Search

The object of research is the linear optimal control problem described by discrete two-parameter systems under the assumption that the controlled process is stepwise. The work is aimed at deriving the necessary first-order optimality conditions in the case of a non-smooth quality function. And also to establish the necessary conditions of second-order optimality in stepwise control problems for discrete two-parameter systems. The paper investigates one linear two-parameter discrete optimal control problem with a non-smooth quality criterion. A special increment of the quality functional is calculated. Cases under the condition of a convex set are considered. The concept of special control in the problem under study is given. A number of necessary optimality conditions for the first and second orders are established. And also the necessary second-order optimality conditions are obtained in terms of directional derivatives. In the case of a linear quality criterion, the necessary and sufficient optimality condition is proved using the increment formula by analogous arguments. Under the assumption that the set is convex, a special increment of the quality criterion for admissible control is defined. The methods of calculus of variations and optimal control, the theory of difference equations are used. The result is obtained for the optimality of a special, first-order control, in the case of convexity of the set. The case when the minimized functional is linear is considered. In this case, a necessary and sufficient condition is obtained for the optimality of the admissible control. Thanks to the research results, it is possible to obtain the necessary first-order optimality conditions in terms of directional derivatives in the stepwise problem of optimal control of discrete two-parameter systems. As well as the necessary conditions of optimality of the second order in the case of convexity of the control domain and the necessary optimality conditions of special controls. The theoretical results obtained in the work are of interest in the theory of optimal control of step systems and can be used in the further development of the theory of necessary optimality conditions for step control problems

In the article we have obtained some estimates of the rate of convergence for the recently proposed by Yu. E.Nesterov method of minimization of a convex Lipschitz-continuous function of two variables on a square with a fixed side. The idea of the method is to divide the square into smaller parts and gradually remove them so that in the remaining sufficiently small part. The method consists in solving auxiliary problems of one-dimensional minimization along the separating segments and does not imply the calculation of the exact value of the gradient of the objective functional. The main result of the paper is proved in the class of smooth convex functions having a Lipschitz-continuous gradient. Moreover, it is noted that the property of Lipschitzcontinuity for gradient is sufficient to require not on the whole square, but only on some segments. It is shown that the method can work in the presence of errors in solving auxiliary one-dimensional problems, as well as in calculating the direction of gradients. Also we describe the situation when it is possible to neglect or reduce the time spent on solving auxiliary one-dimensional problems. For some examples, experiments have demonstrated that the method can work effectively on some classes of non-smooth functions. In this case, an example of a simple non-smooth function is constructed, for which, if the subgradient is chosen incorrectly, even if the auxiliary one-dimensional problem is exactly solved, the convergence property of the method may not hold. Experiments have shown that the method under consideration can achieve the desired accuracy of solving the problem in less time than the other methods (gradient descent and ellipsoid method) considered. Partially, it is noted that with an increase in the accuracy of the desired solution, the operating time for the Yu. E. Nesterovs method can grow slower than the time of the ellipsoid method.

