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This work presents a novel interpolation-free mesh adaptation technique for the Euler equations within the arbitrary Lagrangian Eulerian framework. For the spatial discretization, we consider a residual distribution scheme, which provides a pretty simple way to achieve high order accuracy on unstructured grids. Thanks to a special interpretation of the mesh connectivity changes as a series of fictitious continuous deformations, we can enforce by construction the so-called geometric conservation law, which helps to avoid spurious oscillations while solving the governing equations over dynamic domains. This strategy preserves the numerical properties of the underlying, fixed-connectivity scheme, such as conservativeness and stability, as it avoids an explicit interpolation of the solution between different grids. The proposed approach is validated through the two-dimensional simulations of steady and unsteady flow problems over unstructured grids., Comment: 29 pages, 19 figures, post-print version

SCOPUS: ar.j, info:eu-repo/semantics/published

In this contribution, we investigate strategies to perform shock-capturing computation of steady hypersonic flow fields by means of residual distribution schemes. The ultimate objective is the computation of flow solutions for which the correct upstream enthalpy value is recovered in the postshock region. To this end, the parallelism existing between the classical Bx scheme and the stabilized finite element techniques is exploited. The simple Lax-Friedrichs dissipation term is leveraged to build two new residual distribution schemes. Upon testing on both inviscid and viscous steady problems, solutions obtained with one of the two schemes are shown to recover the correct upstream total enthalpy level in the postshock region. This last scheme provides also improved wall pressure and skin friction predictions; heat transfer predictions are, unfortunately, similar to those offered by the Bx scheme. A conjecture for explaining this behavior is exposed., SCOPUS: ar.j, info:eu-repo/semantics/published

A \textit{p}-adaptive continuous Residual Distribution scheme is proposed in this paper. Under certain conditions, primarily the expression of the total residual on a given element $K$ into residuals on the sub-elements of $K$ and the use of a suitable combination of quadrature formulas, it is possible to change locally the degree of the polynomial approximation of the solution. The discrete solution can then be considered non continuous across the interface of elements of different orders, while the numerical scheme still verifies the hypothesis of the discrete Lax-Wendroff theorem which ensures its convergence to a correct weak solution. We detail the theoretical material and the construction of our \textit{p}-adaptive method in the frame of a continuous Residual Distribution scheme. Different test cases for non-linear equations at different flow velocities demonstrate numerically the validity of the theoretical results.

This report gives an overview of the different implementations of residual distribution schemes for the advection equation in Telemac (www.opentelemac.org). The formulations considered are obtained starting from the predictor-corrector method initially proposed in (Ricchiuto et Abgrall, JCP 2010). Several iteration techniques (NERD, LIPS and ERIA) are proposed and tested in terms of accuracy and efficiency. The basic idea of NERD is a transfer of fluxes done segment by segment, surprisingly this results in an unconditional stability. LIPS is based upon a local implicitation coefficient, ERIA inspires from NERD and treats the fluxes triangle by triangle. The main advances are the low numerical diffusion coupled with an unconditional stability that allows to deal with shallow or even dry zones in a computational domain.; Ce rapport présente toutes les variantes des schémas aux résidus dis-tribués utilisés pour les termes de convection dans le système hydroinformatique Telemac(www.opentelemac.org). Les différentes formulations considérées se basent sur une re-écriture de la méthode de prédiction-correction (Ricchiuto et Abgrall, JCP 2010). Plusieurstechniques itératives (nommées NERD, LIPS et ERIA) sont proposées et étudiées en ter-mes de précision et efficacité. NERD exploite l’idée d’un passage de flux segment parsegment et obtient ainsi une stabilité inconditionnelle, LIPS met en œuvre un coefficientd’implicitation local, ERIA reprend l’idée de NERD mais en l’appliquant à un traitementdes flux triangle par triangle. Les acquis importants sont la faible diffusion numérique etla capacité de fonctionner sur des zones à hauteur d’eau faible ou nulle.

