Spin-momentum bağlı sistemler son zamanlarda deneysel imkanların artmasıyla teorik olarak da ilgi çekici bir konu haline gelmiştir. Bu tip sistemler, kuantum spin Hall etkisi, topolojik yalıtkanlar/süperiletkenler, yarıiletken heteroyapılar ve optik örgülerdeki aşırı soğuk atomik sistemler gibi örneklenebilir. Maddenin topolojik halleri, özellikle topolojik yalıtkanların keşfinden sonra oldukça ilgi çeken bir araştırma konusu haline gelmiştir. Maddenin bu halinin topolojik oluşu, sistemin yüzeylerinde ve/veya kenarlarında oluşan sıfır enerjili uyarılmış durumlardan kaynaklanmaktadır. Bu durumlar dışarıdan gelen uyarma ve tedirgemelere karşı korunaklıdırlar. Yalıtkanlar gibi, süperiletken sistemleri de topolojik özellikler gösterebilir. Topolojik yalıtkan ve topolojik süperiletkenler, Hamiltonyenin temel simetri özelliklerini kullanarak on simetri grubu altında sınıflandırılabilirler. Uniter simetriler Hamiltonyende blok yapısı oluşturmasına rağmen topolojik sınıflandırmaya katkıda bulunmazlar. Anti-üniter simetriler ise topolojik sınıflandırmada önemli rol oynarlar.Topolojik yalıtkanlara en bilinen örnek olarak tamsayılı kuantum spin Hall yalıtkanı verilebilir. İki boyutlu bu elektron sisteminde zaman tersinme simetrisi dışarıdan uygulanan manyetik alanın etkisiyle kırılır. Kuantum Hall yalıtkanını, vakuma karşı bir boyutlu bir sınırla sonlandırırsak, sıfır enerji kenar durumları meydana gelir. Bozulan zaman tersinme simetrisinin etkisiyle bu sınır durumları tek yönde ilerlemeye başlarlar. Bu sayede kenar durumları, dışarıdan gelecek etkilere karşı korunaklı olur.Topolojik süperiletkenlere örnek olarak iki boyutlu kiral $p_{x}+ip_{y}$ tipi süperiletkenler verilebilir. Uyarılmış enerji aralıklarına sahip bu sistem, bir süperiletken olup zaman tersinme simetrisi bozunmuştur. İncelenen etkileşmeyen sistem, süperiletken durumdaki Bogoliubov de Gennes denklemlerinde de tanımlanan parçacığımsı uyarılmalardan oluşmaktadır. Bu 2 boyutlu kiral $p_{x}+ip_{y}$ durumu bir vakumla kesildiği zaman sınırlarda kiral modlar gözlemlenir. Tamsayılı kuantum spin Hall yalıtkanında olduğu gibi, bu sınır modları tek yönde ilerler ve dışarıdan gelecek uyarmalara karşı kapalıdırlar.Topolojik süperiletkenlerin bir başka ilginç özelliği de Majorana fermiyonlarını barındırabilmeleridir. Majorana fermiyonları, kendisinin anti-parçacığı olan teorik parçacıklardır. Bugüne kadar yüksek enerji fiziği kapsamında gözlemlenmemelerine rağmen, yoğun madde fiziğinde kendisinin deşiği olan parçacığımsı uyarılmaları şeklinde karşılaşılmaktadır. Majorana fermiyonunun kendi kendisinin deşiği olması, bir elektron ve bir deşik durumlarının eşit şekilde üstüste gelmeleriyle oluşur. Bu durum, süperiletken sistemlerde Bogoliubov parçacığımsıları ile gerçekleşir. Majorana fermiyonlarının teorik olarak ilgi çekmesinin en büyük sebebi abelyen olmayan değişim istatistikleri bulundurmalarıdır. Bunun önemli bir sonucu, Majorana fermiyonlarının topolojik süper bilgisayarlar için uygun adaylar olmasıdır. Bu tezde üzerinde çalışılan model Hamiltonyen topolojik hallerin oluşumunu desteklemektedir. Bunu gerçekleştirmek için, Hamiltonyen, spin-momentum bağlı fermiyonların aralarında s-dalgası süperiletken etkileşimini içermektedir. Bu sistemlerde süperiletkenlik yakınlık etkisi ile elde edilebilir. Bu tip sistemlere alternatif bir yaklaşım ise, model Hamiltonyeni aşırı soğuk atom sistemleri ile gerçekleştirmetir. Sistemin değişkenleri üzerindeki yapay kontrol teknikleri, ileri soğutma teknikleri ile birleşince, süperiletken sistemleri oluşturmak için önemli bir teknik haline gelmiştir. Son zamanlarda ise bu tekniklere ek olarak lazer kullanımı ile Abelyen ve Abelyen olmayan alanlar ile de model Hamiltonyeni gerçeklemek mümkün hale gelmiştir. Bu modelin Ortalama Alan Teorisi ya da Kesin Çaprazlama gibi yaklaşım kullanan yöntemler ile çözülmesi mümkün olmakla birlikte, kesin olarak çözümü de mümkündür. Kesin çözüm olması önemlidir çünkü Ortalama Alan Teorisi ya da Lanczos Yöntemi gibi yöntemlerden farklı olarak tüm etkileşim parametrelerinde de sonuç verip bize sistemin farklı özelliklerini inceleme fırsatı tanır.Kesin çözümü elde etmek, Hamiltonyen ile arasında komütasyon bağıntıları bulunan sistemin korunumlu özelliklerinin sayısı ile mümkün olmaktadır. Genel BCS Hamiltonyeni'nin sonucu olan sistemde enerji seviyeleri eş aralıklı olurken, spin-momentum bağlı süperiletken sistemlerde enerji seviyeleri eş aralıklı değildir. $N$ adet parçacık içeren fermiyon sistemi, spin ve momentum uzayında tersinme yozluk durumlarını içermektedir. Dalga fonksiyonu için kullanılan yaklaşım metodu ve uygun komütasyon bağıntıları ile sistemin enerjisi için $N$ adet cebirsel, kompleks kökleri olan ve doğrusal olmayan denklem edilir. Sistemin çözümü etkileşimin olmadığı limitten başlar ve etkileşim parametresi yavaş yavaş artırılarak sistemin özellikleri incelenir. Sistemdeki fermiyonlar arasındaki etkileşim parametresinin