The object of research is the linear optimal control problem described by discrete two-parameter systems under the assumption that the controlled process is stepwise.The work is aimed at deriving the necessary first-order optimality conditions in the case of a non-smooth quality function. And also to establish the necessary conditions of second-order optimality in stepwise control problems for discrete two-parameter systems. The paper investigates one linear two-parameter discrete optimal control problem with a non-smooth quality criterion. A special increment of the quality functional is calculated. Cases under the condition of a convex set are considered. The concept of special control in the problem under study is given. A number of necessary optimality conditions for the first and second orders are established. And also the necessary second-order optimality conditions are obtained in terms of directional derivatives. In the case of a linear quality criterion, the necessary and sufficient optimality condition is proved using the increment formula by analogous arguments. Under the assumption that the set is convex, a special increment of the quality criterion for admissible control is defined.The methods of calculus of variations and optimal control, the theory of difference equations are used. The result is obtained for the optimality of a special, first-order control, in the case of convexity of the set. The case when the minimized functional is linear is considered. In this case, a necessary and sufficient condition is obtained for the optimality of the admissible control.Thanks to the research results, it is possible to obtain the necessary first-order optimality conditions in terms of directional derivatives in the stepwise problem of optimal control of discrete two-parameter systems. As well as the necessary conditions of optimality of the second order in the case of convexity of the control domain and the necessary optimality conditions of special controls.The theoretical results obtained in the work are of interest in the theory of optimal control of step systems and can be used in the further development of the theory of necessary optimality conditions for step control problems., Объектом исследования является линейная задача оптимального управления, описываемая дискретными двухпараметрическими системами при предположении, что управляемый процесс является ступенчатым. Работа направлена на вывод необходимых условий оптимальности первого порядка в случае негладкой функции качества. А также на установление необходимых условий оптимальности второго порядка в ступенчатых задачах управления дискретными двухпараметрическими системами. В работе исследуется одна линейная двухпараметрическая дискретная задача оптимального управления с негладким критерием качества. Вычислено специальное приращение функционала качества. Рассмотрены случаи при условии выпуклого множества. Дано понятие особого управления в исследуемой задаче. Установлен ряд необходимых условий оптимальности первого и второго порядков. А также получены необходимые условия оптимальности второго порядка в терминах производных по направлениям. В случае линейного критерия качества при помощи формулы приращения аналогичными рассуждениями доказано необходимое и достаточное условие оптимальности. При предположении, что множество выпуклое, определено специальное приращение критерия качества допустимого управления.В ходе исследования использовались методы вариационного исчисления и оптимального управления, теории разностных уравнений. Получен результат для оптимальности особого, первого порядка управления, в случае выпуклости множества. Рассмотрен случай, когда минимизируемый функционал является линейным. В этом случае получено необходимое и достаточное условие для оптимальности допустимого управления.Благодаря полученным результатам исследований обеспечивается возможность получения необходимых условий оптимальности первого порядка в терминах производных по направлениям в ступенчатой задаче оптимального управления дискретными двухпараметрическими системами. А также необходимые условия оптимальности второго порядка в случае выпуклости области управления и необходимые условия оптимальности особых управлений.Полученные в работе теоретические результаты представляют собой интерес в теории оптимального управления ступенчатыми системами и могут быть использованы при дальнейшей разработке теории необходимых условий оптимальности для ступенчатых задач управления., Об'єктом дослідження є лінійна задача оптимального управління, описувана дискретними двопараметричними системами при припущенні, що керований процес є ступінчастим.Робота спрямована на виведення необхідних умов оптимальності першого порядку в разі негладкої функції якості. А також на встановлення необхідних умов оптимальності другого порядку в східчастих задачах керування дискретними двопараметричними системами. В роботі досліджується одна лінійна двопараметрична дискретна задача оптимального управління з негладким критерієм якості. Обчислено спеціальний приріст функціоналу якості. Розглянуто випадки за умови опуклої безлічі. Дано поняття особливого управління в досліджуваній задачі. Встановлено ряд необхідних умов оптимальності першого і другого порядків. А також отримані необхідні умови оптимальності другого порядку в термінах похідних за напрямками. У разі лінійного критерію якості за допомогою формули збільшення аналогічними міркуваннями доведена необхідна і достатня умова оптимальності. При припущенні, що безліч опукла, визначено спеціальний приріст критерію якості допустимого управління.В ході дослідження використовувалися методи варіаційного обчислення і оптимального управління, теорії різницевих рівнянь. Отримано результат для оптимальності особливого, першого порядку управління, в разі опуклості безлічі. Розглянуто випадок, коли функціонал, що мінімізується, є лінійним. В цьому випадку отримана необхідна і достатня умова для оптимальності допустимого управління.Завдяки отриманим результатам дослідження забезпечується можливість отримання необхідних умов оптимальності першого порядку в термінах похідних за напрямками в ступінчастій задачі оптимального керування дискретними двопараметричними системами. А також необхідні умови оптимальності другого порядку в разі опуклості галузі управління і необхідні умови оптимальності особливих управлінь.Отримані в роботі теоретичні результати представляють собою інтерес в теорії оптимального управління ступінчастими системами і можуть бути використані при подальшій розробці теорії необхідних умов оптимальності для східчастих завдань управління.

Let X be a Banach space on which a symmetry group G linearly acts and let J be a G-invariant functional defined on X. In 1979, R. Palais (Comm. Math. Phys. 69 (1979) 19) gave some sufficient conditions to guarantee the so-called “Principle of Symmetric Criticality”: every critical point of J restricted on the subspace of G-symmetric points becomes also a critical point of J on the whole space X. This principle is generalized to the case where J is not differentiable within the setting which does not require the full variational structure under the hypothesis that the action of G is isometry or G is compact.