The prediction of solid motion evolving in a fluid presents a real interest for engineering application such as ice accretion on aerodynamics bodies.In this context, considering de-icing systems, the ice shedding trajectory is needed to prevent the risk of collision/ingestion of the ice in/with some sensitive part of the aircraft. This application raises many challenges from a numerical point of view, especially concerning mesh generation/adaptation as the solid moves in the computational domain. To handle this issue, in this work the solids are known implicitly on the mesh via a level set function. An immersed boundary method, called penalization, is employed to impose the wall boundary conditions. To improve the resolution of these boundaries, the equations are solved on adaptive unstructured grids. This allows to have are finement close to the solid boundary and thus increases the solid definition,leading to a more accurate imposition of the wall conditions. To save computational time, and avoid costly remeshing/interpolation steps, the strategy chosen for unsteady simulations is to use a constant connectivity mesh adaptation,also known as r-adaptation; La prédiction de mouvement de solide évoluant dans un fluide présente un réel intérêt pour des applications industrielles telle que l’accrétion de glace sur des surfaces aérodynamiques. Dans ce contexte, en considérant des systèmes de dégivrage, la prévision des trajectoire de glace est nécessaire pour éviter des risques de collision/ingestion de glace sur/dans des zones sensibles de l’avion. Ce type d’application soulève de nombreux challenges d’un point de vue numérique, en particulier concernant la génération/l’adaptation de maillage au cours du mouvement du solide dans le domaine. Pour gérer ces difficultés, dans cette étude, les solides sont définis de manière implicite via une fonction level set. Une méthode de type frontière immergée, appelée Pénalization, est utilisée pour imposer les conditions de bords. Pour améliorer la précision de l’interface, les équations sont résolues sur des maillages non structurés adaptatifs. Cela permet d’obtenir un raffinement proche des bords du solide et ainsi d’améliorer sa définition, permettant un meilleure impositions des conditions de bord. Pour économiser du temps de calcul, et éviter de coûteuses étapes de remaillage/interpolation, la stratégie adoptée pour les simulations instationnaires est d’utiliser une adaptation de maillage à connectivité constante, aussi appelée r-adaptation.

