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En este artículo presentamos la aproximación del modelo acoplado de las ecuaciones del movimiento de un fluido en aguas poco profundas con la ecuación convección-difusión-reacción (CDR) del transporte de contaminantes. Dicha aproximación se realiza mediante elementos finitos de alto orden y usando métodos variacionales estabilizados de subescalas. El sistema acoplado de ecuaciones, previamente discretizado en el tiempo y linealizado, lo escribimos como una ecuación vectorial transitoria de CDR. Los métodos estabilizados de elementos finitos utilizados son los conocidos métodos de subescalas ASGS y OSS, los mismos que nos permiten usar igual interpolación para todas las incógnitas, así como tratar con flujos de convección y reacción dominantes. Consideramos la posibilidad de no linealidad tanto en el término convectivo como en el de reacción. No consideraremos el posible desarrollo de choques en la solución. Con el fin de examinar la precisión y robustez de los métodos ASGS y OSS, presentamos cuatro casos de prueba: convergencia en malla, transporte de un contaminante en una cavidad cuadrada, transporte de un contaminante en el golfo de Roses y en la desembocadura del río Guadalquivir, y el modelo depredador-presa, que puede escribirse como una ecuación vectorial de CDR transitoria con no linealidad en el término de reacción., Peer Reviewed, Postprint (published version)

The objective of the doctoral thesis is to perform the numerical approximation of the transient convection-diffusion-reaction (CDR) vector equation in 2D with high order finite elements, quadratic, cubic and fourth order, using stabilized finite element methods of the type VMS (Variational Multi-Scale) such as ASGS and OSS, testeds in recent years to solve the transient vector equation of CDR when there is the phenomenon of dominant convection or reaction and aggravated by the nonlinearity of either the convective term or the term reaction. The standard Galerkin finite element method applied to the CDR transient scalar equation presents instabilities in the solution when the convective and reaction terms are dominant versus the diffusive term. We solve this difficulty by two finite element methods based on subscales, these are the known methods called ASGS (Algebraic Sub-Grid Scale) and OSS (Orthogonal Subscale Stabilization), which basically consist of decomposing the unknown continuous scalar variable into two components, one than is resolved in the finite element space and the other that cannot be captured by the finite element mesh and therefore belongs to another function space that we call subscale space. It is precisely the choice of the subscale space that imposes the difference between the ASGS and OSS methods. We will experiment with the stabilization parameter suggested in the literature for linear elements, making an extension of the same parameter to take into account the interpolation order to deal with high order finite elements. Likewise, in the calculation of the subscale with fourth order triangular elements for the OSS method, we have proposed the modification of the standard triangular element in order to have a closed integration rule with the integration points in the nodes. As for temporal and spatial discretization, we first discretize in time, and then for each instant of time we make the spatial approximation and stabilization including the, El objetivo de la tesis doctoral es realizar la aproximación numérica de la ecuación vectorial transitoria de convección-difusión-reacción (CDR) en 2D con elementos finitos de alto orden, cuadráticos, cúbicos y de cuarto orden, mediante métodos de elementos finitos estabilizados del tipo VMS (Variational Multi-Scale) como el ASGS y OSS, probados en los últimos años para resolver la ecuación vectorial transitoria de CDR cuando existe el fenómeno de convección o reacción dominantes y agravado por la no linealidad sea del término convectivo o del término de reacción. El método estándar de elementos finitos de Galerkin aplicado a la ecuación escalar transitoria de CDR presenta inestabilidades en la solución cuando los términos convectivo y de reacción son dominantes frente al término difusivo. Esta dificultad la resolvemos por dos métodos de elementos finitos basados en subescalas, estos son los conocidos métodos llamados ASGS (Algebraic Sub-Grid Scale) y OSS (Orthogonal Subscale Stabilization), que fundamentalmente consisten en descomponer la variable escalar continua desconocida en dos componentes, una que es resuelta en el espacio de los elementos finitos y otra que no puede ser capturada por la malla de elementos finitos y por lo tanto pertenece a otro espacio de funciones que lo llamamos espacio de subescalas. Precisamente, la elección del espacio de subescalas es el que impone la diferencia entre los métodos ASGS y OSS. Experimentaremos con el parámetro de estabilización sugerido en la literatura para elementos lineales, realizando una ampliación del mismo parámetro para tomar en cuenta el orden de interpolación para tratar con elementos finitos de alto orden. Igualmente, en el cálculo de la subescala con elementos triangulares de cuarto orden para el método OSS hemos propuesto la modificación del elemento triangular estándar con el fin de tener una regla de integración cerrada con los puntos de integración en los nodos. En cuanto a la discretización temporal y es, Postprint (published version)

En este artículo presentamos formulaciones estabilizadas de elementos finitos para resolver la ecuación de convección-difusión-reacción escalar en el caso de difusión pequeña. Por un lado, resumimos la aplicación de las formulaciones ASGS y OSS basadas en el concepto de métodos variacionales multiescala. Por otro lado, discutimos aspectos de la utilización de elementos de alto orden, centrando nuestros experimentos numéricos en elementos cuadráticos, cúbicos y de cuarto orden. Asimismo, la aplicación del método OSS requiere de la introducción de una proyección, para lo cual introducimos una modificación del elemento simplicial de cuarto orden con una regla de integración numérica asociada., Peer Reviewed, Postprint (published version)

En este artículo presentamos aproximaciones de elementos finitos de alto orden usando métodos variacionales estabilizados de subescalas para aproximar las ecuaciones del movimiento de un fluido en aguas poco profundas (shallow water equations, en inglés). Escribimos estas ecuaciones como un sistema de ecuaciones de tipo convección-difusión-reacción (CDR) no lineal y transitorio, y planteamos los desarrollos en este marco general. Los métodos variacionales de multiescala (VMS) se basan en la descomposición de las incógnitas del problema continuo en una parte resoluble en el espacio de elementos finitos y otra que no puede ser capturada por la malla de elementos finitos y que la denominamos subescala. La subescala se aproxima en términos de la solución de elementos finitos, obteniéndose un esquema numérico robusto, que permite en particular igual interpolación para todas las incógnitas y la posibilidad de tratar con flujos de convección dominante (no consideraremos la posibilidad de tratar con choques). Los métodos VMS que consideraremos son los llamados de subscalas algebraicas (ASGS, por Algebraic SubGrid Scales) y subescalas ortogonales (OSS, por Orthogonal Subgrid Scales)., In this article, we present approximations with finite elements of high order using stabilized variational multiscale methods to approximate the equations of motion of a fluid in shallow waters. We write these equations as a system of non-linear and transient convectiondiffusion-reaction (CDR) equations and we perform our developments in this general framework. Variational multiscale methods (VMS) are based on the decomposition of the unknowns of the continuous problem in a resolved component in the finite element space and another component that cannot be captured by the finite element mesh, and that we call subscale. The subscale is approximated in terms of the finite element solution, obtaining a robust numerical scheme, which in particular allows one to use the same interpolation for all unknowns and the possibility to deal with convection dominated flows (we will not consider the possibility of dealing with shocks). The two VMS methodologies that we will consider are called algebraic subscales (ASGS) and orthogonal subscales (OSS)., Peer Reviewed, Postprint (published version)