemlerindenbiri olan bu yöntemde, eleman sayısı arttıkça doğru sonuca olan yakınsama daartmaktadır. Literatürde yapılan benzer çalışmalar incelenmiş, sonuçlarkarşılaştırılmıştır.Altıncı bölümde, kesin çözüm yönteminde elde edilen ifadeler kullanılarak, eğrieksenli çubukların statik problemlerinin çözümünde kullanılacak bir sonlu elemanformülasyonu oluşturulmaktadır. Oluşturulan rijitlik (katılık) matrisi, eksenel uzamave kayma deformasyonu etkilerini içermekte, farklı yükleme koşulları ve farklı sınırşartları altında düzlem içi yer değiştirmeler ve kesit tesirleri hesaplanabilmektedir.Literatürde yer alan çok sayıda örnek incelenmiştir. Eğrilik yarıçapının değişkenolması durumu da göz önüne alınmış, spiral ve parabol eksenli çubukların statikdavranışına ait örnekler çözülmüştür.Yedinci bölümde, çubuğa ait kütle matrisi elde edilerek, statik problemlerinçözümünde kullanılan sonlu eleman formülasyonu, eğri eksenli çubuklara aitdinamik denklemlerin çözümünde de kullanılır hale getirilmiştir. Kütle matrisi, dönmeeylemsizliği etkisi de göz önüne alınarak, kinetik enerji ifadesi yardımıylaoluşturulmuştur Statik davranışın çözümünden elde edilen rijitlik matrisi, kütle matrisiile birlikte kullanılarak problem, özdeğer problemine uyarlanmıştır. Böylece eldeedilen özdeğer problemi çözülmüş, özdeğerler yani, çubuğa ait frekans değerlerihesaplanmıştır.Sekizinci bölüm, deneysel modal analiz çalışmasını içermektedir. Yapılan teorikçalışmaların gerçek durum ile karşılaştırılması amacıyla, eğri eksenli çubuklarıntitreşimleri deneysel olarak da incelenmektedir. Deneylerde hem sabit kesitli, hemde kademeli değişken kesitli çubuklar kullanılmıştır. Farklı sınır koşullarında, farklıkiriş açıklıklarına sahip çubuklarla yapılan deney sonuçları, analitik olarak eldeedilen sonuçlarla birlikte verilmektedir.Dokuzuncu bölümde, çalışmanın kapsamı kısaca ele alınmış, elde edilen sonuçlartartışılmıştır. Arch elements are the most simple and the most commonly used structures inengineering area. Considerable amounts of attention has been devoted to theanalysis of such elements in recent years.The governing differential equations of in-plane deformations of a general curvedbeam can be solved exactly. The effects of the axial extension and the sheardeformation are included in the analyses. The geometry of the beam axis andboundary conditions may be arbitrary.The governing equations of vibrations of arches are six simultaneous lineardifferential equations of the first order. When the axial extension, shear deformationand rotatory inertia effects are taken into account, the governing equations of motionare very complicated. Because of this complexity, most of the researcherscalculated the natural frequencies of vibrations of arches, based on the classicaltheory in which the foregoing effects are neglected. Although exact methods areemployed for only the simple cases, Ritz, Galerkin and finite element methods areused extensively when the complicated cases are considered. The exact solutionexists only for a circular arch of uniform cross-section. The equations of motion,which take into account axial extension, shear deformation and rotatory inertiaeffects, can be solved exactly.The purpose of this study is to give analytical solutions of static and dynamicproblems of curved beams by considering axial extension, shear deformation androtatory inertia effects, and then to develop other new methods to solve either staticor dynamic problems by using exact solution.In the first chapter, a general view for curved beams and the aim of the presentstudy are given in summary.In the second chapter, a detailed review for the studies in the literature on both staticand dynamic problems is given. Reviewing the literature has shown that manyexcellent papers deal with in-plane vibrations of arches, there is very limited numberof studies available in the literature on the dynamic behavior of arches of variablecross-sections. It seems that the finite elements were the major tool in this research.Most work has been done within the scope of Bernoulli-Euler beam theory. Thistheory is recognized as adequate for common engineering problems. However, forarches having large cross-sectional dimensions in comparison with their span lengthand for arches in which higher modes of vibration are required, the Timoshenkobeam theory, which takes into account the rotatory inertia and the shear effects,gives a better approximation to the actual beam behavior. The most important effecton predicting the frequencies of the vibrations of an arch is the axial deformationeffect. Only a few works have taken into account the axial extension, sheardeformation and rotatory inertia effects. Almost all of them uses the numericalmethods and gives approximate results.xviiiIn the third chapter, the governing differential equations of a curved beam are givenfor