This thesis presents the construction of a p-adaptive Residual Distribution scheme for the steady Euler equations and a hp-adaptive Residual Distribution scheme for the steady penalized Navier-Stokes equations in dimension two and three. The Euler and Navier-Stokes equations are recalled along with their non dimensional versions. The basis definitions and properties of the steady Residual Distribution schemes are presented. Then, the construction of a p-adaptive Residual Distribution scheme for the Euler equations is considered. The construction of the p-adaptive scheme is based upon the expression of the total residual of an element of a given degree k (in the Finite Element sense) into the total residuals of its linear sub-elements. The discrete solution obtained with the p-adaptive scheme is then a one degree polynomial in the divided elements and a k-th degree polynomial in the undivided ones. Therefore, the discrete solution is in general discontinuous at the interface between a divided element and an undivided one. This is in apparent contradiction with the continuity assumption used in general to demonstrate the discrete Lax-Wendroff theorem for Residual Distribution schemes. However, as we show in this work, this constrain can be relaxed. The consequence is that if special quadrature formulas are employed in the numerical implementation, the discrete Lax-Wendroff theorem can still be proved, which guaranties the convergence of the p-adaptive scheme to a weak solution of the governing equations. The formulas that express the total residual into the combination of the total residuals of the sub-elements are central to the method. In dimension two, the formula is obtained with the classical Lagrange basis in the quadratic case and with the Bézier basis in dimension three. These two formulas are then generalized to arbitrary polynomial degrees in dimension two and three with a Bézier basis. In the second part of the thesis the application of the p-adaptive scheme to the penalized Navier-Stokes equations with anisotropic mesh adaptation is presented. In practice, the p-adaptive scheme is used with the IBM-LS-AUM (Immersed Boundary Method with Level Sets and Adapted Unstructured Meshes) method. The IBM-LS-AUM allows to impose the boundary conditions with the penalization method and the mesh adaptation to the solution and to the level-set increases the accuracy of the representation of the surface and the solution around walls. When the IBM-LSAUM is combined with the p-adaptive scheme, it is possible to use high-order elements outside the zone where the penalization is applied. The method is robust as shown by the numerical applications at low to large Mach numbers and at different Reynolds in dimension two and three.; Cette thèse présente la construction d’un schéma aux Résidus Distribués p-adaptatif pour la discrétisation des équations d’Euler ainsi qu’un schéma aux Résidus Distribués hp-adaptatif pour les équations de Navier- Stokes pénalisées. On rappelle tout d’abord les équations d’Euler et de Navier-Stokes ainsi que leurs versions non dimensionnelles. Les définitions et propriétés de base des schémas aux Résidus Distribués sont ensuite présentées. On décrit alors la construction d’un schéma aux Résidus Distribués p-adaptatif pour les équations d’Euler. La construction du schéma p-adaptatif est basée sur la possibilité d’exprimer le résidu total d’un élément K de degré k (au sens où l’élément fini (K; P; Sigma ) est un élément fini de degré k) comme une somme pondérée des résidus totaux de ses sous-éléments de degré 1. La solution discrète ainsi obtenue est en général discontinue à l’interface entre un élément subdivisé et un élément non subdivisé. Ceci contredit l’hypothèse de continuité de la solution qui est utilisée pour démontrer le théorème de Lax-Wendroff discret pour les schémas aux Résidus Distribués. Cependant, on montre que cette hypothèse peut être assouplie. La conséquence pratique est que si l’on emploie des quadratures particulières dans l’implémentation numérique, on peut quand même démontrer le théorème de Lax-Wendroff discret, ce qui garantit la convergence du schéma numérique vers une solution faible des équations d’origine. Les formules qui permettent d’exprimer le résidu total comme une somme pondérée des résidus totaux des sous-éléments sont à la base de la méthode de p-adaptation présentée ici. Dans le cas quadratique, la formule est obtenue avec les classiques fonctions de base de Lagrange en dimension deux et avec des fonctions de base de Bézier en dimension trois. Ces deux formules sont ensuite généralisées à des degrés polynomiaux quelconques en dimension deux et trois avec des fonctions de base de Bézier. Dans la deuxième partie de la thèse, on présente l’application du schéma p-adaptatif aux équations pénalisées de Navier-Stokes avec adaptation de maillage anisotrope. . En pratique, on combine le schéma p-adaptatif avec la méthode IBM-LS-AUM (Immersed Boundary Method with Level Sets and Adapted Unstructured Meshes). La méthode IBM-LS-AUM permet d’imposer les conditions aux bords grâce à la méthode de pénalisation et l’adaptation anisotrope du maillage à la solution numérique et à la level-set augmente la précision de la solution et de la représentation de la surface. Une fois la méthode IBM-LS-AUM combinée avec le schéma p-adaptatif, il est alors possible d’utiliser des éléments d’ordre élevés en-dehors de la zone où la pénalisation est appliquée. La méthode est robuste comme le montrent les diverses expérimentations numériques à des vitesses faibles à élevées et à différents nombres de Reynolds.

The coupling of anisotropic unstructured mesh adaptation techniques with an immersed boundary method (IBM) called penalization is studied for time dependent flow simulations involving moving objects. To extend Residual Distribution (RD) method to the penalized Navier Stokes equations, a new formulation based on a Strang splitting is developed. To reduce the error on solid boundaries, unstructured mesh adaptation based on an elasticity model is used. Keeping a constant connectivity, the mesh evolves in time according to the solid position, and the new formulation is proposed in an ALE framework.; Le couplage des techniques d’adaptation de maillages non structurés anisotropes avec une méthode de frontière immergée (IBM) appelée Pénalization est étudié pour des simulations instationnaires impliquant des objents en mouvement. Pour étendre les méthodes de distribution du résidu (RD) aux équations de Navier Stokes pénalisées, une nouvelle formulation basée sur un splitting de Strang est développée. Pour réduire l’erreur sur les frontières du solide, une adaptation de maillage non structuré est utilisée, basée sur un modèle d’élasticité. Gardant une connectivité constante, le maillage évolue en temps en accord avec la position du solide, et la nouvelle formulation est proposée dans un formalisme ALE.

