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Ce mémoire de maîtrise porte sur les billards mathématiques et la distribution des points de réflexion des trajectoires périodiques d’une table de billard strictement convexe. Un billard mathématique est un système dynamique généré par le mouvement libre d’une particule à l’intérieur d’un domaine dont la frontière est parfaitement réfléchissante. Une question d’intérêt particulier dans l’étude des billards mathématiques est celle de ses trajectoires périodiques. Nous considérons le cas des billards planaires strictement convexes. Il est connu que les points de réflexion des trajectoires périodiques de période n faisant un tour de table sont équidistribués par rapport à une mesure naturelle sur la frontière. Nous montrons ce résultat par une méthode nouvelle et relativement élémentaire utilisant la théorie de Lazuktin [12]. Dans le premier chapitre, nous donnons une description précise de la dynamique des billards et une brève introduction à la théorie de Lazuktin, aux applications de torsion et aux caustiques. Dans les chapitres 2 à 4, nous développons chacun des concepts précédents et expliquons comment ceux-ci sont liés aux billards. Le chapitre 5 est consacré à la preuve de notre résultat principal, divisée en deux parties. Nous concluons en donnant une annexe sur la théorie de la mesure., This master’s thesis is concerned with mathematical billiards and distribution of reflection points of periodic trajectories of a strictly convex billiard table. A mathematical billiard is a dynamical system generated by the free motion of a particle inside of a domain with a perfectly reflecting boundary. A question of particular interest in the study of mathematical billiards is that of its periodic trajectories. We consider the case of planar strictly convex billiards. It is known that the reflection points of periodic trajectories of period n making one turn around the table are equidistributed with respect to a natural measure on the boundary. We show this result by a new and relatively elementary method using Lazuktin’s theory [12]. In the first chapter, we give a precise description of billiard dynamics and a brief introduction of Lazuktin’s theory, twist mappings and caustics. In Chapter 2 to 4, we elaborate each of the previous concepts and explain how they are related to billiards. Chapter 5 is dedicated to the proof of our main result, divided into two parts. We conclude by giving an appendix about measure theory.

In pattern recognition, the coding of information extracted from the data is a decisive phase, and the use of structures seems to be the most pertinent choice. However, the coding in the form of numeric feature vectors offers the advantage of enabling, in the sequel, the use of numerous efficient algorithms specifically developed for the classification of numeric vectors in fields connected to pattern recognition. From this observation was born a research field devoted to the statistical characterization of structure spaces. At the same time have been developed a set of works based on a transformation of structures into numeric vectors. Finally, probabilities are a widely used paradigm for the classification of structured data, via the modelling of distributions of structures and a massive use of the maximum likelihood classifier. In this thesis, we propose the translation to structure spaces of criteria enabling to define the statistical notions of uniformity and normality of probability laws. We propose as well a reflection on the definition of structural random variables taking their values in a vector space, having in prospect the possibility of applying, in the structural domain, the central limit theorem, a fundamentally important result in probability theory and statistics. From an applicative point of view, we evaluate the contribution of a part of our work for the resolution of typical problems in pattern recognition, namely the classification of DNA sequences and the classification of images of handwritten digits., En reconnaissance de formes, le codage de l'information extraite des données est une étape décisive, et l'utilisation de structures semble être le choix le plus pertinent. Cependant, le codage sous forme de vecteurs de caractéristiques numériques offre l'avantage de permettre l'utilisation de nombreux algorithmes efficaces développés spécifiquement pour la classification de vecteurs numériques dans des disciplines connexes à la reconnaissance de formes. De ce constat est né un champs de recherche dédié à la caractérisation statistique des espaces de structures. Parallèlement, ont vu le jour un ensemble des travaux basés sur une transformation des structures sous forme de vecteurs numériques. Enfin, les probabilités sont un paradigme largement utilisé pour la classification de données structurées, via la modélisation de distribution de structures et l'utilisation massive du classifieur par maximisation de vraisemblance. Dans cette thèse, nous proposons la traduction aux espaces structurels de critères permettant de définir les notions statistiques d'uniformité et de normalité de lois de probabilités. Nous proposons également une réflexion sur la définition de variables aléatoires de structures à valeur dans un espace vectoriel, avec pour perspective la possibilité d'application, dans le domaine structurel, du théorème central limite, résultat d'importance fondamentale en théorie des probabilités et statistique. D'un point de vue applicatif, nous évaluons les apports d'une partie de nos travaux pour la résolution de problèmes typiques en reconnaissance de formes, à savoir la classification de séquences d'ADN et la classification d'images de chiffres dessinés à la main.