bazı değerleri için bu denklemler tekillik içerebilir. Bu tekilliklerden kurtulmak için denklemler üzerinde gerekli değişiklikler yapılmalıdır. Sistemi topyekün çözmek yerine, sistem limit boyutu sistemin yozluğu ile alakalı olacak şekilde dinamik kümelere ayrılır ve çözüm her kümenin kendi içinde ve diğer kümelerle olan çözümleri ayrı ayrı gerçekleştirilir. Tekillikleri güvenli bir şekilde ortadan kaldırmak için başvurulan bir diğer yöntem ise sona öngörüm yöntemidir. Bu yöntemin kullanılışı şu şekildedir: Eğer program çözüm bulamıyorsa ya da bulduğu çözüm, istenen kesinlikte değilse etkileşim parametresinde attığı adımı geri alıp daha küçük adımlarla ilerlemeyi dener. İstenen sayıda bu işlem tekrarlandıktan sonra hala sistem çözülemiyorsa, bu sefer program etkileşim parametresi için normalden daha büyük adım atarak ilerlemeye çalışır. Bu sayede tekilliklerin gerçekleştiği noktaların üzerine basmadan sistem en az hata ile çözülür.Bu tezin içeriği şu şekildedir: İlk bölümde spin-momentum bağlı Hamiltonyen'in tanıtımı ve Hamiltonyenlerin simetrilerine göre sınıflandırılması incelenmektedir. İkinci bölüm, BCS Hamiltonyeni'nin Richardson yöntemi ile kesin olarak sayısal çözümünü elde etmek için oluşturulması gereken denklemleri içermektedir. Üçüncü bölüm, elde edilen denklemlerin tekilliklerini ortadan kaldırmak için yapılan dönüşümleri ve sona öngörüm yönteminin uygulanışını içerir. Farklı koşullar için sayısal çözüm örnekleri de bu bölümde verilmiştir. Dördüncü bölümde ise, Hamiltonyen spin-momentum bağlı hale getirilir. Bu Hamiltonyenin kesin çözümünün olduğunu ispatlamak için, Hamiltonyen helisite bazına geçirilir. Uygun dönüşümler ve istenen komütasyon bağıntılarının gösterimi ile bu Hamiltonyen'in kesin çözümü olduğu ispatlanır. Sistemin nümerik çözümlerine örnekler de bu bölümdedir. Tez, son bölümde yapılan işin üzerine yorumlar ve gelecekteki planlar ile son bulmaktadır. Topological states of matter have been attracting increasing attention especially after the experimental discovery of topological insulators. The topological aspect of these phases of matter involves the topological excitations on the edges or surfaces which have zero energy. The topological aspect of the edge/surface states has signatures also in the bulk via the bulk-edge correspondence. Superconducting materials can also have topological states and the topological phases of insulators and superconductors can be classified in ten groups using fundamental symmetries of the Hamiltonian. The model Hamiltonian considered in this thesis can support topological phases. In order to make this possible it involves an s-wave superconducting interaction between Fermions whose momentum is coupled to their spin. This Hamiltonian is recently realized for electrons in nano-wires. The nanowire has intrinsic spin-orbit coupling and is brought close to a conventional s-wave superconductor. The superconductivity is induced via the proximity effect. An alternative approach to realizing this Hamiltonian could be the ultra-cold atom systems. The arbitrary control of system parameters together with cooling techniques are promising for realizing superconducting systems. More recently, by using additional lasers Abelian and non-Abelian gauge fields could be included in the Hamiltonian. Therefore these systems present another realization for the spin-orbit coupled s-wave superconductor model.The numerical approach to the solution of the model is an exact solution. This is an important feature because apart from mean field theory and other approaches, exact solution provides us to explore different proporties of the system. Obtaining the exact solution is possible because of the number of conserved quantities that commute with the Hamiltonian. For a given number of particles $N$, one obtains $N$ nonlinear algebraic equations which have $N$ complex roots. For particular interaction values, these equations harbor singularities. To get rid of these singularities, one must make necessary transformations and extrapolations.The plan of the thesis is as follows. The first chapter will introduce the spin-momentum coupled superconducting Hamiltonian and identify its place in the topological classification of topological insulators and superconductors. The second chapter introduces the Richardson model and the equations for the numerical solution. The numerical solution for the equations avoiding the numerical singularities of the direct approach is presented and applied to the original Richardson problem in the third chapter. In the fourth chapter we show explicitly that the spin-orbit coupled superconducting Hamiltonian when written in the helicity basis takes the form of the Richardson Hamiltonian. The numerical solution is applied to this model in order to obtain total energy as a function of the interaction strength. In the last chapter we conclude with general remarks and future prospects. 67