International audience; The coupling of anisotropic unstructured mesh adaptation techniques with immersed boundary method (IBM) is studied for time dependent flow simulations involving moving objects.This work is incorporated within the framework of the European STORM project, with the aim (among others) to improve accuracy of simulation tools for ice shedding trajectories. The moving objects considered here are ice blocks detached from the aircraft after the use of a de-icing system. Their trajectories are required to predict if sensitive parts of the propulsive system could be damaged.The starting point of our work is an IBM method known as penalization introduced by Brinkmann in 1947 for a swarm of particles. In this approach a source term is added to the NS equations to account for the momentum defect related to the movement of the body, and representative of the forces exchanged between the fluid and the solid.We propose a complete study for solving unsteady penalized equations based on a Strang splitting approach. It allows to solve separately the NS part of the equations and the penalization part with a global second order accuracy in space and time. This approach has three main advantages. First, because of time step restriction, penalization has to be solved implicitly and therefore, the splitting allows flexibility in the choice of the scheme for the NS part (explicit scheme for instance, under condition of second order accuracy). Secondly, force computations can be performed using the change of momentum technique presented in. Finally, this splitting leads to a point by point resolution of the penalized part implying nomatrix inversion, this matrix being potentially ill conditioned owing to the penalty parameter.To reduce the error on solid boundaries typically associated to IBM methods, we use unstructured mesh adaptation techniques. We present results of solids moved by a flow which requires a moving mesh in order to keep this adaptation. Thus, ALE residual distribution schemes areemployed for solving the NS part of the splitting, combined to an exact solution of the ordinary differential equationsrunning the penalized part (over an asymptotic approximation with respect to the penalty parameter).

National audience; In this work, we propose to study the coupling of unstructured mesh adaptation techniques with immersed boundary method (IBM) involving moving objects. The starting point is an IBM known as penalization, introduced by Brinkmann in 1947 for a swarm of particles. A source term is added to the usual Navier Stokes (NS) equations accounting for the boundary conditions.A Strang Splitting approach is employed to solve separately the NS part and the penalized part of the equations. It allows to remove the time step restriction known for penalization while using an explicit scheme, but conserving a global second order accuracy in time. In addition, forces computation can be performed using the method proposed on structured grids. Finally, this approach leads to a pointby point resolution of the ordinary differential equation (ODE) ruling the penalized part, implying no matrix inversion.To reduce the error on solid boundaries typically associated to IBM, an elasticity based adaptation technique is employed. As this approach conserves mesh connectivity, the RDS are presented in an ALE framework. Those schemes are combined to an exact solution of the ODE governing the penalized part of the equations (over an asymptotic approximation with respect to the penalty parameter).

This paper provides a study of some difficulties arising when extending residual distribution schemes for scalar advection and advection-diffusion problems from triangular grids to quadrilateral ones. The Fourier and truncation error analyses on a structured mesh are employed and a generalized modified wavenumber is defined, which provides a general framework for the multidimensional analysis and comparison of different schemes. It is shown that, for the advection equation, linearity preserving schemes for quadrilaterals provide lower dissipation with respect to their triangle-based counterparts and very low or no damping for high frequency Fourier modes on structured grids; therefore, they require an additional artificial dissipation term for damping marginally stable modes in order to be employed with success for pure advection problems. In the case of advection-diffusion problems, a hybrid approach using an upwind residual distribution scheme for the convective fluctuation and any other scheme for the diffusion term is only first-order accurate. On the other hand, distributing the entire residual by an upwind scheme provides second-order accuracy; however, such an approach is unstable for diffusion dominated problems, since residual distribution schemes are characterized by undamped modes associated with the discretization of the diffusive fluctuation. The present analysis allows one to determine the conditions for a stable hybrid approach to be second-order accurate and to design an optimal scheme having minimum dispersion error on a nine-point stencil. Well-documented testcases for advection and advection-diffusion problems are used to compare the accuracy properties of several schemes.

The construction of compact high-order Residual Distribution schemes for the discretizationof steady multidimensional advection-diffusion problems on unstructuredgrids is presented. Linear and non-linear scheme are considered. A piecewise continuouspolynomial approximation of the solution is adopted and a gradient reconstructionprocedure is used in order to have a continuous representation of both thenumerical solution and its gradient. It is shown that the gradient must be reconstructedwith the same accuracy of the solution, otherwise the formal accuracy ofthe numerical scheme is lost in applications in which diffusive effects prevail overthe advective ones, and when advection and diffusion are equally important. Thenthe method is extended to systems of equations, with particular emphasis on theNavier-Stokes and RANS equations. The accuracy, efficiency, and robustness of theimplicit RD solver is demonstrated using a variety of challenging aerodynamic testproblems.; Cette thèse présente la construction de schémas distribuant le résidu (RD) d'ordre très élevés, pour la discrétisation d'équations d'advection-diffusion multidimensionnelles et stationnaires sur maillages non structurés. Des schémas linéaires ainsi que des schémas non linéaires sont considérés. Une approximation de la solution polynomiale par morceaux et continue sur chaque élément est adoptée, de plus une procédure de reconstruction du gradient que celle de la solution numérique est utilisée afin d'avoir une représentation continue de la solution numérique et de son gradient. Il est montré que le gradient doit être reconstruit avec la même précision de la solution, sans quoi la précision formel du schéma numérique est perdue dans les cas où les effets de diffusion prévalent sur les effets d'advection, et aussi quand l'advection et la diffusion sont également importants. Ensuite, la méthode est étendue à des systèmes d'équations, en particulier aux équations de Navier-Stokes et aux équations RANS. La précision, l'efficacité et la robustesse du solveur RD implicite sont démontrées sur plusieurs cas tests.