the static and dynamic problems. The beam is represented by a space curvewhose every point is coupled with a rigid orthonormal vector diad. The vectors arechosen to be perpendicular to the tangent vector of the space curve in the initialstate and they represent the cross-section of the beam. In the deformedconfiguration, these directors still remain unit and perpendicular each other becauseof the assumption of a rigid cross-section.In the fourth chapter, the governing differential equations of static and dynamicproblems of arches are solved exactly by using initial value method. For the staticproblems, the curvature and the cross-section of the arch are considered asvariable. The solution does not depend on the loading and boundary conditions.The analytical expressions of the fundamental matrix are obtained for generalcases. It is possible to use these analytical expressions in order to obtain thedisplacements and the stress resultants for a curved beam with any loading andboundary conditions. The exact solution of the governing equations is possible onlyfor a uniform circular arch.The in-plane free vibration of circular arches with continuously varying cross-sectionis investigated by means of the exact solution in the fifth chapter. As anapproximation, such an arch is divided into a number of stepped arches withconstant cross-sections. The cross-section of each element is determined byaveraging the dimensions of upper and lower bounds of the element. Then, theexact solution of free vibrations for each stepped arch can be obtained by usinginitial value method. The axial extension, transverse shear deformation and rotatoryinertia effects are included in the governing differential equations of free vibrations.As the number of the stepped arches increase, the fast convergence to thefrequencies of the original arch is observed. Clamped-clamped, hinged-hinged,hinged-clamped, clamped-free and free-free boundary conditions are studied fordifferent opening angles. A comparison with available approximate solutions is alsoperformed. The agreement among all these methods is generally good.In the sixh chapter, the exact solution is adopted to the finite element method. Atwo-node six degree of freedom element is built by considering axial extension andshear deformation effects. The stiffness matrix is obtained from force-displacementrelations and used for solution of static problems of curved beams. The beams withvariable curvature are investigated besides the beams with constant curvature. Theexamples given in the literature are solved and the results are compared.The natural frequencies of curved beams for in-plane vibrations are investigated bymeans of finite element method in chapter seven. The element mass matrix isderived based on the equation of kinetic energy with rotatory inertia effect. Thenatural frequencies are obtained by solving the eigenvalue problem. Somenumerical examples in the literature are also solved in details and the results aregiven.The experimental studies and modal analysis of several curved beams are given inthe chapter eight. The experimental results are compared with the analytical solutionfor different curved beams and different boundary conditions. Vibration of beams isalso studied by using finite element package program ANSYS in order to comparenatural frequencies and mode shapes of the beam. The results show thatexperimental, analytical and finite element solutions are in good agreement witheach other.In the ninth chapter, the scope of the study is given with the results anddiscussions. Some suggestions are made to imrove the methods in advance. 157

Tez (Doktora) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2006, Thesis (PhD) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 2006, Bu çalışmanın temel amacı, eğri eksenli düzlemsel çubukların düzlem dışı statik ve dinamik problemlerini, başlangıç değerleri yöntemi ile, kayma deformasyonu ve hem eğilme hem de burulma dönme eylemsizliği etkilerini de dikkate alarak, analitik olarak çözmektir. Asal matris elemanlarının analitik ifadesi genel durum için elde edilmiştir. Literatürdeki örnekler çözülerek sonuçlar birbiri ile karşılaştırılmış ve bazı pratik problemler detayları ile verilmiştir. Düzlem dışı probleme ait çok sayıda sayısal örnek detayları ile çözülmüş ve sonuçların analitik ifadeleri verilmiştir Çember eksenli dairesel sabit kesitli çubukların düzlem dışı serbest titreşimlerinin kesin çözümü, kayma deformasyonu ve dönme eylemsizliği etkileri dikkate alınarak verilmiştir. Teorik ve sayısal sonuçların doğruluğunu görmek için deneysel çalışmalar yapılmıştır., The primary purpose of this study is to solve analytically static and dynamic problems of curved beam elements relate to out-of-plane by using the initial values method while considering shear deformation and rotatory inertia effects. The analytical expressions of the elements of the fundamental matrix are obtained for general case. These governing differential equations are simplified for curved beams relate to out-of-plane. The examples given in the literature are solved and the results are compared. Many numerical examples on the out-of-plane behaviour are also solved in details and the analytical expressions of the results are given. Exact solution of free out-of-plane vibrations of circular beams with uniform cross-section is given by considering transverse shear and rotatory inertia effects. Experiments are also performed to verify the theoretical and numerical results., Doktora, PhD

