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Although since their introduction by Tian in 2004, evolution algebras have been the subject of a very deep study in the last years due to their numerous applications to other disciplines, this study is not easy since these algebras lack an identity that characterizes them, such as the identity of Jacobi, for Lie algebras or those of Leibniz and Malcev for those corresponding algebras. In this paper we deal with the concepts of solvability and nilpotency of these evolution algebras. Some novel results on them obtained from using the evolution operator of these algebras are given and some examples illustrating these results are also shown. The main result obtained states that an evolution algebra is solvable if and only if its structure matrix is nilpotent, which implies, in turn, that the solvability and the nilpotency indices of that algebra coincide provided the corresponding evolution operator is an endomorphism of the algebra.

Evolution algebras are currently widely studied due to their importance not only “per se” but also for their many applications to different scientific disciplines, such as Physics or Engineering, for instance. This paper deals with these types of algebras and their applications. A criterion for classifying those satisfying certain conditions is given and an algorithm to obtain degenerate evolution algebras starting from those of smaller dimensions is also analyzed and constructed.

Even if it has been less than a decade and a half since Tian introduced his concept of evolution algebras to represent algebraically non-Mendelian rules in Genetics, their study is becoming increasingly widespread mainly due to their applications to many scientific disciplines. In order to facilitate further research on the topic, this paper deals with the past and present research on these kind of algebras, together with the most relevant topics regarding them Junta de Andalucía FQM-016

International audience; We are interested in the evolution operators defined on commutative and non-associative algebras when the characteristic of the scalar field is 2. We distinguish four types: nilpotent, quasi-constant, ultimately periodic, and plenary train operators. They are studied and classified for non-baric and for baric algebras.

La tesis tiene por título “Álgebras de evolución”. Está escrita en inglés y tiene un total de 189 páginas. Dicho manuscrito está formado por las siguientes capítulos: 1.- Introducción 2.- Resumen en español. 3.- Hechos básicos sobre álgebras de evolución. 4.- Descomposición de un álgebra de evolución. 5.- Clasificación de las álgebras de dimensión dos. 6.- Clasificación de las álgebras de dimensión tres. 7.- Apéndice 8.- Conclusiones y trabajos futuros. 9.- Bibliografía 10.-Notación 11.-Índice alfabético. Los objetos de estudio de esta tesis son las llamadas álgebras de evolución, las cuales son una nueva clase de álgebras genéticas cuyo origen está en la formulación de la genética que no sigue las leyes de Mendel. Éstas fueron introducidas en 2008 por J.P. Tian en su libro “Evolution algebras and their applications”. Inspirada por las relaciones de las álgebras de evolución con diferentes áreas de las Matemáticas, tales como la teoría de grafos, la teoría de cuerdas, la probabilidad y la aplicación de las mismas en otros campos como las cádenas de Markov, la genética, etc., en los últimos años ha habido un aumento de las publicaciones relacionadas con este tipo de álgebras genéticas. A continuación se detalla el contenido de cada uno de los capítulos que forman esta contribución. En el Capítulo 1, se parte de las definiciones básicas de las estructuras algebraicas objeto de estudio, y que jugarán un importante papel en el resto de la tesis. Propiedades tales como la conmutatividad, la asociatividad, la flexibilidad, etc., son estudiadas en las primeras secciones. De hecho se proporciona una condición para la cual las álgebras de evolución son de potencia asociativa. En las secciones posteriores el estudio se focaliza en expresar el producto del álgebra en términos de su matriz de estructura y se dan una serie de expresiones donde se relacionan las matrices de estructura relativas a distintas bases. Esto se hace para el caso de un álgebra arbitraria y en particular para el caso de las álgebras de evolución. Dicha fórmula resultará especialmente útil para la clasificación que se hará posteriormente. En este mismo capítulo se definen subestructuras de evolución y se demuestran las distintas conexiones entre los conceptos definidos. Destacar la caracterización que se hace de las álgebras de evolución no degeneradas y la relación que se establece entre grafos y este tipo de álgebras no asociativas. Este hecho será de gran ayuda cuando se estudie la reducibilidad del álgebra de evolución en el capítulo 2. En el Capítulo 2, se empieza utilizando diferentes técnicas para describir los ideales generados por un elemento. Una importante consecuencia de los resultados obtenidos es que las álgebras de evolución simples tienen dimensión a lo sumo numerable. En los siguientes apartados se proporciona una caracterización de las álgebras de evolución simples. Para conseguir el propósito de este capítulo, el estudio de la descomposición de las álgebras de evolución de dimensión arbitraria, se introduce la noción de reducibilidad y se caracteriza en términos del grafo asociado. En la última sección se presenta una descomposición para cualquier álgebra de evolución no degenerada en términos de ideales de evolución irreducibles. Tal descomposición es lo que se llama la descomposición óptima en suma directa. Por último, se describe un método para hallar esta descomposición cuando el álgebra de evolución es de dimensión finita. Tanto el Capítulo 3 como el Capítulo 4 están dedicados a la clasificación de las álgebras de evolución de dimensión 2 y 3 respectivamente. Aunque la clasificación para la dimensión 2 ya estaba realizada sobre el cuerpo de los números complejos, en este manuscrito se ha realizado para cualquier cuerpo que verifique que los polinomios de grado dos y tres tengan una raíz. La clasificación en ambos casos se hace distinguiendo la dimensión del álgebra cuadrada. Por último se presenta todo un abanico de posibilidades para continuar con este estudio detallado en los trabajos futuros. Cabe señalar el seguir profundizando en la aplicación de los resultados obtenidos en el campo de la biología y en concreto de la genética. Se termina proporcionando la bibliografía utilizada en la que se encuentra el artículo que avala dicha tesis.

In this paper, we introduce some particular families of graphicable algebras obtained by following a relatively new line of research, initiated previously by some of the authors. It consists of the use of certain objects of Discrete Mathematics, mainly graphs and digraphs, to facilitate the study of graphicable algebras, which are a subset of evolution algebras., Comment: 15 pages, 8 figures

Evolution algebras have many connections with other mathematical fields, like group theory, stochastics processes, dynamical systems and other related ones. The main goal of this paper is to introduce a novel non-usual research on Discrete Mathematics regarding the use of graphs to solve some open problems related to the theory of graphicable algebras, which constitute a subset of those algebras. We show as many our advances in this field as other non solved problems to be tackled in future.