We are interested in the numerical approximation of steady scalar convection diffusion problems by mean of high order schemes called Residual Distribution (RD). In the inviscid case, one can develop non linear RD that are non oscillatory, even in the case of very strong shocks, while having the most possible compact stencil, on hybrid unstructured meshes. This paper proposes and compare several extension of these schemes for the convection diffusion problem. This methodology, in particular in term of accuracy, is evaluated on several problems, some of which having exact solutions.; Nous nous intéressons à l'approximation numérique des problèmes de convection diffusion stationnaires au moyen de schémas distribuant le résidu d'ordre élevé. Dans le cas sans viscosité, on peut développer des schémas distriuant le résidu on linéaires qui sont non oscillant même dans le cas de chocs très forts, tout en ayant le stencil le plus compact possible, sur des maillages non struturés hybrides. Dans ce papier, on propose, et compare, plusieurs extensions de ce s méthodes dans le cas de problèmes de convection diffusion.

The construction of compact high-order Residual Distribution schemes for the discretizationof steady multidimensional advection-diffusion problems on unstructuredgrids is presented. Linear and non-linear scheme are considered. A piecewise continuouspolynomial approximation of the solution is adopted and a gradient reconstructionprocedure is used in order to have a continuous representation of both thenumerical solution and its gradient. It is shown that the gradient must be reconstructedwith the same accuracy of the solution, otherwise the formal accuracy ofthe numerical scheme is lost in applications in which diffusive effects prevail overthe advective ones, and when advection and diffusion are equally important. Thenthe method is extended to systems of equations, with particular emphasis on theNavier-Stokes and RANS equations. The accuracy, efficiency, and robustness of theimplicit RD solver is demonstrated using a variety of challenging aerodynamic testproblems.; Cette thèse présente la construction de schémas distribuant le résidu (RD) d'ordre très élevés, pour la discrétisation d'équations d'advection-diffusion multidimensionnelles et stationnaires sur maillages non structurés. Des schémas linéaires ainsi que des schémas non linéaires sont considérés. Une approximation de la solution polynomiale par morceaux et continue sur chaque élément est adoptée, de plus une procédure de reconstruction du gradient que celle de la solution numérique est utilisée afin d'avoir une représentation continue de la solution numérique et de son gradient. Il est montré que le gradient doit être reconstruit avec la même précision de la solution, sans quoi la précision formel du schéma numérique est perdue dans les cas où les effets de diffusion prévalent sur les effets d'advection, et aussi quand l'advection et la diffusion sont également importants. Ensuite, la méthode est étendue à des systèmes d'équations, en particulier aux équations de Navier-Stokes et aux équations RANS. La précision, l'efficacité et la robustesse du solveur RD implicite sont démontrées sur plusieurs cas tests.