Tez (Yüksek Lisans) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2003, Thesis (M.Sc.) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 2003, Bu çalışmada, kesiti kademeli değişen çember eksenli çubukların düzlem içi titreşimlerinin incelenmesi amaçlanmıştır. Tek kademeli ve iki kademeli çubukların serbest titreşimlerine ait diferansiyel denklemler, çubuk teorisi kapsamında genel olarak ele alınmış, denklemlerin kesin çözümü elde edilmiştir. Farklı mesnet tipleri, kiriş açıları, kademe oranları, narinlik oranları ve kademe konumları için çubuğun ilk beş moduna ait düzlemsel serbest titreşimleri, eksenel deformasyon, kayma deformasyonu ve dönme eylemsizliği etkileri ayrı ayrı gözönüne alınarak incelenmiştir. Değişkenlerin, boyutsuz frekans üzerindeki etkisi grafikler halinde verilmiş ve sonuçlar yorumlanmıştır. Kademe konumunun çubuğun mod şekli üzerindeki etkisi vurgulanmıştır. Teorik sonuçlar, sonlu eleman yöntemi ile elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmış, böylelikle, sonlu elemanlar yönteminin, eğri eksenli çubukların titreşim analizlerine katkıları ve sınırlamaları üzerinde durulmuştur., In this study, a research about in-plane vibrations of stepped circular arches is given. The governing equations of in-plane vibrations of the arches having one step and two steps are solved by using exact solution. The effects of boundary conditions, opening angles, slenderness ratios and step ratios on the frequency coefficients for first five modes are given in diagrams. The effects of axial extension, transverse shear deformation and rotatory inertia are also considered individually. The mode shapes of stepped circular arches with respect to different positions of steps are given in figures. Beside that, the natural frequencies obtained by using the finite element method are compared with the exact solutions. By this way, the capability of the finite element method is discussed for the analysis of free vibrations of curved beams., Yüksek Lisans, M.Sc.

Tez (Yüksek Lisans) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2002, Thesis (M.Sc.) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 2002, Bu çalışmada, çubuk teorisi ile ilgili mevcut bilgilere, sonlu elemanlar yöntemi ile desteklenmiş deneysel verilerin katkıda bulunması amaçlanmıştır. Eğri eksenli çubukların serbest titreşimleri, çubuk teorisi kapsamında genel olarak ele alınmıştır. Sonlu elemanlar yönteminin özellikleri ve modelleme çalışmalarına katkıları anlatılmıştır. Sonlu eleman analizinde kullanılan, ANSYS Paket Programı tanıtılmış ve işletimi ile ilgili bilgiler verilmiştir. Çalışmada incelenen eğri eksenli çubukların, malzeme tipi ve özelliklerine göre modelleme işlemi yapılmış ve ardından analiz edilerek teorik titreşim frekansları belirlenmiştir. Buna ilave olarak, mevcut eğri eksenli çubukların serbest titreşim frekansları, hazırlanan deney düzeneğinde, değişik sınır şartlarında ölçülmüştür. Deneysel sonuçlar ile teorik sonuçlar karşılaştırılırken, çeşitli şekiller ve tablolarla desteklenmiştir. Böylelikle, sonlu elemanlar yönteminin, eğri eksenli çubukların titreşim analizlerine katkıları ve sınırlamaları üzerinde durulmuştur., The purpose of this study is to be able to assist the existing studies on the beam theory by using empirical data supported by finite element method. The general equations of vibrations of curved beams are given within beam theory generally. The features of finite element method and its assistance to modeling are mentioned. The study also includes detailed information regarding to the process of ANSYS which is used for finite element analysis. The modeling of existing curved beams is done due to the material properties and the vibration frequencies obtained by modal analysis are determined. Besides this, the free vibrations of existing curved beams are found out under different boundary conditions by means of experimental analysis. The comparison between theoretical and experimental free vibration frequencies is supported by graphics and tables. By this way, the ability of processed finite element method is discussed for the analysis of free vibrations of curved beams., Yüksek Lisans, M.Sc.