This thesis presents the construction of a p-adaptive Residual Distribution scheme for the steady Euler equations and a hp-adaptive Residual Distribution scheme for the steady penalized Navier-Stokes equations in dimension two and three. The Euler and Navier-Stokes equations are recalled along with their non dimensional versions. The basis definitions and properties of the steady Residual Distribution schemes are presented. Then, the construction of a p-adaptive Residual Distribution scheme for the Euler equations is considered. The construction of the p-adaptive scheme is based upon the expression of the total residual of an element of a given degree k (in the Finite Element sense) into the total residuals of its linear sub-elements. The discrete solution obtained with the p-adaptive scheme is then a one degree polynomial in the divided elements and a k-th degree polynomial in the undivided ones. Therefore, the discrete solution is in general discontinuous at the interface between a divided element and an undivided one. This is in apparent contradiction with the continuity assumption used in general to demonstrate the discrete Lax-Wendroff theorem for Residual Distribution schemes. However, as we show in this work, this constrain can be relaxed. The consequence is that if special quadrature formulas are employed in the numerical implementation, the discrete Lax-Wendroff theorem can still be proved, which guaranties the convergence of the p-adaptive scheme to a weak solution of the governing equations. The formulas that express the total residual into the combination of the total residuals of the sub-elements are central to the method. In dimension two, the formula is obtained with the classical Lagrange basis in the quadratic case and with the Bézier basis in dimension three. These two formulas are then generalized to arbitrary polynomial degrees in dimension two and three with a Bézier basis. In the second part of the thesis the application of the p-adaptive scheme to the penalized Navier-Stokes equations with anisotropic mesh adaptation is presented. In practice, the p-adaptive scheme is used with the IBM-LS-AUM (Immersed Boundary Method with Level Sets and Adapted Unstructured Meshes) method. The IBM-LS-AUM allows to impose the boundary conditions with the penalization method and the mesh adaptation to the solution and to the level-set increases the accuracy of the representation of the surface and the solution around walls. When the IBM-LSAUM is combined with the p-adaptive scheme, it is possible to use high-order elements outside the zone where the penalization is applied. The method is robust as shown by the numerical applications at low to large Mach numbers and at different Reynolds in dimension two and three.; Cette thèse présente la construction d’un schéma aux Résidus Distribués p-adaptatif pour la discrétisation des équations d’Euler ainsi qu’un schéma aux Résidus Distribués hp-adaptatif pour les équations de Navier- Stokes pénalisées. On rappelle tout d’abord les équations d’Euler et de Navier-Stokes ainsi que leurs versions non dimensionnelles. Les définitions et propriétés de base des schémas aux Résidus Distribués sont ensuite présentées. On décrit alors la construction d’un schéma aux Résidus Distribués p-adaptatif pour les équations d’Euler. La construction du schéma p-adaptatif est basée sur la possibilité d’exprimer le résidu total d’un élément K de degré k (au sens où l’élément fini (K; P; Sigma ) est un élément fini de degré k) comme une somme pondérée des résidus totaux de ses sous-éléments de degré 1. La solution discrète ainsi obtenue est en général discontinue à l’interface entre un élément subdivisé et un élément non subdivisé. Ceci contredit l’hypothèse de continuité de la solution qui est utilisée pour démontrer le théorème de Lax-Wendroff discret pour les schémas aux Résidus Distribués. Cependant, on montre que cette hypothèse peut être assouplie. La conséquence pratique est que si l’on emploie des quadratures particulières dans l’implémentation numérique, on peut quand même démontrer le théorème de Lax-Wendroff discret, ce qui garantit la convergence du schéma numérique vers une solution faible des équations d’origine. Les formules qui permettent d’exprimer le résidu total comme une somme pondérée des résidus totaux des sous-éléments sont à la base de la méthode de p-adaptation présentée ici. Dans le cas quadratique, la formule est obtenue avec les classiques fonctions de base de Lagrange en dimension deux et avec des fonctions de base de Bézier en dimension trois. Ces deux formules sont ensuite généralisées à des degrés polynomiaux quelconques en dimension deux et trois avec des fonctions de base de Bézier. Dans la deuxième partie de la thèse, on présente l’application du schéma p-adaptatif aux équations pénalisées de Navier-Stokes avec adaptation de maillage anisotrope. . En pratique, on combine le schéma p-adaptatif avec la méthode IBM-LS-AUM (Immersed Boundary Method with Level Sets and Adapted Unstructured Meshes). La méthode IBM-LS-AUM permet d’imposer les conditions aux bords grâce à la méthode de pénalisation et l’adaptation anisotrope du maillage à la solution numérique et à la level-set augmente la précision de la solution et de la représentation de la surface. Une fois la méthode IBM-LS-AUM combinée avec le schéma p-adaptatif, il est alors possible d’utiliser des éléments d’ordre élevés en-dehors de la zone où la pénalisation est appliquée. La méthode est robuste comme le montrent les diverses expérimentations numériques à des vitesses faibles à élevées et à différents nombres de Reynolds.