KESİTİ KADEMELİ DEĞİŞEN ÇEMBER EKSENLİ KİRİŞLERİN DÜZLEMLERİNDEKİ SERBEST TİTREŞİMLERİ Bu çalışmada kesiti sürekli olmayan bir davranışla değişen çember eksenli kirişlerin düzlemlerindeki serbest titreşimleri problemi, eksenel deformasyon, kayma deformasyonu ve dönme eylemsizlik etkileri göz önüne alınarak incelenmiştir. İkinci bölümde, eğri eksenli kirişlerin genel denklemleri verilmiştir. Statik problemi ifade eden genel denklemler eksenel deformasyon ve kayma deformasyonu etkileri hesaba katılarak verilmiştir. Titreşim probleminin genel denklemleri ise, eksenel deformasyon, kayma deformasyonu ve dönme eylemsizliği etkileri gözönüne alınarak verilir. Üçüncü bölümde, daha önce elde edilen diferansiyel denklem takımı kesiti kademeli değişen çember eksenli kiriş için elde edilmiş ve eksenel deformasyon, kayma deformasyonu ve dönme eylemsizliği etkileri hesaba katılarak analitik çözüm yapılmıştır. Dördüncü ve beşinci bölümde, bilgisayar programı ile kabuller, mesnet tipleri, narinlik dereceleri, kademe oranlan ve kiriş açılan değiştirilerek titreşimin ilk beş modunda boyutsuz frekans değerleri hesaplanmıştır. Literatür incelendiğinde bu konuda yapılan çalışmalann çoğunda titrişimin birinci moduna ait boyutsuz frekansların elde edildiği görülür. Sonuçlar boyutsuz frekans-kademe oranı ve boyutsuz frekans-kiriş açısı grafikleri ile gösterilmiştir. Boyutsuz frekanslann her bir etmen için değişimi ayn ayn incelenmiştir. Kirişin farklı mod şekilleri verilmiş kabulerin mod şekilleri üzerindeki etkileri incelenmiştir. Altıncı bölümde bu konuda yapılmış olan diğer çalışmalar incelenmiştir. Çalışmanın konusunu oluşturan eksenel deformasyon, kayma deformasyonu ve dönme eylemsizliği etkilerinin hesaba katıldığı kabulde hesaplanan boyutsuz frekanslar, eksenel deformasyon, kayma deformasyonu ve dönme eylemsizliğinin hesaba katılmadığı kabulde elde edilen sonuçlar ve farklı çalışmalann kabullerinden elde edilen sonuçlar karşılaştınlmıştır. Bu şekilde eksenel deformasyon, kayma deformasyonu ve dönme eylemsizliği etkilerinin göz önüne alınarak titreşimin boyutsuz frekansının hesaplanmasının önemi vurgulanmıştır. XV EXACT SOLUTION OF FREE IN-PLANE VIBRATIONS OF STEPPED CIRCULAR ARCHES SUMMARY In this study, the exact solution of free in-plane vibrations of circular arches with cross- sections varying in a discontinuous fashion is given by considering axial extension, transverse shear and rotatory inertia effects. In the second section, the governing differential equations of motion of curved beams are given. The governing equations of the static problem are given by considering axial extension, transverse shear effects. The governing equations of vibration problem is given by considering axial extension, transverse shear and rotatory inertia effects. In the third section, differential equations, which are obtained in second section, are given for circular arches with cross-sections varying in a discontinuous fashion. The analytical solution is given by considering axial extension, transverse shear and rotatory inertia effects. In the forth and fifth sections, the frequency coefficients of first five modes of stepped circular arches for varying boundary conditions, several slenderness and step ratios and opening angles are calculated by using a computer program. Some other cases in which some effects are ignored by vanishing the related terms in the equations are also studied. The results are shown with frequency coefficients via step ratio diagrams and frequency coefficients via opening angles diagrams. The changes of frequency coefficients for these effects are observed. The different mode shapes of the stepped circular arches are given and the effects of axial extension, transverse shear and rotatory inertia in the mode shapes are examined. In the sixth section, the results of other studies deal with in-plane vibrations of arches are given. It is emphasized that the importance of the calculation of the frequency coefficients by considering axial extension, transverse shear and rotatory inertia effects by the comparison the results of this study and the other studies. XVI 128

Tez (Yüksek Lisans) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2000, Thesis (M.Sc.) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 2000, “Eğitim Amaçlı Mukavemet Hesapları Yazılımı”, temel mukavemet konularının işlendiği, mukavemet problemlerinin görsel olarak bilgisayar ortamında tasarlanmasına ve çözülmesine imkan tanıyan, eğitim amaçlı bir yazılımın hazırlanması ve tanıtımından oluşmaktadır. Yazılım genel olarak öğrencilerin kolay kullanabileceği ve temel mukavemet kavramlarının işlendiği bir eğitim programı olarak hazırlanmıştır. Program modüler olup, her yeni konu yeni bir modül olarak yazılımın alt yapısına kolayca entegre edilebilmekte ve gerekiyorsa diğer modüllerle ilişkilendirilebilmektedir., In this study, which is called as “Educational Software for Strength of Materials”, the fundamental subjects of strength of materials are given. The software is designed to create and solve problems visually on the screen. The software is designed in order to be easily used by the students. The software is built in modules so that each new subject can be added as a new module to the software and also be linked to the others if necessary., Yüksek Lisans, M.Sc.

Tez (Yüksek Lisans) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2000, Thesis (M.Sc.) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 2000, Bu çalışmada, stasyoner ve dönen disklerin titreşim karakteristikleri incelenmiştir. Stasyoner diskler için çözüm fonksiyonu, Bessel fonksiyonları kullanılarak elde edilmiştir. Disk titreşimlerine ait mod şekilleri çizilmiştir. Dönen disklerin küçük genlikli, enine titreşimleri Galerkin metodu kullanılarak incelenmiştir. Yer değiştirme fonksiyonu olarak iki farklı fonksiyon seçilmiştir. Nodal dairelerin dörde kadar olan değerleri için Champbell diyagramları çizilmiştir. Ayrıca Champbell diyagramlarını elde etmek için sonlu eleman metodu da kullanılmıştır. Analitik ve nümerik olarak elde edilen sonuçlar birbirleriyle ve literatürdekilerle karşılaştırılmıştır. Bir bilgisayar sabit disk sürücüsünün kullanıldığı bir deney yapılmıştır. Deneysel sonuçlar analitik sonuçlarla mukayese edilmiştir. Bir yük sisteminin meydana getirdiği, dönen bir diskin zorlanmış titreşimleri incelenmiştir. Yük sistemi disk üzerinde belirli bir noktaya etki eden harmonik bir kuvvetten meydana gelmektedir. Diskin dinamik cevabı Galerkin yöntemi kullanılarak elde edilmiştir. Güç spektrum genliği diyagramları çizilmiştir., In this study, vibration characteristics of stationary and rotating disks are examined. Solution function for stationary disks is obtained using Bessel functions. Mod shapes belong to disk vibrations are plotted. Small amplitude, transverse vibration of a rotating disk is studied by using Galerkin method. Two different functions are chosen as displacement functions. The Campbell diagrams are plotted for the values of nodal circles (up to four). In addition, the finite element method is employed to obtain the Campbell diagrams. The results obtained both analytically and numerically are compared with both each other and those in the literature. An experiment is performed with a hard disk drive unit. The experimental results are compared with analytical results. The forced vibrations of a rotating disk by a load system are studied. The load system consists of concentrated harmonic forces acting on specified positions on the disk. The dynamic response of the disk is obtained by using Galerkin method. The power spectral density diagrams are plotted., Yüksek Lisans, M.Sc.